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一道标准分数趣题的探解

发布时间:2014-01-29 14:54:45  

38

A1B1C1D1中,E、F分别

数学教学研究             2006年第6期

=(-1,

).,-1),=(1,0,0),D=(1,1,

22

为BB1、CD的中点,求证平面AED⊥平面

A1D1F.

设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,)AED与A1D1F的法向量,则由n1?0,n1?D分析 按两平面垂直的判定定理证明,必须证明一平面经过另一

 图5

个平面的垂线,而这一过程是学生的难点.法向量证明,.

证明 建立如图-xyz,则D(01(11D1(0,0,1),F(0,

0,可取n1=(0,-1,2);由n2?A1=0,n2?A1=0,n2(0,2,)12=0,n1ED1D1F.

题时,具有思路清晰,不用过多地引辅助线,步骤少而简洁等特点.因此只要仔细观察,集思广益,就能开拓思维,如还能用平面的法向量证明面面平行等问题,这里不再一一列举.希望通过

,2

0),A(1,0,0),E(1,1,

),A1D1(-1,0,0).A12

一道标准分数趣题的探解

张志刚

(甘肃省陇南市武都区城关中学 746000)

  标准分数也称埃及分数,指那些分母为不小于2的自然数,而分子是1的分数.

由甘肃省教材编审室编写的《初中代数配套练习》第一册趣味探究部分有埃及分数趣题二则:

现有90个埃及分数:

,,,…,,.2349091

然后用用

做被减数,做减数,得-=,再23236

做被减数,做减数,得-.343412

如此连续做下去,可得到

-=,-=,-=,

452056306742-=,-=,-=.

7856897291090

(1)你能从中选出10个,添上“+”、“-”号后

使运算结果为-1吗?

(2)你能从中写出四个:

a

,使等式b

c

d

将以上9个式子相加并整理得

1=

+++++261220304256+

+.729010

a

+

b

=

c

+

d

吗?

1 解法探究

对于问题(1),为了找到一种便于实施的求解方法,我们可先在以上指定的90个标准分数中找出10个,使它们的算术和为1,然后只要给每个标准分数前都添上“-”号,自然它们的代数和便为-1.

下面我们来分析如何把1表示成符合条件的10个标准分数的和.

首先用1做被减数,

作减数,得1-=,

222

至此,我们恰好就把1

化成了10个标准分数的算术和,并且这10个标准分数正好都在指定的90个标准分数范围之内.现在只要给它们都添上“-”号,然后求代数和,运算结果便是-1.

对于问题(2),由

a

+ab

b

=

abab

=,ab

2006年第6期              数学教学研究39

即a

+

b

=

ab

,ab

(3)积为

时为止,得到的分割结果为+++64248

发现只要(3)式中的ab是(a+b-1)的正整数倍,则

就是一个标准分数,这样也就等于找到了ab

++=1.16326464

这种分法直观明了,,但很明显地可以看到,;10.:任何一个?,又有可操作性,那么,问题

(1)也就迎刃而解了.

问题(2)中使等式成立的四个标准分数

a

,b

c

ab

d

ab

ab

但对具体的a、b,其中

分数,,(3开

23

.

+=,(否)2366+=,(是)34122+=,(否)452020+=,(是)56303+=,(否)674242+=,(是)78564+=,(否)897272+=,(是)910905

nm

n

是一个任意的标准分数(n≥2的自然数),由

分数的基本性质知,存在m≥2且m≠n的自然数使

n

=

==+,nmnmnmnm

是一个标准分数,只nm

是一个标准分数,要使

要nm是(m-1)的正整数倍.显然,当m-1=n时,

=一定是一个标准分数,于是有以下结论.nmm

结论1 任何一个标准分数

n

(n≥2的自然

数),都可化成两个不同的标准分数之和,即

n

n+1n(n+1)

(A).

=

+(n+1nn+1)

由于(A)式的可操作性,对问题(1)便就有了新的解法.

根据题意的要求,利用公式(A)时必须要n(n+

1)≤91,所以直接利用分割正方形的结果也只能分

为止.81=

++.2488

因为行了.

+时,110大于91,所以不能再往下进1011

至此,我们得到了在指定范围内的四组标准分数,正是问题(2)的答案.

2 解题规律的探究

割到

边长为一个单位长度的正方形,将其无论分割成多少块,每块的面积都小于1,又被分割得的所有小块面积之和总等于1.如果被分割得

到的每块面积之值都是一个标准分数,那么也就将1化成了若干个标准分数的算术之和了.如图,若将其逐次进行二等分分割,按题目的要求当分到小块面

利用公式(A)化,,2481=

+++++.365209728

中适当选择3个,3569

为了使最后的结果不同时出现相同的标准分数,这时我们只能从

再利用公式(A),便可得到符合题意要求的结果.

当选择

,有356

40

+++++4126307428+

+;92072,有369

数学教学研究             2006年第6期

1选选

时,有+=;6742189时,有+=.89722412

当选择

1至此,(2)的另外三组答案.

