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历届1-16希望杯数学竞赛初一及详细答案_[排版整理]

发布时间:2014-01-28 09:46:53  

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希望杯第一届(1990 年)初中一年级第一试试题 .................................................... 2 希望杯第一届(1990 年)初中一年级第二试试题 .................................................... 8 希望杯第二届(1991 年)初中一年级第一试试题 .................................................. 14 希望杯第二届(1991 年)初中一年级第二试试题 .................................................. 20 希望杯第三届(1992 年)初中一年级第一试试题 .................................................. 26 希望杯第三届(1992 年)初中一年级第二试试题 .................................................. 30 希望杯第四届(1993 年)初中一年级第一试试题 .................................................. 39 希望杯第四届(1993 年)初中一年级第二试试题 .................................................. 46 希望杯第五届(1994 年)初中一年级第一试试题 .................................................. 54 希望杯第五届(1994 年)初中一年级第二试试题.................................................. 60 希望杯第六届(1995 年)初中一年级第一试试题 .................................................. 66 希望杯第六届(1995 年)初中一年级第二试试题 .................................................. 71 希望杯第七届(1996 年)初中一年级第一试试题 .................................................. 81 希望杯第七届(1996 年)初中一年级第二试试题 .................................................. 87 希望杯第八届(1997 年)初中一年级第一试试题 .................................................. 94 希望杯第八届(1997 年)初中一年级第二试试题 ................................................ 100 希望杯第九届(1998 年)初中一年级第一试试题 ................................................ 109 希望杯第九届(1998 年)初中一年级第二试试题 .................................................117 希望杯第十届(1999 年)初中一年级第二试试题 ................................................ 124 希望杯第十届(1999 年)初中一年级第一试试题 ................................................ 132 希望杯第十一届(2000 年)初中一年级第一试试题............................................. 135 希望杯第十一届(2000 年)初中一年级第二试试题............................................. 141 希望杯第十二届(2001 年)初中一年级第一试试题............................................. 143 希望杯第十二届(2001 年)初中一年级第二试试题............................................. 146 希望杯第十三届(2002 年)初中一年级第一试试题............................................. 151 希望杯第十三届(2001 年)初中一年级第二试试题..........

................................... 153 希望杯第十四届(2003 年)初中一年级第一试试题............................................. 158 希望杯第十四届(2003 年)初中一年级第二试试题............................................. 161 希望杯第十五届(2004 年)初中一年级第一试试题............................................. 165 希望杯第十五届(2004 年)初中一年级第二试试题............................................. 167 希望杯第十六届(2005 年)初中一年纪第一次试卷

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希望杯第一届(1990 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每题 1分,共 10分) 1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么 ( )

A.a,b都是0. B.a,b之一是0.C.a,b互为相反数.D.a,b互为倒数. 2.下面的说法中正确的是 ( )

A.单项式与单项式的和是单项式.B.单项式与单项式的和是多项式. C.多项式与多项式的和是多项式.D.整式与整式的和是整式. 3.下面说法中不正确的是 ( A. 有最小的自然数. C.没有最大的负整数. ) B.没有最小的正有理数. D.没有最大的非负数. ( )

4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么 A.a,b同号. B.a,b异号.C.a>0. D.b>0. ( )

5.大于-π 并且不是自然数的整数有 A.2个. B.3个.C.4个.

D.无数个.

6.有四种说法: 甲.正数的平方不一定大于它本身;乙.正数的立方不一定大于它本身; 丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身. 这四种说法中,不正确的说法的个数是 ( A.0个. B.1个.C.2个. D.3个. ) )

7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是 (

A.a大于-a.B.a小于-a.C.a大于-a或a小于-a.D.a不一定大于-a. 8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边( A.乘以同一个数.B.乘以同一个整式.C.加上同一个代数式.D.都加上1. 9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%, 那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( A.一样多. B.多了.C.少了. D.多少都可能. ) )

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10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么, 当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将( A.增多. )

B.减少.C.不变. D.增多、减少都有可能.

二、填空题(每题1分,共10分) 1. 0.0125 ? 3

1 1 15 16 ? ? (?87.5) ? ? ? (?22 ) ? 4 ? ______. 5 7 16 15

2.198919902 -198919892 =______. 3.

(2 ? 1)(22 ? 1)(24 ? 1)(28 ? 1)(216 ? 1) =________. 232 ? 1
1? x x ? 2 ? ? 1 的

解是_________. 4 8

4. 关于x的方程

5.1-2+3-4+5-6+7-8+?+4999-5000=______.

24 3 2 3 2 3 2 时,代数式(3x -5x +6x-1)-(x -2x +x-2)+(-2x +3x +1)的值是____. 125 72 2 71 1 (a ? b) ? (b ? a ? 0.16) ? (a ? b) 的值是 7.当a=-0.2,b=0.04时,代数式 73 72 4
6.当x=______. 8.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重 是______克. 9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的 .如果工作4天后,工作效率提高了 ,那么
3 5 1 1

完成这批零件的一半,一共需要______天. 10.现在4点5分,再过______分钟,分针和时针第一次重合. 答案与提示 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 9.C 10.A 提示: 1.令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此

2.x2 ,2x2 ,x3 都是单项式.两个单项式x3 ,x2 之和为x3 +x2 是多项式,排除A.两个单项

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式x2 ,2x2 之和为3x2 是单项式,排除B.两个多项式x3 +x2 与x3 -x2 之和为2x3 是个单项式,排 除C,因此选D. 3.1是最小的自然数,A正确.可以找到正

所以C “没有最大的负整数” 的说法不 正确.写出扩大自然数列,0,1,2,3,?,n,?,易知无最大非负数,D正确.所以不 正确的说法应选C.

5.在数轴上容易看出:在-π 右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2,-1, 0共4个.选C. 6.由12 =1,13 =1可知甲、乙两种说法是正确的.由(-1)3 =-1,可知丁也是正确的说 法.而负数的平方均为正数,即负数的平方一定大于它本身,所以“负数平方不一定大于 它本身”的说法不正确.即丙不正确.在甲、乙、丙、丁四个说法中,只有丙1个说法不 正确.所以选B. 7.令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D. 8.对方程同解变形,要求方程两边同乘不等于0的数.所以排除A. 我们考察方程x-2=0,易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1,得(x- 1)(x-2)=0,其根为x=1及x=2,不与原方程同解,排除B.若在方程x-2=0两边加上同一 个代数式 去了原方程x=2的根.所以应

排除C.事实上方程两边同时加上一个常数,新方程与原方程同解,对D,这里所加常数为 1,因此选D. 9.设杯中原有水量为a,依题意可得, 第二天杯中水量为a3(1-10%)=0.9a; 第三天杯中水量为(0.9a)3(1+10%)=0.931.13a; 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C.
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10.设两码头之间距离为s,船在静水中速度为a,水速为v0 ,则往返一次所用时间为

设河水速度增大后为v,(v>v0 )则往返一次所用时间为

由于v-v0 >0,a+v0 >a-v0 ,a+v>a-v 所以(a+v0 )(a+v)>(a-v0 )(a-v)

∴t0 -t<0,即t0

<t.因此河水速增大所用时间将增多,选A. 二、填空题

提示:

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2.198919902 -198919892 =(19891990+19891989)3(19891990-19891989) =(19891990+19891989)31=39783979. 3.由于(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1) =(2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1) =(22 -1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1) =(24 -1)(24 +1)(28 +1)(216 +1) =(2 -1)(2 +1)(2 +1) =(216 -1)(216 +1)=232 -1.
8 8 16 2 4 8 16

2(1+x)-(x-2)=8,2+2x-x+2=8解得;x=4 5.1-2+3-4+5-6+7-8+?+4999-5000 =(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+?+(4999-5000)

=-2500. 6.(3x3 -5x2 +6x-1)-(x3 -2x2 +x-2)+(-2x3 +3x2 +1)=5x+2

7.注意到: 当a=-0.2,b=0.04时,a -b=(-0.2) -0.04=0,b+a+0.16=0.04-0.2+0.16=0.
2 2

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8.食盐30%的盐水60千克中含盐60330%(千克)设蒸发变成含盐为40%的水重x克, 即0.001x千克,此时,60330%=(0.001x)340% 解得:x=45000(克).

10.在4时整,时针与分针针夹角为120°即

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希望杯第一届(1990 年)初中一年级第二试试题
一、选择题(每题1分,共5分) 以下每个题目里给出的A,B,C,D四个结论中有且仅有一个是正确的.请你在括号填 上你认为是正确的那个结论的英文字母代号. 1.某工厂去年的生产总值比前年增长a%,则前年比去年少的百分数是 A.a%. B.(1+a)%. C. ( )

a ?1 100 a

D.

a 100 ? a

2.甲杯中盛有2m毫升红墨水,乙杯中盛有m毫升蓝墨水,从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0<a<m,搅匀后,又从乙杯倒出a毫升到甲杯里,则这时 ( A.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少. B.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多. C.甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同. D.甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定. 3.已知数x=100,则( ) )

A.x是完全平方数.B.(x-50)是完全平方数. C.(x-25)是完全平方数.D.(x+50)是完全平方数. 4.观察图1中的数轴:用字母a,b,c依次表示点A,B,C对应的数,则 大小关系是( )

1 1 1 , , 的 ab b ? a c

A.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ; B. < < ; C. < < ; D. < < . ab b ? a c c b ? a ab c ab b ? a b ? a ab c

5.x=9,y=-4是二元二次方程2x2 +5xy+3y2 =30的一组整数解,这个方程的不同的整数 解共有 ( ) B.6组.C.12组. D.16组.

A.2组.

二、填空题(每题1分,共5分) 1.方程|1990x-1990|=1990的根是______.

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2.对于任意有理数x,y,定义一种运算*,规定x*y=ax+by-cxy,其中的a,b,c表 示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1*2=3,2*3=4,x*m=x(m≠0), 则m的数值是______. 3.新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门,他知道每把钥匙只能开其 中的一个门, 但不知道

每把钥匙是开哪一个门的钥匙, 现在要打开所有关闭着的20个房间, 他最多要试开______次. 4.当m=______时,二元二次六项式6x2 +mxy-4y2 -x+17y-15可以分解为两个关于x, y的二元一次三项式的乘积. 5.三个连续自然数的平方和(填“是”或“不是”或“可能是”)______某个自然 数的平方. 三、解答题(写出推理、运算的过程及最后结果.每题5分,共15分) 1.两辆汽车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线行驶,每车最多只能带24桶 汽油,途中不能用别的油,每桶油可使一辆车前进60公里,两车都必须返回出发地点,但 是可以不同时返回, 两车相互可借用对方的油. 为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点, 另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回?离出发地点最远的那辆车一共行驶了 多少公里? 2.如图2,纸上画了四个大小一样的圆,圆心分别是A,B,C,D,直线m通过A,B, 直线n通过C,D,用S表示一个圆的面积,如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S-1),直 线m,n之间被圆盖住的面积是8,阴影部分的面积S1 ,S2 ,S3 满足关系式S3 =

1 1 S1 = S2 ,求S. 3 3

3.求方程

1 1 1 5 ? ? ? 的正整数解. x y z 6
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答案与提示
一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 提示: 1.设前年的生产总值是m,则去年的生产总值是

前年比去年少

这个产值差占去年的

应选D.

2.从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后:

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后: 乙杯中含有的红墨水的数量是 乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ∵①=②∴选C. ② ①

∴x-25=(10 +5) 可知应当选C.

n+2

2

4.由所给出的数轴表示(如图3): 可以看出

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∴①<②<③,∴选C. 5.方程2x2 +5xy+3y2 =30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1222325 ∵x,y是整数, ∴2x+3y,x+y也是整数. 由下面的表

可以知道共有16个二元一次方程组,每组的解都是整数,所以有16组整数组,应选D. 二、填空题

提示: 1.原方程可以变形为|x-1|=1,即x-1=1或-1,∴x=2或0. 2.由题设的等式x*y=ax+by-cxy 及x*m=x(m≠0) 得a20+bm-c202m=0, ∴bm=0. ∵m≠0,∴b=0. ∴等式改为x*y=ax-cxy. ∵1*2=3,2*3=4,

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解得a=5,c=1. ∴题设的等式即x*y=5x-xy. 在这个等式中,令x=1,y=m,得5-m=1,∴m=4. 3.∵打开所有关闭着的20个房间, ∴最多要试开

4.利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识,可以判定给出的二元二次六项式 6x2 +mxy-4y2 -x+17y-15 中划波浪线的三项应当这样分解: 3x 2x -5 +3

现在要考虑y,只须先改写作 然后根据-4y2 ,17y这两项式,即可断定是: 由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2 +5xy-4y2 -x+17y-15就是原六项式

,所以m=5. 5.设三个连续自然数是a-1,a,a+1,则它们的平方和是(a-1)2 +a2 +(a+1)2 =3a2 +2, 显然,这个和被3除时必得余数2. 另一方面,自然数被3除时,余数只能是0或1或2,于是它们可以表示成 3b,3b+1,3b+2(b是自然数)中的一个,但是它们的平方 (3b)2 =9b2 (3b+1)2 =9b2 +6b+1, (3b+2) =9b +12b+4 =(9b +12b+3)+1 被3除时,余数要么是0,要么是1,不能是2,所以三个连续自然数平方和不是某个自 然数的平方. 三、解答题 1.设两辆汽车一为甲一为乙,并且甲用了x升汽油时即回返,留下返程需的x桶汽油,
2 2 2

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将多余的(24-2x)桶汽油给乙.让乙继续前行,这时,乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油, 依题意,应当有48-3x≤24,∴x≥8. 甲、乙分手后,乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明,当x的值愈小时,代数式的值愈大,因为x≥8, 所以当x=8时,得最大值30(48-428)=480(公里), 因此,乙车行驶的路程一共是2(6028+480)=1920(公里). 2.由题设可得

即2S-5S3 =8??②

∴x,y,z都>1,

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因此,当1<x≤y≤z时,解 (x,y,z)共(2,4,12),(2,6,6), (3,3,6),(3,4,4)四组. 由于x,y,z在方程中地位平等.所以可得如下表所列的15组解.

希望杯第二届(1991 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每题1分,共15分) 以下每个题目的A,B,C,D四个结论中,仅有一个是正确的,请在括号内填上正确的 那个结论的英文字母代号. 1.数1是 ( ) B.最小正数.C.最小自然数. ( ) D.a2 >b2 . ) D.最小有理数.

A.最小整数. 2.若a>b,则 A.

1 1 ? ; a b

B.-a<-b.C.|a|>|b|.

3.a为有理数,则一定成立的关系式是 ( A.7a>a. B.7+a>a.C.7+a>7.

D.|a|≥7. )

4.图中表示阴影部分面积的代数式是(

A.ad+bc.B.c(b-d)+d(a-c).C.ad+c(b-d).D.ab-cd. 5.以下的运算的结果中,最大的一个数是( )

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1 ; 2468 1 1 C.(-13579)3 ; D.(-13579)÷ 2468 2468
A.(-13579)+0.2468; B.(-13579)+ 6.3.141637.5944+3.14163(-5.5944)的值是 A.6.1632. B.6.2832.C.6.5132. 7.如果四个数的和的 ( )

D.5.3692. )

1 是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( 4

A.16. B.15. C.14. D.13.

1 1 且小于- 的是( ) 3 4 11 4 3 6 A.; B.; C.; D.. 20 13 16 17 3 9.方程甲: (x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( 4
8.下列分数中,大于-

)

A.甲方程的两边都加上了同一个整式x.B.甲方程的两边都乘以 C. 甲方程的两边都乘以 10.如图: O是原点,则

4 x; 3

4 3 ; D. 甲方程的两边都乘以 . 3 4
,数轴上标出了有理数a,b,c的位置,其中

1 1 1 , , 的大小关系是( ) a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ? ? ; B. > > ; C. > > ; D. > > . a b c b c

a b a c c a b x 5 ? 11.方程 的根是( ) 22.2 3.7
A.27. B.28. C.29. D.30. 12.当x=

4x ? 2 y 1 ,y=-2时,代数式 的值是( xy 2
D.6.

)

A.-6. B.-2. C.2.

13.在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个数中,最大的数与绝对值最大的那个数的乘 积是( ) B.0.15.C.0.0001. D.1. )

A.225. 14.不等式 1 ?

x x x x ? ? ? ? x 的解集是( 2 4 8 16

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A.x<16. B.x>16.C.x<1. D.x>-

1 . 16
)

15.浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是 ( A.

(mp ? nq ) p?q ( mp ? nq ) % ;D. % ; B. (mp ? nq)% ; C. %. p?q 2 m?n

二、填空题(每题1分,共15分) 1. 计算:(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=______.

1 =_______. 6 ( ?63) ? 36 3. 计算: =__________. 162
2. 计算:-3 ÷63
2

4. 求值:(-1991)-|3-|-31||=______. 5. 计算:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? =_________. 2 6 12 20 30 42

6.n为正整数,1990n -1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成 的四位数是8009.则n的最小值等于______. 7. 计算: ? ? 8. 计算:

? 191919 ? ? 1919 ? ???? ? =_______. ? 919191 ? ? 9191 ?
1 [(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________. 5
5 5
5

? 1? ? 1? 9.在(-2) ,(-3) , ? ? ? , ? ? ? 中,最大的那个数是________. ? 2? ? 3?
5

10.不超过(-1.7)2 的最大整数是______. 11.解方程

2 x ? 1 10 x ? 1 2 x ? 1 ? ? ? 1, x ? _____ . 3 12 4

355 ? 355 ? ?? ?? ? 113 ? 113 ? 12.求值: =_________. ? 355 ? ?? ? ? 113 ?
13.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是______. 14.一个数的相反数的负倒数是

1 ,则这个数是_______. 19

15.如图11,a,b,c,d,e,f均为有理数.图中各行,各列、两条对角线上三个数

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ab ? cd ? ef =____. a?b?c?d ?e? f
答案与提示 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.A 13.B 1 4.A 15.D 提示: 1.整数无最小数,排除A;正数无最小数,排除B;有理数无最小数,排除D.1是最 小自然数.选C. 有|2|<|-3|,排除C;若2>-3有22 <(-3)2 ,排除D;事实上,a>b必有-a<-b.选B. 3.若a=0,730=0排除A;7+0=7排除C|0|<7排除D,事实上因为7>0,必有7+a> 0+a=a.选B. 4.把图形补成一个大矩形,则阴影部分面积等于 ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d).选C. 5.运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

之和都相等,则

6.3.141637.5944+3.14163(-5.5944) =3.1416(7.5944-5.5944)=233.1416 =6.2832.选B.

为32.第四个数数=32-(-6+11+12)=15.选B.

新方程x-4=4x与原方程同解.选C.

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13.-4,-1,-2.5,-0.01与-15中最大的数是-0.01,绝

对值最大的数是-15,(-0.01) 3(-15)=0.15.选B.

15.设混合溶液浓度为x,则m3p%+n3q%=(m+n)x. 二、填空题 提示: 1.(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1.

4.(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019.

6.1990 的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为0000,即1990 末位至少要4 个0,所以n的最小值为4.

n

n

18

点点文化
(-1993)]=-1991.

10.(-1.7)2 =2.89,不超过2.89的最大整数为2.

去分母得 4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12. 8x-4-10x-1=6x+3-12. 8x-10x-6x=3-12+4+1.

13.十位数比个位数大7的两位数有70,81,92,个位数比十位数大7的两位数有18, 29,其中只有29是质数.

b+d+7=-1+3+7=9,所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9.易求得a=4,e=1, c=5,f=0.

19

点点文化

希望杯第二届(1991 年)初中一年级第二试试题
一、 选择题(每题1分,共10分)

1.设a,b为正整数(a>b).p是a,b的最大公约数,q是a,b的最小公倍数.则p, q,a,b的大小关系是 ( ) C.q≥p≥a>b. D.p≥a>b≥q.

A.p≥q≥a>b. B.q≥a>b≥p.

2.一个分数的分子与分母都是正整数,且分子比分母小1,若分子和分母都减去1,则 所得分数为小于 A.5个.

6 的正数,则满足上述条件的分数共有( 7
B.6个. C.7个. D.8个.

)

3.下列四个等式: ( )

a =0,ab=0,a2 =0,a2 +b2 =0中,可以断定a必等于0的式子共有 b

A.3个.

B.2个.

C.1个.

D.0个. )

4.a为有理数.下列说法中正确的是(

A.(a+1) 2 的值是正数.B.a2 +1的值是正数.C.-(a+1)2 的值是负数.D.-a2 +1的值小 于1. 5.如果1<x<2,则代数式 A.-1. B.1.

x ? 2 x ?1 x ? ? 的值是( x ? 2 x ?1 x
D.3.

)

C.2.

6.a,b,c均为有理数.在下列 甲:若a>b,则ac >bc .乙:若ac >bc ,则a>b.两个结论中, (
2 2 2 2

)

A.甲、乙都真. B.甲真,乙不真.C.甲不真,乙真. D.甲、乙都不真. 7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为 ( ) B.3b-c.C.b+c. D.c-b.

A.2a+3b-c.

8.①若a=0,b≠0,方程ax=b无解.②若a=0,b≠0,不等式ax>b无解.③若a≠0, 则方程ax=b有唯一解x=

b b ;④若a≠0,则不等式ax>b的解为x> .则( a a

)

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点点文化
A.①、②、③、④都正确.B.①、③正确,②、④不正确. C.①、③不正确,②、④正确.D.①、②、③、④都不正确. 9.若abc=1,则 A.1.

a b c ? ? 的值是( ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1
C.-1. D.-2.

)

B.0.

10.有一份选择题试卷共六道小题.其得分标准是:一道小题答对得8分,答错得0分, 不答得2分.某同学共得了20分,则他( )

A.至多答对一道小题.B.至少答对三道小题. C.至少有三道小题没答.D.答错

两道小题. 二、填空题(每题1分,共10分) 1. 绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______. 2. 单项式
m m ?900 3 2 11? 21 与 3xy 2 z 7 ?17 是同类项,则m=________. xy z 4

190091 =_________. 19901991 ? 19901989 ?19901991 1 1 4. 现在弟弟的年龄是哥哥年龄的 ,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的 ,则哥哥现在 2 5
3. 化简:
2

的年趟龄是_____. 5. 某同学上学时步行,放学回家乘车往返全程共用了1.5小时,若他上学、下学都 乘车.则只需0.5小时.若他上学、下学都步行,则往返全程要用______小时. 6. 四个连续正整数的倒数之和是

19 ,则这四个正整数两两乘积之和等于______. 20

7.1.23452 +0.76552 +2.46930.7655=______.
. .

8.在计算一个正整数乘以 3.5 7 的运算时,某同学误将 3.5 7 错写为3.57,结果与正确 答案相差14,则正确的乘积是_______. 9. 某班学生人数不超过50人. 元旦上午全班学生的

2 1 去参加歌咏比赛, 全班学生的 9 4

去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人. 10.游泳者在河中逆流而上.于桥A下面将水壶遗失被水冲走.继续前游20分钟后他 发现水壶遗失,于是立即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面追到了水壶.那 么该河水流的速度是每小时______公里.
21

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三、解答题(每题5分,共10分,要求:写出完整的推理、计算过程,语言力求简明, 字迹与绘图力求清晰、工整) 1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数,问从这100名 运动员中至少要选出多少人,才能使在被选出的人中必有两人,他们运动服的号码数相差 9?请说明你的理由. 2.少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对 值的运算,其运算过程是:输入第一个整数x1 ,只显示不运算,接着再输入整数x2 后则显 示|x1 -x2 |的结果,此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算, 现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入,全部输入完毕之后 显示的最后结果设为p.试求出p的最大值,并说明理由.

答案与提示 一、选择题 1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D 提示: 1.两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者.两个自然数的最大公约数一 定不大于两数中较小者.所以q≥a>b≥p.选B.

,也有a必为0.所以a必为0的式子共有3个. 选A. 4.a=-1时(a+1)2 =0,A不真;a=-1时-(a+1)2 =0,C也不真;a=0时-a2 +1=1,D不真;只 有对任意有理数a,a2 +1>0成立.选B.

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5.当1<x<2时,x>0,x-1>0,x-2<0. ∴|x|=x,|x-1|=x-1,|x-2|=2-x.

=-1-(-1)+1=1

.选B. 6.若c=0,甲不正确.对于乙,若ac2 >bc2 ,可推出c≠0,∴c2 >0,进而推出a>b, 乙正确.选C.

c-b>0,|b-c|=c-b.∴|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c.选C. 8.若a=0,b=-1,0x>-1,可见②无解不

9.abc=1,则a,b,c均不为0.

选A. 10.设选对x题,不选的有z题,选错的有y题.依题意有x+y+z=6,8x+2z=20(x≥0,y ≥0,z≥0,且都为整数).解之得x=2,y=2,z=2,选D. 二、填空题 提示: 1.绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15,-14,14,15,其乘积为 (-14)(-15)(14)(15)=44100.

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3.令n=19901990,n-1=19901989,19901991=n+1. 则分母19901991 -19901989319901991=(n+1) -(n-1)(n+1)=2(n+1).
2 2

5.设步行速度为x,乘车速度为y,学校到家路程为s,则

6.设所求的四个连续整数分别为a,a+1,

∴a=2不合题设条件.

和为334+335+336+435+436+536=119. 7.令x=1.2345,y=0.7655,则2xy=2.46930.7655,1.23452 +0.76552 +2.4693 0.7655=(x+y)2 =(1.2345+0.7655)2 =22 =4

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9.显然全班人数被9整除,也被4整除,所以被4和9的最小公倍36整除,但全班人数 小于50,可见全班总计36人,看电影的同学为36-8-9=19. 10.设该河水速每小时x公里.游泳者每小时

解得x=3.即该河水速每小时3公里. 三、解答题 1.若选出54个人,他们的号码是1,2,?,8,9,19,20,?,26,27,37,38?, 44,45,55,56,?,62,63,73,74,?,80,81,91,92?,98,99.的时候,任两 个人号码数之差均不等于9. 可见,所选的人数必≥55才有可能. 我们证明,至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9. 被选出的55人有55个不同号码数,由于55=639+1,所以其中必有7个号码数被9除余 数是相同的.但由1—100这一百个自然数中,被9除余数相同的数最多为12个数.因此7个 数中一定有两个是“大小相邻”的,它们的差等于9. 所以至少要选出55名小运动员,才能使其中必有两人运动服的号码数相差9. 2.由于输入的数都是非负数.当x1 ≥0,x2 ≥0时,|x1 -x2 |不超过x1 ,x2 中最大的数.对 x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,则||x1 -x2 |-x3 |不超过x1 ,x2 ,x3 中最大的数.小明输入这1991个数设
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次序是x1 ,x2 ,?,x1991,相当于计算:||?||x1 -x2 |-x3 |??-x1990 |-x1991 |=P.因此P的值≤ 1991. 另外从运算奇偶性分析,x1 ,x2 为整数. |x1 -x2 |与x1 +x2 奇偶性相同.因此P与x1 +x2 +?+x1991 的奇偶性相同. 但x1 +x2 +?+x1991 =1+2+?1991=偶数.于是断定P≤1990.我们证明P可以取到1990. 对1,2,3,4,按如下次序|||1-3|-4|-2|=0. |||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0,对k=0,1,2,?均成立.因此,1-1988可 按上述办法依次输入最后显示结果为0.而后||1989-1990|-1

991|=1990. 所以P的最大值为1990.

希望杯第三届(1992 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每题1分,共10分) 1.有理数1 a

一定不是(

)

A.正整数. B.负整数.C.负分数. D.0. 2.下面给出的四对单项式中,是同类项的一对是 ( )

1 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2 A. x y与-3x z; B.3.22m n 与 n m ; C.0.2a b与0.2ab ; D.11abc与 ab. 3 11 1992
3.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( A.3x-3. B.x-1.C.3x-1. ) D.x-3.

4.两个10次多项式的和是 ( ) A.20次多项式.B.10次多项式.C.100次多项式.D.不高于10次的多项式. 5.若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) A.a,-1,1,-a.B.-a,-1,1,a.C.-1,-a,a,1.D.-1,a,1,-a. 6.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5),则 A.c>b>a. B.c>a>b.C.a>b>c. D.b>c>a. ( ) 7.若a<0,b>0,且|a|<|b|,那么下列式子中结果是正数的是 ( )

A.(a-b)(ab+a). B.(a+b)(a-b).C.(a+b)(ab+a). D.(ab-b)(a+b). 8.从2a+5b减去4a-4b的一半,应当得到( ) A.4a-b. B.b-a.C.a-9b. D.7b. ( ) 9.a,b,c,m都是有理数,并且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c

A.互为相反数. B.互为倒数. C.互为负倒数. D.相等. 10.张梅写出了五个有理数,前三个有理数的平均值为15,后两个有理数的平均值是 10,那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( )

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A.5; B.8

1 ; 3

C.12

1 ; 2

D.13.

二、填空题(每题1分,共10分) 1. 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______. 2.

(?2) ? 5 ? (?8) ? (?12) =_________________. (?3) ? 4 ? (?15)

3.

1 [(?1)19 ? (?1)92 ? (?1)3 ? (?1) 22 ] =_________________. 2

4.若P=a2 +3ab+b2 ,Q=a2 -3ab+b2 ,则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中,化简后,是 ______. 5.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992) 6.六个单项式15a2 ,xy,
1990

]}=_______________.

2 2 3 3a 2 b a b ,0.11m3 ,-abc,的数字系数之和等于 3 4

_____________. 7.小华写出四个有理数,其中每三数之和分别为2,17,-1,-3,那么小华写出的四 个有理数的乘积等于______. 8.一种小麦磨成面粉后,重量要减少15%,为了得到4250公斤面粉,至少需要______ 公斤的小麦. 9.满足

2 ? x 2x ? 1 ? 的x值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于______. 2 3

10.在下图所示的每个小方格中都填入一个整数:

并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则 答案与提示 一、选择题

x? y?z =__________. xyz

1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A 8.D 9.A 10.D 提示:

故选D. 2.依同类项的定义,选B. 3.(x-1)-(1-x)+(x+1)

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=x-1-1+x+x+1=3x-1,选C. 4.多项式x +x与-x +x 之和为x +x是个次数低于10次的多项式,因此排除了A、B、

C, 选D. 5.由a+1<0,知a<-1,所以-a>1.于是由小到大的排列次序应是a<-1<1<-a, 选A. 6.易见a=-123.4+123.5=0.1,b=123.4-123.5<0,c=123.4-(-123.5)>123.4>a, 所以b<a<c,选B. 7.因为a<0,b>0.所以|a|=-a,|b|=b.由于|a|<|b|得-a<b,因此a+b>0,a-b <0.ab+a<0,ab-b<0.所以应有(a-b)(ab+a)>0成立,选A. =2a+5b-2a+2b=7b,选D. 9.因为a+2b+3c=m=a+b+2c,所以b+c=0,即b,c互为相反数,选A. 10.前三个数之和=1533, 后两个数之和=1032. 所以五个有理数的平均数为
10 10 2 2

二、填空题

提示: 1.前12个数,每四个一组,每组之和都是0.所以总和为14+15=29.

