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第01讲 因式分解(上)

发布时间:2014-01-27 10:43:45  

第一讲 因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

1.运用公式法

为因式分解中常用的公式,例如:

(1)a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

(5)a2+b2+c2

(6)a3+b3+c2+b2+c2ab-bc-ca);

(7)an-bnn-1n-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;

nn-12-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

nn-1-n-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.

1

(1)-5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;

(2)x3-8y3-z3-6xyz;

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;

(4)a7-a5b2+a2b5-b7.

解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)2

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

=(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2.

本小题可以稍加变形,直接使用公式(5) 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2 =(a2-b2)(a5+b5)

43b+a22-4)

22b2-3+b4 例2 33+c3 (6).

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).

这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).

说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为

a3+b3+c3-3abc

显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c 如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有

等号成立的充要条件是x=y=z 例3 分解因式:x15+x14+x13. 分析 16x15开始,x的次数顺次递减至0n-bn

解 因为

x16-1=(x152 所以

说明(x-1),再除以(x-1)的技巧,

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例4 分解因式:x3-9x+8.

分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.

解法1 将常数项8拆成-1+9.

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8).

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x.

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8).

解法3 将三次项x3拆成9x3-3.

原式=9x3-8x3- 3 ---2+x+1)

-1)(x--x2.

=x3x2+x2-9x+8

2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8).

说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. 例5 分解因式:

(1)x9+x6+x3-3;

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;

(4)a3b-ab3+a2+b2+1.

解 (1)将-3拆成-1-1-1. 原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).

(2)将4mn拆成2mn+2mn. 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2 =(m2n2+2mn+1)-(m2-2 =(mn+1)2-2

-.

(3)将22- 原式42-2-22+(x-1)4 4(x-2+(x-1)4]-(x2-1)2 [22]2-(x2-1)2 22-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).

+ab-ab.

3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1).

说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.

3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰. 例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.

分析 将原式展开,是关于x不妨将x2+x看作一个整体,并用字母yy的二次三项式的因式分解问题了.

解 设x2+x=y,则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2 =(x-1)(x+2)(x2+x+5) 说明 本题也可将x2+x+1x2+x+1=u,一样可以 例7 22-90.

-90

-90

2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.

2+5x+2,则

-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础. 例8 分解因式:

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.

解 设x2+4x+8=y,则

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).

说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.

例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6.

解法1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2

=6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)- =6[(x2-1)2+2x22- =6(x2-1)2-2 =[2(x2-1)-3x2- 2-2 -1)(x+3). 说明 x

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).

例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.

解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u4-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2.

1.分解因式:

(2)x10+x5-2

54+x35

4-2y2+y2;

(3)x32+26x+24;

(4)x4-12x+323.

3.分解因式:

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;

(2)x4+7x3+14x2+7x+1;

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1;

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20.

第一讲 因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

1.运用公式法

为因式分解中常用的公式,例如:

(1)a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) (5)a2+b2+c22

(6)a3+b32+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)an-bnn-1+a2…n-2+bn-1)其中n为正整数;

nn-2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

nn-1-an-2n-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.

1

(1)-5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;

(2)x3-8y3-z3-6xyz;

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;

(4)a7-a5b2+a2b5-b7.

解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)2

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

=(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2.

本小题可以稍加变形,直接使用公式(5) 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2 =(a2-b2)(a5+b5)

43b+a22-4)

22b2-3+b4 例2 33+c3 (6).

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).

这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).

说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为

a3+b3+c3-3abc

显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c 如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有

等号成立的充要条件是x=y=z 例3 分解因式:x15+x14+x13. 分析 16x15开始,x的次数顺次递减至0n-bn

解 因为

x16-1=(x152 所以

说明(x-1),再除以(x-1)的技巧,

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例4 分解因式:x3-9x+8.

分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.

解法1 将常数项8拆成-1+9.

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8).

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x.

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8).

解法3 将三次项x3拆成9x3-3.

原式=9x3-8x3- 3 ---2+x+1)

-1)(x--x2.

=x3x2+x2-9x+8

2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8).

说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. 例5 分解因式:

(1)x9+x6+x3-3;

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;

(4)a3b-ab3+a2+b2+1.

解 (1)将-3拆成-1-1-1. 原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).

(2)将4mn拆成2mn+2mn. 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2 =(m2n2+2mn+1)-(m2-2 =(mn+1)2-2

-.

(3)将22- 原式42-2-22+(x-1)4 4(x-2+(x-1)4]-(x2-1)2 [22]2-(x2-1)2 22-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).

+ab-ab.

3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1).

说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.

3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰. 例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.

分析 将原式展开,是关于x不妨将x2+x看作一个整体,并用字母yy的二次三项式的因式分解问题了.

解 设x2+x=y,则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2 =(x-1)(x+2)(x2+x+5) 说明 本题也可将x2+x+1x2+x+1=u,一样可以 例7 22-90.

-90

-90

2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.

2+5x+2,则

-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础. 例8 分解因式:

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.

解 设x2+4x+8=y,则

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).

说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.

例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6.

解法1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2

=6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)- =6[(x2-1)2+2x22- =6(x2-1)2-2 =[2(x2-1)-3x2- 2-2 -1)(x+3). 说明 x

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).

例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.

解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u4-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2.

1.分解因式:

(2)x10+x5-2

54+x35

4-2y2+y2;

(3)x32+26x+24;

(4)x4-12x+323.

3.分解因式:

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;

(2)x4+7x3+14x2+7x+1;

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1;

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20.

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