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专题四:行程问题

发布时间:2014-01-26 11:00:13  

专题四 行程问题

一、知识要点

行程类应用题题型千变万化,但万化不离其宗,它始终是利用“路程=速度×时间”这一数量关系。在解题时,可以通过画图帮助理解数量间的关系,也可以运用“转化”的方法,把复杂的数量关系化为简单的数量关系,还可以把复杂的问题转化分解为几个简单的问题逐一进行解决,必要时,可以列方程解答。

二、典例评析

例1 甲,乙两人步行的速度之比是13:11,如果甲,乙分别由A,B两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇,如果他们同相而行,那么甲追上乙需要多少小时?

分析:题目中仅知道甲、乙两人的速度之比与相遇时间,而没有实际速度。可以将抽象变具体,给出甲、乙的速度。

解答:假设甲、乙两人的速度分别是每小时13个单位和11个单位,则由0.5小时后相遇知A,B两地的距离是

(13?11)?0.5?12(单位)

现甲、乙两人同向而行,开始相距12个单位,甲每小时比乙多走:13?11?2(单位) 所以,甲追上乙需要

12?2?6(小时)

说明:此题初一看比较抽象,A、B两地间的路程是未知的,甲、乙两人每小时的速度也是未知的,为了将“抽象问题具体化”,由已知甲、乙两人的速度比为13:11顺水推舟,设甲、乙两人的速度为每小时13个单位和11个单位,由此也可将A、B两地的路程具体化,为解题扫清了障碍。

例2 从甲市到乙市有一条公路,分成三段,在第一段上,汽车速度是每小时40千米;在第二段上,汽车速度是每小时90千米;在第三段上,汽车速度是每小时50千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍,现有两辆汽车分别从甲,乙两市同时出发,相向而行,1小时20分后在第二段的

千米?

分析:由于将甲、乙两地的距离分成三段,且数量关系较为复杂。因此,必须依题意画11处(从甲到乙方向的处)相遇,那么,甲,乙两市相距多少33

出线段图来帮助解答。

解答:依题意作图如下:

由上图知,BC、CD和DE的路程都是第二段公路路程的1,甲车行AB路程所需时间与3

乙车的DF路程所需时间相等。

设乙车行EF路程所需的时间为1,根据路程一定时,速度与时间成反比例关系可知,

50111?1,则甲车行AB路程所需时间为1?2?2。40442

11同时可知乙车行DE路程所需时间为2?1?1。那么,甲车行AB路程与BC路程所需时22

11间之比是2:1?5:3 22

5155甲行AB段所用的时间是行AC时间的,所以甲行第一段所用时间为:1??5?3386甲车行与EF相等路程所需时间是1?

(小时)。

3131,所以甲行BC段用时1??(小时)。5?3382

11在BE上甲、乙车速度相同,所以行BE段,即第二段的总时间为:?3?1(小时); 22

5?40?21第三段所用时间为:。 ?(小时)503甲行BC段所用的时间为行AC时间的

所以,甲、乙两地相距: 511?90?1?50? 623

12 ?33?135?16 33 40?

?185(千米)

说明:这里的关键是要依题意画出线段图,以帮助分析问题,并从中推导出甲车行AB路程所需时间与乙车行DF路程所需时间相等。

例3 一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程之比依次是1:2:3.某人走各段路程所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡速度为每小时3公里,路程全长50公里,问此人走完全程用了多少时间?

分析:根据各段路程长路之比,路程全长以及上坡速度,可以求出上坡时间;又根据各段所用时间之比,可求出上坡时间占总时间的几分之几。全程时间就很容易求得。

解答:上坡时间=上坡路程÷上坡的速度 125?3?(小时) 1?2?39

44?, 上坡时间占全程时间的4?5?615

254? 所以,全程时间?915

125 ? 12

5 ?10(小时) 12

5答:此人走完全程共用了10小时。 12 =50?

说明:此题在算术中称为“过岭行程问题”,解答这类问题,除了掌握一般行程问题的规律以外,还应注意以下两点:

(1)分段处理,理清思路,即要按上坡、平路、下坡三段去分析有关的量;

(2)一般说来,这类问题中物体运动的速度是按上坡、平路、下坡而变化的。 思考:甲、乙两地间公路全长500千米,其中平路占

是下山路程的1。由甲地到乙地去,上山路程52。一辆汽车从甲地到乙地共行了10小时,已知这辆汽车行上山路的速度比3

平路慢20%,行下山的速度比平路快20%,照这样计算,汽车从乙地回到甲地要行多少小时?