4.因为P-[Q-2P-(-P-Q)] =P-Q+2P+(-P-Q) =P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q) 2 2 2 2 以P=a +3ab+b ,Q=a -3ab+b 代入, 原式=2(P-Q)=2[(a2 +3ab+b2 )-(a2 -3ab+b2 )] =2(6ab)=12ab.

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点点文化

6.六个单项式的系数依次为:

7.小华写四个有理数之和为

分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3,-12,6,8.所以,这四个有理数 的乘积=33(-12)3638=-1728. 8.设需要x公斤小麦,根据题意,得

解方程,得x=5000. 答:需要5000公斤小麦.

去分母,得3(2+x)≥2(2x-1) 去括号,得6+3x≥4x-2 移项,得3x-4x≥-2-6 合并同类项-x≥-8 于是x≤8. 其中绝对值不超过11的整数之和为(-9)+(-10)+(-11)=-30. 10.容易断定与x相邻的两个数分别为9与2,即

因为9+x+2=5,则x=-6,依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,分别确定出每个 格子中所填之数如下:

断定y=-6,z=9.所以

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希望杯第三届(1992 年)初中一年级第二试试题
一、选择题(每题1分,共10分) 1.若8.0473 =521.077119823,则0.80473 等于 ( )

A.0.521077119823.B.52.1077119823.C.571077.119823.D.0.00521077119823. 2.若一个数的立方小于这个数的相反数,那么这个数是 A.正数. B.负数.C.奇数. D.偶数. ) D.a>b>-a>-b. ( )

3.若a>0,b<0且a<|b|,则下列关系式中正确的是 ( A.-b>a>-a>b.

B.b>a>-b>-a.C.-b>a>b>-a.

4.在1992个自然数:1,2,3,?,1991,1992的每一个数前面任意添上“+”号或 “-”号,则其代数和一定是 A.奇数. ( ) D.非负整数.

B.偶数.C.负整数.

5.某同学求出1991个有理数的平均数后,粗心地把这个平均数和原来的1991个有理 数混在一起,成为1992个有理数,而忘掉哪个是平均数了.如果这1992个有理数的平均数 恰为1992.则原来的1991个有理数的平均数是 A.1991.5. B.1991.C.1992. ( )

D.1992.5. )

6. 四个互不相等的正数a, c, b, d中, a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是( A.a+d<b+c. B.a+d>b+c.C.a+d=b+c. D.不确定的. )

7.已知p为偶数,q为奇数,方程组 ?


? x ? 1992 y ? p 的解是整数,那么( ?1993x ? 3 y ? q

A.x是奇数,y是偶数.B.x是偶数,y是奇数. C.x是偶数,y是偶数.D.x是奇数,y是奇数. 8.若x-y=2,x2 +y2 =4,则x1992 +y1992 的值是 ( A.4. B.19922 .C.21992 . D.41992 . )

9.如果x,y只能取0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的数,并且3x-2y=1,那么代数 式10x+y可以取到( A.1个. )不同的值. D.多于3个的.

B.2个.C.3个.

10.某中学科技楼窗户设计如图15所示.如果每个符号(窗户形状)代表一个阿拉伯
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点点文化
数码,每横行三个符号自左至右看成一个三位数.这四层组成四个三位数,它们是837, 571,206,439.则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的( )

二、填空题(每题1分,共10分) 1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且

a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 ? , ? , ? , ? , ? ,则 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6

f =_____. a
2.若三个连续偶数的和等于1992.则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方 差等于______. 3.若x3 +y3 =1000,且x2 y-xy2 =-496,则(x3 -y3 )+(4xy2 -2x2 y)-2(xy2 -y3 )=______. 4. 三个互不相等的有理数, 既可表示为1, a+b,a的形式,又可表示为0, 则a1992 +b1993 =________. 5.海滩上有一堆核桃.第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的 去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的 ____个. 6.已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1,2,3.那么a的取值范围是______. 7.a,b,c是三个不同的自然数,两两互质.已知它们任意两个之和都能被第三个整 除.则a +b +c =______. 8.若a=1990,b=1991,c=1992,则a +b +c -ab-bc-ca=______. 9.将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11这个10个自然数填到图 17中10个格子里,每个格子中只填一个数,使得田字形的4个格子中 所填数字之和都等于p.则p的最大值是______. 10.购买五种教学用具A1 ,A2 ,A3,A4,A5 的件数和用钱总数列成
2 2 2 3 3 3

b ,b, 的形式, a

2 ,又扔掉4个到大海中 5

5 ,那么这堆核桃至少剩下 8

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点点文化
下表:

那么,购买每种教具各一件共需______元. 三、解答题(每题5分,共10分) 1.将分别写有数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张正方形卡片排成一排,发现恰 是一个能被11整除的最大的九位数.请你写出这九张卡片的排列顺序,并简述推理过程. 2.一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我 们称a是一个“希望数”. (1)请你举例说明:“希望数”一定存在. (2)请你证明:如果a,b都是“希望数”,则ab一定是729的倍数. 答案与提示 一、选择题 1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 9.C 10.D 提示:

所以将8.047 =512.077119823的小数点向前移三位得0.

512077119823,即为0.8047 的值,选A. 2.设该数为a,由题意-a为a的相反数,且有a3 <-a, ∴a +a<0,a(a +1)<0, 因为a2 +1>0,所以a<0,即该数一定是负数,选B.
3 2

3

3

3.已知a>0,b<0,a<|b|.在数轴上直观表示出来,b到原点的距离大于a到原点 的距离,如图18所示.所以-b>a>-a>b,选A. 4.由于两个整数a,b前面任意添加“+”号或“-”号,其代数和的奇偶性不变.这 个性质对n个整数也是正确的.因此,
32

点点文化
1,2,3?,1991,1992,的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号,其代数和的 奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-1991+1992=996的奇偶性相同,是偶数,所以选B. 5. 原来1991个数的平均数为m, 则这个1991个数总和为m31991. 当m混入以后, 那1992 个数之和为m31991+m,其平均数是1992, ∴m=1992,选C. 6.在四个互不相等的正数a,b,c,d中,a最大,d最小,因此有a>b,a>c,a>d, b>d,c>d.

所以a+b>b+c,成立,选B. 7.由方程组

以及p为偶数,q为奇数,其解x,y又是整数. 由①可知x为偶数,由②可知y是奇数,选B. 8.由x-y=2
2


2

平方得x -2xy+y =4 又已知x +y =4
2 2





所以x,y中至少有一个为0,但x2 +y2 =4.因此,x,y中只能有一个为0,另一个为2或 -2.无论哪种情况,都有 x
1992

+y

1992

=0

1992

+(±2)

1992

=2

1992

,选C.

9.设10x+y=a,又3x-2y=1,代入前式得

由于x,y取0—9的整数,10x+y=a的a值取非负整数.由(*)式知,要a为非负整数,23x 必为奇数,从而x必取奇数1,3,5,7,9.

33

点点文化

三个奇数值,y相应地取1,4,7这三个值.这时,a=10x+y可以取到三个不同的值11, 34和57,选C. 二、填空题

提示:

与666,所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于 6662 -6622 =(666+662)(666-662)=132834=5312. 3.由于x3 +y3 =1000,且x2 y-xy2 =-496,因此要把(x3 -y3 )+(4xy2 -2x2 y)-2(xy2 -y3 )分组、 凑项表示为含x3 +y3 及x2 y-xy2 的形式,以便代入求值,为此有 (x3 -y3 )+(4xy2 -2x2 y)-2(xy2 -y3 )=x3 +y3 +2xy2 -2x2 y=(x3 +y3 )-2(x2 y-xy2 )=1000-2(-496)=19 92. 4.由于三个互不相等的有理数,既可表示为1,

下,只能是b=1.于是a=-1.
34

点点文化
所以,a1992 +b1993 =(-1)1992 +(1)1993 =1+1=2. 5.设这堆核桃共x个.依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目(正整数),即

目标是求m的最小正整数值.

可知,必须20|x即x=20,40,60,80,??

m为正整数,可见这堆核桃至少剩下6个.

由于x取整数解1、2、3,表明x不小于3, 即9≤a<12.

可被第三个整除,应有b|a+c.

∴b≥2,但b|2,只能是b=2. 于是c=1,a=3.因此a3 +b3 +c3 =33 +23 +13 =27+8+1=36. 8.因为a=1990,b=1991,c=1992,所以 a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca
35


点文化

9.将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11填入这10个格子中,按田字格4个数之和均等 于p,其总和为3p,其中居中2个格子所填之数设为x与y,则x、y均被加了两次,所以这3 个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y. 要p最大,必须x,y最大,由于x+y≤10+11=21. 所以3p=65+x+y≤65+21=86.

所以p取最大整数值应为28. 事实上,如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立. 所以p的最大值是28. 10.设A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,A5 的单价分别为x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 元. 则依题意列得关系式如下:

③32-④式得 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 =231992-2984=1000. 所以购买每种教具各一件共需1000元. 三、解答题 1.解①(逻辑推理解) 我们知道,用1,2,3,4,5,6,7,8,9排成的最大九位数是987654321.但这个数 不是11倍的数,所以应适当调整,寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数.
36

点点文化
设奇位数字之和为x,偶位数字之和为y. 则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. 由被11整除的判别法知 x-y=0,11,22,33或44. 但x+y与x-y奇偶性相同,而x+y=45是奇数,所以x-y也只能取奇数值11或33. 于是有

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10>6.所以(Ⅱ)的解不合题意,应该排 除,由此只能取x=28,y=17. 987654321的奇位数字和为25,偶位数字和为20,所以必须调整数字,使奇位和增3, 偶位和减3才行。为此调整最后四位数码,排成987652413即为所求. 解②(观察计算法) 987654321被11除余5.因此,987654316是被11整除而最接近987654321的九位数.但 987654316并不是由1,2,3,4,5,6,7,8,9排成的,其中少数字2,多数字6.于是我 们由987654316开始,每次减去11,直到遇到恰由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组 成的九位数为止.其过程是 987654316→987654305→987654294→987654283 →987654272→987654261→987654250→987654239 →987654228→987654217→987654206→987654195 →987654184→??→987652435→987652424 →987652413. 这其间要减去173次11, 最后得出一个恰由九个数码组成的九位数987652413, 为所求, 其最大性是显见的,这个方法虽然操作173次,但算量不繁,尚属解决本题的一种可行途 径,有一位参赛学生用到了此法,所以我们整理出来供大家参考. 2.(1)答:由于428571=33142857,所以428571是一个“希望数”.

37

点点文化
说明:一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍, 我们称a是一个“希望数”.这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解 定义的能力,并能举例说明被定义的对象存在.在一位数、二位数、三位数中找不到“希 望数”.而在四位数

中很容易找到实例. 如:3105=331035,所以3105是个“希望数”; 或:7425=332475,所以7425是个“希望数”; 或:857142=33285714,所以857142是个“希望数”; 以下我们再列举几个同学们举的例子供参考,如: 37124568=3312374856 43721586=3314573862 692307=33230769 461538=33153846 705213=33235071 8579142=332859714 594712368=33198237456 37421568=3312473856 341172=33113724. 可见37124568, 43721586, 592307, 461538, 705213, 8579142, 594712368, 37421568, 341172都是希望数,事实上用3105是希望数,可知31053105也是“希望数”,只要这样排 下去,可以排出无穷多个“希望数”.因此,“希望数”有无穷多个. (2)由a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自 然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和. 由a=3p和a为3的倍数.

因此a被9整除.

38

点点文化

于是a是27的倍数. 这样就证明了,“希望数”一定能被27整除. 现已知a,b都是“希望数”,所以a,b都是27的倍数. 即a=27n1 ,b=27n2 (n1 ,n2 为正整数). 所以ab=(27n1 )(27n2 ) =(27327)(n1 3n2 ) =729n1 n2 . 所以ab一定是729的倍数.

希望杯第四届(1993 年)初中一年级第一试试题
一、选择题:(每题1分,共15分) 1.若a是有理数,则 m ?

1 2 3 4 5 ? ? ? ? 一定不是( a a a a a

)

A.正整数. B.负整数.C.负分数. D.零. 2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于 ( A.-1995. B.1991.C.1995. D.1993. )
2

)

3.若a<b,则(a-b)|a-b|等于 (
2 2 2 2 2

A.(a-b) . B.b -a .C.a -b . D.-(a-b) . 4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+

1 =0,则必有( b
C.a2n + ? ? =0;

)

A.an + ? ? =0;

?1? ?b?

2n

B.a2n + ? ?

?1? ?b?

2 n ?1

=0;

?1? ?b?

3n

D.a2n+1 + ? ? )

?1? ?b?

2 n ?1

=0.

5.如果有理数a,b满足 A. a与b的和是0. C.a与b的积是负数.

1 1 ? =0,则下列说法中不正确的一个是( a b
B.a与b的差是正数. D.a除以b,得到的商是-1.

39

点点文化
6.甲的6张卡片上分别写有-4,-1,-2.5,-0.01,-3 -5,-1,0.1,-0.001,-8,-12 的值等于( )

3 ,-15,乙的6张卡片上分别写有 4


1 ,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的 2
B.0.C.0.1. D.800. ( )

a b

A.1250.

7.a是有理数,则在下列说法中正确的一个是 A.-a是负数. 8.2 2

B.a 是正数.C.-|a |是负数. )

D.(a-1993) +0.001是正数.

2

191919 190190 19001900 ? ? 的值等于( 939393 930930 93009300 19 1 A.-3; B.; C.-1; .D.- . 31 3
)

9.在下列条件中,能使ab<b成立的是(

A.b>0,a>0.B.b<0,a<0.C.b>0,a<0.D.b<0,a=0. 10.若a= ? 关系是 (

? ?3.14 ? ? 2.14 ? ? 1.14 ? ? ? 3.12 ,b= ? ? ? 2.12 ,c= ? ? ? (?1.1

2) ,则a,b,c的大小 ? 3.13 ? ? ?2.13 ? ? 1.13 ?
) A.a>b>c. B.a>c>b.C.b>c>a. ( ) D.c>b>a.

11.有理数a、b小于零,并且使(a-b)3 <0,则 A.

1 1 ? ; a b

B.-a<-b;

C.丨a丨>丨b丨;

D.a2 >b4 . )

12. M表示a与b的和的平方, N表示a与b的平方的和, 则当a=7, b=-5时, M-N的值为 ( A.-28. B.70.C.42. D.0.

13.有理数

1 11 , ,8恰是下列三个方程的根: 2 5 2 x ? 1 10 x ? 1 2 x ? 1 ? ? ? 1 ,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3), 3 12 4
)

x z 1? 1 ? 2 ? z ? 2 ( z ? 1) ? ? 3 ( z ? 1) ,则 y ? x 的值为 ( 2? ?
A.-

171 ; 40

B.-

347 ; 80

C.

71 142 ; D. . 55 220

14.图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图.图中填入的所有数的总和等于 ( ) A.126. B.127.C.128. D.129. )

15.在自然数:1,2,3,4,5,?中,前15个质数之和的负倒数等于(

40

点点文化
A.-

1 1 1 1 ; B.; C.; D.. 328 329 337 340

二、填空题(每题1分,共15分) 1.若a>0,在-a与a之间恰有1993个整数,则a的取值范围是______. 2.如果相邻的两个正整数的平方差等于999,则这两个正整数的积等于______. 3.

(?1)(?2) ? (?3)(?4) ? (?5)(?6) ? (?7)(?8) =_________. (?1)(?2) ? (?2)(?3) ? (?3)(?4) ? (?4)(?5)

4.一辆公共汽车由起点站到终点站(这两站在内)共途经8个车站。已知前6个车站 共上车100人,除终点站外前面各站共下车80人,则从前6站上车而在终点站下车的乘客共 有______. 5.(32 -22 )2 +(42 -32 )2 +(52 -42 )2 +(62 -52 )2 =______. 6.在多项式1993um vn +3xm yn +u3m v2n -4xn-1 y2m-4 (其中m,n为正整数)中,恰有两项是同类 项,则m2n=______. 7.若a,b,c,d为整数,(a2 +b2 )(c2 +d2 )=1993,则a2 +b2 +c2 +d2 =______. 8.方程

1 ?1 ?1 ? 1 ? ? ? ? ? ? x ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? 1993 的根是x=____________. 2 ?2 ?2 ? 2 ? ? ?
? 19 ? ? 9393 ? ???? ? =______. ? 93 ? ? 1919 ?

9.(-1)÷ ? ?

10.甲、乙两个火车站相距189公里,一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同 时出发,相向而行,经过1.5小时,两车相遇,又相距21公里,若快车比慢车每小时多行 12公里,则慢车每小时行______公里. 11.在等式y=kx+b中,当x=0时,y=2;当x=3时,y=3,则

b2 =______. k

12.满足不等式

2 ? x 2x ? 1 ? 的所有非负整数的乘积等于_______. 2 3

13.有理数a,b,c,d使

abcd abcd

=-1,则

a a

?

b b

?

c c

?

d d

的最大值是_______.

14.△ABC是等边三角形,表示其边长的代数式均已在

41

点点文化
? x 2 ? y 2 ? 27 ? 1 =_________. 图23中标出,则 ? 2 2 ? ? x ? 2 y ? 40
15.有人问一位老师:他教的班有多少学生.老师说:“一半学生在学数学,四分之 一的学生在学

音乐,七分之一的学生在念外语,还剩不足六位学生正在操场踢足球.”则 这个“特长班”共有学生______人. 答案与提示 一、选择题 1.D 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A 13.B 1 4.B 15.A 提示:

若a=1,m=3排除A,若a=-1,m=-3排除B.

= =1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995,选C. 3.因a<b所以a-b<0,此时|a-b|=b-a. 所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2 ,选D.

的是B.

42

点点文化

7.当a=0,显然A,B,C,均不正确,应排除,所以选D.事确上,对任意有理数a, 都有(a-1993)2 ≥0,所以(a-1993)2 +0.001>0是正数.

9.b=1>0,a=2>0,ab=231=2>1=b,排除A;a<0,b<0,ab>0>b,排除B;a=0, b<0,ab=0>b排除D,因此选择C. 10.容易看出a,b,c均为负数,我们看|a|,

11.由(a-b) <0,得出a-b<0.即a<b. ∵a,b<0,∴|a|<|b|,选C. 12.M=(a+b)2 ,N=a+b2 . M-N=(a+b) -(a+b )=a +2ab+b -a-b =a +2ab-a.
2 2 2 2 2 2

3

43

点点文化

14.第1行只有1=20 ,第2行1+1=2=21 , 第3行1+2+1=4=22 ,第4行1+3+3+1=8=23 , 第5行1+4+6+4+1=16=2 , 第6行1+5+10+10+5+1=32=25 第7行1+6+15+20+15+6+1=64=26 . 图中填入所有数之和为1+2+4+8+16+32+64=127,选B. 二、填空题
4

提示: 1.在-a与a之间的整数为2n+1个.所以由2n+1=1993知,n=996,即996≤a<997. 2.相邻的两个正整数设为n与n+1,则由(n+1)2 -n2 =2n+1=999得n=499,n+1=500. 相邻的两个正整数的积为4993500=249500.

4.设第1站到第7站上车的乘客依次为a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7 .第2站到第8站下车 的乘客依次为b2 ,b3 ,b4,b5 ,b6 ,b7,b8 显然应有a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 +a7 =b2 +b3 +b4 +b5 +b6 +b7 +b8. 已知a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 =100,b2 +b3 +b4 +b5 +b6 +b7 =80.

表明从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人. 5.原式=52 +72 +92 +112 =276. 6.若1993um vn 与u3m v2n 为同类项.只能m=0且n=0.与已知条件不合,所以只能3xm yn 与 -4xn-1 y2m-4 为同类项.于是得m=n-1,n=2m-4.解得m=5,n=6,所以mn=30.
44

点点文化
7. 由于1993是质数, 2 +b2 , 2 +d2 是1993的约数, a c 只能a2 +b2 =1, 2 +d2 =1993, 2 +b2 =1993, c 或a c +d =1,所以a +b +c +d =1+1993=1994.
2 2 2 2 2 2

所有非负整数解的积=0.

14.由2x-8=x+6,解得x=14.所以正三角形边长为14+6=20.

45

点点文化
由3y+2=20,解得y=6,所以

15.设这个班共有学生x人.在操场踢足球的学生共a人,依条件,x,a都是自然数, 且1≤a<6. 根据题意列方程如下: 合并同类项,移项得 因为a,x均为自然数,(3,28)=1所以3|a. 但a只能取1,2,3,4,5这五个数,所以a=3.因此x=28. 答:这个班共有28名学生.

希望杯第四届(1993 年)初中一年级第二试试题
一、 1. 选择题:(每题1分,共10分) ) D

.-11909.

1 1 1 1 ? ? ? 的值是 ( 0.1 0.01 0.001 0.0001

A.-11110. B.-11101.C.-11090.

2. 一滴墨水洒在一个数轴上, 根据图24中标出的 数值,可以判定墨迹盖住的整数个数是( A.285. B.286.C.287. ) D.288.

3.a,b都是有理数,代数式a2 +b2 ,a2 -b2 ,(a-b)2 , (a+b)2 ,a2 b2 +1,a3 b+1,a2 +b2 +0.1,2a2 +3b4 +1中,其值为正的共有( A.3个. B.4个.C.5个. D.6个. )

4.a,b,c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( )

46

点点文化
A. ? a ?

? ?

1? ?1 1? ? (a ? c) ; B. ? ? ? (c ? a) ; C.(1-a)(c-b); D.ac(1-bc). b? ?b c?

5.19 +93 的末位数字是 ( A.2. B.4. C.6.

93

19

)

D.8.
3

6.今天是4月18日,是星期日,从今天算起第1993 天之后的那一天是 A.星期五. B.星期六.C.星期日. D.星期一.

(

)

7.n为正整数,302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值.则r的最大值与最小值的 和是 ( ) A.148. B.247.C.93. D.122. ( )

8.绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 A.0. B.-32.C.33. D.-33.

9.x是正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3.即不超过5.1的质数有2,3, 5共3个.那么<<19>+<93>+<4>3<1>3<8>>的值是( A.12. B.11.C.10. D.9. )

10.如图26是一个长为a,宽为b的矩形.两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形 对边上的平行四边形.则矩形中未涂阴影部分的面积为( )

A.ab-(a+b)c.B.ab-(a-b)c. C.(a-c)(b-c).D.(a-c)(b+c). 二、填空题(每题1分,共10分) 1.在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数.在1993.4与它的相反数之间共有b个整 数,在-

1 与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________. 1993.4

2.设a=1÷2÷3÷4,b=1÷(2÷3÷4),c=1÷(2÷3)÷4,d=1÷2÷(3÷4),则(b÷ a)÷(c÷d)=______. 3.两个同样的大小的正方体形状的积木.每个正方形上相对的两个面上写的数之和 都v 等于-1,现将两个正方体并列放置.看得见的五个面上的数字如图27所示,则看不见 的七个面上的数的和等于______.

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? 7 ?? 7 ?? 7 ?? 7 ?? 7 ?? 7 ? ? 7 ?? 7 ?? 7 ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ? ? 1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ? ? ? 7 ?? 8 ?? 9 ? 4.计算: ? 9 ?? 9 ?? 9 ?? 9 ?? 9 ? ? 9 ?? 9 ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ? ? 6 ?? 7 ?
=__________. 5. abcde 是一个五位自然数,其中a,b,c,d,e为阿拉伯数码,且a<b<c<d,则 |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______. 6.连续的1993个自然数之和恰

是一个完全平方数.则这1993个连续自然数中最大的 那个数的最小值是______. 7.某次竞赛满分为100分,有六个学生的得分彼此不等,依次按高分到低分排列名 次. 他们六个人的平均分为91分, 第六名的得分是65分. 则第三名的得分至少是______分. 8.计算:

199319922 =________. 199319912 ? 199319932 ? 2
2 2 2 2

9.若a,b,c,d为非负整数.且(a +b )(c +d )=1993.则a+b+c+d=______. 10.有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇.平均每个采得蘑菇的个数约是一个十 位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的 蘑菇,则丁采蘑菇______ 个. 三、解答题(在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果.每题5分,共10分) 1. 如图28,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小 正方形的边长已标出字母x,y,z).试求满足上述条件的矩形的面积最小值.

4 3 ,乙采的数量是丙的 倍,丁比甲多采了3个 5 2

2.你能找到三个整数a,b,c,使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成 立吗?如果能找到,请举一例,如果找不到,请说明理由.

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答案与提示 一、选择题 1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 提示: =10-100-1000-10000=-11090.选C. 2.在-109.2与-11.9之间最小整数是-109,最大整数是-12.共计包含 (-12)-(-109)+1=98个整数.在10.5与199.5之间包含最小整数是11,最大整数是199.共 计包含199-11+1=189个整数.因此墨水共盖住98+189=287个整数.选C. 3.当a=b=0时,a2 +b2 ,a2 -b2 ,(a-b)2 ,(a+b)2 取值为0,而当a=-1,b=1时a3 b+1=0.因 此对任意有理数a,b其值为正的只有a2 b2 +1,a2 +b2 +0.1,2a2 +3b4 +1,共3个选A.

ac(1-bc)<0,所以选A. 5.1993 =194323+1 ,9319 =93434+3 所以1993 与191 的末位数相同是9、9319 与933 末位数字相同是7.因此1993 +9310 末位数字是 9+7=16的末位数字6,选C. 6.19933 =(28437+5)3 =(28437)3 +33(28737)2 35+3(28737)352 +125. 所以19933 被7除的余数与125被7除的余数相同,125=737+6.所以19933 被7除余数为 6.从4月18日星期日数起,每到第十天就是星期六,如4月24日是星期六,因此19933 -6恰 是星期六,再往后数6天,19933 天是星期五.而19933 天之后的那一天应是星期六,选B. 7.n(n+1)为偶数.设302被n(n+1)除商q余r,则302=n(n+1)q+r知,r为偶数.显然B、 C均应排除.由除数n(n+1)只能取6,12,20,30,42,56,72,90,110,132,156,182, 210,240,272这些值,计算得相应的余数中最小的正值为2,最大正值为146.所以r的正 的最小值与最大值的和是148.选A. 8.即求-100与100之间被3除余1的整数之和,在0到100之间被3除余1的整数是1,4, 7,?91,94,97共计33个.在-100到0之间被3

除余1的整数是-98,-95,-92,-89,?-8,

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-5,-2.共33个其总和为-33.选D. 9.<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过93 的质数,共24个,易知<1>=0.所以<<19>+<93>+<4>3<1>3 <8>>=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11,选B. 10.解①大矩形面积为ab,两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc.重叠部分面积为 c2 ,所以未涂阴影部分面积为ab-ac-bc+c2 =(a-c)(b-c),选C. 解②将阴影部分等积变形如图29,两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c2 ) 均未改变.易见,未涂阴影部分面积为空白矩形的面积,是(a-c)(b-c),选C. 二、填空题

提示:

1994个整数,a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有231993+1=3987个整数,

3987=1=5982.

3.由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1.所以每个正方体六个面上写的 数之和等于-3.两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6.而五个看得见的面上的数之

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和是1+2+3+4+5=15.因此,看不见的七个面上所写数的和等于 (-6)-15=-21.

5.若a<b<c<d≤e时 |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a.当e=9,a=1时取最大值 为8. 若a<b<c<d,且d>e时. |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e.当d=9,a=1,e=0时, 取最大值17.所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17. 6.设这连续的1993个自然数为 x-996,x-995,?,x-1,x,x+1,x+2,?,x+995,x+996.显然.x-996≥1,即x ≥997.这1993个连续自然数之和设为σ . 则σ =1993x,要求σ 为完全平方数,而1993又是质数,x的最小值为1993.此时,1993 个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989,即当σ 为完全平方数时,1993个连 续自然数中最大的那个数的最小值是2989. 7.设六个人的成绩依次为x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 .则65=x6 <x5 <x4 <x3 <x2 <x1 ≤100.

∴x1 +x2 +x3 +x4 +x5 =546-65=481. 要使x3 最小,必须x1,x2 尽可能大,x4 ,x5 尽可能接近x3 ,所以当x1 =100,x2 =99,x4 =x3 -1, x5 =x3 -2时,x3 取最小值,即100+99+x3 +(x3 -1)+(x3 -2)=481. 3x3 =481-100-99+3=285.x3 =95. 答:第三名的得分至少是95分.

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9.因为1993是质数,a +b 与c +d 都是正整数,所以a +b 与c +d 分别取值1与1993(参 见第一试填空第7题解答).为确定起见;,不妨设a2 +b2 =1,c2 +d2 =1993. (1)a +b =1.推知a=0,b=1或a=1,b=0,因此a+b=1. (2)c +d =1993. 若c≤31,d≤31,则c +d ≤2331 =23961=1922<1993.所以c,d中至少有一个大于 31.又由于44 =1936<1993,故设c为c,d中较大的一个,则32≤c≤44. 我们依次取c=44,43,42,41,?,33,32试算如下:
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

其中1933-c2 的结果中,只有144=122 为完全平方

数,即432 +122 =1993,所以c=43,d=12 或c=12,d=43.因此,c+d=55. 所以a+b+c+d=1+55=66.

一个近似为首位的是3的两位整数.因此,由近似数的表示有

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23.5?≤x≤31.5? 因x是整数,x只能从24,25,26,27,28,29,30,31中选取.

