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小学五年级奥数(上)第四讲带余除法

发布时间:2014-01-29 09:47:22  

第四讲
带余数的除法

回顾整除的意义
? 回顾: ? 整除 在除法15÷3=5中,没有余数,(也可 以说余数是0)我们把这种除法叫做整除 , 15是3的倍数 ,也是商5的倍数,除数3和商5 都是被除数15的 约数。 也就是说:在被除数、商、 余数中,知道其中任何两 ? 他们之间有这样的关系: 个,就可以求出第三个。 15÷3=5 、 15÷5=3、 15=3×5 ? 即 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 ? 被除数=除数×商

带余除法的意义
? 做除法16÷3你发现它与15÷3有什么不同: 16÷3=5……1 即16=3×5+1 ,此时被除 数除以除数出现了余数,我们把这种除法 叫做 。 带余除法 ? 这里,仍然把5叫做商 ,把1叫做16除以3 的余数。 ? 被除数、除数、商、余数之间的关系 被除数=除数×商+余数

简单应用(1) 被除数=除数×商+余数的应用
? 例1、一个数除以26,商为15,余数是12,求这个数 ? 解:∵被除数=除数×商+余数 ∴被除数=26×15+12= 390+12=402 ? 例2、127除以一个数,商和余数分别是6和7,求这个 数 ? 解: ∵被除数=除数×商+余数,即127=除数×6+7 ? ∴ 127=除数× 6+7 ? 除数× 6=127-7=120 ? 除数=

综合运用(一) 被除数=除数×商+余数的应用
? 例1、一个两位数去除251,得到的余数是 41 ,求这个两位数 ? 解:根据被除数=除数×商+余数可知 ? 251=除数×商+41 ? 即210=除数×商 且除数大于41 ? ∵210=2×3×5×7 ? =2×105=3×70=5×42 ? ∴这个两位数是42或者70。

综合运用(一) 被除数=除数×商+余数的应用
? 例2、用一个自然数去除另一个整数,商40,余 数是16。被除数、除数、商与余数的和是933。 求被除数和除数各是多少? ? 解 根据被除数=除数×商+余数可知 ? 被除数=除数×40+16 ? 由 被除数+除数+商+余数=933可得 ? 除数×40+16+除数+40+16=933 ? ∴除数×40+除数=861 即 除数×41=861 ? ∴除数=861÷41=21 ? 被除数=21×40+16=856

被除数、除数、商、余数关系 应用的思路回眸
? 1、在 关系式 被除数=除数×商+余数 中, 知道其中任何三个,就可以求出第三个。 如果不能迅速地列出算式,可以将所给的 条件代入关系式中寻找。 ? 2、当题目中所给的条件与被除数,除数, 商及余数有关时,常常可以考虑利用关系 式被除数=除数×商+余数进行分析和解答

简单应用(2) 利用余数解决排序问题
? 例1、如上图,含有红蓝两种颜色的一串珠 子按规律穿在一条细丝线上,你能告诉大 家第2011个珠子的颜色吗? ? 分析:所穿珠子的规律 ? 解:这串珠子的规律是每九个为一个循环, 其中的第1、3、6个是红色的,
2011÷9=223…4

? 所以,第2011个珠子是蓝色的。

简单应

用(2) 利用余数解决排序问题
? 例2、今天是2011年11月12日,星期六, 明年的11月12日是星期几?(没写答案) ? 例3、某年十月里有五个星期六,四个星期 天日,想一想,这年的10月1日是星期几? ? 解:因为10月份有31天,每周有7天 31÷7=4………3。 ? 根据题意可知有5天的一定是星期四、星期 五、星期六。所以,10月1日是星期四。

简单应用(2) 利用余数解决排序问题
? 例4、3月18日是星期日,从3月17日作为第 一天往回数,[即3月16日(第二天),15 日(第三天),……]的第1993天是星期几? ? 分析:每周有7天, ? 19937=284(周)……5(天) ? 从星期日往回数5天是星期二,所以第1993 天是星期二。

有关排序的小结
? 在循环排序问题中,应当首先找到排序的 规律,再利用除法求出排了多少轮,余数 是多少。进而得出结论。

小结与作业
? 今天学习了什么: ? 1、带余除法中的数量关系: ? 被除数=除数×商+余数当题目中所给的条件与 被除数,除数,商及余数有关时,常常可以考虑 利用关系式被除数=除数×商+余数进行分析和解 答 ? 2、排序问题:在循环排序问题中,应当首先找到 排序的规律,再利用除法求出排了多少轮,余数 是多少。进而得出结论。 ? 第一次作业:课本习题四1、 ?

