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③竞赛中的三角形问题

发布时间:2014-01-31 15:37:06  

Y.P.M数学竞赛讲座 1

竞赛中的三角形问题

高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.

一、知识结构

存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解?cosA+cosB>0.

证明:△ABC有解?C有解?A+B有解?0<A+B<π?0<A<π-B?cosA>cos(π-B)?cosA>-cosB?cosA+cosB>0. 解的个数定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:(i)△ABC有一解?sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解?sinA+cosB>1.

证明:△ABC有解?角C有解?sinC>0?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+(??sin2A22)(?cos2B)= sinAcosB??(sin2A?cos2B)?sin2Acos2B>0.所以当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当sin2A+cos2B>1时,有两解. 等价命题:在△ABC中,己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解?函数f(x)=x2- 2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).

证明:在△ABC中,b=a+c-2accosB,所以,△ABC有两解、一解或无解?关于c的方程:b=a+c-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)?函数f(x)=x-2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 22222222222

数列命题:在△ABC中,(i)如果a、b、c成等比数列,则B∈(0,

证明:(i)a、b、c成等比数列?ac=b?cosB=

a2?c2?(2??];(ii)如果a、b、c成等差数列,则B∈(0,]; 332ac?ac1?a2?c2?b2a2?c2?ac=≥=?B∈(0,];(ii)a、b、c成2ac322ac2ac

等差数列?a+c=2b?cosB=a?c?b=2ac222a?c2)6ac?2ac1?3(a2?c2)?2ac=≥=?B∈(0,]. 8ac322ac8ac

Stewart定理:若点P是△ABC的边BC上一点,则PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC× 证明:设∠APB=α,则∠APC=π-α,则在△ABP中,AB=PA+PB-2PA×PBcosα,在△APC中,

AC=PA+PC-2PA.PCcos(π-α)?AC=PA+PC+2PA×PCcosα?PC×AB+PB×AC=BC×PAPB×PC×BC.由此可求三角形的中线和角平分线. 222222222222

二、典型问题

1.正弦定理

[例1]:(2006年第十七届希望杯高二数学竞赛试题)△ABC的三个内角为A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周长与最长边的比值为m,那么m的最大值为 .

[解析]:

[类题]:

1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,则sinA:sinB:sinC=___.

2.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA-sinB-sinC=0,且sinA=2sinBsinC则△ABC是( )

(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

3.⑴(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,若tanA=

于 . 11,tanB=,且最长的边的长为1,则最短边的长等 23222

2 Y.P.M数学竞赛讲座

⑵(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA=的边为1,则△ABC最短边的长为 .

4.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=40,∠BAD=30若AB=CD,则∠ACD的大小为 (度5.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.

6.(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则使等式sin充要条件是( )

(A)a+b=2c (B)b+c=2a (C)c+a=2b (D)ac=b

2

2

13,cosB=.若最长210

A2B2C2B

+sin+sin=cos成立的2222

2.余弦定理

[例2]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有____种. [解析]:

[类题]:

1.(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)设在△ABC中,AB=+,∠ACB=30.则AC+BC的最大值是 .

2.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个三角形的三边长恰为m+m+1,2m+1,m-1,则这个三角形的最大角为 . 3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三边之长a,b,c满足等式边所对应的角B的大小是 .

4.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:4x+5y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2与线段AB、OA分别交于点C、D,且平分三角形AOB的面积,则CD的最小值为 . 5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

11

?的最小值是 . tanAtanB

2

22

c2a2

?=b,则长为b的a?bb?c

ba

+=4cosC,则ab

6.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=

3

,则△ABC的面积为_____. 4

3.面积公式

[例3]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)凸四边形ABCD中,AB=

的面积,则S+T的最大值是 .

2

2

,BC=CD=DA=1.设S和T分别为△ABD和△BCD

[解析]:

[类题]:

1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC中,BC=6,BC上的高为4,则AB?AC的最小值是 . 2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=45.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为. 3.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,已知∠A=30,∠B=105,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或者BC相交于点E,使得∠CDE=60,且DE将△ABC的面积两等分,则(

CD2

)= . AC

Y.P.M数学竞赛讲座 3

4.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=

面积为 .

5.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知向量OP=(2cos(??+x),-1),OQ=(-sin(-x),cos2x),f(x)=OP?OQ. 2232,则△ABC的2

若a,b,c分别是锐角△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+32,a=,则△ABC的面积S= .

6.(1986年全国高中数学联赛试题)边长为a,b,c的三角形,其面积等于

t=111??,则s与t的大小关系是 abc1,而外接圆半径为1,若s=a??, 4

(A)s>t (B)s=t (C)s<t (D)不确定

4.边角互换

[例4]:(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2?19c2=0,则

[解析]:

cotC=_______. cotA?cotB

[类题]:

1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,如果a+b=6c,则(cotA+cotB)tanC的值等于 .

2.(2004年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a+b=tc,且cotC= 2004(cotA+cotB),则常数t=_____.

3.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,则a2?b2

c2222222= .