因此只能有x=30,即丙采30个蘑菇. 此时,乙采45个蘑菇,甲采36个蘑菇,因此丁采39个蘑菇. 舍五入,约为38是个十位数是3的两位 数. 三、解答题 1.如图30已有三个小正方形的边长为x,y,z,我们通过x,y,z表示其余正方形的 边长依次填在每个正方形中, 它们是x+y, x+2y, x+3y, 4y, x+7y, 2x+y, 2x+y+z, 4x+4y-z, 4x+4y-2x,及5x-2y+z.因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z 化简上述的两个方程得到z=13y-4x,4z=2x+3y.消去z得18x=49y. 因为18与49互质,所以x、y的最小自然数解是x=49,y=18,此时z=38. 以x=49,y=18,z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z,得长、宽分别为593 和422.此时得最小面积值是5933422=250246. 2.答:找不到满足条件的三个整数理由如下: 如果存在整数a,b,c,使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立. 因为3388是偶数,则左边四个因子中至少有一个是偶数. 不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数. 同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数.b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数. 因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除,而3388不能被16整除,得出矛盾. 故不存在三个整数a,b,c满足关系式

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(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388.

希望杯第五届(1994 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每题3分,共30分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的. 1.-│-a│是 ( ) D.0. )

A.正数 B.负数. C.非正数

2.在下面的数轴上(图1),表示数(?2)?(?5)的点是( A.M 3. B.N. C.P D.Q 的值的负倒数是( )

1? 9 ? 9 ? 4 1? 9 ? 9 ? 4

A.4

1 3 ; B.; C.1; D.-1. 3 13
)

4. ?

? 3 1? ? 4 1? ?5 1? ?6 1? ?7 1? ?8 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =( ? 4 5 ? ? 5 6 ? ? 6 7 ? ? 7 8 ? ? 8 9 ? ? 9 10 ?
B.5.65. C.6.05 ) D.108 D.5.85

A.5.5

5.-4332 -(-433)2 =( A.0 B.72. C.180

6. x的

4 1 与 的差是( ) 5 3 4 1 4 1 4 1 5 A. x ? x ; B. x ? ; C. ( x ? ) ; D. x ? 3 . 5 3 5 3 5 3 4
)

7.n是整数,那么被3整除并且商恰为n的那个数是( A.

n ; B.n+3; C.3n; D.n3 . 3
)

8.如果x∶y=3∶2并且x+3y=27,则x,y中较小的是( A.3 B.6. C.9 D.12 )

9. 200 角的余角的

1 等于( 14

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? 3? ? 3? ? 6? 0 A. ?1 ? ; B. ?11 ? ; C. ? 7 ? ; D.5 . ? 7? ? 7? ? 7?
10. A.1

0

0

0

1 ? 1? ? (?7) ? ? ? ? ? 7 =( 7 ? 7?
B.49. C.7 D.7

)

二、A组填

空题(每题3分,共30分) 1.绝对值比2大并且比6小的整数共有______个. 2.在一次英语考试中,某八位同学的成绩分别是93,99,89,91,87,81,100,95,则他 们的平均分数是______. 3.| | | |1992-1993|-1994|-1995|-1996|=______. 4.数:-1.1,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最大的一个数与最小的一个数的比 值是______. 5.

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? =________. 1001 1000 1002 1001 1002 1000

6. 在自然数中, 从小到大地数, 第15个质数是N,N的数字和是a, 数字积是b,则 的值是__________.

a 2 ? b2 N

7.一年定期储蓄存款,月利率是0.945%.现在存入100元,则明年的今日可取得本金 与利息共______元. 8.若方程19x-a=0的根为19-a,则a=______. 9.当丨x丨=x+2时,19x94 +3x+27的值是__________. 10.下面有一个加法竖式,其中每个□盖着一个数码,则被□盖住的七个数码之和等 于______. 三、B组填空题(每题4分,共40分) 1.已知a,b是互为相反数,c,d是互为负倒数,x的绝对值等于它的相反数的2倍,则 x3 +abcdx+a-bcd的值是______. 2.1992319941994-1994319931993=___.

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按上表中的要求,填在空格中的十个数的乘积是_______. 4.在数码两两不等的所有的五位数中,最大的减去最小的,所得的差是______. 5.已知N=19923199331994+19933199431995+19943199531996+1995319963 1997,则N的末位数字是______. 6.要将含盐15%的盐水20千克,变为含盐20%的盐水,需要加入纯盐______千克. 7.一次考试共需做20个小题,做对一个得8分,做错一个减5分, 不做的得0分.某学生共得13分.那么这个学生没有做的题目有______个. 8.如图2.将面积为a 的小正方形与面积为b 的大正 方形放在一起(a>0,b>0).则三角形ABC的面积是_______. 9.在1到100这一百个自然数中任取其中的n个数.要使这几个数中至少有一个合数, 则n至少是______. 10.如图3,是某个公园ABCDEF,M为AB的中点,N为CD的中点, P为DE的中点,Q为FA的中点,其中游览区APEQ与BNDM的面积和 是900平方米,中间的湖水面积为361平方米,其余的部分是草地, 则草地的总面积是______平方米.
2 2

答案2提示

一、选择题 提示 1.若a=0,则?-│-a│=0,排除(A),(B). 若a≠0,-│-a│≠0,排除(D). 事实上对任意a,|-a|≥0,∴-|-a|≤0.即-|-a|为非正数. 2.(-2)-(-5)=-2+5=3.在数轴上对应的是点P.

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5.原式=-439-(-433)3(-433)=-36? (-12)3(-12)=-36-144=-180.

7.被3整除的商恰好为n的数是3n. 8.由x∶y=3∶2得x=1.5y,代入x+3y=27得4.5y=27,于是y=6,x=9,所以x,y中较小的那 个数是6.

二、A组填空题 提示: 1.绝对值比2大而比6小的整数共有?-5,-4,-3,3,4,5共6个.

3.|1992-1993|=1,||1992-1993|-1994|=1993. |||1992-1993|-1994|-1995|=|1993-

1995|=2. ∴||||1992-1993|-1994|-1995|-1996|=|2-1996|=1994. 4.数?-1.1,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最

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6.在自然数列中,质数由小到大依次排列是 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,??,第15个质数N=47,其数字和a=11,数 字积b=28,所以

7.本金100元,一年的利息是10030.945%312=11.34元 一年到期取的本金与利息之和是111.34元. 8.因为19-a是方程19x-a=0的根,所以19-a满足方程19x-a=0,即19(19-a)=0,解得 a=18.05. 9.由|x|=x+2,显然|x|≠x,只能|x|=-x. 得?-x=x+2,于是x=-1. 当x=-1时, 19x94 +3x+27|x=?1 =19(-1)94 +3(-1)+27=19-3+27=43. 10.显然,加数的百位数码都是9,千位数码也都是9,个位数码之和是14,和的千位 数码是1,所以被□盖住的数字之和等于1+9+9+9+9+14=51. 三、B组填空题 提示: 1.a,b互为相反数,所以a+b=0,c、d互为负倒数,所以cd=-1.x的绝对值等于它的相反 数的2倍,可得x=0. ∴x +abcdx+a-bcd=0+0+a-b(cd)=a+b=0. 2.1992319941994-1994319931993 =199231994310001-199431993310001 =19943100013(1992-1993) =?1994310001=-19941994
3

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所以按表中要求填入的十个数之积是五个-1相乘,其积为-1. 4.在五个数码两两彼此不等的五位数中,最大的一个是98765,最小的一个是10234, 它们的差是98765-10234=88531. 5.19923199331994的末位数字与23334的末位数字相同,等于4.容易看出其余三 个乘式中每一个都有因子2和因子5,所以19933199431995,19943199531996,19953 199631997的末位数字都是0.所以N的末位数字是4. 6.20千克盐水中含纯盐20315%千克,设加入x千克的纯盐后盐水浓度变为20%,则 20315%+x=(20+x)320%解得:x=1.25(千克). 7.设该生做对x个题,做错y个题,没做的是z个题,则 x+y+z=20,z=20-(x+y)=13+13y=13(1+y) 又8x-5y=13 ∴8(x+y)=8x+8y=13+13y=13(1+y) ∵(13,8)=1,∴13|(x+y).又0<x+y≤20 ∴x+y=13,z=20-13=7. 8.延长大、小正方形的边交成一个矩形(图4),其面积为(a+b)3b,△ABC的面积 等于这个矩形面积减去外围三个直角三角形的面积,即

9.在1?100这100个自然数中,容易数出来共有25个质数,不有1既不是质数也不是合 数,所以,在最坏的情况下,拿到这26个非合数之后,只要拿一个数,必然会出现一个合 数,因此要保证多少取出一个合数,必须至少取27个数,所以n至少是27. 10.连接AD、AE、DB(图5). 根据一个三角形的中线平分这个三角形的面积,可知: △EQA面积=△EQF面积
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△AEP面积=△ADP面积 △DBM面积=△DAM面积 △BND面积=△BNC面积 上述四个等式相加,可知:游览区APEQ与BNDM的面积之和恰等于△EQF、△BNC,四边形 APDM的面积之和.因此,草地和湖水的面积之和恰为900平方米,其中湖水面积为361平方 米,所以草地面积是900?361=539平

方米.

希望杯第 五届(1994 年)初中一年级第二试试题

一、选择题:(每题4分,共40分) 1.若a<0,b>0,且|a|<|b|,则a+b=[ A.|b|-|a| 2.在数 B.-|a|-|b| ] D.|a|+|b|

C.|a|-|b|

22 355 268 , ,3.1416, 中,最小的一个数是[ ] 7 113 85 22 355 268 A. ; B. ; C. ; D.3.1416. 7 113 85 1 3.a,b,c在数轴上的位置如图6.则在- ,-a,c-b,c+a中,最大的一个是[ a 1 A.-a; B.c-b; C.c+a; D.. a 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 1993 ? 1994 ? 1995 ? 1996 ? 1997 ? 4.若 ,则N=[ ] 5 N
A.1991 B.1993. C.1995 D.1997 5.a,b在数轴上的位置如图7. 则在a+b,b-2a,|a-b|,|b|-|a|中负数的个数是 [ A.1 B.2. C.3 D.4 [ ] ]

]

6.如果等式1992+1994+1996+1998=5000-□成立,则□中应当填的数是 A.5. B.-980 C.-1990 D.-2980

7.据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是 [ ] A.1 B.3. C.7 D.9
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8.在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数码后,使所得的数最大,则替换的数字是 [ ] A.1 B.4. C.2 D.8 ]

9.当-1<a<0时,则有[ A.

1 3 3 2 3 2 >a; B.丨a 丨>a ; C.-a>a ; D.a <-a . a

10.有如下三个结论: 甲:a,b,c中至少有两个互为相反数,则a+b+c=0. 乙:a,b,c中至少有两个互为相反数,则(a+b)2+(b+c)2+(c-a)2=0. 丙:a,b,c中至少有两个互为相反数,则(a+b)(b+c)(c+a)=0. 其中正确结论的个数是 [ A.0 .B.1. C.2. D.3 ]

二、填空题:(每题4分,共40分) 1.图8中,以点A,B,C,D,E,O为端点的线段有______条. 2.在1,2,3?,N这前N个自然数中,共有p个质数,q个合数,m个奇数,n个偶数,则 (p-m)+(q-n)=______. 4.一个六位数 2abcde 的3倍等于 abcde9 ,则这个六位数是_______________. 5.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3.他用十 个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2 件上衣,共需______工时. 6.若p,q都是质数,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则p2-q=______. 7.n是自然数,我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”,如1的指标数是1,27的指 标数是14,40的指标数为4,则1~99这九十九个自然数的指标数的和是______. 8.在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=20,则ab+bc+9b2=______. 9.我们用<x>表示不超过正数x的质数的个数,如<3.1>=2,<7>=4等等.那么式子<<48> 3<6.7>-<10.1>>=______. 10. 电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位到k1,第二步由k1向右跳 2个单位到k2,第三步由k向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4,?,按 以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.则电

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子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是______. 三、解答题:(每题10分,满分20分) 1.在矩形ABCD中,放入

六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图9所示. 试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)

2.(1)现有一个19°的“模板”(图10),请你设计一种办法,只用这个“模板”和 铅笔在纸上画出1°的角来. (2)现有一个17°的“模板”与铅笔,你能否在纸上面画出一个1°的角来? (3)用一个21°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来? 对(2)、(3)两问,如果能,请你简述画法步骤,如果不能,请你说明理由.

答案2提示 一、选择题 提示: 1.依有理数加法法则知,选(A).

3.由图6可见,-1<a<0,0<b<c<1. ∴-1<c+a<1.又c-b<1-0=1.

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5.由图7可见,a<0,b>0,|a|>|b|. ∴a+b<0,b-2a>0,|a-b|>0,|b|-|a|<0.选(B). 6.设□的数是x,则1992+1994+1996+1998=5000-x,即 ∴x=5000-7980=-2980.选(D). 7. n的末位数字对指数以4为周期而变化,21=2,22=4,23=8,24末位数是6. 2 一般地24k+1 末位数字为2,24k+2末位数字为4,24k+3末位数字为8,24k+4末位数字是6(其中k是非负 整数). 859433=21485834+1,2859433=243214858+1 ∴2859433末位数字为2. ∴2859433-1末位数字为1.选(A). 8.实际上是比较-0.3428(3换1)、-01328(3换4)、-0.1438(3换2)、-0.1423(3换8)哪 个最大,即比较0.3428、0.1328、0.1438、0.1423哪个最小.易知0.1328最小.所以 在-0.1428中用数字3换4,所得之数最大.选(B). 7980=5000-x

10.比如选a=5,b=-5,c=3,5,-5,3至少有两个互为相反数,但5+(-5)+3=3≠0.知(甲) 不真.[5+(-5)]2+(-5+3)2+(3-5)2=8≠0知(乙)不真.a,b,c三数中至少有两个互为相 反数, 比如至少a,b互为相反数, 即a+b=0,则有(a+b)(b+c)(c+a)=0, (丙)真. 所以(甲)、 (乙)、(丙)中只有丙是真命题.选(B). 二、填空题 提示: 1.共有13条不同的线段,AB,AC,BC,AE,EC,CD,BD,BO,OE,BE,AO,AD,OD.

63

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2.p+q=N-1,m+n=N.则(p-m)+(q-n)=p-m+q-n=(p+q)-(m+n)=(N-1)-N=-1. 3.因为个位是23个3的和2333=69的末位数是9,向十位进6. 十位是22个3之和2233=66,再加上个位进上来的6,得72,所以十位数是2,向百位进 7. 百位是21个3之和2133=63,再加上十位进上来的7,得70,所以百位数是0,向千位进 7.千位数是2033=60,再加上百位进上来的7,得67,所以千位数字为7. 所得四位数是7029.

这个六位数是285713. 5.设缝纫师做一件衬衣的时间为x,则一条裤子的时间为2x,做一件上衣用时为3x. 由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣,即2x+33(2x)+43(3x)=10(工时). 即20x=10(工时),则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需: 23(3x)+103(2x)+14x=40x=20(工时) 6.因为1为方程px+5q=97的根,所以p+5q=97.p与5q必有一个是奇数,另一个是偶数. 若p为奇数,5q为偶数,只能q为偶质数2,此时p=97-532=87=33

29,与p为质数的条 件不符.所以只能p为偶质数2,5q=95,q=19. ∴p2-q=4-19=-15. 7.1~9的指标数之和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 10~19的指标数之和为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46 20~29的指标数之和为23(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=2346 30~39的指标数之和为33(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=3346 40~49的指标数之和为43(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4346 50~59的指标数之和为53(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5346 60~69的指标数之和为63(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=6346 70~79的指标数之和为73(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=7346 80~89的指标数之和为83(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=8346 90~99的指标数之和为93(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=9346 所以1~99的指标数之和为45+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)346=45347=2115 8.以x=1,y=-2代入y=a2+bx+c得a+b+c=-2①

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以x=-1,y=20代入y=ax2+bx+c得a-b+c=20 ② ①-②,2b=-22,所以b=-11.因此a+c=9.于是 ab+bc+9b2=b(a+c)+9b2=(-11)3(9)+93112=990. 9.由定义知,<48>=15,<6.7>=3,<10.1>=4. ∴<<48>3<6.7>-<10.1>>=<1533-4>=<41>=13. 10.设k0点所对应的数为x,则 (x-1)+2-3+4-5+6-,?,-99+100=19.94即x+50=19.94 ∴x=-30.06. 三、解答题 1.解:设小长方形的长为x,宽为y,依图11可见, x+3y=14 ① x+y-2y=6,即x-y=6② ①-②得4y=8,y=2,代入②得x=8. 因此,大矩形ABCD的宽AD=6+2y=6+232=10. 矩形ABCD面积=14310=140(平方厘米). 阴影部分总面积=140-63238=44(平方厘米). 2.解:(1)在平面上取一点O,过O点画一条直线AOB,以19°模板顶点与O重合,一边 与OB射线重合,另一边落在射线OB1,仍以O为顶点,角一边重合于OB1,另一边落在射 线OB2,?,这样做出19个19°的角,其总和为361°,∠BOB19就是1°角. (2)利用17°角的模板,要画出1°的角,关键在于找到整数m和n,使得173m-1803 n=1. 事实上17353-18035=901-900=1.所以做法如下: 在平面上任取一点O,过O点画直线AOB,以OB为始边、O为顶点,反时针方向依次画53 个17°的角, 设最后的终边为OB53, 而53180°的终边在OA射线, 这时∠AOB53即为1° 的角. (3)若用21°的模板可以画出1°的角,则存在整数m,n,使得21°3m-180°3n=1°

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希望杯第 六届(1995 年)初中一年级第一试试题

一、选择题: 1.有理数A.19. 2.方程1-19x=

95 的值一定不是[ a ? 19
B.-19.C.0.

] D.1.

1 的根是[ ] 19 18 1 1 A.0; B. ; C. ; D. . 361 19 361
[ ] D.a3=-│a3│. [ ] A.a2=(-a)2. B.a3=(-a)3. C.a2=│a2│.

3.若a<0,则下列结论中不成立的是

4.下面的数轴上(图1),表示(-5)÷│-2│的值的点是 A.P. B.Q. C.M. D.N.

5.如果由四舍五入得到的近似数是35,那么在下列各数中不可能是真值的数是[ A.34.49. B.34.51.C.34.99. D.35.01. [ ]

]

6.如果a、b均为有理数,且b<0,则a,a-b,a+b的大小关系是

A.a<a+b<a-b.B.a

<a-b<a+b.C.a+b<a<a-b.D.a-b<a+b<a. 7.如图2,∠AOB=180°,OD是∠COB的平分线,OE是∠AOC的平分线,设∠DOB=a,则 与a的余角相等的角是 A.∠COD. [ ] D.∠COA. ]

B.∠COE.C.∠DOA.

8.在绝对值小于1000的整数中,完全平方数的个数是[ A.62. 9.计算: B.63. C.32. D.31.

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 =[ 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.8 ? 0.9 1 1 1 1 A. ; B.1 ; C.- ; D.-1 . 9 9 9 9

]

10.已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,若A+B+C=0,则C= [ A.5a2+3b2+2c2. B.5a2-3b2+4c2.C.3a2-3b2-2c2.

] D.3a2+b2+4c2.

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二、A组填空题 1.计算(-0.125)7282=_____. 2.计算(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)=_____. 3.由0.03096四舍五入精确到万分位得近似数的有效数字是_____. 4.a、b为有理数.则表中空格内应填的数是_____. 5.在下表所填的16个数中,最大的一个数是_____.

? 72 ? ? 30 ? =_______. 6.计算: ? ? ? ?? ? ? 13 ? ? 13 ?
7.若a被1995除,所得的余数是2,则-a被1995除,所得的余数是_____. 8.a、b、c在数轴上的位置如图3所示.则在 ____________. 9.如图4,O为圆心,半径OA=OB=r,∠AOB=90°,点M在OB上,OM=2MB,用r的式子表 示阴影部分的面积是_____. 10.如果a=-2,则在-3a,4a, 值最大的是________. 三、B组填空题 1. 在数轴上,点A、B分别表示有理数a、 b,原点O恰是AB的中点,则1995a3

2

2

1 1 1 , , 中,最大的是 a ?b c ?b a ?c

24 2 ,a ,1这五个数中, a

26 的值是_____. 3b

2.某次测验共20道选择题、答对一题记5分,答错一题记-2分,不答记0分,某同学得 48分,那么他答对的题目最多是_____个. 3.计算: (2 ? 3 ? 4 ? 5) ? ?

?1 1 1 1? ? ? ? ? =_______. ? 2 3 4 5?

4.ABCD和EBFG都是正方形,尺寸如图5所示,则阴影部分的面积是_____(cm2). 5.a与b是相邻的两个自然数,则a、b的最大公约数与最小公倍数之和等于_____.

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x ? 2y 的值是_____________. x? y

6.若丨x-y+3丨与丨x+y-1995丨互为相反数,则

7.120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于_____. 8.如图6给出的乘法竖式中,四个方块盖住的四个数字之和的最大值是_____.

答案2提示 一、选择题 提示:

5.由于34.51,34.99,35.01四舍五入的近似值都可能是35,而只有34.49不可能是真 值,选(A). 6.因为b<0,所以a+b<a<a-b,选(C). 7.∵∠AOC+∠COB=180° ,即 ∠COE+∠BOD=90°∠COE=90°-∠BOD=90°-a ∴选(B). 8.在绝对值小于1000的整数中,共计1999个整数,其中-1999,-1998,?,-2,-1, 这999个负整数都不能写成整数的平方。因此可以写成整数的平方的数只能在0,1,

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2,?,998,999这一千个整数中去找。0=

02,1=12 ,4=22,?,961=312。共计32个, 选(C).

10.∵A+B+C=0 ∴C=-A-B=-(a2+b2-c2)-(-4a2+2b2+3c2) =-a2-b2+c2+4a2-2b2-3c2=3a2-3b2-2c2.选(C).

二、A组填空题 提示: 1.(-0.125)7288=(-0.125)728728=(-0.12538)728=-8 2.(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66) =(-11)+22+33+44+55+66 =(-22)+(11+22+33+44+55+66) =(-22)+11(1+2+3+4+5+6) =(-22)+11321==(-22)+231=209 3.0.03096四舍五入精确到万分位所得近似值是0.0310,有效数字是3、1、0. 4.由表可见,a+b=-49,a-b=-97 解得a=-73,b=24

5.表中所填的数都是负数,应该以绝对值最小的其值最大,可按行比较. 第一行最大者为-1.1,第二行最大者为-1.001, 第三行最大都为-1.01,第四行最大都为-1.0101. 在-1.1、 -1.001、 -1.01、 -1.0101中最大者为-1.001, 所以全表16个数中最大者为-1.001

7.设a被1995除商q余2,则a=19953q+2-a=19953(-q)-2=19953(-q)-1995+1993 即 -a=19953[(-q)-1]+1993

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∴ -a被1995除的余数是1993.

8.由图3可见,0>c>b>a. 于是a-b<0,c-b>0,a-c<0.

所以a=-2时,所给五个单项式的值最大的是6. 三、B组填空题 提示: 1.在数轴上,有理数a与b对应的点A与B满足原点O是线段AB的中点。则a+b=0

2.设小明答对x题,答错y题,没答z题 则 x+y+z=20 5x-2y=48 ① ②

②+23①得7x+2z=88

4.从图5中观察易知,阴影的面积是正方形ABCD面积的一半,

5.a、b为两个相邻的自然数,它们的最大公约数为1,所以a、b的最小公倍数为ab. 因此,a、b这两个相邻自然数的最大公约数与最小公倍数之和等于ab+1.

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7.120的正约数共有1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120 计有16个,其中是合数但不是奇数的正约数有4,6,8,10,12,20,24,30,40,60, 120共11个,它们的和是4+6+8+10+12+20+24+30+40+60+120=334 8.设四个方块中所有数字为a,b,c,d, 即因乘积是两位数,所以断定a=1. 又由于乘数为5,所以d=0或5,即d的最大值是5,又b≤9,c≤d ∴a+b+c+d≤1+9+9+5=24 而事实上1+9+9+5=24,表明24是可达到的. 所以四个方块盖住的四个数字之和的最大值是24. 9.设步行所用时间为t小时,则乘汽车用1-t小时,依题意列方程如下: 363(1-t)+43t=28 答 解得 t=0.25

步行所用时间为0.25小时。

10.a,b,c均为整数,则a-b,c-a也为整数,│a-b│19,│c-a│95为两个非负整数, 其和为1 只能 或 │a-b│19=0,且│c-a│95=1 ② ①

│a-b│19=1且│c-a│95=0. a=b且c=a±1 │b-c│=│c-a│=1 c=a且a=b±1 │b-c│=│a-b│=1

由① 于是 由② 于是

无论①或②,都有 │a-b│+│c-a│=1且│b-c│=1 ∴ │c-a│+│a-b│+│b-c│=2

希望杯第 六届(1995 年)初中一年级第 二试试题

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一、选择题: 1.若y是正数,且x+y<0,则在下列结论中

,错误的一个是 A.x3y>0. B.x+│y│<0.C.│x│+y>0. [ ]

D.x-y2<0. ]

2.已知│a│=-a,则化简│a-1│-│a-2│所得的结果是 [ A.-1. B.1.C.2a-3. D.3-2a.

3.已知a=1995x+1994,b=1995x+1995,c=1995x+1996.那么(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 的值等于[ A.4. ] C.8. D.10.

B.6.

4.用一副学生用的三角板的内角(其中一个三角板的内角是45°,45°,90°;另一 个是30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同角度的角共有_____种. [ A.8. ]. B.9.C.10. D.11.

5.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随 意画出一条长为1995厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点是[ A.1994或1995. B.1994或1996.C.1995或1996. ] D. (64, 48720). ]个.

D.1995或1997.

6.方程1995x+6y=420000的一组整数解(x、y)是[ A.(61,48723).

B.(62,48725).C.(63,48726).

7.某同学到集贸市场买苹果,买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半,而其余的钱 都买了每公斤2元的苹果,则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤_____元. [ ] B.2.5. C.2.4. D.2.3. ,

A.2.6.

8.a、b、c的大小关系如图7所示



a ? b b ? c c ? a ab ? ac ? ? ? 的值是[ ] a ? b b ? c c ? a ab ? ac
B.1. C.2. D.3.

A.-1. 9.设P=[ ]

1 1 1 ,Q=,R=,则P,Q,R,的大小关系是 12345 ? 12346 12344 ? 12346 12344 ? 12345
B.Q>P>R.C.P>R>Q. D.R>Q>P.

A.P>Q>R.

10.某项球类规则达标测验,规定满分100分,60分及格,模拟考试与正式考试形式相 同,都是25道选择题,第题答对记4分,答错或不答记0分.并规定正式考试中要有

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点点文化
80分的试题就是模拟考试中的原题.假设某人在模拟考试中答对的试题,在正式考 试中仍能答对, 某人欲在正式考试中确保及格, 则他在模拟考试中, 至少要得 [ A.80分. 二、填空题 1.计算:12+2-334÷5+62+7-839÷10=_____. 2.若a+b<0,则化简│a+b-1│-│3-a-b│的结果是_____. 3.某市举行环城自行车比赛,跑的路线一圈 是6千米,甲车速是乙车速的,在出发后1小时10分钟时,甲,乙二人恰在行进中第二次 相遇,则乙车比甲车每分钟多走_____千米. 4.如图8,两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形,其中S1面积是8,S2的面积 是6,S3的面积是5.则阴影三角形的面积是_____. 5.若n= 1 ? B.76分.C.75分. D.64分. ]

1 7 9 11 13 15 17 ? ? ? ? ? ,则n的负倒数是______. 3 12 20 30 42 56 72

6.一次数学小测验共有十道选择题,每题答对得3分,答错或不答均扣1分,则这次小 测验的成绩至多有_____种可能的分数. 7. 已知p、 q均为质数, 并且存在两个正整数m,n,使得p=m+n,q=mn,



p p ? qq 的值为_____. mn ? nm

8. 如图9, 已知△ABC中, ∠C=90°, AC=1.5BC,在AC上取点D,使得AD=0.5BC,量得BD=1cm, 则△ABD的面积是________cm2 .

? ? 9.若S=15+195+1995+19995+?+ ? ?? .则和数S的末四位数字的和是_____.
44个9

1999?95

10. 用分别写有数字的四张卡片, , , 可以排出不同的四位数, 如1234, 1342, 4231, ? 等等共24个,则其中可被22整除的四位数的和等于_____. 三、解答题 1. 某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号, 这些运动员随意地站成 一个圆圈,则一定有顺次相邻的某3名运动员,他们运动服号码数之和不小于32,请 你说明理由. 2. 已知ax+by=7, 2 +by2 =49, 3 +by3 =133, 4 +by4 =406, ax ax ax 试求1995(x+y)+6xy的值.
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17 (a+b ) 2

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答案2提示

一、选择题 提示: 1.∵y>0,若x≥0则x+y≥0,与x+y<0矛盾.所以由y>0,x+y<0必有x<0. 因此,x3<0,x3y<0,即(A)是错误的. 事实上,y>0,x+y<0,即x+│y│<0,(B)成立.│x│+y>0,(C)成立.x<0,y2 >0,x-y2<0,(D)成立.因此,选(A). 2.∵│a│=-a,∴a≤0. │a-1│-│a-2│=-(a-1)+(a-2)=-1,选(A). 3.a-b=(1995x+1994)-(1995x+1995)=-1 b-c=(1995x+1995)-(1995x+1996)=-1 c-a=(1995x+1996)-(1995x+1994)=2 ∴ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(-1)2+(-1)2+22=6.选(B).

4.由于15°=45°-30°,所以15°可以画出.因为30°,45°,60°,90°都是15° 的倍数.0°~176°之间度数为15°的倍数的角都可画出.这些不同度数的角共计11 种,它们是:15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°, 165°.选(D). 5. 若所画的长为1995厘米的线段的两个端点A与B均为整点时, 此时线段AB盖住的整点 个数是1995+1=1996个.若A点不是整点,则B点也不是整点,此时线段AB盖住的整点个 数为1995个,所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995个,所以长为1995厘米的线 段盖住的整点是1995或1996个.选(C). 6.设x,y均为整数,且满足1995x+6y=420000. 则5│1995x,5│420000,所以5│6y. 但(5,6)=1,因此5│y.所以排除(A),(C).对(B),若(62,48725)满足方程,则 事实上,1995364+6348720=420000成立.选(D). 7.设该同学买了3元一公斤的苹果x公斤,2

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点点文化

了x+y公斤苹果,花去了3x+2y=6x元.所以所买的

8.从图9中可见,a<b<c且a<0,b<0,c>0 所以a-b<0,b-c<0,c-a>0,ab>0,ac<0 所以ab-ac>0, =(-1)-(-1)+1+1=2.选(C). 9.因为12344<12345<12346 所以12344312345<12344312346<12345312346

即R<Q<P.选(A). 10.设在模拟考试中至少要得x分,则在模拟

75

点点文化

解得x≥80. 即某人欲在正式考试中确保及格, 则他在模拟考试中至少要得80分. 选(A). 二、填空题 提示: 1

.原式=1+2-334÷5+36+7-839÷10=3-12÷5+36+7-72÷10=3-2.4+43-7=36.4 2.∵a+b<0,a+b-1<0,3-a-b=3-(a+b)>0 ∴│a+b-1│-│3-a-b│=-(a+b-1)-(3-a-b)=-a-b+1-3+a+b=-2

甲、乙二人在行进中第二次相遇,乙要追过甲两圈,所以

解得

x=36(千米/小时),即乙车速36千米/

因此,乙车比甲车每分钟多走

4.如图8,设AB、CD交于O,阴影三角形面积为S,则矩形

6.设这次小测验答对x道题,则有10-x道题答错或没答,应得分数 w=3x-(10-x)=4x-10

76

点点文化
因此, 可能得到的分数为偶数, 且不被4整除, 又最高得分为满分30分, 最低得分为-10 分,在-10~30之间被2整除但不被4整除的数有-10,-6,-2,2,6,10,14,18,22, 26,30共11种可能,容易验证,这11种分数值都是可以取到的. 7.∵q是质数,q=m3n, 所以m,n只能一个为1,另一个为q. 此时p=m+n=1+q,而p又是质数,只能p=3,q=2. 即m,n一个是1,另一个是2.