补充作业
? 1、某年的十月份有5个星期二,4个星期三,这 年的十月一日是星期几? ? 2、某年的二月份有5个星期一,4个星期二,二 月一是星期几? ? 3、两个自然数相除, 商是22, 余数是8, 被除数、 除数、商、余数之和为866, 那么被除数和除数分 别等于多少? ? 4、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的 学生,她简单计算之后,又补上21个笔记本,这 样就可以将笔记本平均分给班里每个学生. 问:六 年级二班有多少名学生?(47人)

补充作业
? 1、某年的十月份有5个星期二,4个星期三, 这年的十月一日是星期几? ? 解:十月份有31天,31÷7=4……3,由题 意知,这一月的31日是星期二,有五天的 是星期日、星期一,星期二,所以这一年 的十月一日是星期日。

? 2、某年的二月份有5个星期一,4个星期二, 二月一是星期几? ? 分析:如果是平年,二月份有28天,28÷7 =4。都是4天,由题意知,这一年是闰年, 有29天,29÷7=4……1,因此,二月一是 星期一。

? 3、两个自然数相除, 商是22, 余数是8, 被除数、 除数、商、余数之和为866, 那么被除数和除数 分别等于多少? ? 解 根据被除数=除数×商+余数可知 ? 被除数=除数×22+8 ? 由 被除数+除数+商+余数=866可得 ? 除数×22+8+除数+22+8=866 ? ∴除数×22+除数=828 即

除数×23=828 ? ∴除数=828÷23=36 ? 被除数=36×22+8=800

? 4、王老师准备将872个笔记本分给六年级 二班的学生,她简单计算之后,又补上21 个笔记本,这样就可以将笔记本平均分给 班里每个学生. 问:六年级二班有多少名学 生?(47人) ? 分析:872加上21后是学生人数的倍数 ? 872+21=893=19×47

第二课时
? 今天我们探究的问题是: ? 1、带余除法中余数不变的规律。 ? 2、带余除法余数不变规律的应用——逐步 满足条件法

带余除法的一些简单规律(1)
? ? ? ? ? ? ? ? 1、我们看下面的算式: 也可以说: 15÷6=2… …3 要想保持余 (15+6)÷6= 3… …3 数不变,被 (15+6×2)÷6= 4… …3 除数要加上 (15+6×3)÷6= 5… …3 除数的倍数 (15+6×7)÷6= 9… …3 我们发现这样的规律:规律(一) 被除数加上除数的倍数后,结果的余数不变 .

“被除数加上除数的倍数后, 结果的余数不变 ”的简单应用
? 例、143除以7余3,除以8余7,除以12余 11,1000以内还有这样的数吗?如果有, 请写出来。 ? 分析: ? 要想使余数不变,143加的必须是7、8、12 的倍数,即7、8、12的最小公倍数[7,8,12] 的倍数。

“被除数加上除数的倍数后, 结果的余数不变 ”的简单应用
? 例、143除以7余3,除以8余7,除以12余 11,1000以内还有这样的数吗?如果有, 请写出来。 ? 解:∵[7,8,12]=168 ∴ 143+168=311 143+168×2=479 143+168×3=647 143+168×4=815 143+168×5=983 所以还有311、479、647、845、983.

带余除法的一些简单规律(2) 同余规律
? 例、一个自然数,被4、? 例、一个自然数,被4除 5、6、9去除,余数都 余2,被5除余3,被6除余 是1,试求符合条件的 4,被9除余7,试求符合 最小自然数。 条件的最小自然数。 ? 分析:减去1后就能被4、 5如果自然数 、6、9整除,说明它 n分别除以几个除数所得的余数 比[4,5,6,9]大1 都是a,那么n比这几个除数的公倍数大b; ? (为什么说求最小的?)

如果余数比这几个除数都小b,那么n比 这几个除数的公倍数小b。

综合运用(二) 同余规律的应用
? 例5、一个数除以3余2,除以5余3 ,除以7 余2,求符合条件的最小数 ? 解:符合条件除以3 余2,除以7余2的最小 数是[3,7]+2=23, ? 而且23÷5=4……3 ? 所以,符合条件的数是23

综合运用(二) 同余规律的应用
? 例6、(课本例9)69、90和125被某个正 整数N整除时,余数相同,试求N的最大值 ? 解:∵三个数被N除余数相同, ? ∴N︱(90-69),即N︱21; ? N︱(125-90),即N︱35。 ? ∴ N是21和35 的约数, ? ∵要求N的最大值, ? ∴ N是21和35的最大公约数 即N=7

综合运用(三) 逐步满足条件法
?

