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第06讲 代数式的求值-初二奥数教材

发布时间:2014-01-27 15:50:12  

第六讲 代数式的求值

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等,经过恒等变形,把代数式中隐含的条件显现出来,化简,进而求值.因此,求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形,经常被采用.

分析 x将会很麻烦. 解 已知条件可变形为3x2 6x4+15x3+10x2

=(6x4+6x3-2x23+9x2 =(3x2+3x-2 =0+1=1 说明(,而要将所要求值的代数式适当变形,再

a为实数,且满足下式:

c,①

求a+b+c的值.

解 将②式因式分解变形如下

所以

a+b+c=0或bc+ac+ab=0.

若bc+ac+ab=0,则

(a+b+c)2=a2+b2+c2 =a2+b2+c2=1,

所以 a+b+c=±1.所以 说明

前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.

2.利用乘法公式求值

例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值.

解 因为x+y=m,所以

m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,

所以

求x2的值. 分析 将x,y,y的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y下解法.

解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy

=(x+y)2

3

为了使求值简便,有时可增设一些参数(这叫作设参数法.有时也可

k,用它表示

x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.

所以

x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

u+v+w=1,①

由②有

把①两边平方得

u2+v2+w2

所以u2+v22 即

两边平方有

所以

4.利用非负数的性质求值

若几个非负数的和为零,值中经常被使用.

例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求yx 分析与解 x,y 因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以

x2-4x+4+|3x- 即 (x-2)2

x2=36.

例9 x,y满足

(x2y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 其中m,n表示非零已知数,求x,y的值.

分析与解 两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式.

将已知等式变形为

m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,

(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0.

5.利用分式、根式的性质求值

分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明.

例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值:

分析 直接通分是笨拙的解法, 解 子,分式的值不变.相同.

分析 计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算反而复

杂.因为这样一来,原式的对称性就被破坏了.这里所言的对称性是分利用这种对称性,或称之为整齐性,来简化我们的计算.

同样(但请注意算术根!)

将①,②代入原式有

练习六

2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值.

3.已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值.

5.设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.

8.已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值.

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