即△BCD为等腰直角三角形(图10),四个等腰

9.S=(20-5)+(200-5)+(2000-5)+(20000-5)+?+(-5) =20+200+2000+20000+?+-5345=-225 所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24 10.在由1,2,3,4组成的24个四位数中,末位数字是1,3的不能被22整除,这样的 数共12个,而其余12个末位数字是偶数,有可能被22整除,它们是 1234,1324,1432,1342,2134,2314, 3124,3412,3142,3214,4132,4312. 由奇位数字和减去偶位数字和之差是11倍数者,原数为11的倍数,可知其中被11整除 的只有1342,2134,3124,4312.即这四个数被22整除,它们的和是 1342+2134+3124+4312=10912 三、解答题 1.证:在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1,a2,a3,?,a18, a19(图11),显然a1=1,而a2,a3,?,a18,a19就是2,3,4,5,6,?,18,19的 一个排列

77

点点文化
令A1=a2+a3+a4 A2=a5+a6+a7 A3=a8+a9+a10 A4=a11+a12+a13 A5=a14+a15+a16 A7=a17+a18+a19 则A1+A2+A3+A4+A5+A6 =a2+a3+a4+?+a17+a18+a19 =2+3+4+?+17+18+19 =189 如果A1,A2,A3,A4,A5,A6中每一个都≤31,则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6331=186, 与(*)式矛盾.所以A1,A2,A3 ,A4,A5,A6中至少有一个大于31.为确定起见,不妨 就是A1>31,即a2+a3+a4>31,但a2+a3+a4是整数,所以必有a2+a3+a4≥32成立.即 一定有顺次相邻的某三名运动员,他们运动服号码数之和不小于32. 说明:本试题来源于一道常见的试题,“将1,2,3,4,?,17,18,19这19个自然 数任意排成一圈,必定能找到相邻的3个自然数,它们之和不小于30.” 其证法是, 设这19个数在圆圈排列后依次逆时针顺序是a1, 2, a ?, 18 , 19 a a (图12) , 则 A1=a1+a2+a3 A2=a2+a3+a4 A3=a3+a4+a5 A4=a4+a5+a6 ??

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点点文化
A17=a17+a18+a19 A18=a18+a19+a1 A19=a19+a1+a2 相加得A1+A2+?+A18+A19 =3(a1+a2+?+a18+a19) =33(1+2+3+4+

?+17+18+19) =570 若A1,A2,?,A18,A19这19个自然数都小于30,则A1+A2+?+A18+A19<19330=570 与(*)式矛盾.所以A1,A2,?,A18,A 19中至少有一个不小于30.为确定起见,不妨 设A1≥30,即a1+a2+a3≥30,即一定有顺相邻的3个数,其和不小于30. 但在写数排圈试验中不难发现, 总会找到相邻3个数之和大于30, 这表明30这个限不是 最好的,我们可以改进到32.要达到这个结果,其一,找三数组的个数减小,平均值 可能增大,原来找出19个数三数组,现在我们找出6个,且互不重复,这样,其用到19 个中的18个数,显然有一个数没用在三数组中,这个数只有取a1=1时,才能使其余18 个数之和尽可能大.以上这些想法已经包含着非智力因素在内的对问题灵活处理的综 合能力.克报困难意识强,遇事思维开阔的学生,处理本题的能力会表现突出一些. 2.分析:已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax4+by4=406.形式很对称,很 容易诱使你将ax+by=7两边平方,再减去ax2+by2=49,?想利用乘法公式算出xy,但一 试发现此路不通.由于受所作某些训练题型模式的影响,很多同学仍企图走此路,以 致最后陷入死胡同. 事实上,ax+by平方后必出现a2x2与b2y2,而ax2+by2中,a,b都不是平方,这一特点 已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通.应及时转向,通过一项一项表示,往 一起凑这个最基本的方式去做. 解:显然 ax2=49-by2, by2=49-ax2

79

点点文化
ax3=49x-bxy2, 相加得 133=ax3+by3=49(x+y)-xy(ax+by) 即 49(x+y)-7xy=133 7(x+y)-xy=19 同理 ① by3=49y-ax2y

ax3=133-by3,by3=133-ax3

ax4=133x-bxy3,by4=133y-ax3y 相加得 406=ax4+by4=133(x+y)-xy(ax2+by2) 即 133(x+y)-49xy=406 ②

19(x+y)-7xy=58

由①、②联立,设x+y=u,xy=v 得 7u-v=19 u=2.5,v=-1.5

19u-7v=58,解得 即 由 得

x+y=2.5,xy=-1.5 ax=7-by,by=7-ax ax2=7x-bxy,by2=7y-axy

相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b) 所以 ∴ 1.5(a+b)=49-732.5

a+b=21

此时即可求得

=4987.5-9-178.5=4800 说明:本题虽然所用知识单元块均在初一学过,但解此题需要考生有较强的应变能力 与观察综合能力,并且计算也要很细心,因此本题属于对学生数学素质综合检查的题

80

点点文化
目.本题改编自下面的问题“已知ax+by=8,ax2+by2=22,ax3+by3=62,ax4+by4=178, 试求1995(x+y)+6xy之值”.有兴趣的读者不防解一解看.答案是10011.再想一想, 满足题设条件的a与b两数之和a+b等于多少?你能独立地求出a+b之值吗?(答a+b=3)

希望杯第七届(1996 年)初中一年级第一试试题
一、 选择题: )

1.(-1)-(-9)-(-9)-(-6)的值是 ( A.-25. B.7. C.5 . D.23 ( )

2.方程19x-96=96-19x的解是 A.0; B.

48 ; 19

C.

192 96 ; D. . 19 19
)

3.如果a<0,则a与它的相

反数的差的绝对值是( A.0 B.a. C.-2a D.2a

4.如果一个方程的解都能满足另一个方程,那么,这两个方程 (

)

A.是同解方程.B.不是同解方程.C.是同一个方程.D.可能不是同解方程 5.a、b为有理数,在数轴上如图1所示,则( A. )

1 1 1 1 <1< ; B. < <1; a b a b

C.

1 1 1 1 < <1; D.1< < . b a b a

6.如果x<-2,那么|1-|1+x||等于 A.-2-x. B.2+x. C.x.

(

)

D.-x

7.线段AB=1996厘米,P、Q是线段AB上的两个点,线段AQ=1200厘米,线段BP=1050厘
81

点点文化
米,则线段PQ= A.254厘米 ( ) C.127厘米 D.871厘米

B.150厘米.

8. ? , ? 都是钝角,甲,乙,丙,丁计算 有正确的结果,那么算得结果正确者是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

1 (? ? ? ) 的结果依次为500 ,260 ,720 ,900 ,其中确 6
)

9.如果a>b,且c<0,那么在下面不等式中: (1)a+c>b+c;(2)ac>bc;(3) ? A.1. B.2. C.3 .

a b ? ? ;(4)ac2 ><bc2 .成立的个数是 c c

(

)

D.4 ) C.ac>-ac D.3a>2a

10.如果 ? a ? ? A.a-c>a+c 二、A组填空题

5 3

2 a ,2+c>2,那么( 7
B.c-a>c+a.

1.(-1) +(-2) +(-3) +(-4) =______. 2.多项式3x2 +5x-2与另一个多项式的和是x2 -2x+4,那么,这“另一个多项式” 是______. 3.若a、b互为相反数,c、d互为负倒数,则(a+b)
1996

2

3

4

5

+(cd) ______.

323

4.如图2△ABC的面积是1平方厘米,DC=2BD,AE=3ED, 则△ACE的面积是______平方厘米. 5.设自然数中两两不等的三个合数之和的最小值是m, 则m的负倒数等于______.

1 0 等于65 角的余角,则? =______. 7 2( x ? 1) 4 x ? 1 ? ? 1 的解是______________. 7.不等式 ?5 ?15
6.一个角 ? 与50 角之和的
0

?2 x ? 3 y ? 8 ? 8.x,y,z满足方程组 ?3 y ? 2 z ? 0 ,则xyz=________. ? x ? z ? ?2 ?
9.已知关于x的方程3a-x=

x 2 +3的解是4,则(-a) -2a=_________. 2

10.用一队卡车运一批货物,若每辆卡车装7吨货物,则尚余10吨货物装不完;若每

82

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辆卡车装8吨货物,则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物,那么,这批货物共有 ______吨. 二、 B组填空题

1.计算: ?40

1 ? 1 109 ? 3 4 4 2 2 ? ?1 ? ? ? (?0.5) ? ? ? [(?2) ? 2 ] =_____. 2 ? 4 144 ? 4 3 3

2.方程

7 x ? 1 1 ? 0.2 x 5 x ? 1 ? ? 的根是______. 0.024 0.018 0.012

3.一个四位数能被9整除,去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数,则这样的四 位数中最大的一个的末位数字是______. 4.在-44,-43,-42,?,1995,1996这一串连续的整数中,前100个连续整数的 和 等于______. 5.如图3,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、 BD分为四个部分,△AOB的面积是1平方千米,△BOC的面 积是2平方千米,△COD的

面积是3平方千米,公园陆地的 总面积是6.92平方千米,那么人工湖的面积是______平方千米.

答案2提示 一、选择题 提示: 1.(-1)-(-9)-(-9)-(-6)=23,选D. 2.解,移项得19x+19x=96+96,合并,得2319x=2396, 3.a的相反数为-a,所以a与它的相反数的差的绝对值是 |a-(-a)|=|-2a|=-2a(其中a<0),选C. 4.当另一个方程的解也都满足第一个方程时,这两个方程才是同解方程,因此排除 B.但另一个方程的解不都满足第一个方程时,它们不是同解方程,所以排除A、C,因此 选D.

83

点点文化

6.∵x<-2 ∴|1-|1+x||=|1+1+x|=-2-x,选A. 7.由图4可见:PQ=AQ+PB-AB=1200+1050-1996=254(厘米),选A. 8.90°<α <180°,90°<β <180°,∴180°<α +β <360°

9.已知a>b,c<0,a+c>b+c,显然成立.

由2+c>2知c>0,所以-c<c,两边加a 得a-c<a+c,所以排除A. 由a<0,c>0知ac<0,-ac>0, 显然ac<-ac排除C. 3a<2a排除D, 因此应选B. 事实上,因为a<0,所以-a>0. 因此 -a>a,两边同加上c,即可得c-a>c+a. 二、A组填空题 提示: 1.(-1) +(-2) +(-3) +(-4) =1+(-8)+81+(-1024)=-950 2.(x -2x+4)-(3x +5x-2)=-2x -7x+6 3.因为a、b互为相反数,所以a+b=0,c、d互为负倒数,所以cd=-1.
2 2 2 2 3 4 5

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点点文化
因此 (a+b)1996 +(cd)323 =0+(-1)=-1 4.由于S△ABC =1,DC=2BD. 又因为 AE=3ED

5.三个两两不等的合数之和的最小值应是三

解得a=125°. 7.原不等式可为 去分母得-6(x-1)-(-4x-1)>15,-2x>8,∴x<-4. 8.由2x-3y=8及3y+2z=0,相加得2x+2z=8,即x+z=4与x-z=-2联立. 解得 x=1,z=3.代入第二个方程求得y=-2,所以 xyz=12(-2)23=-6

7x+10=8(x-1)+3,解得 三、B组填空题 提示:

x=15(辆)所以,这批货物共有7315+10=115(吨)

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点点文化

4.这前100个连续整数是 -44,-43,?,-1,0,1,2,?43,44,45,46,?54,55,其中前89个整数之 和 (-44)+(-43)+?+0+?+43+44=0 后11个数之和是45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55=550 所以,所给一串连续整数中,前100个连续整数的和等于550. 5.由△AOB,△BOC的底边AO、OC共线,由B到AC的距离是这两个三角形的共同的高线.

因此

S四边形ABCD =1+2+3+1.5=7.5(平方千米)

由于公园陆地面积是6.92平方千米,所以人工湖面积是 7.5-6.92=0.58(平方千米)

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点点文化

希望杯第七届(1996 年)初中一年级第二试试题

一、选择题(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.) 1. 当a=-0.01时, 在- (-a), -|-a|, -a , (-a ) -

中, 其值为正数的是( A.-(-a)2 2.如果 B.-|-a|. ) C.互为倒数 D.不都是零 ) C.-a2 D.-(-a2 )
2 2 2

)

a =0,那么有理数a,b( b
B.互为相反数.

A.都是零

3. 五个有理数a, c, e在数轴上的位置如图5所示: b, d, 则a+b-d3c÷e等于(

A.-8.5

B.-4.

C.5

D.8.5 ( )

4.若a<0,ab<0,那么|b-a+1|-|a-b-5|等于 A.4. B.-4. C.-2a+2b+6. D.1996

5.A、B两地相距s千米.甲、乙的速度分别是a千米/小时,b千米/小时(a>b).甲、 乙都从A到B去开会,如果甲比乙先出发1小时,那么乙比甲晚到B地的小时数是 ( A. )

s ?s ? s ?s s ?s ? s ?s ? ? ? ? ? 1? ; B. ? ? ? 1? ; C. ? ? ? 1? ; D. ? ? ? 1? . a ?b ? b ?a ? a ?b ? b ?a ?
( ) D.零 )

6.若|x|=a,则|x-a|= A.2x或2a B.x-a.

C.a-x

7.设关于x的方程a(x-a)+b(x+b)=0有无穷多个解,则 ( A.a+b=0; 8.从 B.a-b=0; C.ab=0; D.

a =0. b

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于1,那 2 4 6 8 10 12
)

么删去的两个加数是(

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点点文化
A.

1 1 1 1 1 1 1 1 , ; B. , ; C. , ; D. , . 4 6 4 12 6 10 10 8

9.如果关于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程 那么( ) B.a<2; C.a<

(4a ? 1) x a(3x ? 4) ? 的解, 4 3

A.a>2;

7 7 ; D.a> . 18 18 1 %,那么原来盐水的浓度是( 3

10.在某浓度的盐水中加入一杯水后,得到新盐水,它的浓度为20%,又在新盐水中加入 与前述一杯水的重量相等的纯盐合,盐水浓度变为33 A.23%; B.25%; C.30%; D.32%. )

二、填空题 11.若(x-1996)2 +(7+y)2 =0,则x+y3 =______. 12.自然数m,n是两个不同的质数,m+n+mn的最小值是p,则

m2 ? n2 =_____. p2
1 (? ? ? ? ? ) 的值 15

13.角 ? , ? , ? 中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算

时,全班得23.50 ,24.50 ,25.50 这样三个不同结果,其中确有正确答案,那么

? ? ? ? ? =______.
14.已知有理数a、b的和a+b及差a-b在数轴上如图6所示,则化简|2a+b|-2|a|- |b-7|,得到的值是______.

? ? 15.在长方形ABCD中,M是CD边的中点, DN 是以A为圆心的一段圆弧, KN 是以B为圆心
的一段圆弧,AN=a,BN=b,则图7中阴影部分的面积是_______.

16.快慢两列火车的长分别是150米和200米,相向行驶在平行轨道上.若坐在慢车上 的人见快车驶过窗口的时间是6秒,那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是 ______秒. 17.若一个三角形的底边a增加3厘米,该底边上的高ha 减少3厘米后面积保持不变,那

88

点点文化
么ha -a=______厘米. 18.一次数学测验满分是100分,全班38名学生平均分是67分.如果去掉A、B、C、D、 E五人的成绩,其余人的平均分是62分,那么在这次测验中

,C的成绩是______分. 19.从3点15分开始到时针与分针第一次成30°角,需要的时间是______分钟. 20.甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发,8分钟后两人第三次相遇, 已知每秒钟甲比乙多行0.1米,那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短 是______米. 三、解答题 21.(1)请你写出不超过30的自然数中的质数之和. (2)请回答,千位数是1的四位偶自然数共有多少个? (3)一个四位偶自然数的千位数字是1,当它分别被四个不同的质数去除时,余数也 都是1,试求出满足这些条件的所有自然数,其中最大的一个是多少? 22.(1)用131,232,333三种型号的正方形地板砖铺设23323的正方形地面, 请你设计一种辅设方案,使得131的地板砖只用一块. (2)请你证明:只用232,333两种型号的地板砖,无论如何铺设都不能铺满233 23的正方形地面而不留空隙. 答案2提示 一、选择题 提示: 1.当<0时,(-a) >0,|-a|>0,a >0 所以-(-a)2 <0,-|-a|<0,-a2 <0,因此排除A、B、C,选D. 事实上,a<0时,a2 >0,-(-a2 )>0.当然a=-0.01时更是如此.
2 2

距离

89

点点文化
3.a=-3,b=-6,c=-1,d=2,e=4, a+b-d3c÷e=(-3)+(-6)-23(-1)÷4=-8.5,选A. 4.由a<0,ab<0 可知b>0,于是b-a>0,

b-a+1>0,a-b<0,a-b-5<0. 因此|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4,选B.

6.因|x|=a,所以a≥0,下面对x分情况讨论. 当x<0时x-a<0|x-a|=-(x-a)=a-x. 当x≥0时,x=a,x-a=0=a-x,∴|x-a|=a-x. 综上,对任意x,都有|x-a|=a-x成立,选C. 7.整理原方程得 (a+b)x=a -b . 要使该方程有无穷多解,只当a+b=0且a2 -b2 =0,当a+b=0时a=-ba2 -b2 =0. 所以当a+b=0时,原方程有无穷多个解,选A.
2 2

9.关于x的方程3(x+4)=2a+5的解为

10.设原盐水溶液为a克,其中含纯盐m克,后加入“一杯水”为x克,依题意得

由①a+x=5m ③ 由②a+2x=3m+3x 即a-x=3m ④
90

点点文化
③+④得2a=8m,∴a=4m.

二、填空题 提示: 11.由(x-1996) +(7+y) =0得x=1996,y=-7. ∴x+y3 =1996+(-7)3 =1996-343=1653. 12.m、n都是质数,要m+n+mn取最小值, 只能m、n取2与3,所以p=2+3+233=11.
2 2

13.由α 、β 、γ 中有两个锐角一个钝角,易知 90°<α +β +γ <360°

∴α +β +γ =352.5°. 14.由图6中可见,0<a-b<1,a+b<-1 所以 2a<0,因此a<0,若b≥0

则a-b<0与a-b>0不等,所以b<0. 此时 所以 2a+b<0,b-7<0. |2a+b|-2|a|-|6-7|

=-(2a+b)-2(-a)-[-(b-7)] =-2a-b+2a+b-7=-7. 15.矩形面积为a(a+b) 设阴影面积为S

.则

91

点点文化
16.设快车速为x米/秒,慢车速为y米/秒,

17.由题意得



aha =aha +3ha -3a-9,∴3(ha -a)=9.ha -a=3.

18.设A、B、C、D、E分别得分为a、b、c、d、e.

因此

a+b+c+d+e=500

由于最高满分为100分,因此a=b=c=d=e=100,即C得100分.

作为追及问题,由于3点15分时分钟与时针成角小于30°,所以分针必须追上时针并 超出

20.解法1(方程法):设乙每秒行x米,则甲每秒行(x+0.1)米,依题意有 8360(x+x+0.1)=40033,解得x=1.2 则在8分钟内,乙共行1.236038=576(米) 去掉乙走过了一整圈400米,还余176米,由于不足200米,故是相遇地点沿跑道距A点 的最短距离. 解法2(算述法):在8分钟内,甲比乙共多行0.136038=48米,这时一共有了三圈,
92

点点文化
每圈甲比乙多行16米,即相遇地是越过此出发地始终端的400米跑道的中点16÷2=8 (米).三圈累计,越过833=24(米).所以第三次相遇点距A沿跑道的距离是176米或 224米,较小值176米是所求的最短距离. 三、解答题 21. (1)不超过30的质数和为 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129. (2)千位数是1的四位自然数中最小为1000最大为1999.共连续1000个自然数.其中 有500个是偶数.所以千位数是1的四位偶自然数共有500个. (3)设满足题设性质的自然数为x,则x的千位数字是1,个位数字是偶数码. 又设质数p1 <p2 <p3 <p4 ,则依题意有x=kp1 p2 p3 p4 +1 ①,其中k为自然数.

若p1 =2,则kp1 p2 p3 p4 +1为奇数,与x为偶数不符.所以p1 ,p2 ,p3 ,p4 均为奇质数. 设p1 =3,p2 =5,p3 =7,p4 =11,有33537311=1155,所以k=1. 而p1 =3,p2 =5,p3 =11,p4 =13时335311313=2145>1999. 所以p1 =3,p2 =5,p3 =7是①中p1 ,p2 ,p3 的唯一取值法.这样一来,只须再对p4 讨论: 当p4 =11时,x1 =33537311+1=1156. 当p4 =13时,x2 =33537313+1=1366. 当p4 =17时,x3 =33537317+1=1786. 当p4 =19时,x4 =33537319+1=1996. 而当p4 =23时,x5 =33537323+1>2000不合要求. 所以,满足题设条件的自然数共四个,它们是1156,1366,1786,1996. 其中最大的一个是1996. 22.(1)如图8,用12块333地板砖与6块232地板砖能铺成12311的长方形地面. 如图9的铺设方案.用4个12311的图8所示的板块,恰用1块131地板砖,可以铺满23 323的正方形地面. (2)我们将23323的大正方形分成23行23列共计529个131的小方格,再将第1行, 第4行,第7行,第10行,第13行,第16行,第19行,第22行这八行染红色,其余的15行都 染白色,如图10所示.
93

点点文化
任意232或333的小正方块无论怎样放置(边线与大正方形格线重合),每块232或 333的正方块都将盖住偶数块131的白

色小方格. 假设用232及333的正方形地板砖可以铺满23323后正方形地面,则它们盖住的白色 131的小方格总数为偶数个.然而23323地面染色后共有23315(奇数)个131的白色小 方格,矛盾. 所以,只用232,333两种型号地板砖无论如何铺设,都不能铺满23323的正方形地 面而不留空隙.

希望杯第八届(1997 年)初中一年级第一试试题
一、 1. ? 选择题:

?a

8

是(

) C.非正数. [ D.零. ]

1997

A.正数 B.负数.

2.下面说法中,不正确的是

A.小于-1的有理数比它的倒数小.B.非负数的相反数不一定比它本身小 C.小于0的有理数的二次幂大于原数.D.小于0的有理数的立方小于原数 3.

1 ? (?9) ? ?9 ? 7 1? 9 ? 9 ? 7
A.

的值的负倒数是(

)

83 24 29 72 ; B. ; C. ; D. . 29 24 72 83


4.在图1的数轴上,标出了有理数a、b、c的位置,则[ A.a-c<b-a<b-c. C.b-c<a-c<a-b. 5.下面判断中正确的是 B.a-b<b-c<a-c D.a-c<b-c<b-a [ ]

A.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x同解 B.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x没有相同的解 C.方程x(2x-3)=x的解都是方程2x-3=1的解 D.方程2x-3=1的解都是方程x(2x-3)=x的解

94

点点文化
6.(3x+9)(2x-5)等于
2 2



] C.5x +33x+45. )
2

A.5x +3x-45. B.6x -3x+45. 7.若a=

D.6x +3x-45

2

19951995 19961996 19971997 ,b= ,c= ,则( 19961996 19971997 19981998
B.b<c<a. C.c<b<a ]

A.a<b<c

D.a<c<b

8.有理数a、b满足a=1997b,则[ A.a≥b B.|a|≤b. C.a≥|b|

D.|a|≥|b| ]

9.有理数a、b满足|a+b|<|a-b|,则[ A.a+b≥0 B.a+b<0. C.ab<0

D.ab≥0. ]

10. 有理数b满足|b|<3, 并且有理数a使得a<b恒能成立, 则a的取值范围是 [ A.小于或等于3的有理数.B.小于3的有理数 C.小于或等于-3的有理数.D.小于-3的有理数 二、 11. ? ?1 A组填空题:

? ?

1 13 24 17 ? ? 7 ? 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 =_____. 36 107 107 18 ? ? 8 ? 11

12.图2中,三角形的个数是______. 13.已知

3 2 n ?1 1997 n ? 7 x 与 x 是同类项,则(n-17)3 =______. 1997 4

14.

1995 ? 1996 ? 1996 ? 1998 ? 1997 ? 2000 ? 1998 ? 2002 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 4 ? 8 5 ? 10 6 ? 12 7 ? 14

=_______.

15.数学晚会上,小明抽到一个题签如下:若ab<0,(a-b)2 与(a+b)2 的大小关 系是( )

A.(a-b)2 <(a+b)2 . B.(a-b)2 =(a+b)2 C.(a-b) >(a+b) . D.不能确定的 小明答对了,获了奖,那么小明选择答案的英文字母代号是______. 16.如图3,OM是∠AOB的平分线,射线OC在∠BOM内部, ON是∠BOC的平分线,已知∠AOC=80°,

那么∠MON的大小等于______. 17.已知a-b=2,b-c=-3,c-d=5,则(a-c)(b-d)÷(a-d)=______. 18.10位评委为某体操运动员打分如下:
2 2

95

点点文化
10,9.7,9.85,9.93,9.6,9.8,9.9,9.95,9.87,9.6去掉一个最高分和一个最 低分,其余8个分数的平均数记为该运动员的得分,则这个运动员的得分是______. 19.如图4,长方形ABCD中,△ABP的面积为20平方厘米,△CDQ的面积为35平方厘米, 则阴影四边形的面积等于______平方厘米.

????
20.

?

? 在左边的算式中乘数不是1,且每个小方纸片都盖

5991
住了一个数字,这五个被盖住的数字的和等于______. 三、B组填空题: 21.初一“数学晚会”上,有10个同学藏在10个大盾牌后面.男同学的盾牌前面写的 是一个正数,女同学的盾牌前面写的是一个负数,这10个盾牌如下所示.

(?30)30 ,

(?5) 2 (?1)8 8 3 , a ? 0.1, , , ?8 , ? ?2 , , 4 ? (?2),5 ? ?1 , (?25) 1997 19 ? 97 (?3)3

则盾牌后面的同学中有女同学______人;男同学______人. 22.甲、乙两商店共有练习本200本,某日甲店售出19本,乙店售出97本,甲乙两店 所剩的练习本数相等,由甲店原有练习本______本;乙店原有练习本______本. 23.一个有理数恰等于它的相反数,则这个有理数是______;一个有理数恰等于它的 倒数,那么这个有理数是______. 24.一个有理数的n倍是8,这个有理数的

1 是2,那么这个有理数是_______. n

25. 关于x的方程|a|x=|a+1|-x的解是1, 那么, 有理数a的取值范围是______; 若关于x的方程|a|x=|a+1|-x的解是0,则a的值是______. 答案2提示 一、选择题 提示:

96

点点文化
2.设a为有理数,当-1<a<0时,a3 >a,∴(D)的说法不正确.

4.由图1可知,a<b,所以a-c<b-c;又知c>a,所以c-b>a-b, 不等式两边都乘以-1,则有b-c<b-a. 综上所述,有a-c<b-c<b-a,选(D). 5.方程2x-3=1的解是x=2;方程x(2x-3)=x的解是x=0和x=2.因此,(A)、 (B)、(C)的判断都是错误的,只有(D)判断正确. 6.原式=6x -15x+18x-45=6x +3x-45.所以,选(D). 7.设A=19951995,B=19961996,C=19971997,D=19981998,则有B=A+10001, C=B+10001,D=C+10001. ∵ (B+10001)(B-10001)=B -10001 C2A<B2 .
2 2 2 2

亦即,C2A=B2 -100012 ∴

由于B、C均为正数,不等式两边同时除以B2C,得到

8.∵1997>0,可以确定有理数a、b同是正数,或同是负数,或同是0.又∵1997>1, 所以必须|a|≥|b|,选(D). 9.由|a+b|<|a-b|有(a+b)2 <(a-b)2 即 a2 +2ab+b2 <a2 -2ab+b2 .
2 2

不等式两边都减去a +b ,

然后除以2,则有ab<-ab, 只有ab<0时才能成立,选(C). 10.|b|<3就是-3<b<3,只有当a≤-3时,a<b恒成立,选(C). 三、 提示: A组填空题

97

点点文化

12.图中的三角形有:△BPC、△AQD、 △BEP、△EAQ、△CPF、△FQD、△BEC、△BFC、△EAD、△FAD、△CED和△BFA,共12 个. 13.由题意有2n-1=n+7.解此方程得到n=8,代入(n-17)3 =(8-17)3 =(- 9)3 =-729.

15.(a-b)2 -(a+b)2 =a2 -2ab+b2 -a2 -2ab-b2 =-4ab ∵ ∴ ab<0,∴
2

-4ab>0即(a-b)2 -(a+b)2 >0.
2

(a-b) >(a+b) .∴

选(C).

16.设∠1=∠AOM=∠BOM,∠2=∠BON=∠CON∠3=∠MOC ∠由题意有∠1+∠3=80° 2∠2+∠3=∠1 ② ①

①和②等式两边相加,则有 2∠2+2∠3+∠1=80°+∠1. 两边减∠1,有2(∠2+∠3)=80°. ∵ ∠2+∠3=40°.

