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专题九__计数问题中的技巧方法

发布时间:2014-01-29 09:47:52  

专题九 计数问题中的技巧方法

例1 红色和白色的椅子各有5张,围成一个圆圈,共有多少种不同的排法?同色的椅子是没有区别的,经旋转后排列的顺序一致的排法只算1种.

例2 一个7×7的棋盘的2个方格着黄色,其余的方格着绿色.如果一种着色法可从另一种着色法经过在棋盘的平面中的旋转而得到,那么这两种着色法看做同一种.可能有多少种不同的着色法?

例3 一个150×324×375的长方体由1×1×1的单位立方体胶合在一起而做成的.这长方体的一条内对角线穿过多少个单位立方体的内部?

例4 设集合A={1,2,…,10}.A到A的映射f满足下列两个条件:

(1)对任意X∈A,f(30)(x)=x;

(k)(2)对每个正整数k,1≤k≤29,至少存在一个a∈A,使得f(a)≠a.

其中f(x)=f(x),f(x)=f(f(x)),…,f

的映射的总数, (1)(2)(k+1)(x)=f(f(x)),….求这样(k)

例5 正方形ABCD的内部有1999个点,以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点,将它剪成一些三角形。问:一共可以剪成多少个三角形?共需剪多少刀?

例6 圆周上有100个等分点A1,A2,A3,?,A100,集合S?{?AiAjAk|1?i?j?k?100}.

(1)求集合S中元素的个数;

(2)若T?S,集合T满足:任意两个三角形都不全等且集合T内元素个数最多,求集合T中元素的个数.

(3)求集合T中锐角三角形的个数.

例7 某人给六个不同的收信人写了六封信,并且准备了六个写有收信人地址的信封,有多少种投放信笺的方法,使每封信笺与信封上的收信人都不相符.

例8 在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有20个岗位.为了试验5种不同新式武器,打算安排5个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器,且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有多少种配备新式武器的方案?

例9 下图中将等边三角形每边3等分,过等分点作每边平行线,这样所形成的平行四边形个数,记为f(3),则f(3)=15.将等边三角形每边n等分,过各分点作各边平行线,所形成的平行四边形个数记为f(n),求f(n)表达式.

例10 设n和k是正整数,S是平面上n个点的集合,满足:(1)S中任何三点不共线;(2)对S中的每一个点P,S中至少存在k个点与P

距离相等.求证:k?1? 2

例11 有10个箱子,编号为1,2,…,10,各配一把钥匙,10把各不相同,每个箱子放进一把钥匙锁好,先撬开1,2号箱子,取出钥匙去开别的箱子,如果最终能把所有箱子的锁都打开,则说是一种好的放钥匙的方法.求好的方法的总数.

例12 数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和,如3,1+2,2+1,1+1+1。问:1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种?

例13 用A、B两个字母排成的长为15的序列中,满足下列条件的有多少种?

条件:连续二个字母AA在序列中出现五次,AB、BA、BB各三次.

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