例4 兄弟两人骑马进程,全程51千米。马每小时走12千米,但是只能1人骑。哥哥每小时走5千米,弟弟每小时走4千米。两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(拴马时间忽略不计),然后独自前行,步行者到达拴马处再上马前进。如果他们早晨6点动身,何时能同时到达城里?

分析:兄弟两人同时出发,同时到达城里,这就说明,两人骑马和步行的时间和相等。哥哥骑马的路程等于弟弟步行的路程,哥哥步行的路程等于弟弟骑马的路程。(因为哥哥步行时弟弟骑马,弟弟步行时哥哥骑马)

解答:设哥哥步行了x千米,则骑马行了(51?x)千米。

551?x51?xx??? x12412

12x?5?(51?x)?15?(51?x)?5x

7x?10?(51?x)

7x?510?10x

17x?510

x?30

3051?3033??6?1?7?7小时45分。 51244

所以他们同时到达城里的时间是下午1时45分。

答:下午1时45分兄弟两人同时到达城里。

说明:运用“转化”将复杂的数量关系转化为简单的数量关系。再利用方程解答,是解决复杂行程问题的一种行之有效的手段。

例5 A、B、C三个站在同一条直线上,B站到A、C两站的距离相等。小川和小强分别从A、C两站同时出发相向而行。小川过B站100米后与小强相遇,然后二人继续前进。小川到达C站后,立即沿原路线返回,经过B站后300米追上小强。那么A、C两站间的距离是多少米?

分析:已知AB=BC,设AB两站间距离为米。小明行了(x?100)米时,小强刚好行了(x?100)米,这时两人相遇。然后,两人继续前进,当小明再追上小强时,小明一共行了(3x?100)米,小强一共行了(x?300)米。x

比较小明、小强行的路程,发现,在同样多的时间里,小明所行的(3x?100)米的路程是他行走(x?100)米的3倍,那么小强所行的(x?300)米的路程也是小强自己行走(x?100)米的3倍。

解答:设AB两站间距离为x米,则AC两站间的距离为2x。

3(x?100)?x?300

3x?300?x?300

2x?600

即A、C两站间距离是600米。

答:A、C两站间距离是600米。

说明:对于复杂的行程问题,我们要善于理清数量关系,只有准确地把握数量关系,才能顺利地将问题解决。

例6 在一条笔直的公路干线上,有两个骑车人从相距500米的A、B两地同时出发,每分钟行驶300米;乙从B地出发,每分钟行驶200米。问经过多长时间,两人相距5000米。

分析:问题的实质是已知两人相距的距离、两人的速度求时间,但题中并没有告诉我们两人是同向行驶、相向行驶,还是背道行驶,所以我们需要考虑四种可能情况。

解答:第一种情况:两人都沿着从A到B的方向行驶,这种情况下,要使两人之间的距离达到5000米,甲需比乙多行驶5000+500=5500米,所以这种情况下所需经过的时间为:

(5000+500)÷(300-200)=55(分钟)

即:若两人都沿A到B的方向行驶,经过55分钟两人相距5000米。

第二种情况:两人都沿B到A的方向行驶,要使甲、乙相距5000米,只需甲比乙多行驶5000-500=4500米即可到达要求,这样所需的时间为:

(5000-500)÷(300-200)=45(分钟)

即:当两人都沿从B到A的方向行驶过,经过45分钟两人相距5000米。

第三种情况:两人相向而行,即甲沿从A到B的方向行驶,乙沿从B到A的方向行驶,要使两人相距5000米,只需两人行驶的路程和为5000+500=5500米即可,这样所需用的时间为:

(5000+500)÷(300+200)=11(分钟)

即:两人相向而行时,经过11分钟两人相距5000米。

第四种情况:甲沿从B到A的方向行驶,乙沿从A到B的方向行驶,要使两人之间的距离达到5000米,只需两人所行驶的路程和为5000-500=4500米即可,这样要使两人之间的距离达到5000米,所需的时间为:

(5000-500)÷(300+200)=9(分钟)

即:两人背道而驰,经过9分钟两人相距5000米。

说明:此题主要考察学生思维的完备性及分类讨论思想,解决问题的关键是要认识到四种可能情况,然后进行分类考虑。

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