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第08讲 非负数-初二奥数教材

发布时间:2014-01-27 16:51:16  

第八讲 非负数

所谓非负数,是指零和正实数.非负数的性质在解题中颇有用处.常见的非负数有三种:实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根.

1.实数的偶次幂是非负数

若a是任意实数,则a2n≥0(n为正整数),特别地,当n=1时,有a2≥0.

2.实数的绝对值是非负数

若a是实数,则

性质 绝对值最小的实数是零. 3

4 (1)(2)有限个非a1,a2,?,an为非负数,则

a12a0 那么每一个加数也必为零,即若a1,a2,?,a1+2an=0,则必有a1=a2=?=an=0.

(除数不为零)仍为非负数.

(5)

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数.

应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数,正确运用非负数的有关概念及其性质,巧妙地进行相应关系的转化,从而使问题得到解决.

解得a=3,b=-2.代入代数式得

解 因为(20x-3)2为非负数,所以

-(20x-3)2≤0.

--2 由①,②可得:-(20x-3)2=0 原式=||20±0|+20=40

说明 aa=0”,这是个很有用的性质.

例x

yy的表达式有意义,必有

解 因为a2+b2-4a-2b+5=0,所以

a2-4a+4+b2-2b+1=0,

即 (a-2)2+(b-1)2=0.

(a-2)2=0,且 (b-1)2=0.

所以a=2,b=1.所以

例5 已知x,y为实数,求

u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3

=x2+y2+1-2xy+2x-2 =(x-y+1)2+(2x-y)2+2. 因为x,y为实数,所以 (x-y+1)2≥0

2,y=2. (a22-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数.

2-2+a2+3=0,

(ax-1)2+x2+a2+3=0.

对于任意实数x,均有

(ax-1)2≥0,x2≥0,a2≥0,3>0,所以,(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0,故

(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根.

例7 求方程的实数根.

分析 本题是已知一个方程,但要求出两个未知数的值,而要确定两个未知数的值,一般需要两个方程.因此,要将已知方程变形,看能否出现新的形式,以利于解题.

解之得

说明

求实数x1,x2,?,xn的值.

解 显然,x1=x2=?=xn=0是方程组的解.

由已知方程组可知,在x1,x2,?,xn 中,只要有一个值为零,则必有x1=x2=?=xn=0.所以当x1≠0,x2≠0,?,xn≠0时,将原方程组化为

将上面n个方程相加得

又因为xi为实数,所以

9 a-b|+ab=1的非负整数a,b的值. 解 a,b为非负整数,所以

解得

例10 当a,b为何值时,方程 x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根? 解 因为方程有实数根,所以△≥0,即 △=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)

=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8

=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0,

所以

2a2-4ab-4b2+2a-1≥0,

-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0,

-(a-1)2-(a+2b)2≥0.

因为(a-1)2≥0,(a+2b)2≥0

例11 p

pc-2b+ra=0,

2必有实数根. ,所以

2-4ac

=p2c22a2-4ac

-2pcra+r2a2+4pcra-4ac

=(pc-ra)2+4ac(pr-1).由已知pr-1>0,又(pc-ra)2≥0,所以当ac≥0时,△≥0;当ac<0时,也有△=(2b)2-4ac>0.综上,总有△≥0,故原方程必有实数根.

例12 对任意实数x,比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小. 解 用比差法.

(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)

=2x2-3x+2

(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)>0,

所以 3x2+2x-1>x2+5x-3.

说明 判定差是大于零还是小于零,地利用了这两个方法,使问题得到解决.

例13 已知a,b,c为实数,设

证明:A,B,C

证 由题设有

A+B+C

2-2-2-π-3

22+(π-3).

2(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,π-3>0,所以A+B+C>0. A≤B≤0,C≤0,则A+B+C≤0与A+B+C>0不符,所以A,B,C

例14 已知a≥0,b≥0,求证:

分析与证明 对要求证的不等式两边分别因式分解有

由不等式的性质知道,只须证明

因为a≥0,b≥0,所以

又因为

a,b,c,d,它们满足等式

a4+b4+c4+d4=4abcd,

a4+b44+d4-4abcd=0,

所以

(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0, 即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.

因为a,b,c,d都是实数,所以

(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0,

所以

由于a,b,c,d都为正数,所以,解①,②,③有

a=b=c=d.

故此四边形为菱形.

练 习 八

1.求x,y的值:

4.若实数

5a,b,x且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz,

k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根,求a的取值范围.

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