∠MON=∠MOC+∠CON=∠2+∠3=40°. 17.a-c=(a-b)+(b-c)=2+(-3)=-1. b-d=(b-c)+(c-d)=(-3)+5=2. a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d) =2+(-3)+5=4.
98

点点文化

18.由题意去掉10和一个9.6,其余8个分数的整数部分都是9,所以只需对小数部分 求平均数,为了计算简便可将各数的次序调整:

所以该运动员得分是9.825分. 19.由于△BEC的高与矩形ABCD的AB边相等,所以



S△BEC =S△ABF +S△CDF .

等式左边=S△BPF +S△QFC +S阴影部分 等式右边=S△ABP +S△BPF +S△CDQ +S△FQC . 等式两边都减去(S△BPF +S△QFC ),则有 S阴影部分=S △ABP +S△CDQ =20+35=55(平方厘米). 20.两数相乘所得积的个位数为1,这两个数只可能是1、1或3、7或9、9.按题意排 除1、1。又由于5991不能被9和7整除,所以又排除9、9,且乘数只能是3. 因为5991÷3=1997,所以被乘数是1997,这5个数的和是:1+9+9+7+3=29. 三、B组填空题 提示:

99

点点文化



有女同学4人,男同学6人.

22.设甲店有x本,则乙店有(200-x)本. 由题意列方程:x-19=(200-x)-97 解方程得到x=61,200-x=200-61=139. ∴ 甲店有61本;乙店有139本.

23.0的相反数-0=0.

24.设这个有理数为x,由题意有:

③代入① 由③

2n2 =8n=±2. x=±4.

25.将解x=1代入原方程,则有:|a|=|a+1|-1.|a|+1=|a+1|, ∴ a≥0.将解x=0代入原方程,则有:0=|a+1|,∴ a=-1.

希望杯第八届(1997 年)初中一年级第二试试题

一、

选择题(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.)

100

点点文化
1.x的8倍与 A. 8 x ?

17 的和是( 97

)

17 ? 17 17 17 ? 8 x ; B. 8 x ? ; C. 8 ? x ? . ? ; D. x ? 97 ? 97

97 97 ?
[ ]

2.|a-b|=|a|+|b|成立的条件是 A.ab>0 B.ab>1. C.ab≤0

D.ab≤1

3.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20 米处,玩具店位于书店东边100米处,小明从书店沿街向东走了40米,接着又向东走了- 60米,此时小明的位置在[ A.文具店 B.玩具店. ] C.文具店西边40米 D.玩具店东-60米

4.有四个关于x的方程: (1)x-2=-1;(2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1);(3)x=0;(4)x-2+ 其中同解的两个方程是( A.(1)与(2). 5.已知a<-b,且 ) C.(1)与(4). D.(2)与(4). )

1 1 =-1+ . x ?1 x ?1

B.(1)与(3).

a >0,则丨a丨-丨b丨+丨a+b丨+丨ab丨等于( b
B.-ab. C.-2a-2b+ab.

A.2a+2b+ab.

D.-2a+ab ]

6.1997个不全相等的有理数之和为零,则这1997个有理数中[ A.至少有一个是零. B.至少有998个正数

C.至少有一个是负数.D.至多有1995个是负数 7.a、b、c在数轴上的位置如图1所示,则 [ ]

a ? b a ? b a ? cb a ? b a ? b a ? cb ? ? ; ? ? ; B. a ? b a ? b a ? cb a ? b a ? b a ? cb a ? b a ? cb a ? b a ? cb a ? b a ? b ? ? ; ? ? ; C. D. a ? b a ? cb a ? b a ? cb a ? b a ? b
A. 8.平面上三条直线相互间的交点个数是[ A.3 B.1或3. C.1或2或3 ]

D.不一定是1,2,3
101

点点文化
9.如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的 小时数是 A. [ ]

ab c2 c2 a2b ; B. ; C. 2 ; D. 2 c ab a2b c

10.将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体,现将大正方体各面上的某些小方 格涂上黑色,如图2所示,而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同, 这时,至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是 [ A.18 B.20. C.22 D.24 ]

二、填空题 11.化简-3x2 y+4x2 y+5xyx-7x2 y2 +|-8xy2 x|=______. 12.8-x的负倒数等于19,则x-97=______.于x,y的二元一次方程,则的值为____. 13.若3x3m+5n+9+4y4m-2n-7=2是关于x,y的二元一次方程,则

m 的值为____. n

14.《数理天地》(初中版)月刊,全年共出12期,每期定价2.50元,某中学初一年 级组织集体订阅,有些学生订半年而另一些学生订全年,共需订费1320元,若订全年的同 学都改订半年,而订半年的同学均改订全年时,共需订费1245元,则该中学初一年级订阅 《数理天地》(初中版)的学生共有______人. 15.如图3所示,O是直线AB上一点,∠AOD=120°,CO⊥AB于O,OE平分∠BOD,则图 中彼此互补的角共有______对. 16.设m2 +m-1=0,则m3 +2m2 +1997=______. 17.如图4所示, Δ ABC中,点P在边AB上,AP= 在边BC上,BQ=

1 AB,Q点 3

BC 1 ,R点在CA边上,CR= CA,已知阴影 4 5

Δ PQR的面积

是19平方厘米,那么△ABC的面积是______平方厘米. 18.容器A中盛有浓度为a%的农药溶液m升,容器B中盛有浓度为b%的同类农药溶液m 升(a>b),现将A中药液的

1 倒入B中,混合均匀后再由B倒溶液回A, 使A中的药液恢复为m升, 4

则互掺后A、B两容器中的药量差比互掺前A、B两溶器中的药量差减少了______升. 19.计算:

102

点点文化
1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 1 ? ?1 1 ? ? ??? ??1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1997 ?? 2 1996 ? ? 2 1997 ?? 2 3 1996 ? ?2 3
=______________. 20.有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机6天可抽干池 水,若用21部A型抽水机8天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这 一池水永抽不干,则至多只能用______部A型抽水机抽水. 三、解答题 21.已知一个七位自然数62xy427是99的倍数(其中x、y是阿拉伯数字),试求 950x+24y+1之值,简写出求解过程. 22.用24个面积为1的单位正三角形拼成如图5所示的正六边形,我们把面积为4的正 三角形称为“希望形”. (1)请你回答,图中共可数出多少个不同的“希望形”? (2)将1~24这24个自然数填入24个单位正三角形中(每个里只填1个数).我们依 次对所有“希望形”中的4个单位正三角形中填的数同时加上一个相同的自然数称为一次 操作,问能否经过有限次操作员后,使图中24个单位正三角形中都变为相同的自然数?如 果能,请给出一种填法,如果不能,请简述理由.

答案2提示 一、选择题 提示:

2.当a、b异号或a、b均为0时,|a-b|=|a|+|b|成立,∴ 3.由题意画图6:

选(C).

因为,向东走了-60米就是向西走了60米.所以,小明从书店向东走了40米,再向西

103

点点文化
走60米,结果是小明的位置在书店西边20米,也就是文具店的位置,∴ 选(A). 4.方程①的解x=1,将x=1代入方程②,方程②成立,∴ x=1也是方程②的解.方 程①和②是同解方程, 而①与③显然不同解; ①的解代入④, ④无意义. ∴ (B)、 (C) 、 (D)都不正确,只有(A)正确,∴ 选(A).

原式=-a-(-b)+[-(a+b)]+ab =-a+b-a-b+ab=-2a+ab,∴ 选(D).

6.由题意,这1997个有理数可以有零,也可以没有零,则排除(A).这1997个有理 数中,必须有正数和负数.例如,1996个-1和一个1996相加为零,则否定了(B)和(D), ∴ 选(C). 7.由图有a-b<a+cb<a-cb<a+b.

8.当平面上三条直线互相平行时,没有交点, ∴ 排除(A)、(B)、(C),选(D).

10.由图2可见,大正方体正面中心

的一个小正方体,以及它后面的两个小正方体(共 3个)没有涂黑,顶面中间一排左右两个小正方体,及其底面相对应的两个小正方体没有

104

点点文化
涂黑, 所以, 总共有7个小正方体没有涂黑, 其余20个小正方体至少有一面涂黑了, (B) 选 . 二、填空题 提示: 11.原式=-3x2 y+4x2 y+5x2 y-7x2 y2 +8x2 y2 =6x2 y+x2 y2

13.由题意列方程

②-①得

m=7n+16



③代入①有 21n+48+5n+9=1,26n=-56,

14.设订半年的学生x人,订全年的学生y人,按照题意列方程:

由②得到

y=83-2x, x=26,y=83-2x=31.

代入①后求得 ∴

订阅的学生人数=x+y=26+31=57.

15.由题意有∠COD=∠DOE=∠EOB=30°,这三个角都与∠AOE互补. ∵ ∴ ∠COE=∠DOB=60°, 这两个角与∠AOD互补.

另外,∠AOC和∠COB都是直角,二者互补.因此,共有6对互补角.

105

点点文化
16.原式=m3 +m2 -m+m2 +m-1+1998 =m(m +m-1)+(m +m-1)+1998 =(m2 +m-1)(m+1)+1998 由于m2 +m-1=0,∴ 原式=1998.
2 2

17.连AQ,则有△ABQ.

106

点点文化

18.先计算互掺后A、B两容器药液浓度:

掺前A、B药量差=am%-bm%=(a-b)m%

20.设每部抽水机每天抽水量为x,泉水每天的涌流量为y,由题意列方程:

107

点点文化
②-①得到 24x=2y,y=12x

因此,至多只能用12部抽水机抽水. 三、解答题

∴ ∵

x+y+3=9m(m是自然数) 0≤x≤9,0≤y≤9,

可以导出3≤x+y+3≤21 从而 x+y=6或x+y=15 ①

∴ 又

13+x-y=11k(k是整数) -9≤x-y≤9,

即4≤13+x-y≤22. ∴ ∵ x-y=-2或x-y=9 x+y与x-y同奇偶,



x=2,y=4,

950x+24y+1=95032+2434+1=1997. 22.(1)有12个不同的“希望形”. (2)不可能,理由如下: 假设经过m次操作后,24个单位正三角形的数均变为a,则总和为24a. 另一方面,设第i次操作中每个“希望形”的4个单位正三角形中的数都增加自然数ni , 则

108

点点文化
第i次操作共增加:1234ni m次操作后共增加:1234(n1 +n2 +?+nm ) 这24个单位正三角形最初填入的24个数之和为1+2+3+?+24=25312所以m次操 作后24个单位正三角形中填数的总和为 25312+1234(n1 +n2 +?+nm ) 于是有 25312+1234(n1 +n2 +?+nm )=243a进而推出 24|25312,即2|25

但这是不成立的.

希望杯第九届(1998 年)初中一年级第一试试题
一、选择题:(每小题6分,共60分) 1.数(-1)1998 是 A.最大的负数 ( ) C.最小的正整数 ) D.绝对值最小的整数

B.最小的非负数.

2.a= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. ?

? 1? ? 1? ? 1? ? ,则a的相反数是( ? 6?

? 5? ? 4?
17 ; 60
B. ?

7 ; 60

C.

17 ; 60

D.

7 . 60
)

3.“a与b的和的立方”的代数式表示是 ( A.a3 +b3 B.a+b3 .

C.a3 +b D.(a+b)3

4.有下面4个命题:①两个数的差一定是正数.②两个整式的和一定是整式. ③两个同类项的数字系数相同.④若两个角的和等于180°,则这两个角互为邻补角. 其中真命题的个数是 ( A.1 B.2. C.3 ) D.4 ( ) D.非负数

5.若19a+98b=0,则ab是 A.正数 B.非正数. C.负数

6.有理数a,b,c在数轴上的表示如图1,则在

1 1 , , ac 中,( b2 b
D.

)

A.

1 最小; b2

B. ac 最大;

C.

1 最大; b

1 最大. b2

109

点点文化
7. 一杯盐水重21千克, 浓度为7%.当再加入0.7千克纯盐后, 这杯盐水的浓度是( A.7.7% B.10%. C.10.7% D.11% )

8.a、b都是有理数,现有4个判断: ①如果a+b<a,则b<0.②如果ab<a,那么b<0 ③如果a-b<a,则b>0 A.①② B.②③. 9.若 C.①④ D.①③ ) ,其中正确的判断是 ( )

1 b ? a ? 3, 6 ? b ? 63, ,则 的最大值是( 2 a
B.2. C.12 D.126

A.21

10.数a、b、c如图2所示,有以下4个判断:



1 2 >a+b+c; ②ab >c; ③a-b>-c; ④5a>2b. 其中正确的是 a
B.①和③. C.②和④ D.②和③

(

)

A.①和②

二、A组填空题(每小题6分,共60分) 11. 1 ?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? ? ?1 ? 1 ? ?1 ? ? ? =_______. 2 ? 3 ? 4 ? 5 ?? ? ? ?

12.若m=-1998,则│m2 +11m-999│-│m2 +22m+999│+20=______. 13.两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是______. 14.一个有理数的倒数的相反数的3倍是

1 ,那么这个有理数是_________. 3

15.17个连续整数的和是306,那么紧接在这17个数后面的那17个连续整数的和等于 ________. 16.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和,那么他的年龄是______ 岁. 17.图3中,B、C、D依次是线段AE上的三点, 已知AE=8.9厘米,BD=3厘米,则图中以A、 B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度之和等于_______厘米. 18.五位数 abcde 是9的倍数,其中 abcd 是4的倍数,那么 abcde 的最小值为_______.

110

点点文化
19.梯形ABCD如图4所示,AB、CD分别为梯形上下底,已知阴影部分总面积为5平方厘 米,△AOB的面积是0.625平方厘米.则梯形ABCD的面积是________平方厘米. 20.三个有理数a,b,c两两不等,那么

a ?b b?c c?a , , 中有______个是负数. b?c c?a a ?b

三、B组填空题(每小题6分,共30分) 21.三个质数之和是86.那么这三个质数是________. 22.线段AB上有P、Q两点,AB=26,AP=14,PQ=11,那么BQ=________. 23.篮、排、足球放在一堆共25个,其中篮球个数是足球个数的7倍, 那么其中排球的个数是________. 24. 一个有理数的二次幂大于这个有理数, 那么这

样的有理数的取值范围是________. 25.将 1, ?

1 1 1 1 1 , , ? , , ? ?? 按一定规律排成下表: 2 3 4 5 6

从表中可以看到,第4行中自左向右第3个数是

1 1 , 第5行中自左向右第2个数是, 9 12

那么第199行中自左向右第8个数是______, 第1998行中自左向右第11个数是_____.

答案2提示 一、选择题 1 C.2 D.3 D.4 A.5 B.6 D.7 B.8 D.9 D.10 B

提示: 1.(-1)
1998

=+1.排除A.由于最小的非负数是0,排除B.绝对值最小的整数也是0,

排除D.显然应选C.事实上+1是最小的正整数.

111

点点文化
3.a3 +b3 的意义是a立方与b立方之和; a+b 的意义是a与b立方之和; a3 +b的意义是a立方与b之和; (a+b)3 的意义是a与b的和的立方.选D. 4.由3-4=-1,知命题①不真;3ab 与5ab 是同类项,但数字系数不同,③不真; 由于两条平行线被第三条直线所截,同旁内角之和为180°,但它们并不互为邻补角.命题 ④不真.易知,两个整式的和仍是整式是真命题.所以只有1个真命题,选A.
2 2 3

7.加入0.7千克纯盐后,这杯盐水的浓度是

综上分析可知,选D.

112

点点文化

二、A组填空题 11、 18 10008 12、20000 19、15.625 13、-1 14、-9 15、595 20、2 16、18 17、41.6

提示:

13.两个三位数之和的最大值为999+999=1998,所以两个三位自然数之和减去1999

113

点点文化
所得之差的最大值是1998-1999=-1.

15.设17个连续整数为 m,m+1,m+2,?,m+16 ①

有m+(m+1)+?+(m+16)=306. 它后面紧接的17个连续自然数应为 m+17,m+18,m+19,?,m+33② ②的每一项比①中对应项多17,所以②中17个数总和比①中17个数总和多17317,所 以②中17个数总和为306+17317=595.



只取x=8,y=0.

某人的年龄是18岁. 17.以A,B,C,D,E这5个点为端点的线段共有十条,它们是AB,AC,AD,AE,BC, BD,BE,CD,CE,DE.其长度总和 AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE =4AB+6BC+6CD+4DE =4(AB+DE)+6(BC+CD) =4(AE-BD)+6BD =4AE+2BD=438.9+233=41.6(厘米).

114

点点文化

19.易知△ADB与△ACB面积相等,所以△AOD与△BOC面积相等.但△AOD与△BOC面积 之和为5平方厘米,所以△AOD的面积=△BOC的面积=2.5平方厘米. 又S△AOB ∶S△BOC =AO∶OC=S△AOD ∶S△DOC . 即 0.625∶2.5=2.5∶S△DOC

所以梯形ABCD面积 =S△AOB +(S△AOD +S△BOC )+S△DOC =0.625+5+10=15.625(平方厘米).

二、B组填空题 21、(2,5,79)、(2,11,73)、(2,13,71)、(2,17,67)、(2,23,61)、 (2,31,53)、(2,37,47)、(2,41,43) 22、1或23 23、1或9或17 24、大于1的有理数和负有理数

115

点点文化
提示: 21.86是个偶数,那么3个质数加数中至少有一个偶数,这个偶数又是质数,故只能 是2.其余两个加数

是奇质数,其和为84.易知,只能是(5,79), (11,73), (13,71), (17,67),(23,61),(31,53),(37,47),(41,43)这八组,所以,84表示 为3个质数和可以有八组,它们是 (2,5,79),(2,11,73),(2,13,71), (2,17,67),(2,23,61),(2,31,53), (2,37,47),(2,41,43). 22.P、Q在线段AB上可以有两种情形. 对于图5∶BQ=AB-AP-PQ=26-14-11=1. 对于图6∶BQ=AB-AP+PQ=26-14+11=23. 23.篮球、排球、足球总数是25个.并且篮球数是足球数的7倍.所以足球数只能取1, 2,3个.这时篮球数对应取7,14,21个.从而排球数可能取的值是17,或9,或1个. 24.画出数轴如图7. 大于1的有理数的二次幂大于它自身;1的二次幂等于1; 大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0; 负有理数的二次幂是正数,大于它自身. 综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数. 25.这个数串中奇号项为正,偶号项为负.第n

所以第198行第198个数是数串中的第19701项. 因此,第199行的第8个数是数串中的第19701+8=19709项. 同理,这个表中第1997行结束时,共排了

116

点点文化
所以第1997行第1997个数是数串中的第1995003项,第1998行第11个数应是数串中的 第1995003+11=1995014项.

希望杯第九届(1998 年)初中一年级第二试试题
一、选择题:(每题6分,共60分) 1.已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b在原点的左方,那么 ( A.ab<b B.ab>b. C.a+b>0 D.a-b>0 ) )

2.有理数a等于它的倒数,有理数b等于它的相反数,则a1998 +b1998 = ( A.0 B.1. C.-1 D.2 )

3.下面的四个判断中,不正确的是 (
3 6 3 6

A.34x y 与34a b 不是同类项.B.3x和-3x+1不能互为相反数. C.4(x-7)=6(5-27x)和6(5-27y)=4(y-7)不是同解方程. D.3和

1 1 ? 不能互为倒数. a 3
)

4.已知关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解,则ab是 ( A.正数 B.非正数. C.负数 D.非负数 )

5.如果a-b>a+b,那么 (

A.|a-b|>|a+b|. B.ab<0. C.-2b>2b. D.-2a>2b 6.方程组 ?

?3x ? y ? 7 的解(x,y)是( ?5 x ? 8 y ? 31

) D.(0,7)

A.(3,-2).

B.(2,1).C.(4,-5).

7.一条直线上距离相等地立有10根标杆,一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走,当 他走到第6杆时用了6.6秒,则当他走到第10杆时所用时间是 A.11秒. B.13.2秒. C.11.88秒. D.9.9秒 ( )

8.有以下两个数串: 1,3,5,7,?,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,?,1990,1993,

117

点点文化
1996,199.同时出现在这两个数串中的数的个数共有 ( A.333 B.334. C.335 D.336 ( ) )

9.如图8所示,S

△ABC =1,若S△BDE =S△DEC =S△ACE ,则S△ADE = A.

1 ; 5

B.

1 ; 6

C.

1 ; 7

D.

1 . 8

10.若关于x的方程|2x-3|+m=0无解,|3x-4|+n=0只有一个解,|4x-5| +k=0有两个解,则m,n,k的大小关系是 A.m>n>k B.n>k>m. ( )

C.k>m>n D.m>k>n

二、填空题(每题6分,共60分) 11.计算:

783 ? 223 =________. 782 ? 78 ? 22 ? 222

12.若a+19=b+9=c+8,则(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 =________. 13.图9中三角形的个数是_______. 14.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知 甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗 口外经过的时间是_________秒. 15.某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/时的速度从乙地返 回甲地,那么某人往返一次的平均速度是______千米/时. 16.对于不小于3的自然数n,规定如下一种操作:<n>表示不是n的约数的最小自然 数,如<7>=2,<12>=5等等,则<<19>3<98>>=_______.(式中的3表示乘 法) 17.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球,红球上标有数字1,黄 球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的和等 于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_________. 18.图10,中,两个半径为1的

1 ? 圆扇形 ? ' B' 与 AOB 叠放 A' O 4

在一起,POQO, 是正方形,则整个阴影图形的面积是__________. 19.(3a+2b)x2 +ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有 唯一解,则x=__________.

118

点点文化
20.某校运动会在400米球形跑道上进行10000米比赛,甲、乙两运动员同时起跑后, 乙速超过甲速,在第15分时甲加快速度,在第18分时甲追上乙并且开始超过乙,在第23分 时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙匀速跑完全程所用的时间是 ________分. 二、解答题(每题15分,共30分,解答本题时,请写出推算过程) 21.23个不同的正整数的和是4845,问:这23个数的最大公约数可能达到的最大值是 多少?写出你的结论,并说明理由. 22.(a)请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰 与另三条直线相交,并简单说明画法. (b)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点),使得它们中的每条直线都恰 与另3条直线相交?如果能,请画出一例,如果不能,请简述理由. 答案2提示 一、选择题 1、D 10、A 提示: 1.a在数轴上原点右方,a>0;b在原点左方,b<0. 当a=1,ab=b,显然应排除A、B. 当a=1,b=-2时,a+b=-1<0,排除C. 所以应选D,事

实上,当a>0,b<0时,a-b>0总成立. 2、 B 3、 C 4、 B 5、 C 6、 A 7、 C 8、 B 9、 B

3.①34x3 y6 与34a3 b6 ,因字母不同,不是同类项,所以A是正确的,排除A. ②若3x与-3x+1互为相反数,则-(3x)=-3x+1得出0=1的矛盾.所以“3x和- 3x+1不能互为相反数”这句话正确,排除B.

119

点点文化

因为这两个方程的解集相同,因此,它们是同解方程.即C“4(x-7)=6(5-27x) 和6(5-27y)=4(y-7)不是同解方程”这句话是不正确的.

4.关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解. 当且仅当

5.由a-b>a+b可知-b>b,即b<0.

6.以(3,-2),(2,1),(4,-5),(0,7)代入方程组检验,只有(3,- 2)满足方程组,选A. 7.从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔.因而,每个间隔行进6.6÷5=1.32(秒).而 从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔.所以行进9个间隔共用1.3239=11.88(秒),选 择C. 8.第一个数串是1~1999的整数中被2除余1的数,共有1000个. 第二个数串是1~1999的整数中被3除余1的数,共有667个. 同时出现在这两个数串中的数是1~1999的整数中被6除余1的数.它们是:1,7,13, 19,25,?,1993,1999.共计334个,选择B.

120

点点文化

10.|2x-3|+m=0无解,则m>0. |3x-4|+n=0有一个解,则n=0. |4x-5|+k=0有两个解,则k<0. 所以,m>n>k成立,选择A. 二、填空题 题号 11、100 17、4 提示: 18、 答案 12、222 13、48 19、1.5 14、7.5 20、25 15、4.8 16、4

12.由a+19=b+9=c+8



a-b=-10,b-c=-1,c-a=11. ∴(a-b) +(b-c) +(c-a)
2 2 2 2 2 2

=(-10) +(-1) +11 =100+1+121=222. 13.如图11所示,标上字母A、B、C、D.当不考虑AD时,△ABC被从顶点B引出的五条 线分成的三角形个数是6+5+4+3+2+1=21个. 当考虑AD时,在AD上方也可以数出21个三角形,而在AD下方只可以数出6个三角形. 总计,共有21+21+6=48个三角形. 14.甲、乙两车相向在平行轨道上行驶,当从甲车某个窗口看乙车时,从看到车头到 车尾通过,要经过200米的距离,而这200米的距离是以两车速度之和来通过的,是个相遇 问题. 设甲、乙两车速度和为u米/秒.甲车上某乘客从
121

点点文化

15.设甲、乙两地距离为S千米.某人由甲地

所以某人从甲→乙→甲往返一次的平均速度

16.根据定义,<n>表示不是n的约数的最小自然数.我们可以求得: <19>=2,<98>=3 ∴ <19>3<98>=233=6 <<19>3<98>>=<6>=4. 17.设小明摸出的10个球中有x个红球,y个黄球,z个蓝球. 依题意列得方程组:

①33-②得2x+y=9,即

y=9-2x.

由于y是非负整数,x也是非负整数. 易知 x

的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球.

所以阴影的总面积为

19.方程(3a+2b)x2 +ax+b=0是关于x的一元一次方程,且有唯一解,则

122

点点文化

20.设出发时甲速度为a米/分,乙速度为b米/分.第15分甲提高的速度为x米/分, 所以第15分后甲的速度是(a+x)米/分.依题意,到第15分时,乙比甲多跑15(b-a) 米,甲提速后3分钟(即第18分)追上乙,所以 (a+x-b)33=15(b-a) ①

接着甲又跑了5分(即第23分钟),已经超过乙一圈(400米)再次追上乙,所以 (a+x-b)35=400 ② 到了第23分50秒时甲跑完10000米,这10000米

解①,②得b-a=16米/分,x=96米/分. 代入③a=384米/分,所以b=400米/分. 乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的,所以乙跑完全程所用的时间是25分. 三、解答题 21.设这23个彼此不同的正整数为a1 ,a2 ,?,a23 . 不妨设 则 a1 <a2 <a3 <?a23 .它们的最大公约数是d.

a1 =d2b1 ,a2 =d2b2 ,?,a23 =d2b23

依题意,有4845=a1 +a2 +?+a23 =d(b1 +b2 +?+b23 ) 则应当有 且 因此 b1 ,b2 ,?b23 也为彼此不等的正整数.

b1 +b2 +?+b23 ≥1+2?+23=276. 4845=d(b1 +b2 +?+b23 )≥2762d.

123

点点文化

又因为

4845=19317315

因此,这23个不同的正整数的最大公约数的最大值可能是17. 我们证明,存在两两不等的23个正整数,它们的最大公约数恰为17.例如 a1 =17,a2 =1732,a3 =1733,?,a21 =17321, a22 =17322,a23 =17332. a1 +a2 +?+a23 =17(1+2+?+22)+17332 =173253+17332=173285=4845. 而(a1 ,a2 ,?,a22 ,a23 )=17. 所以符合题设条件的23个正整数的最大公约数的最大值是17. 22. (a)在平面上任取一点A.过A作二直线m1 与n1 .在n1 上取两点B,C,在m1 上取两点D, G.过B作m2 ∥m1 ,过C作m3 ∥m1 ,过D作n2 ∥n1 ,过G作n3 ∥n1 ,这时,m2 、m3 、n2 、n3 交得E、F、 H、I四点,如图14所示.由于彼此平行的直线不相交,所以图14中每条直线都恰与另3条直 线相交. (b)在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其中每条直线都恰与另外3条直 线相交. 理由如下: 假设平面上可以画出7条直线,其中每一条都恰与其他3条相交,因两直线相交只有一 个交点,又没有3条直线共点,所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点. 我们按直线去计数这些交点,共有337=21个交点,但每个交点分属两条直线,被重 复计数一次,所以这7条直线交点总数为

所以,满足题设条件的7条直线是画不出来的.

希望杯第十届(1999 年)初中一年级第二试试题
一、选择题:(每小题6分,共60分)以下每题的四个结论中,仅有

一个是正确的,请将表

124

点点文化
示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.

1 的相反数是( 1999
(A)1999

).

(B)-1999

(C)-

1 ; 1999

(D) ?

1 1999
).

2.已知a、b、c都是负数,并且│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,则xyz是( (A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数 3.下面四个命题中正确的是( ). (A)相等的两个角是对顶角 (B)和等于180°的两个角是互为邻补角 (C)连接两点的最短线是过这两点的直线 (D)两条直线相交所成的四个角都相等,则这两条直线互相垂直 4.a、b、c三个有理数在数轴上的位置如图所示,则( ). (A)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ; (B) c ?a c ?b a ?b b?c c?a b?a 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? (C) ; (D) c?a b?a b?c a ?b a ?c b ?c

5.7-a的倒数的相反数是-2,那么a=( ). (A)9 (B)7.5 (C)5 (D)6.5 6.一个角的补角的 (A)68°

1 是6°,则这个角是( 17
(C)88° (D)98°

).

(B)78°

7.如果ac<0,那么下面的不等式: ( )

a <0;ac2 <0;a2 c<0;c3 a<0;ca3 <0中,必定成立的有 c

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8.不超过100的所有质数的乘减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之 差的个位数字是( (A)3 ). (C)7 (D)9 ).
A B C D E

(B)1

9.已知0≤a≤4,那么│a-2│+│3-a│的最大值等于(

(A)1 (B)5 (C)8 (D)3 10.若n是奇自然数,a1 ,a2 , ?,an 是n个互不相同的负整数,则( (A)(a1 +1)(a2 +2)…(an +n) 是正整数; (C) ?

).

(B) (a1 -1)(a2 -2)…(an -n) 是正整数.

? ?1 ?? 1 ? ?1 ? 1 ?? 1? ? 1? ? 1?? ? 2 ??? ? n ? 是正数; (D) ?1 ? ?? 2 ? ?? ? n ? ? 是 a2 ? ? an ? ? a1 ?? a2 ? ? an ? a1 ?? ?

正数. 二、填空题(每小题6分,共60分) 11.如图,线段AB= BC= CD= DE= 1 厘米, 那么图中所有线段的长度之和等于______厘 米.

