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2007年第十八届希望杯第二试

发布时间:2014-01-26 14:56:13  

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2007年4月15日 上午8:30至10:30

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、 假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水,每滴水约0.05毫升,现有一个水龙头未拧紧,4小时后,才被发现拧紧,在这段时间内,水龙头共滴水约( )(用科学记数法表示,结果保留两位有效数字)

(A)1440毫升。 (B)1.4?10毫升。 (C)0.14?10毫升。 (D)14?10毫升。

2、 如图1,直线L与∠O的两边分别交于点A、B,则图中以O、A、B为端点的射线的条数总和是( )。

(A)5. (B)6. (C)7. (D)8.

3、 整数a,b满足:ab≠O且a+b=O,有以下判断:

1a,b之间没有正分数; ○2a,b之间没有负分数; ○

3a,b之间至多有一个整数; ○4a,b之间至少有一个整数 。 ○

其中,正确判断的个数为( )

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 342

xxxx?????1的解是 x=( ) 315352005?2007

2006200720071003(A) , (B), (C), (D)20072006100320074、 方程

5、 如图2,边长为1的正六边形纸片是轴对称图形,它的对称轴的条数是( )。

(A)1. (B)3. (C)6. (D)9.

L

A

OB

1图2

26、 在9个数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3中,能使不等式-3x<-14成立

的数的个数是( )

(A)2. (B)3. (C)4. (D)5.

7、 韩老师特制了4个同样的立方块,并将它们如图3(a)放置,然后又如图3(b)放置,

则图3(b)中四个底面正方形中的点数之和为( )

(A)

11. (B)13. (C)14. (D)16.

图3

8、 对于彼此互质的三个正整数a,b,c,有以下判断:

①a,b,c均为奇数 ②a,b,c中必有一个偶数 ③a,b,c没有公因数 ④a,b,c必有公因数 其中,不正确的判断的个数为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

9、 将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起,构成一个实心的长方体。如果长方体底

面的周长为18厘米,那么这个长方体的高是( )

(A)2厘米 (B)3厘米 (C)6厘米 (D)7厘米

10、 If 0?c?b?a,then ( ) b?abb?aa?caa?c (B) ????c?acc?ab?cbb?c

b?abb?aa?caa?c(C) (D) ????c?acc?ab?cbb?c(A)

二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

11、

12、 若有理数m,n,p满足|m||n||p|2mnp???1,则? mnp|3mnp|今天(2007年4月15日,星期日)是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2

4试的日子,那么几天以后的第2007?15天是星期

13、 孔子诞生在公元前551年9月28日,则2007年9月28日是孔子诞辰(注:不存在公元0年)

14、 In Fig。4,ABCD is a rectangle.,The area of the shaded rectangle is

6

图4

这个班数学成绩的平均分不低于 分,不高于 分。(精确到0.1)

16、 已知7x?yz6?41808,其中x,y,z代表非0数字,那么x?y?z? 222

17、 某城市有一百万户居民,每户用水量定额为月平均5吨,由于6,7,8月天热,每

户每月多用水1吨,为了不超过全年用水定额,则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均 吨之内。如果每户每天节约用水2千克,则全市一年(按365天计)节约的水量约占全年用水定额的 %(保留三位有效数字)

18、 a,b,c都是质数,且满足a?b?c?abc?99,则|111111?|?|?|?|?|? abbcca

19、 一项机械加工作业,用4台A型车床,5天可以完成:用4台A型车床和2台B

型车床,3天可以完成;用3台B型车床和9台C型车床,2天可以完成。若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后,只余下一台A型车床继续工作,则再用 天就可以完成这项作业

20、 设0?a?1,?a?b??1,则1111和2四个式子中,值最大的是 ,,aa?ba?ba?b2

值最小的是

三、解答题(本大题共3小题,共40分) 要求:写出推算过程。

21、 (本题满分10分)

小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L,他发现:这2007个点中的每一点关于直线L的对称点,仍在这2007个点中,请你说明:这2007个点中至少有1个点在直线L上。

22、 (本题满分15分)

小明和哥哥在环形跑道上练习长跑。他们从同一起点沿相反方向同时出发,每隔25秒钟相遇一次。现在,他们从同一起跑点沿相同方向同时出发,经过25分钟哥哥追上了小明,并且比小明多跑了20圈,求:

(1) 哥哥速度是小明速度的多少倍?

(2) 哥哥追上小明时,小明跑了多少圈?

23、

(本题满分15分) 满足1+3n≤2007,且使得1+5n是完全平方数的正整数n共有多少个?

答案:

一、选择题(每小题4分。)

三.解答题

21.假设这2007个点都不在直线L上,由于其中每个点Ai(i=1,2,??,2007)关于直线L的对称点Ai仍在这2007个点中,所以Ai不在直线L上。

也就是说,不在直线L上点Ai(i=1,2,??,2007)与Ai关于直线L对称的点Ai成对出现,即平面上标出的点的总数应是偶数个,与点的总数2007相矛盾!

因此,“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立,即这2007个点中至少有1个点在直线L上。

22.设哥哥的速度是V1米/秒,小明的速度是V2米/秒。环形跑道长s米。 (1)由“经过25分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了20圈”,知 经过

'

'

'

25

分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了1圈。所以 20

25

(V1?V2)?25?(V1?V2)??60

20

整理,得,100v2?50v1 所以, V1?2V2. (2)根据题意,得

?S1?V1V2

???V?V?25??12?SS25即?解得, ?

?S?25?60?V1?V2?1

???SS75?V1?V220

V21

故经过了25分钟小明跑了 ?

S75V225?60?25?60??20(圈) S75

(2)另解 由V1?2V2,知小明每跑1圈,哥哥就比小明多跑1圈,所以当哥哥比小明多跑20圈时,小明也跑了20圈。

23.由条件1+3n≤2007得

n≤668,n是正整数。

设1+5n=m(m是正整数),则 2

m2?1,这是正整数。 n?5

故可设m+1=5k,或m-1=5k(k是正整数)

m2?11当m+1=5k是,○?5k2?2k?5k2?668,由 5

5k2?668,得,k≤11

当k=12时,5k?2k?696>668。

所以,此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数; 2

m2?12当m-1=5k时,n?○?5k2?2k, 5

又5k?2k<5k?2k,且当k=11时5k?2k?627<668, 所以,此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数。

因此,满足1+3n≤2007且使1+5n使完全平方数的正整数n共有22个。

222

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