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2013寒假作业一解答

发布时间:2014-01-29 11:45:56  

2014年丽水外国语实验学校高三数学(文)寒假练习题

一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.设集合S={x|3<x≤6},T={x|x-4x-5≤0},则S∪T=

A.[-1,6] B.(3,5]

C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞) 2.已知i是虚数单位,则 (3-i) (2+i)=

A.5+i

B.5-i

22

C.7+i D.7-i

3.已知a,b∈R,则“b≥0”是“a+b≥0”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

4.若函数y=sin 2x的图象向左平移

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π

个单位得到y=f (x)的图象,则 4

A.f (x)=cos 2x B.f (x)=sin 2x C.f (x)=-cos 2x D.f (x)=-sin 2x 5.已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n.

A.若m⊥n,则α⊥β B.若α⊥β,则m⊥n C.若m∥n,则α∥β D.若α∥β,则m∥n

6.从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a,b,使得a≥4b的概率是

A.

2

1 3

B.

571

C. D.

21212

7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于

A.10 cm B.20 cm C.30 cm D.40 cm

8.若正数x,y满足x +3xy-1=0,则x+y的最小值是

2

3

3

3

3

俯视图

(第7题图) 32222 B. C. D.

3333y22

?1与椭圆C2的公共 9.如图,F1,F2是双曲线C1:x?3

A.

焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是 A.

22

11

B. C. D.

5335

10.设a,b为单位向量,若向量c满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是

A.1 B

.2 D.

非选择题部分 (共100分)

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11.某篮球运动员在5场比赛中得分的茎叶图如图所示,则这位球

员得分的平均数等于________. 12.已知a,b∈R,若4=2

a

3-2b

0 1 2

9 2 3 5 6

,则a+b=________.

(第11题图)

13.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于

________.

?x?y?2,?

14.设z=x-2y,其中实数x,y满足?2x?y?4,则z的最大值等

?y?4,?

于________.

15.已知点O(0,0),A(2,0),B(-4,0),点C在直线l:y=-x

上.若CO是∠ACB的平分线,则点C的坐标为________. 16.设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,圆C:(x-a)+y=1.若

圆C既与线段AB又与直线l有公共点,则实数a的取值范围是________.

2

2

(第13题图)

17.已知t>-1,当x∈[-t,t+2]时,函数y=(x-4)|x|的最小值为-4,则t的取值

范围是________.

三、 解答题: 本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a cos C+c=2b. (Ⅰ) 求角A的大小;

(Ⅱ) 若a=3bc,求tan B的值.

2

19.(本题满分14分) 已知等差数列{an}的首项a1=2,a7=4a3,前n项和为Sn.

(I) 求an及Sn; (Ⅱ) 设bn=

20.(本题满分15分) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

∠BAC=90°,AB=AC=AA1. (Ⅰ) 求证:AB1⊥平面A1BC1;

(Ⅱ) 若D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成的角.

21.(本题满分15分) 已知m∈R,设函数f (x)=x-3(m+1)x+12mx+1.

(Ⅰ) 若f (x)在(0,3)上无极值点,求m的值;

(Ⅱ) 若存在x0∈(0,3),使得f (x0)是f (x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.

22.(本题满分14分) 已知抛物线C:y=x.过点M(1,2)的

直线l交C于A,B两点.抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P.

(Ⅰ) 若直线l的斜率为1,求|AB|; (Ⅱ) 求△PAB面积的最小值.

(第22题图)

2

3

2

Sn?4an?4

,n∈N*,求bn的最大值.

n

A

B

C

1 B11

(第20题图)

数学(文科)

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。

1.A

6.C 2.C 3.A 4.A 5.D 7.B 8.B 9.B 10.D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。

11.15 12.331 13. 14.2 232

1?5] 17.[0,

2] 215.(4,-4) 16.[1?2,

三、解答题:本大题共5小题,共72分。

18.本题主要考查正、余弦定理、三角变换,同时考查运算求解能力。满分14分。 (Ⅰ) 由题意及正弦定理得

2 sin A cos C+sin C=2 sin B

=2 sin (A+C)