125

点点文化
1 ?1 2? ?1 2 3? ?1 2 3 4? 2 48 49 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? = 2 ?3 3? ?4 4 4? ?5 5 5 5? 50 50 ? ? 50 50

12. __

13.P是长方形ABCD的对角线BD上的一点,M为线段PC的中点.如果三角形APB的面积是2 平方厘米,则三角形BCM的面积等于___________平方厘米.
D

14.五位数 538xy 能被3,7和11整除,则x -y =_________. 15.如图,OM平分∠AOB,ON平分∠COD.若∠MON=50°, ∠BOC=10°,则∠AOD= _______. 16.三个不同的质数,a,b,c满足ab c+a=200,则a+b+c=_______.
b

2

2

N C O B M A

17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数, 使得这个五位数都被3,5,7,13整除.这样的五位数中最大的是___________. 18.A、B两个港口相距300公里.若甲船顺水自A驶向B,乙船同时自B 逆水驶向A,两船在 C处相遇.若乙船顺水自A驶向B,甲船同时自B逆水驶向A,则两船于D 处相遇,C、D相距30公 里.已知甲船速度为27公里/小时,则乙船速度是______公里/ 小时. 19.已知

x=1999,则∣4x2 -5x+9∣-4∣x2 +2x+2∣+3x+7=__________. 20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛,通过抽签决定出赛顺序. 在未公布 顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜: 甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至 少被一人所猜中,则出赛顺序中,第一是______, 第三是______,第五是_______. 三、解答题:(每小题15分,共30分)要求:写出推算过程. 21.一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求 这个长方形的面积.

22.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这 组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?

1999年度(第十届)初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案: 一、选择题 1.根据相反数的定义,

1 1 的相反数是,选(C). 1999 1999

2.由绝对值定义│x-a│≥0,│y-b│≥0,│z-c│≥0.而已知│x-a│+│y-b│+│ z-c│=0,当且仅当│x-a│=│y-b│=│z-c│=0,即x=a且y=b且z=c.已知a, b,c均为负数, 则x,y,z均为负数,因此xyz是负数.选(A). 3.如图8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC与∠BOC不是对顶角,排除(A).

126

点点文化
如图9,a∥b,同旁内角∠1+∠2=180°,但∠1与∠2并非互为邻补角,排除(B). 两点之间最短距离是连接这两点的线段,不能表述为过这两点的直线,排除( C). 因此应选(D).事实上,(D)正是两条直线互相垂直的定义.
C
1

a

A

O (8)

B

2

b

(9)

4.由图10可见c<b<a,所以0<a-b<a-c,0<b-c<a-c,由此

1 1 ?  ①   a ?c a ?b 1 1 0? ?  ②   a?c b?c 1 1 ?  ③   由①有 0 ? c?a b?a 1 1 ?  ④   由②有 0 ? c ?a c ?b 1 1 ? 0 及④可知应排除(A).由 ? 0 及③可知应排 由②知,应排除(D),由 a?b b?c 0?
除(C), 肯定(B),所以应选(B). 5.7-a的倒数是

1 1 1 1 1 ? ? ?2 . , 的相反数是.依题意列方程: 7?a a?7 a?7 7?a 7?a 1 1800 ? ? 为 ,依题意它是6°, 17 17

解得:a=6.5,选(D) 6.设这个角为a,a的补角等于180°-a,其

所以

1800 ? ? =6°. 解得α =78°.选(B). 17
a 2 2 2 3 <0,而a >0,c >0,因此a · ac<0,ca <0, c

7.由ac<0,可知a≠0,c≠0,a,c符号相反.所以 且c ac<0,c a<0. 若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a · c=1>0; 若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a·2 =1>0; c 2 2 可见,ac <0,a c<0 不一定成立. 所以ac<0时,只有
2 2 3

a <0,c3 a<0,ca3 <0 三个不等式必然成立.选(C). c

8.不超过1000的所有质数中包含质数2与5,所以不超过100的所有质数的乘积个位数 字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7,17,37,47四个,其乘积的末位数字是1,所以, 不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7 的所有质数的乘积所得差的个

127

点点文化
位数字为9.选(D). 9.①当0≤a≤2时, │a-2│+│

3-a│=2-a+3-a=5-2a≤5,当a=0时达到最大值5. ②当2<a≤3时, │a-2│+│3-a│=a-2+3-a=1 ③当3<a≤4时, │a-2│+│3-a│=a-2+a-3=2a-5≤234-5=3.当a=4时,达到最大值3. 综合①、②、③的讨论可知,在0≤a≤4上,│a-2│+│3-a│的最大值是5,选(B). 10.a1 ,a2 ,…,an 是n个互不相同的负整数,其中n是奇自然数. 若a1 =-1,a2 =-2,a3 =-3,…,an =-n, 时,(a1 -1)(a2 -2)…(an -n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1) 2× 6×…×(2n)<0(因为n是奇数), 4× 故排除(B). 若a1 =-1时, ?
n

?1 ? ? ?1 ?? 1 ? ?1 ? 1 ? =0,故 ? ? 1?? ? 2 ?? ? ? n ? ? 0 ,排除(C).故选(D). ? a1 ? ? a1 ?? a2 ? ? an ?

实事上,若a1 <0, a2 <0,?, an <0,则 ?

1 1 1 ? 0, ? ? 0,?, ? ? 0 , a1 a2 an

所以 1 ?

1 1 1 ? 0, 2 ? ? 0,?, n ? ? 0 , a1 a2 an

所以 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1? ?? 2 ? ?? ? n ? ? >0,故选(D). a1 ?? a2 ? ? an ?

二、填空题 11.图中,长为1厘米的线段共4条,长为2厘米的线段共3条,长为3 厘米的线段共2条, 长为4厘米的线段仅1条. 图中所有线段长度之和为 134+233+332+431=20(厘米). 12.设 s=
A B C (11) E

D

1 ?1 2? ?1 2 3? ?1 2 3 4? 2 48 49 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? , 2 ?3 3? ?4 4 4? ?5 5 5 5? 50 50 ? ? 50 50
又s=

1 ? 2 1 ? ? 3 2 1 ? ? 4 3 2 1 ? ? 49 48 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? , 2 ? 3 3 ? ? 4 4 4 ? ? 5 5 5 5 ? ? 50 50 50 ?

相加得 2s=1+2+3+4+?+49, 又 2s=49+48+47+?+2+1, 相加得 4s=50349=2450, 故 s=612.5 13.根据题意画图,如图12所示.连接AC交BD于O,则△ABO的面积等于△CBO 的面积,△

128

点点文化
APO的面积等于△CPO的面积.因此,△ABP的面积等于△CBP的面积,所以由△APB面积是2平 方厘米,可知△CBP面积是2平方厘米.而BM是△CBP的一条中线,三角形中线平分三角形的 面积,所以△BCM的面积等于1平方厘米. 14.由于五位数 538xy 能被3,7和11整除,可知337311=231整除 538xy . 试除知 2313230=53130 231× 231=53361 231× 232=53592 231× 233=53823 231× 234=54054 可见x=2,y=3.x -y =4-9=5. 15.如图13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD =2∠MOB+∠BOC+2∠CON =2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC =2∠MON-∠BOC =2× -10° 50° =90° 16.易知a(bb c+1)=2000=24 × 3 . 5 若a=5,则b c+1=400, ∴bb c=399=3× 133=3× 19 7× 无论c=3,7或19都不能求得质数b,故a≠5. 只能取a=2,此时b c+1=1000, ∴ bb c=999=33 × 37,则b=3,c=37, 因此,a+b+c=2+3+37=42. 17.所求五位数能被3、5、7、13整除,当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即 这个五位数是33537313=1365的倍数. 通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是7331365=99645. 但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出 7231364=98280(

两个8重复,不合要求). 7131365=96915(两个9重复,不合要求). 7031365=95550(三个5重复,不合要求). 6931365=94185(五个数码不同). 因此,所求的五位数最大的是94185. 18.已知A、B两港相距300公里,甲船速为27公里/小时.设乙船速为v公里/ 小时,小流 速为x公里/小时,则甲船顺水速为(27+x)公里/小时,逆水速为(27-x)公里/小时.乙船顺水 速为(v+x)公里/小时,逆水速为(v-x)公里/小时. 甲船自A顺水,乙船自B逆水同时相向而行,相遇在C处时间为:
b b 2 2

A

D

2

P

M C (12)

B

D N C B M (13) A

10?

O

300 300 ? (27 ? x) ? (v ? x) 27 ? v
同理,乙船自A顺水,甲船自B逆水同时相向而行,相遇在D处所需时间为:

129

点点文化
300 300 ? (27 ? x) ? (v ? x) 27 ? v
可见,两个时间相等. 由图易见,

300 小时中,乙船比甲船多走30公里,即: 27 ? v

300 300 ? (27 ? x) ? 30 , 27 ? v 27 ? v 300 ? 30 , ?(v ? x) ? (27 ? x)? 27 ? v v ? 27 1 ? ,v=33. 27 ? v 10 300 如果C在D的右边,由图15易见, 小时中,甲船比乙船多走30公里,即: 27 ? v (v ? x )

(27 ? x) ?

300 300 1 ? (v ? x ) ? ? 30 ,v=22 . 27 ? v 27 ? v 11 1 公里 11

答:若C在D的左边,乙船速度是33公里/小时;若C在D的右边,乙船速度是22 /小时. 2 2 19.由观察可知,当x≥1时,4x -5x+9>0,x -2x+2>0, 所以,当x=1999时, 原式=4x2 -5x+9-4(x2 -2x+2)+3x+7=-13x+9-8+3x+7=-10x+8 将x=1999代入,原式的值=-19990+8=-19982. 20.将每人猜测的出赛顺序列如下表: 甲 乙 丙 ∨ 1 ∨ 2 ∨ 3 ∨ ∨ ∨ 4 5

130

点点文化
丁 戊 ∨ ∨ ∨

∨ 由于每人的出赛顺序至少被一人猜中,戊被猜测的两个顺序号都是第四、 故可确 定戊是第四位出赛.这时丁不能第四位出赛,而丁的顺序至少被一人猜中, 所以丁应第五 位出赛.顺序推得丙只能第一位出赛,甲第三位出赛,乙第二位出赛. 答:出赛顺序第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁. 三、解答题 21.图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F,显然最小的正方形A的面积是1 平方 厘米,它的边为长1厘米. 设最大正方形B的边长为x厘米,则C的边长为(x-1)厘米,D的边长为(x-2) 厘米,E的边长为(x-3)厘米,F的边长也为(x-3)厘米. 根据矩形对边相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 所以 3x-8=2x-1 x=7(厘米)

于是,C的边长为6厘米,D的边长为5厘米,E和F的边长均为4厘米. 长方形的面积为 (7+6)3(7+4)=13311=143(平方厘米). 22.①设这组四位数共n个,分别为 a1 =42x1 , a2 =42x2 , a3 =42x3 ,…, an =42xn ,其中的每个 ai =42xi 是四位数, 所以 1000≤42xi <10000,

23 ?

1000 10000 ? xi ? ? 239 . 42 42

②由题设知 90090=[a1 ,a2 ,…,an ]=[42x1 , 42x2 ,…, 42xn ]=42[x1 , x2 ,…, xn ] 所以 [x1 , x2 ,…, xn ]=

90090 =2145=3× 11× 5× 13,其中23<xi <239. 42

(*)

可知xi 是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且

两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三个质因数组合 且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因 此最多产生7个两两不同的四位数. a1 =42× 33=1386, a3 =42× 55=2310, a5 =42× 143=6006, a7 =42× 195=8190. 它们的和等于42× (33+39+55+65+143+165+195)=42× 695=29190. 答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190. a2 =42× 39=1638, a4 =42× 65=2730, a6 =42× 165=6930,

131

点点文化

希望杯第十届(1999 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将 表示正确答案的英文字母填在表格内和每题后面的圆括号内。 1、0-(0-1999)=( )。 (A)19.99;(B)-1999;(C)1999;(D)0。 2、下面四个命题中正确的是( )。 (A)1 是最小的正有理数;(B)-1 是最大的负有理数; (C)0 是最小的正整数;(D)0 是最大的非正整数。 3、若 ,则 =( )。

(A)1;(B)-1;(C)0;(D)2。 4、设 ,则下述命题中正确的是( )。

(A)a 的偶次方的偶次方是负数;(B)a 的奇次方的偶次方是负数; (C)a 的奇次方的奇次方是负数;(D)a 的偶次方的奇次方是负数。 5、一元一次方程 2x+1=0 有( )。 )。 (A)正整数解;(B)负整数解;(C)正分数解;(D)负分数解。 6、 a 是最小的自然数, 是最大的负整数, 是绝对值最小的有理数, a-b+c=( 设 b c 则 (A)-1;(B)0;(C)1;(D)2。

7、







这四个数由小到大的排列顺序是(

)。

(A)









(B)









(C)









(D)





< )。



8、a,b,c 三个整数满足 a<b<c,则( (A) 。 ;(B)

;(C)

;(D)

132

点点文化

9、若 (A)

与 ;(B)

互为相反数,则 ;(C) ;(D)



的大小关系是( 。

)。

10、定义:一个工厂一年的生产增长率就是

3100%,如果该工厂 2000 , 则 等于( )。

年的产值要达到 1998 年产值的 1.44 倍, 而且每年的生产增长率都是 (A)5%;(B)10%;(C)15%;(D)20%。 二、A 组填空题(每小题 6 分,共 60 分)

11、 12、若 是 1998 的三个不同的质因数,且

=________。 ,则 =________。

13、

=________。

14、如图,矩形 ABCD 的面积为 1,BE:EC=5:2,DF:CF=2:1,则三角形 AEF 的面积的大小 为________。

15、已知

,则

=________。 16、计算 17、已知 和 是同类项,则 =________。 =________。

133

点点文化
18、如图,正方形的边长为 a,小圆的直径是 b,S 表示正方形面积与大圆面积的差,A 是

小圆面积,设圆周率为π ,则

=________。

19、 一次测验共出 5 道题

, 做对一题得 1 分, 已知 26 人的平均分不少于 4.8, 最低得 3 分, 至少有 3 人得 4 分,则得 5 分的有________人。 20、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则化简 得的结果是________。 三、B 组填空题(每小题 6 分,共 30 分) 21、若 0<x<10,则满足条件 的整数 a 的值共有________个,它们的和等于

________。 22、 若长方形的长、 宽都是整数, 且周长与面积的数值相等, 则长方形的面积等于________。 23、将一筐桔子分给若干个儿童,如果每人分 4 个桔子,则剩下 9 个桔子;如果每人分 6 个桔子,则最后一个儿童分得的桔子数将少于 3 个,由以上可推知共有________个儿童分 ________个桔子。 24、设 ________。 25、某种出租汽车的车费是这样计算的:路程在 4 公里以内(含 4 公里)为 10 元 4 角, 达到 4 公里以后,每增加 1 公里加 1 元 6 角;达到 15 公里后,每增加 1 公里加 2 元 4 角, 增加不足 1 公里时按四舍五入计算,则乘坐 15 公里该种出租车应交车费________元,某 乘客乘坐该种出租车交了车费 95 元 2 角,则这个乘客乘该出租车行驶的路程为________ 公里。 (精确到个位) 参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 D 7 B 8 A 9 C 10 D 满足 , ,则 =________, =

二、A 组填空题 题 号 11 12 13 14 15 1 6 1 7 18 19 20

答 案

1600

6

1 6

22

-2

三、B 组填空题
134

点点文化
题号 21 22 23 24 25

答案

7;21

18 或 16

7 人;37 个

28 元;43 千 米

希望杯第十一届(2000 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1. (?1) 2000 的值是( A 2000 B 1 ) C

?1

D ) D

? 2000

2. a 是有理数,则 A 1

11 的值不能是( a ? 2000 B ?1 C 0


? 2000

a 3.若 a ? 0, 则2000 ? 11a 等于(
A

2007 a

B

? 2007 a


C

? 1989 a

D 1989 a

4.已知: a ? 2, b ? 3 ,则( A C 5

ax2 y 2和bm3 n 2是同类项

B 3x a y 3和bx3 y 3是同类项

2b 5 a 2b 5 a bx2a?1 y 4和ax5 y b?1是同类项 C 5m n 和6n m 是同类项









1999 ? 1999 ? 1999 2000 ? 2000 ? 2000 2001 ? 2001 ? 2001 ,b ? ? ,c ? ? 1998 ? 1998 ? 1998 1999 ? 1999 ? 1999 2000 ? 2000 ? 2000 则 abc ? ( ) A ?1 B 3 C ?3 D 1 a??
6.某种商品若按标价的八折出售,可获利 20%,若按原标价出售,则可获利( A 25% B 40% C 50% D 66.7% 7.如图,长方形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,F 是 BC 上的一点,且 CF ? 则长方形 ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍。 )

1 BC , 3

135

点点文化
A 2 B 3 C 4 D 5

8.若四个有理数 a, b, c, d 满足:

1 1 1 1 ,则 ? ? ? a ? 1997 b ? 1998 c ? 1999 d ? 2000

a, b, c, d 的大小关系是(
A C



a?c?b?d B b?d ?a?c c?a?b?d D d ?b?a?c

9.If

a 2 ? b 2 ? 0 ,then the equation ax ? b ? 0 for A only one root. C infinite roots(无穷多个根).

x has (



B no root. D only one root or no root.

10.小明编制了一个计算程序。当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数 的平方与 1 之和。 若输入 ? 1 , 并将所显示的结果再次输入, 这时显示的结果应当是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 二、A 组填空题(每题 6 分,共 60 分) 11.用科学计数法表示 2150000=_____________。 12.一个角的补角的 等于它的余角,则这个角等于______度。 13.有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示:

1 3

1000 ? _______ m . 若 m ? a ? b ? b ?1 ? a ? c ? 1 ? c , 则
14.如图,在长方形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,F 是 CE 的 中点。若 ?BDF 的面积为 6 平方厘米,则长方形 ABCD 的 面积是________平方厘米。 15 .

a 的 相 反 数 是 2b ? 1 , b 的 相 反 数 是 3a ? 1 , 则

a 2 ? b 2 ? _ _ _ _ _ 。_ _
16.Suppose(设) A spends 3 days finishing

1 1 of job,B 4 days doing of it. Now if A 2 3

and B work together, it will take ____ days for them to finish it. 17.某商店将某种超级 VCD 按进价提高 35%,然后打出“九折酬宾,外送 50 元出租车 费” 的广告。 结果每台超级 VCD 仍获利 208 元。 那么每台超级 VCD 的进价是________ 元。 18.如图,C 是线段 AB 上的一点,D 是线段 CB 的中点。已知图中所有线段的长度之 和为 23, 线段 AC 的长度与线段 CB 的长度都是正整数, 则线段 AC 的长度为_____。

136

点点文化

19.张先生于 1998 年 7 月 8 日买入 1998 年中国银行发行的 5 年期国库券 1000 元。回 家后他在存单的背面记下了当国库券于 2003 年 7 月 8 日到期后他可获得的利息为 390 元。若张先生计算无误的话,则该种国库券的年利率是_______。 20.甲、乙分别自 A、B 两地同时相向步行,2 小时后在中途相遇。相遇后,甲、乙步 行速度都提高了 1 千米/小时。当甲到达 B 地后立刻按原路返向 A 返行,当乙到达 A 地后也立刻按原路返向 B 地返行。 甲乙二人在第一次相遇后 3 小时 36 分钟又再次相 遇。则 A、B 两地的距离是________千米。 三、B 组填空题(每题 6 分,共 30 分) 21.有理数 ? 3,?8,?

1 1 ,0.1,0, ,?10,5,?0.4 中,绝对值小于 1 的数共有____个;所有正 2 3

数的平方和等于____________。

2 y 3与 x 3 y 7?2 n 是同类项,则 m2 ? 2 n ? _____, 2 ? 2 m ? _____. n 3 23.设 m和n 为大于 0 的整数,且 3m ? 2n ? 225 。 (1)如果 m和n 的最大公约数为 15,
22.若 ? 4 x
m?2

则 m ? n ? ______ . (2)如果 m和n 的最小公倍数为 45,则 m ? n ? ______ . 24.若 a, b, c 是两两不等的非 0 数码。按逆时针箭头指向组成的两位数 ab, bc 都是 7 的 倍

数。则可组成三位数 abc共____个;其中的最大的三位数与最小的三位数的和等 于_______。 25.某书店积存了画片若干张。按每张 5 角出售,无人买。现决定按成本价出售,一下 子全部售出。共卖了 31 元 9 角 3 分。则该书店积存了这种画片 张成本价_______元。 2000年度初一第一试“希望杯”全国数学邀请赛答案: 一、选择题 1. 由-1的偶次方为正1,-1的奇次方为负1可得(-1)2000 =1,所以应选(B). 2. ∵a是有理数, ∴不论a取任何有理数, 要注意当选(D)时, 确的. 3.∵ a<0,∴│a│=-a, ∴ 2000a+11│a│=2000a-11a=1989a,所以应选(D). 4.由同类项的定义可知,当a=2,b=3时,(A)为:2x3 y2 和3m2 n2 ,显然不是同类项.(B)为 3x2 y3 和3x3 y3 , ∵x2 与x3 不同,所以也不是同类项.(C)为3x232+1 y4 和3x5 y3+1 ,即3x5 y4 和 3x y ,∴ (C)是同类项,故应是(C).
5 4

_______张,每

11 的值永远不会是0. ∴选(C).但 a ? 2000

11 这个式子本身无意义, ∴不能选(D).故选(C)是正 a ? 2000

137

点点文化
(D)为5m233n532 =5m6 n10 和6n233 m532 =6n6 m10 ,显然也不是,所以本题的答案应为(C). 5.∵ a=-

1999 ? (1999 ? 1) 1999 ?1998 ?? ? ?1 , 1998 ? (1998 ? 1) 1998 ?1999

b=

2000 ? (2000 ? 1) 2000 ?1999 ?? ? ?1 , 1999 ? (1999 ? 1) 1999 ? 2000 2001? (2001 ? 1) 2001? 2000 ?? ? ?1 , 2000 ? (2000 ? 1) 2000 ? 2001

c=

∴ abc=(-1)3(-1)3(-1)=-1,故应选(A). 6.设某种商品的标价为x,进价为y.由题意可得: 80%x=(1+20%)y 解之得 x=

3 y . 2



x 3 ? ,这就是说标价是进价的1.5倍, y 2
3 1 y ? y ? y ,即是进价的50%,所以应选(C). 2 2

所以若按标价出售可获利为

7.设长方形ABCD的长为a,宽为b,则其面积为ab.在△ABC中, ∵ E是AB的中点,

1 1 2 b,又∵以FC= a,∴ BF= a, 2 3 3 1 2 1 1 1 ∴ △EBF的面积为 ? a ? b ? ab ,但△ABC的面积= ab , 2 3 2 6 2 1 1 1 ∴阴影部分的面积= ab ? ab = ab , 2 6 3
∴ BE= ∴ 长方形的面积是阴影部分面积的3倍,故应选(B). 8.由

1 1 1 1 ? ? ? , a ? 1997 b ? 1998 c ? 1999 d ? 2000
可知a-1997=b+1998=c-1999=d+2000,由这个连等式可 得:a>b,a<c,a>d;b<c,b>d,c>d,由此可得c>a>b>d,故应选(C).

9.由ax+b=0可得x=-

b ,∵a2 +b2 >0,∴a、b不会同时为0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,方程 a b 有惟一的解x=- ,所以应选(D). a

10.因为当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1 之和,所以若输 2 2 入-1,则显示屏的结果为(-1) +1=2,再将2输入,则显示屏的结果为2 +1=5 ,故应选择 (D). 二、A组填空题 11.∵ 2150000=2.163 10
6

138

点点文化
∴ 用科学计数法表示2150000=2.153106 . 12.设这个角的度数为x,则它的余为90°-x,它的补角为

1 (180°-x). 由题意知, 3

1 (180° -x)=90° -x 3
解之得 x=45 ∴ 这个角等于45度. 13.由图示可知,b<a<0,c>0, ∴ │a+b│=-(a+b

),│b-1│=1-b,│a-c│=c-a,│1-c│=1-c, ∴ 1000n=10003(-a-b-1+b-c+a-1+c) =1000× (-2) =-2000 14.如图所示.设这个长方形ABCD的长为a厘米,宽为b厘米.即BC=a,AB=b,则其面积为ab平 方厘米.∵ E为AD的中点,F为CE的中点,∴过F作FG⊥CD,FQ⊥BC且分别交CD于G、BC于Q, 则FQ=

1 1 1 CD= b,FG= a. 2 2 4 1 1 1 1 1 因△BFC的面积= BC2FQ= a2 b,同理△FCD的面积= · b2 a, 2 2 2 2 4
∴△BDF的面积=△BCD的面积-( △BFC的面积+△CDF的面积),即 6=

1 1 1 1 ab-( ab+ ab)= ab 2 4 8 8

∴ ab=48. ∴ 长方形ABCD的面积是48平方厘米. 15.∵ a的相反数是2b+1,b的相反数是3a+1,由此可得: ? 解之得 a=∴a2 +b2 =

??a ? 2b ? 1 ??b ? 3a ? 1

1 2 ,b=- . 5 5

1 . 5 1 1 ? 3 ? ,B的工作效 2 6

16.设A、B一起工作需要x天完成这件工作.由题意知,A的工作效率为

率为

1 1 ?1 1 ? ? 4 ? ,根据题意可列方程为 ? ? ? x ? 1 3 12 ? 6 12 ?

解之得 x=4. ∴ A and B work together,it will take 4 days for them to finish it. 17.设每台超级VCD的进价为x元,则按进价提高35%,然后打出“九折”的出售价每台为 x2(1+35%)390%元,由题意可列方程为: x· ((1+35%)× 90%-50=x+208 1.35× 0.9x=x+258

139

点点文化
0.215x=258 x=1200 ∴ 每台超级VCD的进价是1200元. 18.由图知,图中共有六条线段,即AC、AD、AB、CD、CB、DB.又因D是CB 的中点, 所以CD=DB,CB=2CD,AB=AC+2CD,AD=AC+CD,由题意可得 AC+AD+AB+CD+CB+DB=23,即 AC+AC+CD+AC+2CD+CD+2CD+CD=23,也即 3AC+7CD=23 ∴ AC=

23 ? 7CD , 3

∵ AC是正整数,∴ 23-7CD∣3的条件是CD=2,也即23-7CD=9时,能被3整除, ∴AC=3. 19.设该国库券的年利率为x,则由题意可列方程: 1000× x=390 5× 解之得 x=7.8% 所以,该国库券的年利率为7.8%. 20.设甲每小时行v1千米,乙每小时行v2 千米,则甲乙两地的距离就是2(v1 +v2 )千米. 由题意可得: 3.62(v1 +v2 +2)=4(v1 +v2 ),0.4(v1 +v2 )=7.2, v1 +v2 =18. ∴2(v1 +v2 )=2318=36,即A、B两地的距离为36千米. 三、B组填空题 21.绝对值小于1的数共有5个.所有正数的平方和等于89 22.∵ -4xm-2 y3 与

109 . 900

2 3 7-2n x y 是同类项, 3

∴?

?7 ? 2n ? 3 ,解之,得 m=5, n=2 ?m ? 2 ? 3

∴m2 +2n =29,n2 +2m =36. 23.∵ m、n为大于0的整数,且3m+2n=225,若(m,n)=15,则3m=3315=45,2n= 2390=180, ∴ m=15,n=90 ∴(1)m+n=15+90=105. (2)若[m,n]=45,则m+n=45+45=90. 24.若 ab, bc 都是7的倍数,则可组成 abc 的三位数共有15个,其中最大的是984,最小的是 142,它们的和是1126. 25.∵ 每张的成本价小于5角.但又能被31元9角3分整除. 所以可设每张成本价为x角y分, 则3193∣ xy ,显然 xy =31(分).即每张成本价为0. 31 元. 这种画片共有3193÷ 31=103(张).

140

点点文化

希望杯第十一届(2000 年)初中一年级第二试试题
初一 第 2 试 一、选择题 (每小题 6 分,共 60 分) 以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请 将

表是正确答案的英文字母添在每题后面的圆括号内。 1. ?

1 1 的相反数是( ) (A)2000(B) (C) ?2000 (D)1 2000 2000

2.有如下四个命题: ① 有理数的相反数是正数 ② 两个同类项的数字系数是相同的 ③ 两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和 ④ 两个负有理数的比值是正数 其中真命题有( ) (A)4 个(B)3 个(C)2 个(D)1 个 3.如图 1,平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交,途中 的同旁内角共有( ) (A) 4 对(B)8 对(C)12 对(D)16 对 4.If [a] indicates the greatest integer less than a,then ( ) (A) a ? 1 ? [a] ? a (B) a ? 1 ? [a] ? a (C) a ? [a] ? a ? 1 (D) a ? 1 ? [a] ? a 5.已知三个锐角的度数之和大于 180 , 则一定有一个锐角大于 ( ) (A)81 (B)76 (C)
? ?
?

68? (D) 60?
6. 如果有理数 a,b,c,d 满足 a+b>c+d,( 则
3 3 3 3 4 4

a ( )A)a ?1 ? b ?1 ? c ? d (B) ? b ? c ? d
2 2 2 4 4

2

(C) a ? b ? c ? d (D) a ? b ? c ? d

7.有三个正整数 a,b,c,其中 a 与 b 互质且 b 与 c 也互质。给出下面四个判断:①(a ? c)2 不能被 b 整除② a ? c 不能被 b 整除③ (a ? b)2 不能被 c 整除④ a ? b 不能被 c 整除
2 2 2 2

其中,不正确的判断有(

) (A)4 个(B)3 个(C)2 个(D)1 个
3 2

8.已知 a 是不为 0 的整数。并且关于 x 的方程 ax ? 2a ? 3a ? 5a ? 4 有整数根。则 a 的 值共有( ) (A)1 个(B)2 个(C)6 个(D)9 个

9. 已知代数式

x 2 (ax5 ? bx3 ? cx) 当 x=1 时, 值为 1, 那么该代数式当 x= ?1 时的值是 ( ) x 4 ? dx 2

(A)1(B) ?1 (C)0(D)2 10.在某班的新年晚会上,每个同学都写若干字条祝福他人,已知在任意四个人中,每一 位都祝福其他三人中的至少一位,那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有
141

点点文化
( )位(A)1(B)2(C)3(D)4

二、填空题 (每小题 6 分,共 60 分) 11.甲车的车轮转一周在地上的车轮印痕长为 90 厘米,乙车的车轮转 120? 时,车轮印痕 长为 20 厘米,那么,甲车轮直径是乙车轮直径是 12 . 已 知 : a ? ?3 倍

1 3 8 1 1 1 , b ? ( ?1)100 ? 3 ? (?5 ) , c ? ( ? 4) ? (?2 ) , ?6 7 49 11 2 3 3

d?