例7、(课本例6)一个数除以5余3,除以6 余4,除以7余1.求适合条件的最小的自然数 ? 分析:“除以5余3”,即“加上2后能被5整 除”,同样,“除以6余4 ”即“加2后能被6 整数” ? 解:[5,6] -2=28,即28适合前两个条件, 通过尝试,28+[5,6] ×4=148 ? 148÷7=21…1 ? 并且148<[5,6,7]=210 ? 所以,适合条件的最小的自然数是148

课后小结
? 一、带余除法的意义及简单应用 ? 二、带余除法的一些简单规律 ? 三、综合运用的一些例子和方法

一、带余除法的意义及简单应用
? 简单应用(1)被除数=除数×商+余数 ? 简单应用(2)利用余数解决排序问题

二、带余除法的一些简单规律
? (1)被除数加上除数的倍数后,结果的余数不变 ? (2)如果自然数n分别除以几个除数所得的余数 都是a,那么n比这几个除数的公倍数大a; ? 如果余数比这几个除数都小b,那么n比这几 个除数的公倍数小b。 ? (3)如果两个整数a和b被自然数n除余数相同, 那么这两个整数的差(大减小)一定能把n整除。 反过来:如果两个整数之差恰好能把n整除,那 么这两个整数除以n所得的余数一定相同。

三、综合运用的一些例子和方法
? 综合运用(一) 被除数=除数×商+余数的应用 ? 综合运用(二) ? 同余规律的应用 ? 综合运用(三) ? 逐步满足条件法

拓展练习
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1、用某个自然数除300、262和205,得 到相同的余数,问这个自然数是几? 2、在1-400的自然数中,被3,5,7除的 余数都是2的数共有多少个?

拓展练习参考答案
? 1、用某个自然数除300、262和205,得到相同的 余数,问这个自然数是几? ? 解:设这个自然数为N, ∵“某个自然数除300、262和205,得到相 同的余数,” ∴N∣(300-262),即N∣38 N∣(262-205),即N∣57 ∴ N是38和57的公约数。 ∵ (38,57)=19 ∴这个自然数是19

? 3、在1-400的自然数中,被3、5、7除的余 数都是2的数共有多少个? ? 解:被3、5、7除余数都是2的数,是比3、 5、7的公倍数大2的数 ? ∵ [3,5,7] =105 ? ∴105×1+2=107 ? 105×2+2=212 ? 105×3+2=317 ? 答:符合条件的自然数共有三个, ? 它们是107、212和317。.

4、一个自然数分别去除83, 213, 二个余数的 和是9,问:这二个余数中最小的一个是多少? ? 分析:因为两个余数的和是9,去掉9后, 两个数的和一定是除数的倍数。 ? 解:(83+213)-9=287=7×41 ? 83÷7=11………6 ? 213÷7=30………3 ? 83÷41=2………1 ? 213÷41=5………8 ? 答:这二个余数中最小的一个是1。

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5、王老师准备将872个笔记本分给六年级 二班的学生,她简单计算之后,又补上21 个笔记本,这样

就可以将笔记本平均分给 班里每个学生. 问:六年级二班有多少名 学生? 分析:由题意知,872加上21后是显示人 数的倍数,即班级人数是893的约数 解:∵ 893=19×47 又∵六年级二班的人数不可能是19, ∴六年级二班的人数是47人。

逐步满足条件法
? 3、一个数被5除余4,被7除余3,被6除余 4 ,这个数最小是多少?(逐步满足条件法) ? 解:由除以5余4,除以6余4,可知, ? 这个数应当是5和6 的公倍数加4, ? [5,6] =30,4+ [5,6] =4+30=34, ? 经试验可知:34+30×2=94,符合条件, ? 所以这个数最小是94。

被除数、除数、商、余数的关系
? 4、被除数除以除数,商8,余数是14,被除数、 除数商、余数的和是351。求被除数与除数。 ? 解 根据被除数=除数×商+余数可知 ? 被除数=除数×8+14 ? 由 被除数+除数+商+余数=.351可得 ? 除数×8+14+除数+8+14=351 ? ∴除数×8+除数=315 即 除数×9=315 ? ∴除数=315÷9=35 ? 被除数=35×8+14=294

逐步满足条件法
? 5、一个数除以4余3,除以6余5,除以7余1, 这个数最小是多少? ? 解:由除以4余3,除以6余5,可知, ? 这个数应当比4和6 的公倍数少1, ? [4,6] =12, [4,6] 1=11, ? 经试验可知:11+12×5=71,符合条件除 以7余1, ? 所以这个数最小是71。

逐步满足条件法

? 6、小青有一盒巧克力,7粒一数还少3粒。5粒一数又 多2粒,3粒一数正好。这盒巧克力至少有多少粒? ? 解:“5粒一数多2粒”其实是少3粒, ? 由条件“7粒一数还少3粒,5粒一数又多2粒,”可知, ? 总粒数比7和5的公倍数少3粒, ? [7,5] -3=32, ? 经试验可知,32+35×2=32+70=102符合条件“3 粒一数正好”,(或者35×3-3=102) ? 所以这盒巧克力至少有102粒。

? 7、有苹果、橘子个一筐,苹果有240个, 橘子有313个,把这两筐水果分给一些小朋 友,已知苹果分到最后余两2个,橘子分到 最后还余7个。求最多有多少个小朋友? ? 分析:从240个苹果里减去2个,恰好分完, 从313个橘子里减去7个,也恰好分完,因 此,小朋友的人数应当是238和306的公约 数中的最大公约数。


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