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第03讲 实数的若干性质和应用-初二奥数教材

发布时间:2014-01-27 09:47:36  

第三讲 实数的若干性质和应用

实数是高等数学特别是微积分的重要基础.在初中代数中没有系统地介绍实数理论,是因为它涉及到极限的概念.这一概念对中学生而言,有一定难度.但是,如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识,中学数学也将无法继续学习下去了.例如,即使是一元二次方程,只有有理数的知识也是远远不够用的.因此,适当学习一些有关实数的基础知识,以及运用这些知识解决有关问题的基本方法,不仅是为高等数学的学习打基础,而且也是初等数学学习所不可缺少的.本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用.

还是有理数,或者说,有理数对加、减、乘、除() 性质1 (为零的小数) 例1

分析 形式.

证 设

100

②-

99x=261.54-2.61=258.93,

无限不循环小数称为无理数.有理数对四则运算是封闭的,而无理

是说,无理数对四则运算是不封闭的,但它有如下性质.

性质2 设a为有理数,b为无理数,则

(1)a+b,a-b是无理数;

有理数和无理数统称为实数,即

可以比较大小.在实数集内进)(即实数对四则运算的封闭性)

例2

所以

分析

所以p一定是偶数.设p=2m(m是自然数),代入①得

4m2=2q2,q2=2m2,

例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1,a2,b1,b2为有理数,a为无理数),则a1=a2,b1=b2,反之,亦成立.

分析 设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明. 证 将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1.若b1≠b2,则

反之,显然成立.

说明

由例4知 a=Ab,1=A,

说明

本例并未给出确定结论,需要解题者自己发现正确的结

有理

数作为立足点,以其作为推理的基础.

例6 已知a,b是两个任意有理数,且a<bb之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性). 分析

证 因为a<b,所以2a<a+b<

a,b是两个任意有理数,且a<b,问是否存在无理数α,使得<αb成立?

由①,②有

在无理数α,使得a<α<b

32 的值. 分析 往往是先(),然后再寻求其小数部分的表示方

2,所以b2+6b=5.

b4+12b3+37b2+6b-20

=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20

=(b2+6b)2+(b2+6b)-20

=52+5-20=10.

例9 求满足条件

的自然数a,x,y. 解 将原式两边平方得

由①式变形为

例10 设an是12+22+32+…+n2的个位数字,n=1,2,3,…,求证:0.a1a2a3…an…是有理数.

分析 有理数的另一个定义是循环小数,即凡有理数都是循环小数,反之循环小数必为有理数.所以,要证0.a1a2a3…an…是有理数,只要证它为循环小数.因此本题我们从寻找它的循环节入手.

证 计算an的前若干个值,寻找规律:1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,…发现:a20=0,a21=a1,a22=a2,a23=a3,…,于是猜想:ak+20=ak,若此式成立,说明0.a1a2…an…是由20个数字组成循环节的循环小数,即

下面证明ak+20=ak.

令f(n)=12+22+…+n2,当f(n+20)-f(n)是f(n+20)与f(n)有相同的个位数,而 f(n+20)-f(n)

=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2 =10(2n2+42·n)+(12+22+…2 由前面计算的若干值可知:12+22的倍数,故ak+20=ak成立,所以0.a1a2…an

1

5.设α,β为有理数,γ为无理数,若α+βγ=0,求证:

α=β=0.

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