20 ? (?3) 2 ,则 a ? b ? c ? d = 21

13.If x ? 3 , y ? 1 , z ? 4 ,and x ? 2 y ? z ? 9 , then x 2 y 4 z 6 = 14.若 (2x2 ? x ?1)3 ? a0 x6 ? a1x5 ? a2 x4 ? a3 x3 ? a4 x2 ? a5 x ? a6 ,则 a1 ? a3 ? a5 = 15.已知 a=1999,b=1。则 a 2 ? 2b 2 ? 3ab = 16. 如图 2, 正方形 ABCD 的面积是 1。 AE=EB, DH=2AH, CH=3DG,BF=4FC。则四边形 EFGH 的面积是 17.从甲地到乙地是上坡路,从乙地到丙地是下

坡路,王 燕同学自甲地途径乙地到丙地,立即在沿原路返回甲地, 公用 3.5 小时,已知王燕上坡速度相同,下坡速度也相同, 并且走上坡路所用时间比下坡路所用时间多 0.5 小时。那 么,王燕走上坡路共用了
3

小时

18.满足 m ? n ? 331 的正整数 m 和 n 的最大公约数记为 k。那么所有这样的 k 值得和等 于 19.在满足 x ? 2 y ? 3 , x ? 0 , y ? 0 的条件下 x ? 2 y 能达到的最大值是 20.某商店每月的销售额存放在计算机中。用 4 位数码表示月份:第 1,2 位是年份数的 后两位,第 3,4 位是月份数。现有如下数据 月份 9909 9910 9911 9912 销售额(万元) 月份 1.2 1.3 1.5 2.0 0001 0002 0003 0004 销售额(万元) 2.4 2.0 1.8 1.9

某软件提供自动统计的功能:输入开始、结束月份(如 9910,0002) ,计算机则会输出从 开始月份到结束月份的总销售额。该软件的统计方法是:检查存放数据中每个月的信息, 如果某一个月的 4 位数码的每一位都不大于结束月份对应位的数码,并且不小于开始月份 对应位的数码,则将该月份的销售额计算在内,否则就跳过去,将计算机统计 1999 年 9 跃到 2000 年 3 月的总销售额记为 a,实际总销售额为 b,则 a ? b 等于 三、解答题 (每小题 10 分,共 30 分) 21.一个人的背包可以装 12 千克的物品,现有五件物品如下:

142

点点文化
物品 重量(千克) 价值(百元) A 3 12.36 B 3 C 4 D 2 14 E 6 60

255 13

307 17

该人把五件物品中的若干件装入背包,使得背包中物品的价值最 大,请你指出背包中所装物品时哪几件?他们的总价值是多少百 元? 22.矩形 ABCD 的面积是 36 平方厘米。在边 AB、AD 上分别取 点 E、F,使得 AE=3EB,DF=2AF,DE 与 CF 的交点为 O。计算

?FOD 的面积是多少平方厘米。 23.A 和 B 是高度同为 h 的圆柱形容器,底面半径分别为 r 和 R,
且 r<R。一龙头单独向 A 注水,用 T 分钟可以注满容器 A。现将 两容器在他们高度的一半处用一个细管连通( 连通细管的容积 忽略不计) ,仍用该水龙头向注水 A,问 2T 分钟时,容器 A 中 水的高度是多少?(注:若圆柱体底面积半径为 R,高为 h,体 积为 V,则 V ? ? R 2 h 。 ) 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 11 1.5 21 2 D 12 3 D 13 36864 4 A 14 5 D 15 4002000 6 A 16 7 A 17 2 8 C 18 6 9 B 19 6 10 B 20

?1
22 4

?4

67 120
23

?12.2

93

8 13

①当 3r ? R 时
2 2

2r 2 h 1 h ②当 3r 2 ? R 2 时 2 2 r ? R2

希望杯第十二届(2001 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

143

点点文化
1 的负倒数是( 2001 1 A.- B.2001 2001
12- )2 C2-2001 D.

1 2001

2.下列运算中,正确的一个是( ). 3 2 A.(-2) =-6 B.-(

-3) =-9 C.2 32 =2 D.-2 ÷(-2)=4 3.若|m|>m,则 m 的取值范围是( ). A. m≥0 B m≤O C.m>0 D.m<O 4.如图,∠AOD 是直角,∠AOB=∠BOC=∠COD.在图中所有的角中,45°的 角有( ). B.1 个 C.2 个 D.3 个 ). D.倒数的相反数 A. O 个 5.当 x=
3 3 9 3

2 2 时,代数式 1+3x 的值是- 的( 3 3
B.倒数 C.相反数

A.绝对值

6.珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高 9003 m.已知,珠穆朗玛峰海拔高度是 8848 m, 则吐鲁番盆地的海拔高度是( ). A.-155 m B.155 m C.-17851 m D.17851 m 7.下面四个命题中.正确的命题是( ). A.两个不同的整数之间必定有一个正数 B.两个不同的整数之间必定有一个整数 C.两个不同的整数之间必定有一个有理数 D.两个不同的整数之间必定有一个负数 8. 如图, 在一个正方形的四个顶点处, 按逆时针方向各写了一个数: 2, 0,O,1.然后取各边中点,并在各中点处写上其所在边两端点处的两 个数的平均值. 这四个中点构成一个新的正方形, 又在这个新的正方形 四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值. 连续这样做到 第 10 个正方形,则图上写出的所有数的和是( ). A.30 9.If ma b
m 3-n

B.27
a m

C.20

D.10
200l

and n b are similar terms,then the value of(m—n)

is(

).

(英汉小字典:similar terms 同类项;value 值.) A.O B.1 C.-1 D.-3200l 10. k 为整数, 若 则使得方程(k-1999)x=2001—2000x 的解也是整数的 k 值有( A.4 个 B.8 个 C.12 个 D.16 个 二、A 组填空题(每小题 5 分,共 50 分) 11.计算: ).

191919 7676 ? = 767676 1919
2001

12.若|x+y-1|与|x—y+3|互为相反数.则(x+y) = 13.已知 5 是关于 x 的方程 3mx+4n=0 的解,那么 n/m= 14.将 2001 表示为若干个(多于 1 个)连续正奇数的和,考虑所有不同的表示方法.将每 种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组,则这组数中最大的数是 .

144

点点文化
15.为使某项工程提前 20 天完成任务,需将原定的工作效率提高 25%.则原计划完成这项 工程需要 天. 16.如图,△ABC 的面积等于 12 平方厘米.D 是 AB 边的中点.E 为 AC 边 上一点,且 AE=2EC.0 为 DC 与 BE 的交点.若△DBO 的面积为 a 平方厘米, △CEO 的面积为 b 平方厘米.则 a-b= 平方厘米. 17.已知 a<O,且|a|≤a,则|2x-6|—|x-2|的最小值是 18.If the equation m(x-1)=2001-n(x-2)for x .
2001

has infinite roots,then m

+n

2001

=

(英汉小字典:equation 方程;infinite roots 无数个根.) 19.若进货价降低 8%而售出价不变,那么利润(按进货价而定)可由目前的 p%增加到 (p+10)%,则原来的利润是 20.修建一所房子有一系列工作要做,其中某些工作要在其他一些工

作完成之后才能进 行.表 1 列出修建一所房子的每项工作的前面的工作和完成该工作所需的时间.问修建该 房子最快的时间是 天. 表l 编号 1 2 3 4 5 6 7 工作 地基 挖沟 管线 砌砖 喷漆 木工 屋顶 2 1.2,3 4 4 6 前面的工作 无 无 延续的时间(天) 4.O 1.7 2.O 15.0 4.8 8.4 10.0

三、B 组填空题(每小题 10 分,共 50 分) 21.一个整数与 5 之差的绝对值大于 1999 而小于 2001,则这个整数是 22.在所有各位数字之和等于 34,且能被 11 整除的四位数中最大的一个是 小的一个是 . 23.平面内两两相交的 6 条直线,其交点个数最少为 24.We have the following numbers: , 个,最多为 ,最 个

9 12 27 36 54 , , , ,the maximum number among them 5 7 17 19 29

is ,the minimum number is (英汉小字典:number 数;maximum 最大的; minimum 最小的.) 25.有两种蠓虫,一个是疾病的媒介,记为 A;另一种却是有益的花粉传播者,记为 B.现 有 A、B 两种蠓虫各 6 只,它们的触角和翼的长度列如表 2: 表2

145

点点文化
A种 翼长 1.78 1.86 1.96 2.OO 2.OO 1.86 触角 1.14 1.20 1.18 1.26 1.28 1.29 . 翼长 1.72 1.74 1.70 1.82 1.82 1.82 B种 触角 1.24 1.36 1.4l 1.38 1.48 1.50

记 6 只 A 种蠓虫的平均翼长、触角长分别为 A1 和 A2 ,6 只 B 种蠓虫的平均翼长、触角 长分别为 B1 和 B2.问|A1 -B1 |+|A2 -B2 |等于 .对于一只新捕捉到的蠓虫,记其翼 长和触角长分别为 x 和 y.如果|x—A1 |+|y—A2 |>|x—B1 |+|y—B2 |,则认为它是 A 种蠓虫, 否则认为是 B 种蠓虫.现知,x=1.80,y=1.24,则可认为该蠓虫是 种蠓虫.

初一 1 B 11 2 D 12 1 22 9988 3 D 13 4 A 14 669 24

第 1 试参考答案 5 D 15 100 25 0.31,B 6 A 16 2 7 C 17 5 8 A 18 0 9 C 19 10 B 20 37.4

?

15 4

?

15 4

15 0 0

21 2005 或 ?1995

23 1.15

36 27 , 19 17

希望杯第十二届(2001 年)初中一年级第二试试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.数 a 的任意正奇数次幂都等于 a 的相反数,则( ). A.a=0 B.a=-1 C.a=l D.不存在这样的 a 值 2.如图所示,在数轴上有六个点,且 AB=BC=CD=DE=EF,则与点 C 所表示的数最接近的整 数是( ).

146

点点文化

A.-1 B.0 C.1 D.2 3.我国古代伟大的数学家祖冲之在距今 1500 年以前就已经相当精确地算出圆周率π 是在 3.1415926 和 3.1415927 之间,并取

355 22 为密率、 为约率, 则( 113 7 333 355 22 A.3.1415<π < B. <π < 106 113 7 333 355 22 C. <π < D. <π <1.429 106 113 7
A.4 B.3 C.2 D.1

).

4.已知 x 和 y 满足 2x+3y=5,则当 x=4 时,代数式 3x2 +12xy+y2 的值是

(

).

5.两个正整数的和是 60.它们的最小公倍数是 273,则它们的乘积是( ). A.273 B.819 C.1911 D.3549 6.用一根长

为 a m 的线同成一个等边三角形,测知这个等边三角形的面积为 b m2 .现于 这个等边三角形内任取一点 P,则点 P 到等边三角形三边距离之和为( A. ).

2b m a

13.

4b m a

C.

6b 8b m D. m a a
result of

7.If we let(a)be the greatest prime number not more than a.then the the expression((3)3(25)3(30))is( ). A.1333 B.1999 C.2001 lb.2249

(英汉小字典: greatest prime number 最大的质数 result 结果; expression 表达式. ) 8.古人用天干和地支记次序,其中天干有 10 个:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、 癸;地支有 12 个:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.将天干的 10 个 汉字和地支的 12 个汉字分别循环排列成如下两行: 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸?? 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥?? 从左向右数,第 l 列是甲子,第 2 列是乙丑,第 3 列是丙寅??,则当第 2 次甲和子 在同一列时,该列的序号是( ). A.31 A.ab<O B.61
2

C.91

D.121 ). D.a+b<0

9.满足(a-b) +(b-a)|a-b|=ab(ab≠0)的有理数 a 和 b,一定不满足的关系是( B.ab>0 C.a+b>0 lO.已知有如下一组 x,y 和 z 的单项式: 7x3 z2 ,8x3 y,

1 2 1 x yz,-3xy2 z,9x4 zy,zy2 , ? xyz,9y3 z,xz2 y,0.3z3 . 5 2

我们用下面的方法确定它们的先后次序:对任两个单项式,先看 x 的幂次,规定 x 幂 次高的单项式排在 x 幂次低的单项式的前面;再看 y 的幂 次.规定 y 的幂次高的排在 y 的幂次低的前面;再看 z 的幂次,规定 z 的幂次高的排在 z 的幂次低的前面. 3 将这组单项式按上述法则排序,那么,9y z 应排在( ). A.第 2 位 B.第 4 位 C.第 6 位 D.第 8 位 二、填空题(每小题 5 分,共 50 分) l1.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角.则这个锐角的度

147

点点文化
数等于
2


2001

12.If a +a=0,then the result of a

+b

2000

+12 is

l3. 如图, △ABC 中, E、 G 均为 BC 边上的点, BD=CG, D、 F、 且 DE=GF=

1 BD, 2

EF=3DE.若 S△ABC =l,则图中所有三角形的面积之和为 . 14.使关于 x 的方程|x|=ax+1 同时有一个正根和一个负根的整数 a 的 值是 . 15. 小明的哥哥过生日时, 妈妈送了他一件礼物: 3 年后可以支取 3000 元的教育储蓄. 即 小 明知道这笔储蓄年利率是 3%(按复利计算),则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存 储 元(银行按整数元办理存储).

16.m 为正整数.已知二元一次方程组 ? 有整数解,即 x,y 均为整数,则 m2 =

?mx ? 2y ? 10 ?3x - 2y ? 0


17.如图。矩形 ABCD 中,F 是 CD 的中点,BC=3BE,AD=4 HD.若长方形 的面积是 300 平方米,则阴影

部分的面积等于 平方米. 18.一幅图象可以看成由 m 行 n 列个小正方形构成的大矩形,其中每个 小正方形称为一个点,每个点的颜色是若干个颜色中的一个.给定了 m, n 以及每个点的颜色就确定了一幅图象.现在,用一个字节可以存放两个点的颜色.那么 当 m 和 n 都是奇数时,至少需要 个字节存放这幅图象的所有点的颜色. 19.在正整数中.不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是 20.在密码学中,称直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密 码.对于英文,人们将 26 个字母按顺序分别对应整数 0 到 25.现有 4 个字母构成的密码 单词,记 4 个字母对应的数字分别为 x1 ,x2 ,x3 ,x4 .已知整数 x1 +2x2 ,3x2 ,x3 +2x4 ,3x4 除以 26 的余数分别为 9,l6,23,12,则密码的单词是 . 三、解答题(21、23 题各 15 分,22 题 20 分,共 50 分) 21.有依次排列的 3 个数:3,9,8.对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数, 所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8.这称为第一次操作; 做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9.-10,-1,9,8.继续依 次操作下去,问:从数串 3,9,8 开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之 和是多少? 22.如图,AB∥ED,α =∠A+∠E,β =∠B+∠C +∠D. 证明:β =2α . 23. 一玩具工厂用于生产的全部劳力为 450 个工时, 原料为 400 个单位. 生 产一个小熊要使用 l5 个工时、20 个单位的原料,售价为 80 元;生产一个小猫要使用 10 个工时、5 个单位的原料,售价为 45 元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫 的个数,可以使小熊和小猫的总售价尽可能高.请用你所学过的数学知识分析,总售价是 否可能达到 2200 元?

148

点点文化

〖答案〗 一. 选择题: 1. A 6. C 11. 60 ? 15. 2746 19. 17 三. 解答题: 21. 一个依次排列的 n 个数组成一个 n 一数串: a1 ,a 2 ,a3 ,?,an , 依题设操作方法可得新增的数为: 2. C 7. B 12. 12 16. 4 20. hope 3. C 8. B 13. 7 17. 137.5 4. D 9. A 14. 0 18. 5. B 10. D

二. 填空题(本大题共 60 分。对于每个小题,答对,得 6 分;答错或不答,不给分)

1 ( mn ? 1) 2

a2 ? a1 ,a3 ? a2 ,a4 ? a3 ,??,an ? an?1
所以,新增数之和为:

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ????(an ? an?1 ) ? an ? a1 ( * )
原数串为 3 个数:3,9,8 第 1 次操作后所得数串为:3,6,9, ?1,8 根据(*)可知,新增 2 项之和为: 6 ? ( ?1) ? 5 ? 8 ? 3 第 2 次操作后所得数串为: 3,3,6,3,9, ?10 , ?1,9,8 根据(*)可知,新增 2 项之和为:

3

? 3 ? ( ?10) ? 9 ? 5 ? 8 ? 3
按这个规律下去,第 100 次操作后所得新数串所有数的和为:

(13 ? 9 ? 8) ? 100 ? (8 ? 3) ? 520
22. 证法 1:因为 AB / / ED , 所以 ? ? ?A ? ?E ? 180 (两直线平行,同旁内角互补)
?

过 C 作 CF / / AB (如图 1) 因为 AB / / ED ,所以 CF / / ED (平行于同一条直线的两条直线平行) 因为 CF / / AB ,有 ?B ? ?1 , (两直线平行,内错角相等) 又因为 CF / / ED ,有 ?2 ? ?D , (两直线平行,内错角相等) 所以 ? ? ?B ? ?C ? ?D ? ?1 ? ?BCD ? ?2 ? 360 (周角
?

定义)

149

点点文化
所以 ? ? 2? (等量代换) 证法 2:因为 AB / / ED , 所以 ? ? ?A ? ?E ? 180? (两直线平行,同旁内角互补) 过 C 作 CF / / AB (如图 2) 因为 AB / / ED ,所以 CF / / ED (平行于同一条直线的两条直线平行) 因为 CF / / AB ,有 ?B ? ?1 ? 180 ? , (两直线平行,同旁内角互补) 又因为 CF / / ED ,有 ?2 ? ?D ? 180? , (两直线平行,同旁内角互补) 所以 ? ? ?B ? ?C ? ?D

? ?B ? (?1 ? ?2) ? ?D ? ( ?B ? ?1) ? (?2 ? ?D) ? 180? ? 180? ? 360?
所以 ? ? 2? (等量代换)

23. 设小熊和小猫的个数分别为 x 和 y, 总售价为 z, z ? 80 x ? 45 y ? 5(16 x ? 9 y ) *) 则 ( 根据劳力和原材料的限制,x 和 y 应满足

15x ? 10 y ? 450,20x ? 5y ? 400
化简为 3x ? 2 y ? 90 及 4 x ? y ? 180

(1) (2)

当总售价 z ? 2200 时,由(*)得

16 x ? 9 y ? 440 (3) (4) (2) ? 9 得 36x ? 9 y ? 720 (4) ? (3) 得 20x ? 720 ? 440 ? 280 , 即 x ? 14( A) 9 27 (1) ? 得 x ? 9 y ? 405 (5) 2 2 5 (3) ? (5) 得 x ? 440 ? 405 ? 35 , 2 x ? 14 ( B) 即
综合(A)(B)可得 x ? 14 ,代入(3)求得 y ? 24 、 当 x ? 14,y ? 24 时,有 3x ? 2 y ? 90,4 x ? y ? 80 满足工时和原料的约束条件, 此时恰有总售价
150

点点文化

z ? 80 ? 14 ? 45 ? 24 ? 2200(元)
答:只需安排生产小熊 14 个、小猫 24 个,就可达到总售价为 2200 元。

希望杯第十三届(2002 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.(-1)22002-(-1) =( A.-2001 2. B.-1989
13

). C.2 ). D. D.-2015

1 是有理数,则它的相反数是( a 1 A.a B.-a C.- a
2001

1 a
+b
2003

3.如果(a+b)

=-1,(a-b)

2002

=1,则 a

2003

的值是(

).

A.2 B.1 C.0 D.-1 4.下面四个命题中,正确的是( ). A 一切有理数的倒数还是有理数 B.一切正有理数的相反数必是负有理数 C.一切有理数的绝对值必是正有理数 D.一切有理数的平方是正有理数 2 5.如果 x=-1 是方程 x +mx+n=O 的一个根,那么 m,n

的大小关系是 ( A m>n B.m=n C. m<n D.不确定的 ).

6.某品牌的 VCD 机成本价是每台 500 元,3 月份的销售价为每台 625 元.经市场预测,该 商品销售价在 4 月份将降低 20%,而后在 5 月份再提高 8 %.那么在 5 月份销售该品牌的 VCD 机可获利( ). A25% B.20%
m p n q

C.8%

D.12 % ). D.m=n 且 p=q

7.If ax y and bx y are similar terms,then we must have( A.a=b B.mn=pq C.m+n=p+q (英汉小字典:similar terms:同类项) 8.如果 2a+b=O,则 | A.2 B.3

a |a| ?1| ? | ? 2 | 等于( |a| b
D.5

).

C.4

9.当 x 取 1 到 l0 的整数时.整式 x2 +x+11 所对应的数值中质数的个数是 ( ). A.1 O B.9 C.8 D.7 lO.某学生骑自行车上学,开始以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修 车耽误了几分钟. 为了按时到校, 他加快了速度, 但仍然保持匀速行进, 结果准时到校. 他

151

点点文化
骑自行车行进的路程 s 与行进的时间 t 的关系有如下 4 种示意图,其中正确的是( ).

A. B. C. D. 二、A 组填空题(每小题 5 分,共 50 分) 11.下表是我国北方某城市 2001 年各月的平均气温表: 月份 (℃) 这个城市 2001 年全年的月平均气温是 ℃. 12. 如图是一个三棱柱, 在它的五个面内的 18 个角中, 直角最多可达到 个. 13.某种电器产品,每件若以原定价的 95 折销售,可获利 150 元,若以原定价的 75 折销售,则亏损 50 元.该种商品每件的进价为 元. 14.2002 的约数有 个. 15.The radius of the four circles is one in the Fig.2,then the area of the shade part is . (英汉小字典:radius:半径;shade:阴影)16.一轮船从甲地到乙地顺流行驶需 4 h, 从乙地到甲地逆流行驶需 6 h,有一木筏由甲地漂流至乙地,需 17.甲乙两市相距 55 km.王鸣同学从甲市出发去乙市,先步行了 25 km, 接着改骑自行车,速度提高了 1 倍,到达乙市后,他发现行程中步行所用的 时间比骑自行车所用的时间多 l h,则王鸣同学步行的速度是 km/ m 18.红、黄、蓝三个小精灵,在同一时间、同一地点按顺时针方向沿一条圆 形跑道匀速行进.当绕行一周时,红精灵用 12 s,黄精灵用 8 s,蓝精灵用 9 s.那么在 l h 内红、黄、蓝三个小精灵共相遇 次.(起始的状态也记为 1 次) 19.C 是线路 AB 的中点,D 是线段 CB 上的一点,如图 3 所示,若所有线段的长度都是正 整数,且线段 AB 的所有可能的长度数的乘积等于 140,则线段 AB 的所有可能的长度数的 和等于 . h. 1 2 —9 3 —2 7 4 5 16 6 23 7 27 8 27 9 24 10 14 11 —9 12 -11 平均气温 -15

20.对于整式 6x +5x +4x +3x +2x+2002,给定 x 的一个数值后,如果李平按四则运算的规 则计算该整式的值.需算 15 次乘

法和 5 次加法.小梅同学说:“有另外一种算法,只要 适当添加括号, 可以做到加法次数不变, 而乘法只算 5 次. ”小梅同学的说法是 (填“对"或“错"). 三、B 组填空题(每小题 10 分,共 50 分) 21.已知 a ? 的

5

4

3

2

1 1 4 =-2,则 a ? 4 = a a

a4 ?

1 = a4

22.若一个正整数 a 被 2,3,?,9 这八个自然数除,所得的余数都为 1,则 a 的最小值

152

点点文化
是 .a 的一般表达式为 .

23.已知 m 是整数且-60<m<-30,关于 x,y 的二元一次方程组 ?

?2x - 3y ? -5 ?- 3x - 7y ? m

有整数解,则 m= x2 +y= . 24.小燕同学对某地区 1998 年至 2001 年快递公司的发展情况作了调查,制成了快递公司 个数情况的条形图(如图 1)和快递公司快件传递的年平均数情况条形图(如图 2).那么, 利用图 1、图 2 共同提供的信息可知,2001 年该地区邮递快件共 万件;这四年中 该地区年均邮递快件数为 万件.

25.计算机中的最小存储单位是“位”,位有 0 与 1 两个状态.一个字节由 8 个“位"构 成.利用固定位数的存储空间每位不同的状态可以记忆数字.如果用两个字节共 16 位记 忆不小于 O 且不大于 N 的整数, 那么 N 最大可以是 . 现在用两个字节记忆不小于 m 且不大于 M 的整数,如果 M+m=-1,m<M,那么 m 最小可以是 .

参考答案
一、选择题 题号 答案 题号 答案 1 A 11 8.25 2 C 12 14 3 D 13 800 4 B 14 16 5 A 15 4 6 C 16 24 23 -50;30 7 D 17 10 8 B 18 51 9 B 19 24 10 C 20 对

二、A 组填空题

三、B 组填空题 题号 21 答案 2;0

22 1;2520n+1(n 是自然数)

24 200;120

25 65535;-32768

希望杯第十三届(2001 年)初中一年级第二试试题
一、选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 1.2002+(-2002)-2002 3(-2002)÷2002=( A.-4004 B-2002 C.2002 ). D.6006.

153

点点文化
2.下列四个命题: ①如果两个角是对顶角,则这两个角相等. ②如果两个角相等,则这两个角是对顶角. ③如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等. ④如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角. 其中正确的命题有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.爸爸给女儿园园买了一个(圆柱形的)生日蛋糕,园园想把蛋糕切成大小不一定相等的 若干块(不少于 10 块), 分给 1 O 个小朋友, 若沿竖直方向切分这块蛋糕, 至少需要切( ) 刀. A.3 B.4 C.6 D.9
2 2 2 2

4. x 取 1 到 10 之间的质数时, 当 四个整式: +2, +4, +6 和 x +8 的值中, x x x 共有质数( 个. A.6 B.9 C.12 D.16 5.1f a is an odd nurnber,then there must exist an integer n such that a 2 —l =(

)

).

(英汉小字典:odd number 奇数;there must exist 一定存在;such that 使得) A.3n B.5n C.8n D.16n 6.如图,

直线上有三个不同的点 A、B、C,且 AB≠BC.那么,到 A、B、C 三点距离的和 最小的点( ).

A.是 B 点 B.是线段 AC 的中点 C 是线段 AC 外的一点 7.下面四个命题中一定不正确的命题是( ). A.3a2 b7 和 7b7 a2 是同类项 B.3x-1=O 和 3+

D.有无穷多个

2 =0 是同解方程 x -1

C.a-3 和 3-a 互为倒数 D.x3 -6 和-x3 —6 互为相反数 8.如图,O 为直线 AB 上的一点,OM 平分∠AOC,0N 平分∠BOC,则图 中互余的角有( A.1 对 ). D.4 对 B.2 对 C.3 对

9.如图 3,点 A、B 对应的数是 a、b,点 A 在一 3、-2 对应的两点(包 括这两点)之间移动,点 B 在-1、0 对应的两点(包括这两点)之间移动,则以下四式的值, 可能比 2008 大的是( ).

A.b-a

B.

1 1 1 C. ? D.(a-b)2 a b b?a
most ).

l O.Let a be the average0f aIl odd prime numbers less than50 .The integer, close to a is( (英汉小字典:average 平均值;odd prime number 奇质数.)

154

点点文化
A.23 B24 C.25 D.26

二、填空题(每小题 5 分,共 50 分) 11.2002 年 8 月,在北京召开国际数学家大会.大会会标如图 4 所示.它是 由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方 形的面积是 13,小正方形的面积是 1.则每个直角三角形的两条直角边的立 方和等于 . 12.数学小组中男孩子人数大于小组总人数的 40 %且小于 50%,则这个数学小组的成员至 少有 人. 13.甲、乙两同学从 400 m 环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒 2 m 和每秒 3 m 的 速度慢跑.6 s 后,一只小狗从甲处以每秒 6 m 的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每 秒 6 m 的速度向甲跑,如此往返直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了 m. 14.小红的妈妈将一笔奖金存入银行,一年定期,按照银行利率牌显示:定期储蓄一年的 年利率是 2.25%,利息税是 20%,经计算,小红的妈妈可在一年后得到税后利息 108 元, 那么小红的妈妈存入的奖金是 元. 15.如图所示,边长为 3cm 与 5 cm 的两个正方形并排放在一起.在大正 方形中画一段以它的一个顶点为圆心,边长为半径的圆弧.则阴影部分 的面积是 cm2 (π 取 3). 16.一辆新型家庭轿车油箱的容积为 50 L,加满油由北京出发前往相距 2300 km 的第九届 全国运动会举办地广州,已知汽车行驶 100 km 耗油 8 L,为保证行车安全,油箱内至少应 存油 6 L,则在去广州的途中至少需要加油 次. 17.如图所示的是蜂巢的一部分.从中间阴影算起,有 27 层,每个正六边 形的小室中放进一个幼蜂,那么这个蜂巢总计可以放 18.已知 x=2,y=-1,z=-3 是三元一次方程组 只幼蜂.

?mx - ny - z ? 7 ? 2 ?2nx - 3y - 2mz ? 5 .的

解,则 m —7n+3k= ?x ? y ? z ? k ?
19.5 位数 2X9Y1 是某个自然数的平方,则 3X+7Y=





20.研究发现,某种感冒药含有使人感到困倦的物质,如果成年人按规定剂量服用,服药 后 3 h 时血液中这种物质的含量最高(每毫升血液中含 6 微克,l 微克=10-6 克),随后逐步 减少,在 9 h 的时候,血液中这种物质的含量降到每毫升 3 微克,当每毫升血液中该物质 的含量不少于 4 微克时,人会有困倦感,那么服用这种药后人会有困倦感的时间会持续 小时(设人体对该药物的吸收与释放是均匀的). 三、解答题(21、22 题各 15 分,23 题 20 分,共 5O 分) 21.为鼓励居民用电,某市电力公司规定了如下电费计算方法: 每月用电不超过 100 度,按每度电 O.50 元计费; 每月用电超过 100 度,超出部分按每度电 0.40 元计费. (1)若某用电户 2002 年 1 月交电费 68.00 元,那么该用户 1 月份用电多少度? (2)若某用电户 2002 年 2 月平均每度电费 0.48 元,那么该用户 2 月份用电多少度? 应交电费多少元?