4.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,已知三个角A,B,C成等差数列,假设他们对的边分别为a,b,c并且c-a等于AC边上的高h,则sinC?A=______. 2

C?A 2 ⑵(1993年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若c?a等于AC边上的高h,则sin

+cosC?A的值是 . 2

CsinB,都是方程logAsinA5.(1992年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b?1),且

logb(4x?4)的根,则△ABC( ) bx=

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形

6.(2006年全国高中数学联赛北京初赛试题)△ABC中,a?bsinBa?c?,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,则=______. asinB?sinAb

5.内角变换

[例5]:(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosA+sinA-

2a?b=0,则的值是 . cosB?sinBc

[解析]:

4 Y.P.M数学竞赛讲座

[类题]:

1.⑴(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,则cos2A= .

⑵(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,若5tanBtanC=1,则cosA= . cos(B?C)13

2.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC,则

(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形

(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形

3.(2004年江西高中女子数学竞赛试题)下面是关于△ABC的两个命题:甲:sinA>sinB,当且仅当A>B;乙:cotA+cotB+ cotC恒取正值.( )

(A)甲对乙错 (B)乙对甲错 (C)甲乙都对 (D)甲乙都错

4.(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在△ABC中,tanA+tanB+3=tanAtanB,sinAcosA=

( )

(A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等边三角形或直角三角形

5.⑴(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)在锐角三角形ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列,且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析式为

⑵(2011年全国高中数学联赛试题)若△ABC的角A、C满足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tanACtan= . 22,则该三角形是4

6.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为 .

6.特例问题

[例7]:(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

[解析]:

[类题]:

1.⑴(1998年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在锐角三角形ABC中,一定有( )

(A)cosA<sinB (B)cosA>sinB (C)tanA>sinB (D)cosA与sinB的大小关系不确定 ⑵(2011年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB -cosA)位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2.⑴(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA=21,sinB=,则sinC的取值有( ) 75

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

35 ⑵(1983年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,sinA=,cosB=那么cosC的值等于 . 513

3.(2001年全国高中数学联赛试题)如果满足∠ABC=60,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( ) (A)k=83 (B)0<k≤12 (C)k≥12 (D)0<k≤12或k=83

4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=22,AC=36,则ΔABC的面积为 . 30

5.(2006年安徽高考试题)(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )

Y.P.M数学竞赛讲座 5

(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 (B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 (D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

6.(1982年全国高中数学联赛上海初赛试题)如果△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC<sinB'+sinC',那么( )

(A)B?C>B'?C' (B)|B?C|>|B'?C'| (C)B?C<|B'?C'| (D)|B?C|<|B'?C'|

7.等比性质

[例7]:(2008年全国高中数学联赛试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则sinAcotC?cosA的取 sinBcotC?cosB值范围是( )

(A)(0,+∞) (B)(0,?1) (C)(2?1,2?1) (D)(2?1,+∞) 2

[解析]:

[类题]:

1.(1992年第三届希望杯高二数学竞赛试题)三角形ABC的三边的长度a,b,c成等差数列,则角B的最大值是 .

2.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三条边的长a,b,c依次成等比数列,则sinB+cosB的取值范围是 .

3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.如果a、b、c成等比数列, 那么,三角方程sin7B=sinB的解集是 .

4.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b-a=ac,则角B的孤度数等于______.

5.(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,则角B的范围为 .

6.(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)三角形ABC三个内角的度数满足:AB1??.则T=cosA+cosB+cosC的值为 . BC322

8.三角形高

[例8]:(1988年全国高中数学联赛试题)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分别是AB,AC上的高,则

[解析]:

[类题]:

1.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P为△ABC内部(不含边界)一动点,则点P到三边距离之积的最大值等于 .

2.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)若△ABC中,BC=12,BC边上的高ha=8,hb,hc分别为CA,AB边上的高,则乘积 hbhc的最大值为____________.

3.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知AD、BE、CF为△ABC的三条高(D、E、F为垂足),∠B=45,∠C=60,则

000DE=_______. BCDE= . DF4.(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设H为锐角三角形ABC的垂心,己知∠A=30,BC=3,则AH= .

5.(1981年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB>2h.

9.内切圆

[例9]:(2005年全国高中数学联赛试题)△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1.则AA1cosABC?BB1cos?CC1cos的值为( ) sinA?sinB?sinC

6 Y.P.M数学竞赛讲座

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

[解析]:

[类题]:

1.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)设在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,且c=10,acosA=bcosB,A≠B,则△ABC的内切圆半径等于 .

2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)若D是边长为1的正三角形ABC的边BC上的点,△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,若r1+r2=3,则满足条件的点D有两个,分别设D1,D2,则D1,D2之间的距离为_______. 5

3.(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则比式(b+c-a):(a+c-b):(a+b-c)等于( ) (A)sinABCABCABCABC:sin:sin (B)cos:cos:cos (C)tan:tan:tan (D)cot:cot:cot 222222222222

4.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在不等边三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=x:y:z,则(x–y) cotCBA+(y–z)cot+(z–x)cot= . 222

05.(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知非等腰锐角△ABC的外心、内心和垂心分别为O、I、H,∠A=60.若△ABC

的三条高线分别为AD、BE、CF,则△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为 .

