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第04讲 分式的化简与求值-初二奥数教材

发布时间:2014-01-27 10:43:47  

第四讲 分式的化简与求值

分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样,分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值.除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.

例1 化简分式:

分析 形式,再化简将简便得多.

(2a+1)-3)-(3a+2)+(2a-2)]

说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.

例2 求分式

当a=2时的值.

分析与解 先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b),

可将分式分步通分,每一步只通分左边两项.

,求

abc=1,所以a,b,c都不为零.

解法2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0.

例4 化简分式:

分析与解

互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法,它是分式化简中常用的技巧.

例5 化简计算(式中a,b,c两两不相等):

似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c),而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c),因此有下面的解法.

说明

例6 已知:x+y+z=3a(a),求

分析 (x-a)+(y-a)+(z-a)=0,-

解 令x-a=u-

u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.

y,z不全相等,所以

u,v,

w不全为零,所以u2+v2+w2≠0,

说明 从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算过程简化.

例7 化简分式:

(x-4)2=3,即x2-8x+13=0.

原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10

=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10

=10,

原式分母=(x2-8x+13)+2=2,

说明 本例的解法采用的是整体代入的方法,这是代入消元法的一种特殊类型,应用得当会使问题的求解过程大大简化.

解法1 (1)若a+b+c≠0

所以a-b+c=b,-,

(2)a+b+c=0,则

a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,

于是有

说明 比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时,灵活巧妙地使用,便于问题的求解.

解法2 设参数法.令

a+b=(k+1)c,①

a+c=(k+1)b,②

b+c=(k+1)a.③

①+②+③有

2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),

所以 (a+b+c)(k-1)=0,

故有k=1或 a+b+c=0.

当k=1时,

当a+b+c=0

练习四

2.计算:

3.已知:

(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2

=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,

的值.

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