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3--《圆》的证明与计算题专题研究(稿五) mdy 2

发布时间:2014-01-28 11:46:33  

《圆的证明与计算》专题训练

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。

一、考题形式分析:

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。

二、解题秘笈:(自己在训练中领悟) 三、题型归类讲解与练习:

模型一:从圆外作圆的两条切线问题

【例1】.(2012?襄阳)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF. (1)求证:直线PA为⊙O的切线; (2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明; (3)若BC=6,tan∠F=, 求cos∠ACB的值和线段PE的长. 【解决问题的思维方法是】

【练习1】(2011?广安)如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O 上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.

(1)求证:PB是⊙O的切线; (

2)求证:AQ?PQ=OQ?BQ; (3)设∠AOQ=α,若

,OQ=15,求AB的

长.

【练习2】(2013年全国初中数学联合竞赛试题本题满分25分)已知点C在以AB为直径的圆O上,过点B、C作圆O的切线,交于点P,连AC,若OP?

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模型二:从圆外作圆的一条切线和一条割线含垂直问题

【例2】.如图,AB为⊙O 的直径,半径OC⊥AB,D为AB 延长线上一点,过D作⊙O的切

A线,E为切点,连结CE交AB

于 点F.

(1)求证:DE=DF; (2)连结AE,若OF =1,BF =3,求tan?A的值.

【解决问题的思维方法是】

【练习1】(2011四川乐山24,10分)如图,D为?O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线; (2)过点B作切线交CD的延E,若

PB9

AC,求的值。

AC2

?O的

长线于点

BC=6,tan∠CDA=

2

,求BE的长 3

【练习2】如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点,D是弧AC的中点,,过D作直线BC的垂线交直线AB于点E,F为垂足.

(1)求证:EF为⊙O的切线; (2)若AC=6,BD=5,求nisE的值.

【解决问题的思维方法是】

【练习1】(2011四川绵阳22,12)如图,在梯形ABCD中,AB//CD,∠BAD=90°,以AD为直径的半圆O与BC相切. (1)求证:OB丄OC;

(2)若AD= 12,∠ BCD=60°,⊙O1与半⊙O 外切,并与BC、CD 相切,求⊙O1的面积.

【练习2】如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,过点C作⊙O的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD,且AD+BC=CD.

(1)求证:AD是⊙O的切线; (2)设OE交AC于F,若OF=3,EF=2,求线段BC的长.

模型四:以等腰三角形的一腰为直径作圆的问题。

【例4】.如图,⊿ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB相交于点E,点F是BE的中点. (1)求证:DF是⊙O的切线.

(2)若AE=14,BC=12,求BF的长 【解决问题的思维方法是】

【练习1】(2011贵州安顺,26,12分)已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.

⑴求证:点D是AB的中点;

⑵判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

模型三:过直径的端点作圆的两条切线问题。

【例3】.(2011山东潍坊,23,11分)如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q. (1)求证:△ABC∽ΔOFB;

(2)当ΔABD与△BFO的面积相等时,求BQ的长; (3)求证:当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.

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1

⑶若⊙O的直径为18,cosB =,求DE的长.

3

【练习2】(2012?肇庆)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连接BE、AD交于点P.求证:

(1)D是BC的中点; (2)△BEC∽△ADC; (3)AB?CE=2DP?AD.

【练习3】如图,等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,DE⊥AC于E.

(1)求证:DE为⊙O的切线;

(2

)若BC=AE=1,求cos?AEO的值.

模型五:过直径的端点作一条或两条垂线于圆的切线问题。

【例5】.(2012?西宁)如图(1),AB为⊙O的直径,C为

【练习2】直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F. D

⑴求证:CD为⊙O的切线

⑵若

BFBE3

?,求的值

DFAB5

⊙O上一点,若直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD,垂足为D. (1)求证:△ADC∽△ACB;

(2)如果把直线CD向下平行移动,如图(2),直线CD交⊙O于C、G两点,若题目中的其他条件不变,且AG=4,BG=3,求tan∠DAC的值.

【解决问题的思维方法是】

【练习1】(2011安徽芜湖,23,12分)如

图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD?PA,垂足为D. (1) 求证:CD为⊙O的切线; (2) 若DC+DA=6,⊙O的直径为10, 求AB的长度.

模型六:和切线平行的弦的问题。

【例6】.(2011浙江义乌,21,8分)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,

3

AD=3,cos∠BCD=

4

(1)求证:CD∥BF; (2)求⊙O的半径; (3)求弦CD的长.

【解决问题的思维方法是】

A

C

【练习】(2011山东菏泽,18,10分)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,

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AD交BC于点E,AE=2,ED=4, (1)求证:△ABE∽△ADB; (2)求AB的长;

(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.

【练习2】(2009调考):如图,已知△ABC中,以边BC为直径 的⊙O与边AB交于点D,点E是弧BD的中点的中点,AF为△ABC的角平分 线,且AF⊥EC。

(1)求证:AC与⊙O相切;

(2)若AC=6,BC=8,求EC的长

B

模型八:综合性的问题。

【例8】.(2012?十堰)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD

∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E. (1)求证:BD是⊙O的切线;

(2)若点E为线段OD的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;

(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求

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【练习1】(2011?桂林)如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心,AC长为半径作⊙O,交BC于E,过O作OD∥BC交⊙O于D,连接AE、AD、DC. (1)求证:D是

的中点;

模型七:过弧的中点的半径垂直于弦的问题。

【例7】.△ABP中,∠ABP=90°,以AB为直径作⊙O交AP于C点,弧CF=CB,过C作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.

(1)求证:CD为⊙O的切线;

(2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求

?

?

EF

的值。 AF

【解决问题的思维方法是】

(2)求证:∠DAO=∠B+∠BAD; (3)若

【练习2】(2012?成都)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的

延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K. (1)求证:KE=GE;

(2)若KG2=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=2

,求FG的长.

,且AC=4,求CF的长.

⌒的中点,OE交弦【练习1】如图,AB是半⊙O上的直径,E是 BC

BC于点D,过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.

(1)求证:CF为⊙O的⊙O切线; (2)求sin∠BAD 的值.

F

B

A

的值.

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