10.构三角形

[例10]:(1978年全国高考试题)己知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=?. 2

[解析]:

[类题]:

1.⑴(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设凸四边形ABCD满足:AB=AD=1,∠A=160,∠C=100,则对角线AC的长度的取值范围是 .

⑵(1987年全国高中数学联赛试题)边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) (A)102 (B)14 (C)56 (D)12

2.(2006年四川高考试题)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a=b(b+c)是A=2B的( )

(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件

3.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)cos10+cos50-sin40sin80= .

⑵(1995年全国高考试题)sin20+cos50+sin20cos50的值= .

4.(1991年三南高考试题)求tan20+4sin20的值. 00202000202000200

5.⑴(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)己知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

⑵(第二十一届全苏数学奥林匹克试题)己知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B+c+C=k.求证:aB+bC+cA<k. 2

?2y2

?25?x?xy?3??y26.(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)设正数x、y、z满足方程组?,求xy+2yz+3zx的值. ?z2?93?22?z?zx?x?16??

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竞赛中的三角形问题

高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.

一、知识结构

存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解?cosA+cosB>0.

证明:△ABC有解?C有解?A+B有解?0<A+B<π?0<A<π-B?cosA>cos(π-B)?cosA>-cosB?cosA+cosB>0. 解的个数定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:(i)△ABC有一解?sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解?sinA+cosB>1.

证明:△ABC有解?角C有解?sinC>0?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+(??sin2A22)(?cos2B)= sinAcosB??(sin2A?cos2B)?sin2Acos2B>0.所以当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当sin2A+cos2B>1时,有两解. 等价命题:在△ABC中,己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解?函数f(x)=x2- 2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).

证明:在△ABC中,b=a+c-2accosB,所以,△ABC有两解、一解或无解?关于c的方程:b=a+c-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)?函数f(x)=x-2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 22222222222

数列命题:在△ABC中,(i)如果a、b、c成等比数列,则B∈(0,

证明:(i)a、b、c成等比数列?ac=b?cosB=

a2?c2?(2??];(ii)如果a、b、c成等差数列,则B∈(0,]; 332ac?ac1?a2?c2?b2a2?c2?ac=≥=?B∈(0,];(ii)a、b、c成2ac322ac2ac

等差数列?a+c=2b?cosB=a?c?b=2ac222a?c2)6ac?2ac1?3(a2?c2)?2ac=≥=?B∈(0,]. 8ac322ac8ac

Stewart定理:若点P是△ABC的边BC上一点,则PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC× 证明:设∠APB=α,则∠APC=π-α,则在△ABP中,AB=PA+PB-2PA×PBcosα,在△APC中,

AC=PA+PC-2PA.PCcos(π-α)?AC=PA+PC+2PA×PCcosα?PC×AB+PB×AC=BC×PAPB×PC×BC.由此可求三角形的中线和角平分线.

222222222222

二、典型问题

1.正弦定理

[例1]:(2006年第十七届希望杯高二数学竞赛试题)△ABC的三个内角为A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周长与最长边的比值为m,那么m的最大值为 .

a?b?c= c[解析]:由2C-B=1800,且A+B+C=1800?B=2C-1800,A=3600-3C,且900<C<1350,c为最长边,又由正弦定理得:m=

sinA?sinB?sinCsin(3600?3C)?sin(2C?1800)?sinC?sin3C?sin2C?sinC(4sin3C?3sinC)?2sinCcosC?sinC22???=4sinC-2cosC-2=-4cosC sinCsinCsinCsinC

-2cosC+2=-4(cosC+12919)+;所以当cosC=-时,m取得最大值. 4444

[类题]:

1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,则sinA:sinB:sinC=___.

[解析]:(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6?(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6?a:b:c=7:5:3?sinA:sinB:sinC=7:5:3.

2.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA-sinB-sinC=0,且sinA=2sinBsinC则△222

ABC是( )

(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

[解析]:sinA-sinB-sinC=0?a=b+c?A=90,sinA=2sinBsinC?2sinBsin(90-B)=1?sin2B=1?B=45.

3.⑴(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,若tanA=

于 .

⑵(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA=

的边为1,则△ABC最短边的长为 .

[解析]:cosB=tanA?tanBcsinB13=-1?c=1,b最短?b==. ?tanB=?tanC=-tan(A+B)=-1?tanAtanBsinC3105

0022222200011,tanB=,且最长的边的长为1,则最短边的长等2313,cosB=.若最长2104.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=40,∠BAD=30若AB=CD,则∠ACD的大小为 (度[解析]:设BD=a,∠ACD=α,则AB=2asin70,AD=2asin40,∠DAC=110-α,由

?α=40. 0000ADCDsin400sin700 ???sin?sin(110??)sin?sin(1100??)

5.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.

[解析]:设∠BOD=2α,则BC=2BD=2Rsin2α,AD=ABcosα=2RsinCcosα=2Rsin(90-α)cosα=2Rcosα,则AD+BC=2Rcosα+2Rsin2α=R(1+cos2α)+2Rsin2α=5Rsin(2α+φ)+R,其中tanφ=??1,取α=-时,AD+BC≤R+R. 422

20226.(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则使等式sin

充要条件是( ) A2B2C2B+sin+sin=cos成立的2222

(A)a+b=2c (B)b+c=2a (C)c+a=2b (D)ac=b

[解析]:sin

4sin222A?CA?CA2B2C2B+sin+sin=coscos= ?1-cosA+1-cosB+1-cosC=1+cosB?cosA+cosC=2(1-cosB)?2cos222222A?CA?CA?CA?CBBBBBBB=2sin?coscos=2sincos?cossin=2sincos?sinA+sinC=2sin?cos22222222222

B?a+c=2b.