155

点点文化
22.△ABC 的面积是 1 cm2 .如图所示,AD=DE= EC,BG=GF=FC,求阴影 四边形的面积. 23.我国除了用公历纪年法外,在很多场合还采用干支纪年法表示年代.例如:公历 2002 年,干支纪年为壬午. 天干有 10 个:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸; 地支有 12 个:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥. 将天干的 10 个汉字与地支的 12 个汉字对应排列成如下两行: ??甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸??, ??子丑寅卯辰已午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥??. 同一列上下对应的两个字就是一个于支年年号. 请你阅读下面的故事: 我国著名的数学家苏步青在 1983 年讲过一个学文史的也要学点数学的故事:“我有 一个学生研究古典文学,送我好几本研究苏东坡的文集,我翻看了一篇《赤壁赋》《赤壁 , 赋》是苏东坡哪一年写的?书上印的是 1080 年,苏东坡生于 1037 年,活了 64 岁. 《赤壁 赋》开头几句就是:壬戌之秋,七月既望.大家知道 1982 年是干支纪年法的壬戌年.我 一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是 1080 年,就知道一定是错的." 请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算"得出这个结论的?并推算苏东坡是哪一年写 的《赤壁赋》? 答案 一、选择题 题号 答案 题号 答案 1 C 11 35 2 B 12 7 3 B 13 444 4 A 14 6000 5 C 15 18.75 6 A 16 4 7 C 17 2107 8 D 18 113 9 C 19 29 10 A 20 5

二、填空题

三、解答题 21、 (1)100 度电的电费为 0.503100=50(元) 又 68>50 所以该用户 1 月份的电量超过了 100 度,超出部分为

68 ? 50 ? 45 (度) 0.40
该用户 1 月份

共用电 100+45=145(度) (2)设该用户 2 月份用电 x 度,则应交电费 0.48x 元. 因为 2 月份平均每度电交 0.48 元电费 所以 2 月份用电量超过 100 度 根据题意列方程 得 0.503100+0.40(x-100)=0.48x 整理 即 得 50+0.40x-400.48x (0.48-0.40)x=50-40

156

点点文化
解得 x=125(度)

0.48x=0.483125=60.00(元) 答:该用户 1 月份用电 145 度;2 月份用电 125 度,应交电费 60.00 元 22、解:如图 7,设 AG 与 BE 交于 N,AF 与 BE 交于 P, 连接 NC,ND,PC,PD 设△NGB 的面积为 x,△NGE 的面积为 y,则有△NCG 的面 积为 2x,△NEA 的面积为 2y 因为 △ABC 的面积是 1 平方厘米 且 AD=DE=EC,BG=GF=FC 所以 △BCE,△ACF 的面积是 Q M N B G 图7 P F E C A D

1 平方厘米 3

2 △ACG 的面积是 平方厘米 3

所以

1 ? ?3 x ? y ? 3 ? ? ?2 x ? 3 y ? 2 ? 3 ?

解得

1 ? ? x ? 21 ? ? ?y ? 4 ? 21 ?

所以△NGB 的面积是

1 平方厘米 21

设△PCF 的面积为 u ,△PCE 的面积为 v ,则有

1 ? ?3u ? v ? 3 ? ? ?u ? 3v ? 1 ? 3 ?
所以 即 所以

4u ? 4v ?

2 3



u?v ?

1 6

四边形 PECF 的面积是

1 平方厘米 6 1 1 1 5 ? ? 阴影四边形的面积= ? (平方厘米) 3 21 6 42

23、 (1)理由如下: 因为 所以 因为 12 与 10 的最小公倍数是 60, 干支纪年法每 60 年为一个循环 1982 年壬戌年,而 1982-1080 = 902

而 902 显然不是 60 的倍数 所以 1908 年秋天不可能是“壬戌之秋” 所以 苏步青一看苏轼(苏东坡)写《赤壁赋》的时间是 1080 年,就知道一定是错 的 (2)因为 1982-1080 = 900 是 60 的倍数

157

点点文化
又 故 又 所以 1082 年 1982 年是壬戌年,所以 1082 年也是壬戌年

1082 年之前的壬戌年是 1082-60 = 1022 1082 年之后的壬戌年是 1082+60 = 1142 苏轼(苏东坡)生于 1037 年,活了 64 岁,而 1037>1022,且 1143>1037+64 可由《赤壁赋》中的“壬戌之秋”推测,苏东坡写《赤壁赋》的时间是

希望杯第十四届(2003 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.(-1)2003 -(-1)2002 的值是( A.2 B1 C.O D.-2 ). ).

2.2003 年 3 月 23 日是星期日,那么 2003 年的元旦是( A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 3.a 为有理数,下列说法中正确的是( ).

1 2 ) 为正数 2003 1 2 ) 为正数 C. a ? ( 2003
A. ( a ? 为正数
2003 2003

1 2 ) 为负数 2003 1 2 D. a ? 2003
B.- ( a ?

4.如果 a +b =O,那么( ). 2003 2003 A.(a+b) =0 B.(a-b) =0 C.(a2b)2003 =0 D.(|a|+|b|)2003 =0 5.在下列 4 个判断 ①在同一平面内,不相交也不重合的两条线段一定平行. ②在同一平面内,不相交也不重合的两条直线一定平行. ③在同一平面内, 不平行也不重合的两条线段一定

相交. ④在同一平面内,不平行也不重合的两条直线一定相交. 中.正确判断的个数量( ). A.4 B.3 C.2 D.1 6.若 a=一 A.a<b<c

2004 2003 2002 ,b=,c=,则( 2003 2002 2001
B. c<b<a C.c<a<b

)

D.b<a<c amusement park(游乐园) is

7. The admission price(入场费)per child at an

5 0f 9

the admission price per adult.If the admission price for6 adu lts and3 children is¥276,then the admission price per adult is( A.¥24 B¥32 C.¥36 D.¥40 ).

8.如图 1,将一个长为 a、宽为 b 的长方形(a>b)沿虚线剪开,拼接成图 2,成为在一角去
158

点点文化
掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为( ).

A.

a?b 2
).

B.a—b

C.

a 2

D.

b 2

9.用 1O 根长度相同的木棍拼成一个三角形(不剩余木棍也不折断木棍),则只能拼成 ( A.直角三角形 R 等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形 10.有一个边长为 4 m 的正六边形客厅,用边长为 50 cm 的正三角形瓷砖铺满,则需要这 种瓷砖( ). A.216 块 B.288 块 C.384 块 D.512 块 A 组填空题(每小题 5 分,共 50 分) 11.小明和小华做掷硬币的游戏:将同一枚硬币各掷三次,小明掷时,朝上的面都是“国 徽”,才获胜;小华掷时,朝上的面只要一次是“国徽” ,即获胜.获胜可能性大的是 12.某电脑公司派甲、乙二人各携带两台电脑分别乘坐出租车送给同一个客户,其中一辆 起价为 4 kmlO 元,而后每公里收 1.2 元;另一辆起价为 3 kmlO 元,而后每公里收 1.6 元,当他们到达时,发现所付车费相差 10 元,则该电脑公司与客户处相距 13 . The sequence( 序 列 ) km.

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 , , , , , , , , , , , then the 2003rd number 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5

is . 14.某校初中一年级有三个班:l 班有 34 人,2 班有 38 人,3 班有 32 人.三个班都按统 一的比例派同学参加运动会的比赛项目,全年级未参加比赛的有 78 人,则 3 班参加比赛 项目的有 人. 15.已知 p,q 都是质数,以 x 为未知数的方程 px+5q=97 的根是 1,则 40p+l0lq+4 的值 是 . 16.文件保密传递常常是按一定规则将其加密,收件人再按约定的规则将其解密.某电文 按下面规则加密:将一个英文字母变成英文字母表中其后的第四个字母,如 a 变成 e,b 变成 f,w 变成 a,z 变成 d??那么"hope'’加密后是 17.世界杯中,中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎加 队同分在 C 组.赛前,50 名球迷就 C 组哪支球队将以 小组第二名进入十六强进行竞猜, 统计结果如图. 认为 中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的 百分比为 . .

18.长度相等,粗细不同的两枝蜡烛,其中的一枝可燃 3 小时,另一枝可燃 4 小时.

将这 两枝蜡烛同时点燃, 当余下的长度中, 一枝是另一枝的 3 倍时, 蜡烛点燃了 19.用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的 7 个正方形花坛的边缘, 小时.

159

点点文化
正方形每边都等距离地摆 n(n≥3)盆花.那么所需菊 花的总盆数 S 与 n 的关系可以表示为 . 20.一排蜂房编号如图 5,左上角有一只小蜜蜂,还 不会飞。 只会向前爬行, 它爬行到 8 号蜂房, 共有 路线. 三、B 组填空题(每小题 10 分,共 50 分) 2l.用一个两位数去除 2003,余数是 8.这样的两位数共有 个,其中最大的两 位数是 . 22.用一张长 20 m、宽 8 m 的纸片卷成(无重合部分)一个高为 8 m 的圆柱,那么这个圆 柱的底面圆的半径是 m,圆柱的体积是 m3 . 个顶点 条 23.观察图,三棱柱有 5 个面 6 个顶点 9 条棱,四棱柱有 6 个面 8 个顶点 12 条棱,五棱 柱有 7 个面 10 个顶点 l5 条棱, 由此可推测 n 棱柱有(n+2)个面 棱. 种

24.如图.若数轴上 a 的绝对值是 b 的绝对值的 3 倍,则数轴的原点在点 点 .(填“A"、“B’’、“C”或“D”)



25.如图,△ABC 的面积等于 25 cm2 ,AE==ED,BD=2DC,则△AEF 与△BDE 的面积之和等于 cm2 ,四边形 CDEF 的面积等于 cm2 .

题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 11 华

1 D

2 B 12

3 D 13 50/63

4 A 14 8

5 C

6 B 15

7 C 16

8 A

9 10 B C 17 18

小 25 19 S=23n-28 22

2003 lsti 36% 8/3 20 55 23 24 C;D 21 6:95 25 10;20/3

10/π ; 800/π

2n:3n

160

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希望杯第十四届(2003 年)初中一年级第二试试题
一、选择题(每小题 5 分.共 50 分) 1.某班有 30 名男生和 20 名女生.60%的男生和 30%的女生参加了天文小组,该班参加天 文小组的人数占全班人数的( ). A.60% B.48% C.45% D.30%

2 1 ? 4.5 (1 ? 2) 2 2. 3 =( ? 1 5 ? ? ? 1.3 | ? | 2 23 ? 122 A.- B.- 20 45
A.x>0 B.x>-1

)

C.-

177 20

D.-

292 45
).

3. 数轴上的点 A、 C 分别对应数: -1. C 与 A 的距离大于 C 与 B 的距离, B、 0, x, 则( C.x<-

1 2

D.x<-1

4.对任意的三个整数.则( A 它们的和是偶数的可能性小

). B.它们的和是奇数的可能性小

C.其中必有两个数的和是奇数 D.其中必有两个数的和是偶数 5.油箱装满油的一辆汽车在匀速行驶.当汽油愉剩油箱体积的一半时就加满油.接着义 按原速度行驶,到目的地时油箱中还剩有 时间为 t(分钟).则 V 与 t 的图象是(

1 体积的汽油.设油箱中所剩汽油量为 V(升), 3
).

6.将长为 12 的线段截成长度为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三 角形( ). A 不可能是等腰三角形 C.不可能是等边三角形 B.不可能是直角三角形 D.不可能是钝角三角

形 )cm 3.O 8.0

7.有一个最多能称 16 kg 的弹簧秤,称重时发现,弹簧的长度(cm)与物体的重量(kg)之 间有一定的关系.根据下表考虑:在弹簧称重范围内.弹簧最长为( 重量(kg) 长度(cm) A.18 8.If(a)= 0.5 5.5 16.19 1.O 6.0 C.20 D.21 for all integers(整数) a,and b=<8),then(b) is( ). 1.5 6.5 2.O 7.0 2.5 7.5

a (a ? 1) 2

A.36 13.72 C.666 D.1332 9.有一串数:-2003,-1999,-1995,-1991??按一定的规律排列,那么这串数中 前( )个数的和最小.

161

点点文化
A.500 B.501 C.502 D.503

1O.“希望杯”四校足球邀请赛规定: (1)比赛采用单循环赛形式; (2)有胜负时,胜队得 3 分,负队得 O 分; (3)踢平时每队各得 1 分. 比赛结束后,四个队各自的总得分中不可能出现( A.8 分 B.7 分 C.6 分 D.5 分 填空题(每小题 5 分.共 50 分) 11.如果方程 2003x+4a=2004a-3x 的根是 x=l,则 a= 之和等于 74 平方厘米。则阴影三角形的面积是 ).

. 平方厘

12.如图中的大、小正方形的边长均为整数(厘米),它们的面积 米. 13.如果 x2 +x-1=0,则 x3 +2x2 +3= . 14.If a,b,c,d are rational numbers(有理数),|a-b|≤9,|c—d|≤16 and |a- b-c+d|=25,then 15.a 和
2

|b-a|-|d—c|=

. .

18 都是正整数,则 a= a ?a?2


16.如图,ABCD 是平行四边形,E 在 AB 上,F 在 AD 上,S△BCE =2S△CDF =

1 S□ABCD =1,则 S△CEF = 4

17.用中心角为 120°,半径为 6 cm 的扇形卷成一个圆锥(没有重叠), 这个圆锥的表面积是 cm . 18.画一条直线,可将平面分成 2 个部分,画 2 条直线,最多可将平面分成 4 个部分,那 么,画 6 条直线最多可将平面分成 19.a 与 b 互为相反数,且|a-b|= 个部分.
2

a ? ab ? b 4 。那么 2 = 5 a ? ab ? 1


20.正整数 m 和 n 有大于 1 的最大公约数,且满足 m3 +n=371,则 mn= 三、解答题(21、23 题各 15 分,22 题 20 分,共 50 分) 21.某同学想用 5 个边长不等的正方形,拼成如图所示的大正方形.请 问该同学的想法能实现吗?如果能实现,试求这 5 个正方形的边长;如 果不能,请说明理由. 22.规定:正整数 n 的“H 运算"是 ①当 n 为奇数时,H=3n+13; ②当 n 为偶数时.H=n3

1 1 3 3?(其中 H 为奇数). 2 2

如:数 3 经过 1 次“H 运算”的结果是 22,经过 2 次“H 运算"的结果是 11。经过 3 次 “H 运算”的结果是 46. 请解答: (1)数 257 经过 257 次“H 运算"得到的结果. (2)若“H 运算”②的结果总是常数 a,求 a 的值.

162

点点文化
23.救灾指挥部,将救灾物品装入 34 个集装箱:4 吨的集装箱 3 个,3 吨的集装箱 4 个, 2.5 吨的集装箱 5 个。1.5 吨的集装箱 10 个,1 吨的集装箱 l2 个,那么至少需要

多少辆 载重 5 吨的汽车才能一次将这些救灾物品运走?提出你的运输方案. 参考答案: 一.BACDA,DDCBA. 二.11.1.003; 17.16 ? ; 三. 21.答:不能实现. 理由:假设能够实现,不妨设中间小正方形的边长为x(x>0),左下角的正方形的边长为 y(y>0),则左上角的正方形的边长为(y-x),右上角的正方形的边长为(y-2x),于是有右 下角的正方形的边长为(y-3x)或(y+x). 所以,y-3x=y+x, 于是4x=0,得x=0. 与x>0矛盾,所以该同学的想法不能实现.
H ? 22.(1)一个正整数n经达一次“H运算”的结果是b,记为:n ?? b,则257经过 H ? 笫1次“H运算”:257 ?? 25733+13=784;

12.7; 18.22;

13.4; 19.
4 ; 25

14.-7; 20.196.

15.4;

7 16. ; 4

H ? 笫2次“H运算”:784 ?? 7843

1 =49; 24

H ? 笫3次“H运算”:49 ?? 4933+13=160;

H ? 笫4次“H运算”:160 ?? 1603

1 =5; 25

H ? 笫5次“H运算”:5 ?? 533+13=28;

H ? 笫6次“H运算”:28 ?? 283

1 =7; 22

H ? 笫7次“H运算”:7 ?? 733+13=34;

1 H ? 笫8次“H运算”:34 ?? 343 =17; 2
H ? 笫9次“H运算”:17 ?? 1733+13=64;

163

点点文化
H ? 笫10次“H运算”:64 ?? 643

1 =1; 26

H ? 笫11次“H运算”:1 ?? 133+13=16;

H ? 笫12次“H运算”:16 ?? 163

1 =1; 24

H ? 笫13次“H运算”:1 ?? 133+13=16;

H ? 笫14次“H运算”:16 ?? 163

1 =1; 24

从笫11步以后出现循环,奇数步的结果为16,偶数步的结果为1. 因此,笫257步后的结果为16. (2)若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环,此时“H运算”②的运算结果总是a, 则a一定是个奇数,那么,对a进行“H运算”①的结果a33+13是偶数. 再对a33+13进行“H运算”,即 a33+13乘以 于是
1 的结果仍是a, 2k

a ? 3 ? 13 =a, 2k

也即a33+13=a32k , 即a3(2k -3)=13=1313. 因为a是正整数, 所以2k -3=1或2k -3=13, 解得k=2或k=4. 当k=2时,a=13; 当k=4时,a=1. 23.为了用载重量5吨的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组 合,即尽量使每一节汽车都能装满. 由题设可知,物资总重63.5吨,而12<63.5÷5<13,由此可知,要把救灾物品一次运走, 需要的汽车不能少于13辆. 于是我们提出如下设计方案: A类:每辆装4吨集装箱1个和1吨集装箱1个,按排3辆汽车; B类:每辆装3吨集装箱1个和1吨集装箱2个,按排4辆汽车;

164

点点文化
C类:每辆装2.5吨集装箱2个,按排2辆汽车; D类:每辆装2.5吨、1.5吨、1吨集装箱各1个,按排1辆汽车; E类:每辆装1.5吨集装箱3个,按排3辆汽车; 而3+4+2+1+3=13(辆), 因此,要把救灾物品一次运走,需要汽车至少13辆.

希望杯第十五届(2004 年)初中一年级第一试试题
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将 表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。 1、如果 m

是大于 1 的偶数,那么 m 一定小于它的 (A)相反数 (B)倒数 (C)绝对值 (D)平方 2、式子 (A) (C) 去括号后是 (B) (D)

3、图 1 中有 8 个完全相同的直角三角形,则图中矩形的个数是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、 已知 的值是 (A)3 5、有理数 (A) (C) >0 (B)7 (C)13 (D)15 , 记 的个位数字是 , 十位数字是 , 则

的大小关系如图 2 所示,则下列式子中一定成立的是 (B) (D) < >

6、某动物园有老虎和狮子,老虎的数量是狮子的 2 倍。每只老虎每天吃肉 4.5 千克, 每只狮子每天吃肉 3.5 千克,那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉

(A)

(B)

(C)

(D)

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点点文化
7、如图 3 所示,凸四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 O 点。 若三角形 AOD 的面积是 2, 三角形 COD 的面积是 1, 三角形 COB 的面积 是 4,则四边形 ABCD 的面积是 (A)16 (B)15 (C)14 (D)13

8、若-1< < <0,则下列式子中正确的是

(A)



(B)



(C)



(D)



9、下列 4 个图形中,轴对称图形有

(A)1 个 10、若

(B)2 个 为有理数,且

(C)3 个

(D)4 个 ,则

(A)-8 (B)-16 (C)8 (D)16 二、A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分。含两个空的小题,每个空 2 分。 ) 11、2003 年 10 月 15 日 9 时 9 分 50 秒,我国“神舟”五号载人飞船准确进入预定轨 道。16 日 5 时 59 分,返回舱与推进舱分离,向地面返回。其间飞船绕地球飞行了 60 万千 米。 “神舟”五号载人飞船共巡天飞行了 秒,飞船的平均速度是 千米/秒。 (答 案取整数) 12 、 计 算 。 13、某地上半年降雨量如图 4 所示,那么在该地 25 平方千米 的范围内, 上半年平均每月降雨 14 、 已 知 立方米。用科学记数法表示) ( 都 是 整 数 。 15、若 16、若 能被 9 整除的是 。 是能被 3 整除的五位数,则 的可能取值有 。 ,let[a]denote the maximum integer which does not exceed .For 个;这样的五位数中 , 且 :

17、 a real number For

example,[3.1]=3,[-1.5]=-2,[0.7]=0. Now let
166

,then

点点文化
。 (英汉小词典 real number:实数;the maximum integer which does not exceed :不 超过 的最大整数) 18、同学们参加了高空气球飞行实验,把实验的设计者介绍:气球的高度每增加 1 千米,其温度将下降约 6℃。现测得地面的温度是 8℃,高空气球的温度是-3℃,则这个 实验气球的飞行高度大约是 千米。 (保留至小数点后两位) 19、 某同学步行前往学校时的行进速度是 6 千米/小时, 从学校返回时的行进速度是 4 千米/小时,那么该同学往返学校的平均速度是 千米/小时 20、 如图 5 所示, 在一块三角形绿地上开辟一块四

块形花圃 (四边形 CDFE)AC=CB=10 , 米,四边形花圃的最长加 CD=8 米,三角形 BDF 的面积是 平方米;四 边形花圃 CDFE 的面积是 平方米。 三、B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分。每题两个空,每个空 4 分。 ) 21、在中关村电脑节上,希望电脑在让利 288 元后,再以八折销售,售 价是 5280 元, 那么该电脑的原售价是 元; 在得知如此销售仍可获利 5.6% 后, 希望公司董事会决定将已经售出的 100 台电脑的利润全部捐献给希望工 程。那么,此次希望工程可获得捐款 元。 22、图 6 中正方形 GFCD 和正方形 AEHG 的边长都是整数,它 们的面积之和是 117, 是 AE 上一点, 是 CD 上一点。 P Q 则三角形 BCH 的面积是 ;四边形 PHQG 的面积是 。 23、如图 7,甲乙两车分别自 A、B 两城同时相向行驶,在 C 地 相遇,继续行驶分别达到 B、A 两城后,立即返回,在 D 处再次相遇。 已知 AC=30 千米,AD=40 千米,则 AB= 千米,甲的速度:乙的 速度= 。 满足条件 ;② 。 < > ;③ > > ,则 ;④ > 中,正确不等式

24、有理数 ① 的序号是 > 和

25、在期中考试中,同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名。在期 末考试中,他们又是班上的前四名。如果他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相 同,那么排名情况有 名情况有 种可能。 种可能;如果他们的排名都与期中考试中的排名不同,那么排

希望杯第十五届(2004 年)初中一年级第二试试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)以下每题的四个选项中,仅有一个正确的,请将表
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示正确答案的英文字母填在后面的圆括号内。 1、已知 a ? ? 2004? 15 ,则 a 是( A、合数 B、质数
2

) D、负数 D、非正数

C、偶数

2 若 7a+9|b|=0,则 ab 一定是( ) A、正数 B、负数 C、非负数

3、a 与 b 之和的倒数的 2003 次方等于 1,a 的相反数与 b 之和的 2005 次方也等于 1, 2003 2004 则 a +b =( ) 2005 A、2 B、2 C、1 D、0 4、如图 1,三角形 ABC 的底边 BC 长 3 厘米,BC 边上的高是 2 厘 米,将三角形以每秒 3 厘米的速度沿高的方向向上移动 2 秒,这时,三 角形扫过的面积是( A、21 )平方厘米。 B、19 C、17 D、15

5、小明的妈妈春节前去市场买了 3 公斤葡萄和 2 公斤苹果,花了 8 元钱,春节后,再 去市场买这两种水果,由于葡萄每公斤提价 5 角钱,苹果每公斤降 3 角钱,买 7 公斤葡萄 和 5 公斤苹果共花了 21 元,则春节后购物时, (葡萄、苹果)每公斤的价格分别是( ) 元。 A、 (2.5,0.7) B、 (2,1) C、 (2,1.3) D、 (2.5,1) )

2 6、 x ? ?1 时, 当 代数式 2ax ? 3bx ? 8 的值为 18, 这时, 代数式 9b ? 6a

? 2 = (

A、28 B、—28 C、32 D、—32 7、 The sum or n different postitive integers is less than 50.The greatest possible value of n is ( ) A、10 B、9 C、8 D、7 (英汉小词典 positive integer:正整数) )

8、已知∠A 与∠B 之和的补角等于∠A 与∠B 之差的余角,则∠B=( A、75° B、60° C、45° D、30° 9、如图 2,一个正方体的六个面上分别标有数字 1, 2,3,4,5,6。根据图中三种状态所显示的数字, “?” 表示的数字是( A、1 B、2 a , b 10 、 若 ) C、4 D、6 都 是 有 理 数 , 且 )

a 2 ? 2ab ? 2b 2 ? 4a ? 8 ? 0 ,则 ab=(

A、—8 B、8 C、32 D、2004 二、填空题(每小题 5 分,共 50 分,含两个空的小题,前空 3 分,后空 2 分) 11、若正整数 x,y 满足 2004x=15y,则 x+y 的最小值是___________; 12、数列 1,12,3,5,8,13,21,34,55,?的排列规律:前两个数是 1,从第 3 个数开始, 每一个数都是它前两个数的和, 这个数列叫做斐波契数列, 在斐波契数列前 2004 个数中共有___________个偶数。 13、2004 年 6 月 2 日依照美语习惯写作 6/3/2004,依照英语习惯写作 3/6/2004,像

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6/3/2004 就难以判断是美语日期还是英语日期,也难以判断是哪一天,称为易混日期,而 4/18/2004 显然是美语日期,可以准确断定为 2004 年 4 月 18 日;18/4/2004 显然是英语日 期,可以准确断定为 2004 年 4 月 18 日;2/2/2004 虽不能断定是美语日期还是英语日期, 但总可断定为 2004 年 2 月 2 日, 这些都是不混日期。 那么每月有易混日期___________个; 2004 年全年的不混日期共有___________个。 14、若 x 2 ? 3x ? 1 ? 0, 则x 3 ? 5x 2 ? 5x ? 18 ? ___________。 15、如图 3,甲、乙两船同时从 B 港分别向 C 港和 A 港行驶。 已知甲船速度是乙船速度的 1.2 倍, A、B 两港相距 540 千米。甲船 3 小时后到达 C 港, 然后立即驶向 A 港,最后与乙港同时到达 A 港,则 乙船速度是___________千数/小时。 16、If n is appositive integer,and if the units’ digit of n2 is 6 and the units’ digit of (n-1)2 is 9,the unist’ digit of (n-1)2 is___________。 17、用若干条长为 1 的线段围成一个长方形,长方形的长和宽的最大公约数是 7,最 小公倍数是 7320, 则围成这个长方形最少需要___________条长为 1 的线段, 它的面积是 ___________。 18、关于 x,y 的方程组 ?

?3x ? 4 y ? 3 的解x, y 的和等于 1,则 m 的值是______ ?2m x ? 3 y ? 2

19、甲、乙两打字员,甲每页打 500 字,乙每页打 600 字。已知甲每完成 8 页,乙恰 能完成 7 页, 若甲打完 2 页后, 乙开始打字, 则当甲、 乙打的字数相同时, 乙打了___________ 页。 20 将 2004 写成若干质数的乘积,如果 a,b,c 是这些质数中的三

个,且 a<b<c,那 么关于 x,y 的方程组 ?

?bx ? ay ? 1 的解是 x=_____,y=_______。 ?ax ? cy ? ?165

三、解答题(每题 10 分,共 30 分)要求:写出推理过程。 21、观察下面的等式

2 ? 2 ? 4, 3 1 ?3 ? 4 , 2 2 4 1 ?4 ? 5 , 3 3 5 1 ?5 ? 6 , 4 2

2 ? 2 ? 4; 3 1 ?3? 4 ; 2 2 4 1 ?4?5 ; 3 3 5 1 ?5? 6 . 4 2

(1)小明归纳上面各式得出一个猜想: “两个有理数的积等于这两个有理数的和” ,小 明的猜想正确吗?为什么? (2)请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想。

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22、能否在图 4 中的四个圆圈内填入 4 个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填数 的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?所果能填,请填出一例;如果不能填,请 说明理由。 23、在 333 的方格表中填入九个不同的正整数:1,2,3,4,5,6,7,8,和 x,使 得各行、各列所填三个数的和都相等,请确定 x 的值,并给出一种填数法。

参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 5 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C 9 D 10 B

二、填空题(每小题 5 分,含两个空格的,前空 3 分,后空 2 分) 题号 答案 题号 答案 11 673 16 5 12 668 17 126;980 13 11;234 18 1 14 20 19 35 15 15 20 1;1 (4 分)

三、解答题: 21. (1)小明的猜想显然是不正确的,易举出反例;如 133≠1+3 (2)将第一组等式变形为:

2 2 ?2 ? 4 , ?2?4 1 1 n ?1 n ?1 ? (n ? 1) ? ? (n ? 1) ” (7 分) 得出如下猜想: “若 n 是正整数,则 n n 1 n ?1 ? 右边 证法 1:左边= (1 ? )( n ? 1) ? (n ? 1) ? n n
所以猜想是正确的 (10 分)

n ? 1 n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? ? 证法 2: 右边= =左边 n n n
所以猜想是正确的 22.不能填,理由如下: 设所填的互不相同的 4 个数为 a, b, c, d;则有 ① ② ③ ①-②得 c ? d ? d ? c
2 2 2 2

(10 分)

(4 分)

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c2 ? d 2
因为: c≠ d,只能是 c = -d 同理可得 c 2 ? b 2 因为 c ≠b ④ (6 分) (8 分)

,只能 c = -b ⑤

比较④,⑤得 b=d ,与已知 b≠d 矛盾,所以题设要求的填数法不存在。 (10 分) 23、因为,x 是正整数,所以表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即: 2 6 7 4 8 3 9 1 5

1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? x x ? 12 ? 3 3
a+b=c+d=12+

(2 分)

不妨设 a,b 与 x 在同一行,c,d 与 x 在同一列,则有

x -x=12- 3

c a b x d

2 x 3

(4 分)

又 a+b 和 c+d 的最小值是 所以 12 ?

1? 2 ? 3 ? 4 ?5 2
(6 分) 又因为 12 ?

2x 21 ? 5, 即x ? 3 2

2x =a ? b 是整数,且 x 是不同于 3

1,2,3,4,5,6,7,8 的正整数,因此 x=9 填数法如下: (不唯一



(8 分) (10 分)

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