=2 (sin A cos C+cos A sin C),

即sin C (2 cos A-1)=0.因为sin C≠0,所以cos A=1,从而得 2

πA=. ???? 6分 3

(Ⅱ) 由A=π及余弦定理得 3

b2+c2-bc=a2=3bc,

22即 b+c-4bc=0,

所以

b=2

c

b2π1=2

sin C=sin (-B)

cos B+sin B, c23

bsinB故=2?, csinC

所以tanB=-2

当b=2

c

tan B=2

综上所述,tan B=2

2

???? 14分

19.本题主要考查等差数列的概念与通项公式、求和公式、不等式等基础知识,同时考查运

算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 设公差为d,由题意知

a1+6d=4(a1+2d),

由a1=2解得

d=-3,

?3n2?7nan=-3n+5, Sn=,n∈N*. ???? 8分 2

(Ⅱ) 由(I)得

bn=

由基本不等式得 Sn?4an?4n=31316-(n+). 22n

n+

所以bn=16≥

8, n7313167-(n+)≤,又当n=4时,bn=. 2222n

7从而得bn的最大值为. ???? 14分 2

20.本题主要考查空间线、面位置关系,线面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能

力和推理论证能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意知四边形AA1B1B是正方形,故 B

1

B1 1 A C AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.

又A1C1⊥A1B1,所以A1C1⊥平面AA1B1B,故 (第20题图)

A1C1⊥AB1.

从而得 AB1⊥平面A1BC1. ???? 7分

(Ⅱ) 设AB1与A1B相交于点O,则点O是线段AB1的中点.

连接AC1,由题意知△AB1C1是正三角形.

由AD,C1O是△AB1C1的中线知:AD与C1O的交点为重心G,连接OG.

由(Ⅰ) 知AB1⊥平面A1BC1,故OG是AD在平面A1BC1上的射影,于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角.

在直角△AOG中,

2AG=AD

AB1

, AO

AB, 3

所以

sin∠AGO=

AO.

AG

故∠AGO=60°,即AD与平面A1BC1所成的角为60°.

???? 15分

21.本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识,同时考查

分类讨论等综合解题能力。满分15分。 (Ⅰ) 由题意知

f ′(x)=3x2-6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m).

由于f (x)在[0,3]上无极值点,故2m=2,所以

m=1. ???? 6分

(Ⅱ) 由于f ′(x)=3(x-2)(x-2m), 故 (i) 当2m≤0或2m≥3,即m≤0或m≥

取x0=2即满足题意.

3

时, 2

3. 2

(ii) 当0<2m<2,即0<m<1时,列表如下:

此时m≤0或m≥

f(2)≤f(0) 或 f(2m)≥f(3),

-4+12m+1≤1 或 ―4m+12m+1≥9m+1,

从而

3m≤1 或 -m(2m-3)≥0,

所以

2

3

2

31

m≤ 或 m≤0 或 m=.

23

此时0<m≤. (iii) 当2<2m<3,即1<m<

1

3

3

时,列表如下: 2

f(2m)≤f(0) 或 f(2)≥f(3),

-4m+12m+1≤1 或 -4+12m+1≥9m+1,

从而

-?m (m-3)≤0 或 3m≥4,

所以 232

4m=0 或 m≥3 或 m≥. 3

此时43≤m<. 32

41m≤ 或 m≥. ???? 15分 33综上所述, 实数m的取值范围是

22.本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识,同时考查解析几

何的基本思想方法和运算求解能力。满分14分。

?y?x?1, (Ⅰ) 由题意知,直线l的方程为y=x+1,由?消去y解得 2y?x?

x1

所以 1?2, x2

=1?2.

|AB|

???? 6分

(Ⅱ) 设直线l的方程为y=k(x-1)+2,设点A(x1,y1),B(x2,y2).

?y?k(x-1)+2,2由?消去y整理得x-kx+k-2=0,知 2?y?x

x1+x2=k, x1x2=k-2,

又因为y′=(x) ′=2x,所以,抛物线y=x在点A,B处的切线方程分别为

22y=2x1x-x1, y=2x2x-x2. 22

得两切线的交点P(k

2,k-2).所以点P到直线l的距离为d

2??

又因为|AB|

==

. 设△PAB的面积为S,所以

S=|AB|2d=211

4. ≥2(当k=2时取到等号)3

所以△PAB面积的最小值为2. ???? 14分

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