3()(),(1),又(A)+++++41257421090++;82072

.1=

+++.2481616

当选择,61+++

3742810

+

+.902072

(B)用于得到的结果相同,只能用因(A)、

216公式(B),而同时都用(B)式,将会出现多个

48

至此,我们又求得了问题(1)的三组不同答案.在逐次进行二等分分割正方形所得到的结果中分母都是偶数,这又启示我们:对于分母是偶数的标准分数,将其化成两个不同的标准分数之和,除了利用公式(A)外,是否还能找到另一种表达式呢?

我们仍利用分数的基本性质有

n

相同的标准分数,所以对就有以下三种形式.

(i)

合理利用(A)、(B)48

用(A)式,其它用(B)式,则有4

++++365202412+

+,482416

1=

=

=,3n3n3n

是标准分数,若n是正偶数,则也一定是标准3n3n

再用(B)式于,可得到答案:

24

;35612162024364872(ii)

分数,这样我们又得到一个新结论.

结论2 对任何一个分母为偶数的标准分数

(n≥2的偶数),都可化成两个不同的标准分数

n

与3n(B)

用(A),其它用(B)式,则有8

++++36126972+

+,482416

1=

(n≥2的偶数).之和,即=+

3nn3n3n

(B)便可得到由公式(A)、

(n≥2的偶数).=+

()n+1nn+13n3n

(C)

再用(A)式于,可得答案:

6

;3679121624424872(iii)

这样问题(2)的求解也有了新方法.

利用公式(C)求解问题(2)时,因为题意的限制,正偶数n,必须符合n(n+1)≤91且3n≤91的条件,而对

用(A)、(B)得到的结果相同,所以符合2

这三个了,对其分468

都用(A)式,其余用(B)式,则有48

 1=然后从

+++++,36520972482416中选其一用(A)式,或选用(B)36920

条件的标准分数只有选别利用公式(C).

,依次可得以下四组答案:

4569121620244872

时,有+=;4520126

2006年第6期              数学教学研究

,3579162024424872,35610162024487290.3569162430486072

41

这样又得到问题(1)的六组新的答案.

综观前面的整个探究过程及其所得到的结果,虽然所得答案还不是问题(1)、(2)的全部,但通过以上标准分数趣题的探究,我们却找到了解决问题的方法.

(河北省乐亭县闫各庄高中 063603)

  在教学过程中,学生因概念不清而导致错误的现象屡见不鲜,如何把概念讲清、讲透、讲活,使每一个学生都能理解、表达、应用,达到即使忘其“形”,也难忘其“神”的境界,是我们普遍关注的问题.

题1 动点M(x,y)满足

α+ycosα-1|,判(x-sinα)+(y-cosα)=|xsin断动点M的轨迹类型?

α,错解 由条件知,动点M(x,y)到定点P(sinα)的距离等于动点M到定值线l:xsinα+ycosα-cos

1=0的距离,依抛物线的定义,M点的轨迹是以P

2

2

求鸡蛋被吃完而鸭蛋还剩下3个的概率?

错解 (1)设鸡蛋被吃完而鸭蛋还剩下3个为事件A,即吃了6个鸡蛋,3个鸭蛋,则

P(A)=

CC9

C126

3

=

.11

,所以2

(2)取用鸡蛋与取用鸭蛋的概率都为

6

)鸡蛋被吃完而鸭蛋还剩下3个的概率P=C66(2(1-

0333)C6)(1-)=10.

2222

剖析 (1)对概念事件适用的条件模糊不清,错用了等可能事件.本题实质是独立重复试验;(2)对独立重复试验概率公式的特点及n、p、k三个量的意义不清.

正解 由题意知,已吃鸡蛋6个,鸭蛋3个.记“吃的是鸡蛋”为事件A,则P=P(A)=

.问题就2

为焦点,l为准线的抛物线.

剖析 忽略了抛物线定义中的隐含条件———定α+点不在定直线上,而此处,点P恰在直线l:xsinα-1=0上,所以M点的轨迹是过点P且与l:ycos

α+ycosα-1=0垂直的直线.xsin

反思一:揭示本质,抓住关键,强化概念概念是对客观事物本质属性的概括和反映,要正确理解某一概念,就必须引导学生全力找出概念的本质,把本质属性向学生讲清楚,把本质属性所反映的全体对象揭示出来;引导学生研究和挖掘出每一个概念形成的条件,形成的过程,切忌让学生死记硬背.学生之所以出现题1的错误主要原因是学生没有抓住抛物线形成的关键是定点不在定直线上.当出现类似错误后可组织一道有关定义对照题及时补救,抓住定义的关键点,进而强化概念.

题2 冰箱中放有6个鸡蛋和6个鸭蛋,王强每次从中任取1个食用,取用鸡蛋和鸭蛋的概念相同,

是求9次独立重复试验中事件A发生6次的概率,

9636

故P(6)=C6=C9)=为所求.9P(1-P)

2128

反思二:分层次,抓要点,掌握概念

概念教学,要注意对概念逐字、逐句加以推敲分析,善于剖析每一个概念的层次要点,多层次地启发学生来理解掌握.如此题考查的是独立重复试验,教学中可以抓住几个层次来分析:

(1)独立重复试验的条件:①每次试验是在同样

条件下进行的;②各次试验中的条件是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生要么不发生.

k

(2)独立重复试验概率公式的特点:Pnk=Cknp

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