2.余弦定理

[例2]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有____种.

[解析]:设△ABC三边长a,b,c为整数,a+b+c=60,a≥b≥c,a,b,c成等差数列?b=20,a+c=40;∠A为钝角?b2+c2<a2?b2 <(a+c)(a-c)?a-c>10?a-(40-a)>10?a>25,又因b+c>a,由a+b+c=60?a<30?a=26,27,28,29.共有4种.

[类题]:

01.(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)设在△ABC中,AB=+2,∠ACB=30.则AC+BC的最大值是 .

222222[解析]:c=a+b-2abcosC?a+b-ab=(+)?(ab≤(a?b222(a?b)2(a?b)2a?b2),a+b≥)-()≤(+ 2222

2)?a+b≤4(2+). 2

2.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个三角形的三边长恰为m+m+1,2m+1,m-1,则这个三角形的最大角为 .

[解析]:由(m-1)+(2m+1)>m+m+1?m>1?(m+m+1)-(2m+1)=m(m-1)>0,(m+m+1)-(m-1)=m+2>0?边长m+m+1最大,由cosα=(2m?1)2?(m2?1)2?(m2?m?1)2

2(2m?1)(m2?1)22222222=-2?1. ?最大角为32

3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三边之长a,b,c满足等式

边所对应的角B的大小是 . c2a2?=b,则长为b的a?bb?c

c2a222332232222223

[解析]:=b?(b+c)c+(a+b)a=b(a+b)(b+c)?a+c+ab+bc=b+ab+abc+bc?(a+c)(a+c-ac)+b(a+c)=b?

a?bb?c

+ab+abc+bc,设a+c=b+xac,则(a+c)[b+(x-1)ac]+b(b+xac)=b+ab+abc+bc?ab+(x-1)ac+bc+(x-1)ac+b+xabc=b+ab+abc+bc?(x-1)ac+(x-1)ac+(x-1)abc=0?(x-1)(a+c+b)=0?x=1?a+c=b+ac?B=

2

2

2

2

2

2

2

2222222322222233

?. 3

4.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:4x+5y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2与线段AB、OA分别交于点C、D,且平分三角形AOB的面积,则CD的最小值为 . [解析]:由条件知,OA=5,OB=4,AB=41,设∠BAO=α,则sinα=

42

,cosα=

541

,AC×ADcosα=

1

OA×OB?AC×AD= 2

5412222

,由余弦定理得:CD=AD+AC-2AD×ACcosα≥2AD×AC-2AD×ACcosα=541-25,当AD=AC时等号成立.所以,CD的最2

小值为=541-25.

5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

11

?的最小值是 . tanAtanB

ba

+=4cosC,则ab

[解析]:4cosC==

11ba1a2?b2a2?b2?c2222

?+≥2?cosC≥?sinC≤;由题设及余弦定理:=4 ?a+b=2c;于

tanAtanBab22ab2ab

sinAcosB?cosAsinBsin(A?B)sinC2ab1sin2Cc2a2?b22

====≥=≥.而上式等号成立当且

sinAsinBsinAsinBsinCsinAsinBsinCabsinC2absinC2absinCsinC3

仅当A=B=C.

6.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=

2

2

3

,则△ABC的面积为_____. 4

[解析]:在BC上取点D,使得AD=BD=x?CD=4-x,在△ACD中,(4-x)=9+x-6xcos(A?B)?x=2?cosC=△ABC的面积=

37

. 2

3?sinC=? 44

3.面积公式

[例3]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)凸四边形ABCD中,AB=

的面积,则S+T的最大值是 .

2

2

,BC=CD=DA=1.设S和T分别为△ABD和△BCD

[解析]:设∠BAD=α

?S=

1BD2222

sinα,BD=4-2cosα?T=BD?()2?T=(2-3cosα)cosα?S+T=

2242

3333733322222

sinα+cosα-cosα=-cosα+cosα+?cosα=时,S+T的最大值是. 44248226

[类题]:

1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC中,BC=6,BC上的高为4,则AB?AC的最小值是 . [解析]:AB?ACsinA=24?AB?AC=是25.

2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=45.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为. [解析]:由tanB=

tanB?tanCADAD210

,tanC==-1?tanB=2(-舍去)? ?tanC=tanB,∠BAC=45?tan(B+C)=-1?

1?tanBtanC2333

242434

.又因sinA≤sin2α=2sinαcosα=,其中sinα=,cosα=?AB?AC的最小值sinA2555

AD=4?△ABC的面积为12.

