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1998年希望杯第9届七年级第2试及答案

发布时间:2014-01-26 09:46:34  

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第九届“希望杯”全国数学邀请赛(初一)第2试

一、选择题

1.已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b在原点的左方,那么( )

A ab?b B ab?b C a?b?0 D a?b?0

2.有理数a等于它的倒数,有理数b等于它的相反数,则a

A 0 B 1 C ?1 D 2

3.下面的四个判断中,不正确的是( )

A 34x3y6与34ab不是同类项

B 3x和?3x?1不能互为相反数

C 4?x?7??6?5?27x?和6?5?27y??4?y?7?不是同解方程

D 3和361998?b1998=( ) 11?不能互为倒数 a3

4.已知关于x的一次方程?3a?8b?x?7?0无解,则ab是( )

A 正数 B 非正数 C 负数 D 非负数

5.如果a?b?a?b,那么( ) A a?b?a?b B ab?0 C ?2b?2b D?2a?2b

?3x?y?7 6.方程组?的解?x,y?是( ) 5x?8y?31?

A ?3,?2? B ?2,1? C ?4,?5? D ?0,7?

7.一条直线上距离相等地立有10根标杆,一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走,当

他走到第6杆时用了6.6秒,则当他走到第10杆时所用时间是( )

A 11秒 B 13.2秒 B 11.8秒 D 9.9秒

8.有以下两个数串:

1,3,5,7,?,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,?,1990,1993,1996,1999.

同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )

A 333 B 334 C 335 D 336

9.如图所示,S?ABC?1,若S?BDE?S?DEC?S?ACE,则S?ADE=( ) A

1111 B C D 5678

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10.若关于x的方程2x?3?m?0无解,3x?4?n?0只有一个解,4x?5?k?0

有两个解,则m,n,k的大小关系是( )

A m?n?k B n?k?m C k?m?n D m?k?n

二、填空题

783?223

11.计算:2=________. 78?78?22?222

12.若a?19?b?9?c?8,则?a?b???b?c???c?a?=________. 222

13.图中三角形的个数是_______.

14.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知

甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是________秒。

15.某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/时的速度从乙地返回

甲地,那么某人往返一次的平均速度是________千米/时。

16.对于不小于3的自然数n,规定如下一种操作:?n?表示不是n的约数的最小自然数,

如?7??2,?12??5,等等。则??19???98??=____.(式中的?表示乘法)

17.一个布袋中装有红、黄、蓝、三种颜色的大小相同的木球,红球上标有数字1,黄球

上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_____。

18.图中,两个半径为1的1圆扇形A?OB?与AOB叠放在一起,POQO?是正方形,4

则整个阴影图形的面积是______。

19.?3a?2b?x?ax?b?0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,则x=____. 2

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20.某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛,甲、乙两运动员同时起跑后,

乙速超过甲速,在第15分钟时甲加快速度,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙,在第23分钟时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙跑完全程所用的时间是________分钟。

三、解答题

21.23个不同的正整数的和是4845,问:这23个数的最大公约数可能达到的最大的值

是多少?写出你的结论,并说明理由。

22.?a?请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另

三条直线相交,并简单说明画法。

?b?能否在平面上画出7条直线(任意三条都不共点),使得它们中的每条直线都恰

与另三条直线相交?如果能请画出一例,如果不能请简述理由。

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提示:

1.a在数轴上原点右方,a>0;b在原点左方,b<0. 当a=1,

ab=b,显然应排除A、B. 当a=1,b=-2时,a+b

=-1<0,排除C.

所以应选D,事实上,当a>0,b<0时,a-b>0总成立.

3.①34x3y6与34a3b6,因字母不同,不是同类项,所以A是正确的,排除A. ②若3x与-3x+1互为相反数,则-(3x)=-3x+1得出0=1的矛盾.所以“3x和-3x+1不能互为相反数”这句话正确,排除B.

因为这两个方程的解集相同,因此,它们是同解方程.即C“4(x-7)=6(5-27x)和6(5-27y)=4(y-7)不是同解方程”这句话是不正确的.

4.关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解. 当且仅当

5.由a-b>a+b可知-b>b,即b<0.

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6.以(3,-2),(2,1),(4,-5),(0,7)代入方程组检验,只有(3,-2)满足方程组,选A.

