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2003年第14届希望杯数学邀请赛(初一)第2试试题

发布时间:2014-01-26 12:51:02  

2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(初一笫2试)

一、选择题:(每小题5分,共50分)

1.某班有30名男生和20名女生,60%的男生和30%的女生参加了天文小组,该班参加天文小组的人数占全班人数的( )

(A)60%; (B)48%; (C)45%; (D)30% 21?4.5(1?2)2?2.=( ) ?15??1.3?223

(A)-7122177292; (B)-; (C)-; (D)-. 20452045

3.数轴上的点A、B、C分别对应数0、-1、x,C与A的距离大于C与B的距离,则( ) 1 (A)x>0; (B)x>-1; (C)x<-; (D)x<-1 2

4.对任意的三个整数,则( )

(A)它们的和是偶数的可能性小; (B)它们的和是奇数的可能性小;

(C)其中必有两个数的和是奇数; (D)其中必有两个数的和是偶数;

5.油箱装满油的一辆汽车在匀速行驶,当汽油恰剩油箱体积的一半时就加满油,接着又按

1原速度行驶,到目的地时油箱中还剩有体积的汽油.设油箱中所剩汽油量为V(升),时3

间为t(分钟),则v与t的图象是( )

6.将长为12的线段截成长度为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形( )

(A)不可能是等腰三角形; (B)不可能是直角三角形;

(C)不可能是等边三角形; (D)不可能是钝角三角形.

7.有一个最多能称16kg的弹簧称,称重时发现,弹簧的长度(cm)与物体的重量(kg)之间有一定的关系.根据下荚考虑:在弹簧称重范围内,弹簧最长为( )cm

8.If<a>=a(a?1)for aii integers(整数)a,an b=<8>,then<b>is( ) 2

(A)36;(B)72;(C)666;(D)1332

9.有一串数:-2003,-1999,-1995,-1991,┉,按一定的规律排列,那么这串数中前( )个数的和最小.

(A)500; (B)501; (C)502; (D)503

10.“希望杯”四校足球邀请赛规定:

(1)比赛架采用单循环赛形式;

(2)有胜负时,胜队得3分,负队得0分;

(3)踢平时每队各得1分.

北赛结束后,四个队各自的总得分中不能出现( )

(A)8分; (B)7分; (C)6分; (D)5分;

二、填空题:(每小题5分,共50分)

11.如果方程2003x+4a=2004a-3x的根是x=1,则a=______.

12.图1中的大,小正方形的边长均为整数(cm),它们面积之和等于74cm,则阴影三角形的面积等于________cm.

13.如果x+x-1=0,则x+2x+3=_________.

14.If a,b,c,d are rational numders(有理数),丨a-b丨≤9,丨c-d丨≤16 and 丨a-b-c+d丨=25,then丨b-a丨-丨d-c丨=___________.

15.a和18都是正整数,则a=___________. a?a?1223222ABCDC116.如图2,ABCD是平行四边形,E在AB上,F在AD上,SΔBCE=2SΔCDF=S?

4

0=1,则SΔCEF=____. 17.用中心角为120,半径为

6cm的扇形卷成一个圆锥(没有重叠),这个圆锥的表面积是

______cm.

18.画一条直线,可将平面分成2个部分,画2条直线,最多可将平面分成4个部分,那么,画6条直线,最多可将平面分成_______个部分.

4a?ab?b19.a与b互为相反数,且丨a-b丨=,那么2=_____________. 5a?ab?12

20.正整数m和n有大于1的公灼数,且满足m+n=371,mn=___________.

三、解答题:(要求写出推算过程.21,23题各15分,22题20分)

21.某同学想用5个边长不等的正方形,拼成如图3所示的大正方形.请问该同学的想法能实现吗?如果能实现,试求这5个正方形的边长;如果不能,请说明理由

. 3

22.规定:正整数n的“H运算”是:

①当n为奇数时,H=3n+13;

11②当n为偶数时,H=n×?×┉(其中H为奇数). 22

如:数3经过1次“H运算”的结果是22,经过2次“H运算”的结果是11,经过3次“H运算”的结果是46.

请解答:

(1)数257经过257次“H运算”的结果.

(2)若“H运算”②的结果总是常数a,求a的值.

23.救灾指挥部,将救灾物资装入34个集装箱:4吨的集装箱3个,3吨的集装箱4个,2.5吨的集装箱5个,1.5吨的集装箱10个,1吨的集装箱12个,那么至少需要多少辆载重量5吨的汽车才能一次将这些救灾物品运走?提出你的运输方案.

参考答案:

一.BACDA,DDCBA.

二.

11.1.003;

12.7;

13.4;

14.-7;

15.4; 716.; 4

17.16?;

18.22; 19.4; 25

20.196.

三.

21.答:不能实现.

理由:假设能够实现,不妨设中间小正方形的边长为x(x>0),左下角的正方形的边长为y(y>0),则左上角的正方形的边长为(y-x),右上角的正方形的边长为(y-2x),于是有右下角的正方形的边长为(y-3x)或(y+x).

所以,y-3x=y+x,

于是4x=0,得x=0.

与x>0矛盾,所以该同学的想法不能实现.

H22.(1)一个正整数n经达一次“H运算”的结果是b,记为:n???b,则257经过

H笫1次“H运算”:257 ???257×3+13=784;

H笫2次“H运算”:784 ???784×1=49; 24

H笫3次“H运算”:49???49×3+13=160;

H笫4次“H运算”:160 ???160×1=5; 25

H笫5次“H运算”:5???5×3+13=28;

H笫6次“H运算”:28 ???28×1=7; 22

H笫7次“H运算”:7???7×3+13=34;

1H笫8次“H运算”:34 ???34×=17; 2

H笫9次“H运算”:17???17×3+13=64;

H笫10次“H运算”:64 ???64×1=1; 26

H笫11次“H运算”:1???1×3+13=16;

H笫12次“H运算”:16 ???16×1=1; 24

H笫13次“H运算”:1???1×3+13=16;

H笫14次“H运算”:16 ???16×1=1; 24

从笫11步以后出现循环,奇数步的结果为16,偶数步的结果为1.

因此,笫257步后的结果为16.

(2)若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环,此时“H运算”②的运算结果总是a,则a一定是个奇数,那么,对a进行“H运算”①的结果a×3+13是偶数.

再对a×3+13进行“H运算”,即

a×3+13乘以

于是1的结果仍是a, 2ka?3?13=a, 2k

k也即a×3+13=a×2,

即a×(2-3)=13=1×13.

因为a是正整数,

所以2-3=1或2-3=13,

解得k=2或k=4.

当k=2时,a=13;

当k=4时,a=1.

23.为了用载重量5吨的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组合,即尽量使每一节汽车都能装满.

由题设可知,物资总重63.5吨,而12<63.5÷5<13,由此可知,要把救灾物品一次运走,

kkk

需要的汽车不能少于13辆.

于是我们提出如下设计方案:

A类:每辆装4吨集装箱1个和1吨集装箱1个,按排3辆汽车; B类:每辆装3吨集装箱1个和1吨集装箱2个,按排4辆汽车; C类:每辆装2.5吨集装箱2个,按排2辆汽车;

D类:每辆装2.5吨、1.5吨、1吨集装箱各1个,按排1辆汽车; E类:每辆装1.5吨集装箱3个,按排3辆汽车;

而3+4+2+1+3=13(辆),

因此,要把救灾物品一次运走,需要汽车至少13辆.

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