3.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,已知∠A=30,∠B=105,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或者BC相交于点E,使得∠CDE=60,且DE将△ABC的面积两等分,则(

[解析]:在△ABC中,已知A,B,c,则S△ABC=000CD2)= . AC0011csinB1c2sinAsinB12sin30sin45bcsinA=csinA=.若点E在BC上,则S△ABC=AC 22sin(A?B)2sin(A?B)2sin750

001CD23 2sin60sin45S△CDE=CD)=.?(02AC6sin105

4.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=

面积为 .

[解析]:cosC=

7. 1632,则△ABC的2BsinB19557375,cos=,sinC==?△ABC的面积?cosB=?sinB=?sinA=?AC=22sinA8162168442=

5.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知向量OP=(2cos(??+x),-1),OQ=(-sin(-x),cos2x),f(x)=OP?OQ. 22

若a,b,c分别是锐角△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+32,a=,则△ABC的面积S= .

[解析]:f(x)=OP?OQ=-2cos(

?2A-????2+x)sin(-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=2sin(2x-),f(A)=1?sin(2A-)= 22442???????2222=2kπ+,或2A-=2kπ+π-?A=kπ+,或A=kπ+?A=.由a=b+c-2bccosA=(b+c)-2(1+cosA)bc 4444424

15. 2

1,而外接圆半径为1,若s=a??, 4?13=43+302-(2+2)bc?bc=15?S=6.(1986年全国高中数学联赛试题)边长为a,b,c的三角形,其面积等于

t=111??,则s与t的大小关系是 abc

(A)s>t (B)s=t (C)s<t (D)不确定

[解析]:c=2RsinC=2sinC,

a?b?c

abc11111111111111absinC=?abc=1,t=??=(?)+(?)+(?)≥abc2ab242bc2ac1+ab1+bc1= ac=s,且其中等号成立,则a=b=c=R=1,这不成立.

4.边角互换

[例4]:(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2?19c2=0,则

[解析]:cotCcosCsinAsinBsinAsinBaba2?b2?c25??==cosC==. cotA?cotBsinCsinAcosB?cosAsinB92absin2CccotC=_______. cotA?cotB

[类题]:

1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,如果a+b=6c,则(cotA+cotB)tanC的值等于 .

sin(A?B)sinC2c22absin2C1??[解析]:(cotA+cotB)tanC===?222=. sinAsinBcosCsinAsinBcosCaba?b?c5222

2.(2004年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a+b=tc,且cotC= 2004(cotA+cotB),则常数t=_____. 222

cosCsin(A?B)sin2Ca2?b2?c2c2[解析]:cotC=2004(cotA+cotB)?=2004=2004?cosC=2004??t=4009. sinCsinAsinBsinAsinB2abab

3.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,则

[解析]:tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB?a2?b2c2= . sinAsinBsinCsin(A?B)a2?b2sin2Ca2?b2?c2c2===3. ?cosC=??cosAcosBcosCcosAcosBsinAsinBab2abc2

4.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,已知三个角A,B,C成等差数列,假设他们对的边分别为a,b,c并且c-a等于AC边上的高h,则sinC?A=______. 2

00[解析]:三个角A,B,C成等差数列?A=60-α,C=60+α,c-a=h?c-a=csinA?sinC-sinA=sinCsinA?sinα=

-11C?A12sinα?sinα=?sin=. 422232cosα4

⑵(1993年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若c?a等于AC边上的高h,则sin+cosC?A的值是 . 2

C?AC?A11+cos=+=1. 2222

CsinB,都是方程logAsinAC?A 2[解析]:sin5.(1992年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b?1),且

logb(4x?4)的根,则△ABC( ) bx=

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形

2[解析]:方程logbx=logb(4x-4)?x=4x-4?x=2?CsinB0=2,=2?C=2A,且sinB=2sinA?sin(180-3A)=2sinA? AsinA

sin3A=2sinA?3sinA-4sinA=2sinA?sinA=31000?A=30,C=60,B=90,故选(B). 2

a?bsinBa?c?,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,则=______. asinB?sinAb6.(2006年全国高中数学联赛北京初赛试题)△ABC中,

[解析]:

2a?bsinBa22??b-a=ab?=asinB?sinAb25?12,cos(A-B)+cosC=1-cos2C?cos(A-B)-cos(A+B)=2sinC?sinAsinB 2=sinC?ab=c?c=ba?c5?1?1=+?b22?1. 2

5.内角变换

[例5]:(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosA+sinA-

2a?b=0,则的值是 . cosB?sinBc

[解析]:cosA+sinA-

??)=1?A=B= 442???=0?(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2?sin(A+)sin(B+)=1?sin(A+)=1,sin(B+ cosB?sinB444

[类题]:

1.⑴(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,则cos2A= . 1

3

[解析]:sinA+cosA=-

cos2A=1-2sinA=21?122?cosA<0,sinA-cosA>0,(sinA+cosA)+(sinA-cosA)=2?sinA-cosA=?sinA=? 336. 9

cosA= . cos(B?C) ⑵(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,若5tanBtanC=1,则

[解析]:cosBcosC?sinBsinC1?tanBtanC2cosAcos(B?C)=-=-=-=-. cosBcosC?sinBsinC1?tanBtanC3cos(B?C)cos(B?C)