7.从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔.因而,每个间隔行进6.6÷5=1.32(秒).而从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔.所以行进9个间隔共用1.32×9=11.88(秒),选择C.

8.第一个数串是1~1999的整数中被2除余1的数,共有1000个.

第二个数串是1~1999的整数中被3除余1的数,共有667个.

同时出现在这两个数串中的数是1~1999的整数中被6除余1的数.它们是:1,7,13,19,25,?,1993,1999.共计334个,选择

B.

10.|2x-3|+m=0无解,则m>0.

|3x-4|+n=0有一个解,则n=0.

|4x-5|+k=0有两个解,则k<0.

所以,m>n>k成立,选择A.

提示:

12.由a+19=b+9=c+8 得

a-b=-10,b-c=-1,c-a=11.

∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2

=(-10)2+(-1)2+112=100+1+121=222.

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13.如图11所示,标上字母A、B、C、D.当不考虑AD时,△ABC被从顶点B引出的五条线分成的三角形个数是6+5+4+3+2+1=21个.

当考虑AD时,在AD上方也可以数出21个三角形,而在AD下方只可以数出6个三角形. 总计,共有21+21+6=48个三角形.

14.甲、乙两车相向在平行轨道上行驶,当从甲车某个窗口看乙车时,从看到车头到车尾通过,要经过200米的距离,而这200米的距离是以两车速度之和来通过的,是个相遇问题.

设甲、乙两车速度和为u米/秒.甲车上某乘客从

15.设甲、乙两地距离为S千米.某人由甲地

所以某人从甲→乙→甲往返一次的平均速度

16.根据定义,<n>表示不是n的约数的最小自然数.我们可以求得:

<19>=2,<98>=3

∴ <19>×<98>=2×3=6

<<19>×<98>>=<6>=4.

17.设小明摸出的10个球中有x个红球,y个黄球,z个蓝球.

依题意列得方程组:

①×3-②得2x+y=9,即 y=9-2x.

由于y是非负整数,x也是非负整数.

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易知 x的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球.

所以阴影的总面积为

19.方程(3a+2b)x+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且有唯一解,则

2

20.设出发时甲速度为a米/分,乙速度为b米/分.第15分甲提高的速度为x米/分,所以第15分后甲的速度是(a+x)米/分.依题意,到第15分时,乙比甲多跑15(b-a)米,甲提速后3分钟(即第18分)追上乙,所以

(a+x-b)×3=15(b-a) ①

接着甲又跑了5分(即第23分钟),已经超过乙一圈(400米)再次追上乙,所以

(a+x-b)×5=400 ②

到了第23分50秒时甲跑完10000米,这10000米

解①,②得b-a=16米/分,x=96米/分.

代入③a=384米/分,所以b=400米/分.

乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的,所以乙跑完全程所用的时间是25分.

21.设这23个彼此不同的正整数为a1,a2,?,a23,并且它们的最大公约数是d,则

a1?db1,a2?db2,?,a23?db23,依题意,有

4845?a1?a2???a23?d?b1?b2???b23?.

?b1,b2,?,b23也是彼此不相等的正数

?b1?b2???b23≥1?2???23?276.

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因此4845?d?b1?b2???b22?b23?≥275?d

?d≤484551?17,又因为4845?19?17?15,因此d的最大值可能是17 27592

当a1?17,a2?17?2,a3?17?3,?,a22?17?22,a23?17?32时得

a1?a2???a22?a23?17?1?2???22??17?32?17?253?17?32?17?285?4845而?a1,a2,?,a22,a23?=17,所以d的最大值等于17.

22.?a?在平面上画三条平行的直线m1,m2,m3,再画另三条平行的直线n1,n2,n3, 使它们与前一组平行线相交。

?b?在平面上不能画出没有三线共点的七条直线,使得其中每条直线都恰与 另外三条直线相交。理由如下:假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线, 其中每一条直线都恰与另外三条相交,两直线相交只有一个交点,所以每条直线 上恰有另三条直线交得的三个不同的交点,七条直线共3?7?21个交点,但每个 交点分属于两条直线,重复计数一次,所以这七条直线交点点数为21?10.5个, 2

这与交点个数为整数矛盾。所以满足题设条件的七条直线是画不出来的。

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