haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

第05讲 恒等式的证明-初二奥数教材

发布时间:2014-01-27 13:41:51  

第五讲 恒等式的证明

代数式的恒等变形是初中代数的重要内容,它涉及的基础知识较多,主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则,因式分解的知识与技能技巧等等,因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一.本讲主要介绍恒等式的证明.首先复习一下基本知识,然后进行例题分析. 两个代数式,如果对于字母在允许范围内的一切取值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等.

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变 证明恒等式,没有统一的方法,技巧,使证明过程尽量简捷.一类是无附加条件的恒等式证明;者,同学们要善于利用附加条件,证明中的一些常用方法与技巧.

1.由繁到简和相向趋进

一边推导)和“相向趋进”(). 例1 已知x(1-y2)(1-z22-x2)(1.

分析 ,将等式左边化简成右边. 证 因为-z2-y2-y2z2-z-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)

-2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2

--xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)

-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)

=4xyz=右边.

说明 本例的证明思路就是“由繁到简”.

例2 已知1989x2=1991y2=1993z2,x>0,y>0,z>0,且

证 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k>0),则

又因为

所以

所以

说明 k

a=b(.这也是证明恒等式的重要思路之一.

分析 用比差法证明左-右=0.本例中,

这个式子具有如下特征:如果取出它的第一项,把其中的字母轮换,即以b代a,c代b,a代c,则可得出第二项;若对第二项的字母实行上述轮换,则可得出第三项;对第三项的字母实行上述轮换,可得出第一项.具有这种特性的式子叫作轮换式.利用这种特性,可使轮换式的运算简化.

证 因为

所以

所以

(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r). 全

同理

所以

所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).

说明 本例采用的是比商法.

3.分析法与综合法 根据推理过程的方向不同,法.这

2+b2+c2c)2

a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,

只要证 ab=ac+bc,

只要证 c(a+b)=ab,

只要证

这最后的等式正好是题设,而以上推理每一步都可逆,故所求证的等式成立.

说明 本题采用的方法是典型的分析法.

例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证:a=b=c=d. 证 由已知可得

a4+b4+c4+d4-4abcd=0,

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,

所以

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.

因为(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0,

所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.

又因为a,b,c,d都为正数,所以a+b≠ a=b,c=d.

所以

ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0,

所以a=c.故= 说明 4

a+b=k(a-b),b+c=2k(b-c),

(c+a)=3k(c-a).

所以

6(a+b)=6k(a-b),

3(b+c)=6k(b-c),

2(c+a)=6k(c-a).以上三式相加,得

6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)

=6k(a-b+b-c+c-a),

即 8a+9b+5c=0.

说明 本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法,前面的例2用的也是类似方法.这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧. 例8 已知a+b+c=0,求证

2(a4+b4+c4)=(a2+b2+c2)2.

分析与证明 用比差法,注意利用a+b+c=0 左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2

=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2

=(a2-b2-c2)2-4b2c2

=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2- =[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2 =(a-b+c)(a+b-c)(a-b-

说明

a,x,y和z,而在求证的a,xz,因此可以从消去y着手,得到如下证法.

说明 本题利用的是“消元”法,它是证明条件等式的常用方法. 例10 证明:

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z).

分析与证明

y+z-2x=a,①

z+x-,②

x+y- 则要证的等式变为

a3+b3+c3

a3+b3+c3-22-ab-bc-ca),所以将①,②,③相加有 a+b+c=y+z--2z=0,

3+b3+c3 33+(x+y-2z)3

--2y)(x+y-2z).

说明 例11 设x,y,z为互不相等的非零实数,且

求证:x2y2z2=1.

分析 本题x,y,z

具有轮换对称的特点,我们不妨先看二元的

所以x2y2=1.三元与二元的结构类似.

证 由已知有

222 说明 总之,恒等式证明的关键是代数式的变形技能.深刻体会例题中的常用变形技

练习五

2-b)(b-c)=0,求证:2b=a+c.

3xyz-(yz+zx+xy)3

=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3).

3.求证:

5.证明:

6.已知x2-yz=y2-xz=z2-xy,求证:

x=y=z或x+y+z=0.

7.已知an-bm≠0,a≠0,ax2+bx+c=0,2 (cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm).

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com