2.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC,则

(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形

(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形

[解析]:(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC?2sin

?A=B. A?BA?BA?BA?B2A?Bcos×2coscos=2sin(A+B)?cos=1 22222

3.(2004年江西高中女子数学竞赛试题)下面是关于△ABC的两个命题:甲:sinA>sinB,当且仅当A>B;乙:cotA+cotB+ cotC恒取正值.( )

(A)甲对乙错 (B)乙对甲错 (C)甲乙都对 (D)甲乙都错

[解析]:甲:sinA>sinB?a>b?A>B;乙:cotA+cotB=sin(A?B)>0?cotA+cotB+cotC>0. sinAsinB

4.(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在△ABC中,tanA+tanB+3=tanAtanB,sinAcosA=

( ) ,则该三角形是4

(A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等边三角形或直角三角形

[解析]:在△ABC中,tanA+tanB+=3tanAtanB?tanA?tanB0=-3?tan(A+B)=-?tanC=3?C=60;sinA 1?tanAtanB

cosA=0000?sin2A=?2A=60,或120?A=30,或60?等边三角形或直角三角形. 42

5.(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)在锐角三角形ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列,且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析式为

[解析]:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角,所以tanB≠0,所

1?x1?x99cos2C2以tanAtanC=3,令cos2C=x,则cosC=,所以tanA=2==9,所以f(x)cos(B+C-A)=cos(π-2A)=- 221?xtanC1?cosC

4?5x12cos2A=1-2cosA=1-2=. 2tanA?15?4x2 ⑵(2011年全国高中数学联赛试题)若△ABC的角A、C满足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tan

[解析]:令tanACtan= . 22AC1?m21?n222=m,tan=n?cosA=,cosC=,由5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0?5[(1-m)(1+n)+(1+ 22221?m1?n

2222222222m)(1-n)]+4[(1-m)(1-n)+(1+m)(1+n)]=0?5(2-2mn)+4(2+2mn)=0?mn=3.

6.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为 .

[解析]:该三角形不是直角三角形.不妨设A≤B≤C则tanA≤,又tanA∈Z,所以tanA=1;非直角三角形中,有恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,即tanB,tanC是方程1+x+y=xy,即y=1+

35. 52的一组正整数解,所以tanB=2,tanC=3.易解x?1得最长边为

6.特例问题

[例7]:(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

[解析]:A,B是锐角△ABC的两个内角?A+B

[类题]:

1.⑴(1998年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在锐角三角形ABC中,一定有( )

(A)cosA<sinB (B)cosA>sinB (C)tanA>sinB (D)cosA与sinB的大小关系不确定 ⑵(2011年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB -cosA)位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2.⑴(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA=21,sinB=,则sinC的取值有( ) 75

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

[解析]:sinB=12262622.当cosB=时,由sinA+cosB>1?有两解;当cosB=-时,只有一解. ?cosB=?5555

35 ⑵(1983年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,sinA=,cosB=那么cosC的值等于 . 513

3.(2001年全国高中数学联赛试题)如果满足∠ABC=60,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( ) (A)k=83 (B)0<k≤12 (C)k≥12 (D)0<k≤12或k=83

4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=22,AC=3,则ΔABC的面积为 . 30

5.(2006年安徽高考试题)(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )

(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 (B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 (D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

[解析]:因三角形任一内角的正弦值为正,由题知△A1B1C1的三个内角的余弦值为正,故△A1B1C1是锐角三角形;假如△A2B2C2也是锐角三角形,由cosA1=sinA2?A1+A2=

所以△A2B2C2是钝角三角形,故选(D).

6.(1982年全国高中数学联赛上海初赛试题)如果△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC<sinB'+sinC',那么( )

(A)B?C>B'?C' (B)|B?C|>|B'?C'| (C)B?C<|B'?C'| (D)|B?C|<|B'?C'|

[解析]:∠A=∠A'?B+C=B'+C',sinB+sinC<sinB'+sinC'?2sin

cosB??C?B??C?B?C|<cos||?|B?C|>|B'?C'|. ?cos|222B??C?B??C?B?CB?CB?Ccos<2sincos< ?cos22222???3?3?,同理可得B1+B2=,C1+C2=?(A1+B1+C1)+(A2+B2+C2)= ?2π=.矛盾,22222

7.等比性质

[例7]:(2008年全国高中数学联赛试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则

范围是( )

(A)(0,+∞) (B)(0,?1) (C)(2?1,2

?1,25?1) (D)(2?1,+∞) 2sinAcotC?cosA的取值sinBcotC?cosB[解析]:设等比数列的公比为q,b=aq,c=aq2,由a+b>c?a+aq>aq2?q∈(sinAcotC?cosA?1),= sinBcotC?cosB2

sinAcosC?cosAsinCsin(A?C)sinBb====q. sinBcosC?cosBsinCsin(B?C)sinAa

[类题]:

1.(1992年第三届希望杯高二数学竞赛试题)三角形ABC的三边的长度a,b,c成等差数列,则角B的最大值是 .

2.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三条边的长a,b,c依次成等比数列,则sinB+cosB的取值范围是 .

3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.如果a、b、c成等比数列, 那么,三角方程sin7B=sinB的解集是 .

[解析]:a、b、c成等比数列?B∈(0,

?. 8??(2k?1)??],sin7B=sinB?7B=2kπ+B,或7B=2kπ+π-B?B=k,或B=?B=, 3383

4.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b-a=ac,则角B的孤度数等于______.

[解析]:角A,B,C的大小成等比数列?A=q?122222B,C=qB,A+B+C=π?B=.b-a=ac,b=a+c-2accosB?a=c-2acosB qq?q?1

2?1B?q=2?B=. 7222?sinA=sinC-2sinAcosB?sinA=sin(B-A)?A=

5.(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,则角B的范围为 .

[解析]:lgtanA+lgtanC=2lgtanB?B<90,tanAtanC=tanB,tanB=-

3002tanA?tanC3?tanA+tanC=tanB-tanB,tanA+tanC≥2 1?tanAtanC0tanAtanC=2tanB?tanB-tanB≥2tanB?tanB≥?B∈[60,90).

6.(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)三角形ABC三个内角的度数满足:

[解析]:设A=θ,B=3θ,C=9θ,由A+B+C=π得θ=

222AB1??.求T=cosA+cosB+cosC的值. BC3?13,T=cosA+cosB+cosC=cosθ+cos3θ+cos9θ=cosθ+cos3θ-cos4θ= 222222cosθcos2θ-2cos2θ+1>2cos2θ-2cos2θ+1=1;T=(cosθ+cos3θ+cos9θ)=cosθ+cos3θ+cos9θ+2cosθcos3θ

+2cos3θcos9θ+2cos9θcosθ=111(1+cos2θ)+(1+cos6θ)+(1+cos18θ)+(cos2θ+cos4θ)+(cos8θ+cos10θ)+ 222

2(cos6θ+cos12θ),而T=-cos12θ-cos10θ-cos4θ所以,2T-T=3+3(cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ),

又令P=cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ,则2sinθP=(sin3θ-sinθ)+(sin5θ-sin3θ)+(sin7θ-sin5θ)+(sin9θ-sin7θ)+(sin11θ-sin9θ)+(sin13θ-sin11θ)=-sinθ,所以,P=-131?2,从而2T-T=,即T=. 224

8.三角形高

[例8]:(1988年全国高中数学联赛试题)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分别是AB,AC上的高,则

[解析]:B,C,D,E四点共圆?∠ADE=∠ABC?△AED∽△ABC?

[类题]:

1.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P为△ABC内部(不含边界)一动点,则点P到三边距离之积的最大值等于 .

[解析]:设AB=5,BC=3,CA=4,点P到三边AB,BC,CA的距离分别为dc,da,db,则5dc+3da+4db=12?12=5dc+3da+4db≥3dadbdc DEAD==|cosα|. BCACDE=_______. BC

?dadbdc≤1644,当且仅当5dc=3da=4db=4,即dc=,da=,db=1时. 553

2.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)若△ABC中,BC=12,BC边上的高ha=8,hb,hc分别为CA,AB边上的高,则乘积 hbhc的最大值为____________.

121296sinA96sinA12?x969696[解析]:由bhb=chc=aha=96?hb=,hc=hh====96sinA.设A=α+β,tanα=,tanβ?bc11bc8bcbcsinA?96222

=x?tanA=tan(α+β)=82424243≤. ?sinA≤?hbhc≤96×725252?32

003.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知AD、BE、CF为△ABC的三条高(D、E、F为垂足),∠B=45,∠C=60,则DE= . DF

[解析]:A,B,D,E四点共圆?∠CED=∠CBA?△CED∽△CBA?

DE2ABsinC3===. DF2AC2sinB2DEDC110?=cos60=?DE=AB;同理可得:DF=AC? ABAC222

4.(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设H为锐角三角形ABC的垂心,己知∠A=30,BC=3,则AH= .

[解析]:∠AHB=180-C,∠ABH=90-A,在△ABH中,000AH

sin(900?A)?AB

sin(1800?C)?AH=cosAABBC=cosA=acotA. sinCsinA

05.(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知非等腰锐角△ABC的外心、内心和垂心分别为O、I、H,∠A=60.若△ABC

的三条高线分别为AD、BE、CF,则△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为 .

[解析]:因∠BOC=2A=120,∠BIC=180-00AB?C000=90+=120,∠BHC=180-A=120?∠BOC=∠BIC=∠BHC?B,O,I,H,C五点22

共圆?△OIH的外接圆半径=△OBC的外接圆半径=△ABC的外接圆半径R;又因A,E,H,F四点共圆,且直径为AH?EF= AHsinA=2RcosAsinA=

=3000R,由A,F,D,C四点共圆?∠BDF=∠A=60,同理∠CDE=60?∠EDF=60?△DEF的外接圆半径2r 2EF=R?△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为2. sin?EDF

6.(1981年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB>2h.

[解析]:在△ABC中,h=asinB=bsinA,AB=c=acosB+bcosA,∠C为钝角?A+B<

>asinA+bsinB>asinB+bsinA=2h. ??cosA>sinB,cosB>sinA?c=acosB+bcosA 2

9.内切圆

[例9]:(2005年全国高中数学联赛试题)△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1.则AA1cosABC?BB1cos?CC1cos222的值为( ) sinA?sinB?sinC

(A)2 (B)4

(C)6 (D)8

[解析]:如图,连BA1,则AA1=2sin(B+AAAA)?AA1cos=2sin(B+)cos=sin[(B+ 2222

AAAAB)+]+sin[(B+)-]=sin(A+B)+sinB=sinC+sinB,同理可得:BB1cos=sinC+sinA,

22222

[类题]:

1.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)设在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,且c=10,acosA=bcosB,A≠B,则△ABC的内切圆半径等于 .

[解析]:

2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)若D是边长为1的正三角形ABC的边BC上的点,△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,若r1+r2=3,则满足条件的点D有两个,分别设D1,D2,则D1,D2之间的距离为_______. 5

133x,另一方面S△ABD=(1+x+x2?x?1)r1?r1=(1+x- 246[解析]:设BD=x,由余弦定理得AD=x2?x?1.一方面S△ABD=

x2?x?1),同理可得r2=19332(2-x-x2?x?1)?r1+r2=(3-2x2?x?1).r1+r2==0.设两个根分别为?x-x+100665

x1,x2,则D1,D2之间的距离=|x1-x2|=. 5

3.(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则比式(b+c-a):(a+c-b):(a+b-c)等于( ) (A)sinABCABCABCABC:sin:sin (B)cos:cos:cos (C)tan:tan:tan (D)cot:cot:cot 222222222222

ABC,a+c-b=2rcot,a+b-c=2rcot. 222[解析]:设AB与内切圆切于点D,b+c-a=2AD=2rcot

4.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在不等边三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=x:y:z,则(x–y) cotCBA+(y–z)cot+(z–x)cot= . 222

CBA2222+(y–z)cot+(z–x)cot=(x-y)(x+y-z)+(y-z)(y+z-x)+(z-x)(x+z-y)=x-y-xz+yz+y-z-xy+ 222[解析]:(x–y)cot

22xz+z-x-yz+xy=0.

10.构三角形

[例10]:(1978年全国高考试题)己知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=?. 2

[解析]:由3sin2α-2sin2β=0?2322?联想作△ABC,使BC=2,AC=3,∠A=2α,∠B=2β.由2sinα+2sinβsin2?sin2?

=1?3cos2α+2cos2β=3,考虑到作CD⊥AB于D,则AD=3cos2α,BD=2cos2β?AB=3?AB=AC?2α+4β=π?α+2β=?. 2

[类题]:

1.(2006年四川高考试题)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a=b(b+c)是A=2B的( )

(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件

2.(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设凸四边形ABCD满足:AB=AD=1,∠A=160,∠C=100,则对角线AC的长度的取值范围是 .

0000[解析]:在△ABD中,BD=2?2cos1600=2cos10,设∠DBC=α,则∠BDC=80-α?0<α<80,在△BCD中,002BC

sin(80??)=

BDsin100

?BC=2cos(α+10)?AC=1+4cos(α+10)-4cos(α+10)

022020

3.(1987年全国高中数学联赛试题)边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )

(A)102 (B)14 (C)56 (D)12 [解析]:不妨设a=BD≤6,b=AC≥6,∠ABD=α,则cosα=

a3300

≤?45<arccos≤α<90?AC+BD=10(sinα+cosα)= 1055

3434

,sinα=时,AC+BD取得最大值=10(+) 5555

000

102sin(α+45),因y=sinx在[90,180]单调递减,所以当且仅当cosα=

=14.

4.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)cos10+cos50-sin40sin80= . ⑵(1995年全国高考试题)sin20+cos50+sin20cos50的值= . 5.(1991年三南高考试题)求tan20+4sin20的值.

2

2

2

2

[解析]:构造直角△ABC,使∠C=90,∠B=60,BC=1,则∠A=30,AB=2,AC=3,在AC上取一点D,使∠DBC=20.在△BDC中, tan20=CD?CD=tan20,在△ABD中,由正弦定理

ADsin40

BC

?

ABsin110

?AD=4sin20,得tan20+4sin20=CD+AD=AC=3.

000

6.(第十五届全俄数学奥林匹克试题)己知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

[解析]:构造边长为1的正△ABC,分别在边CA,AB,BC上取点D,E,F,使AD=x,BE=y,CF=z,则CD=1-x,AE=1-y,BF=1-z,由S△

ADE

+S△BEF+S△CDF<S△ABC?x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

2

⑵(第二十一届全苏数学奥林匹克试题)己知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B+c+C=k.求证:aB+bC+cA<k. [解析]:构造边长为k的正△PQR,分别在边PR,PQ,QR上取点M,N,L,使PM=b,QN=c,RL=a,则RM=B,PN=C,QL=A,由S△PMN+S△

QNL

+S△RML<S△PQR?aB+bC+cA<k.

2

?2y2

?25?x?xy?3?

?y2

6.(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)设正数x、y、z满足方程组?,求xy+2yz+3zx的值. ?z2?9

?232

?z?zx?x?16??

[解析]:构造△ABC,使AB=5,BC=3,CA=4,取点P,使PA=x,PB=

PBC

y3

,PC=z?∠APB=150,∠BPC=90,∠APC=120,由S△PAB+S△

000

+S△PCA=S△ABC?xy+2yz+3zx=243.

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