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2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷以及参考答案及评分标准

发布时间:2014-02-03 11:04:42  

2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、4?|?3|????1??的值是( )

A、4 B、5 C、8 D、9

2、若?x?2??x?a??x2?bx?2,则a?b?( )

A、?1 B、0 C、1 D、2

3、如图,已知在?ABC中,BO平分?ABC,CO平分?ACB,且OM//AB,ON//AC,若CB?6,则?OMN的周长是( )

A、3 B、6 C、9 D、12

1?1?x?2?x?14、不等式组?2的解是( ) 3?3x?x?2?A

A、?6?x?1 B、?6?x?1

C、?6?x?1 D、?6?x?1 B M N C 5、非负整数x,y满足x2?y2?16,则y的全部可取值之和是( )

A、9 B、5 C、4 D、3

6、如图,已知正方形ABCD的边长为4,M点为CD边上的中点,若M点是A点关于线段EF的对称点,则

A、AE等于( ) EDA E G D 53 B、 35

1 2M C C、2 D、

二、填空题(本题满分28分,每小题7分) B F

1、已知2?x?x?2?|y?3|?0,则x2?y2?_________.

2、已知x?1

x?3,则x?_____________. 2x?3x?1

?2x?y?3z?233、设?,则3x?2y?z?___________. x?4y?5z?36?

4、如图,在?ABC中,AC?BC,且?ACB?90?,点D是AC上一点,AE?BD,交BD的延长线于点E,且AE?1BD,则?ABD?_________. 2

三、(本大题满分20分) a?1?a?4?a?2先化简后,再求值:?2,其中a??1. ?2??a?2a?2aa?4a?4??

四、(本大题满分25分)

如图,已知直角梯形OABC的A点在x轴上,C点在y轴上,PQ//ABOC?6,OA?OB?10,交AC于D点,且?ODQ?90?,求D点的坐标。

五、(本大题满分25分)

如图,已知四边形ABCD中,AB?DC,E、F分别为AD与BC的中点,连结EF与BA的延长线相交于N,与CD的延长线相交于M.

求证:?BNF??CMF

新课 M

N D

B F 2013年全国初中数学联赛(初二组)

C

参考答案及评分标准

一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)

1、A 2、B 3、B 4、C 5、D 6、A

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

1、13 2、1 3、10 4、22.5? 10

三、(本大题满分20分)

解原式???a?2a?1?a??

aa?2?a?22??4

(5分) ?a?2?a2?4?a2a?2

aa?22

?a?4 ?

1

aa?2 (10分)

?1

2?12?1?2?1 (5分)

四、(本大题满分25分) 解:∵CB?OB2?OC2?8

∴B点坐标(8,6) (5分) 又∵A(10,0)

∴AB的中点坐标为(9,3)

∴OD的表达式为:y?1

3

x (10分)

∵A(10,0),C(0,6)

∴AC的表达式为:y??3

5

x?6 (15分)

?y?1x?

由????3?x?45,解得:

??

7

(20分) ??15?y??35x?6??

y?7故点D的坐标为(

457,15

7

) (25分) 五、(本大题满分25分)

证明:连结AC,取AC的中点K,连结EK,FK (5分) ∵AE?ED,AK?KC ∴EK//DC,EK?

1

2

DC (10分) 同理FK//AB,FK?1

2

AB (15分)∴FK?

12AB?1

2

DC?EK ∴?FEK??EFK (20分)∵EK//DC ∴?CMF??FEK ∵FK//AB ∴?BNF??EFK

∴?BNF??CMF (25分)M D

K

B F C

2012年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】

(A)2,3,1 (B)2,2,1 (C)1,2,1 (D)2,3,2

【答】A.

解:完全平方数有1,9;奇数有1,3,9;质数有3.

2.已知一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是【 】

(A)m??1 (B)m??1 (C)m?1 (D)m?1

【答】C.

解:一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y

?m?1?0,轴的交点位于y轴的正半轴,且y随x的增大而增大,所以? 解得m?1. m?1?0.?

??DA???AB,给出下列三个 3.如图,在⊙O中,CD结论:(1)DC=AB;(2)AO⊥BD;(3)当∠BDC=30°

时,∠DAB=80°.其中正确的个数是【 】

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

【答】D.

???AB,所以DC=AB;因为?AD??AB,AO是半径,所以AO⊥BD;解:因为CD第3题图

设∠DAB =x度,则由△DAB的内角和为180°得:2(x?30?)?x?180?,解得x?80?.

4. 有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【 】

1321

(B) (C) (D)

3432

【答】B.

解:从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有4

42

种可能,所以摸出花色不一样的概率是?.

63

(A)

5.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(?3,?3),点C是y轴上一动点,要使△ABC为等腰三角形,则符合要求的点C的位置共 有【 】

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 【答】D.

解:由题意可求出AB=5,如图,以点A为圆心AB 的长为半径画弧,交y轴于C1和C2,利用勾股定理可求

第5题图 出OC1=OC2

?,可得C1(0,26),C2(0,?26), 以点B为圆心BA的长为半径画弧,交y轴于点C3和C4, 可得C3(0,1),C4(0,?7),AB的中垂线交y轴于点C5,利用 三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,?

17). 6

6.已知二次函数y?2x2?bx?1(b为常数),当b取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线型 抛物线),这条抛物线的解析式是【 】

1

(A)y??2x2?1 (B)y??x2?1

21

(C)y??4x2?1 (D)y??x2?1

4

【答】A.

?b8?b2

解:y?2x?bx?1的顶点坐标是???4,8

?

2

y

O x

第6题图

?8?b2bb?y?,设,,由x??x???844?

8?b28?(?4x)2

??1?2x2. 得b??4x,所以y?88

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

7.若m?n?2,则2m2?4mn?2n2?1的值为.

【答】7.

解:2m2?4mn?2n2?1?2(m?n)2?1?2?22?1?7.

8.方程112??的解是 . (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)3

【答】x1?0,x2??4. 解:111111????? (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)x?1x?2x?2x?3

112??. x?1x?3(x?1)(x?3)?

∴22?,解得 x1?0,x2??4. (x?1)(x?3)3

9.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0),

若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转

90°得到线段BA?,则点A?的坐标是.

【答】(b?1,?a?1).

解:分别过点A、A?作x轴的垂线,垂足分别

为C、D.显然Rt△ABC≌Rt△BA?D. 由于点A的 第9题图 坐标是(a,b),所以OD?OB?BD?OB?AC?1?b,A?D?BC?a?1,所以点的A?坐标是(b?1,?a?1).

?是以点A为圆心2为半10.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,AM=1,DE

1?是以点M为圆心2为半径的1圆弧,则图中两段弧之间的阴影部分径的圆弧,NB44

的面积为 .

【答】2.

解:连接MN,显然将扇形AED向右平移

可与扇形MBN重合,图中阴影部分的面积等于

矩形AMND的面积,等于1?2?2.

E M 第10题图

11.已知α、β是方程x2?2x?1?0的两根,则?3?5??10的值为.

【答】?2.

解:∵α是方程x2?2x?1?0的根,∴?2?1?2?.

∴ ?3??2???(1?2?)????2?2???2(1?2?)?5??2,

又 ∵?????2,

∴ ?3?5??10?(5??2)?5??10?5(???)?8=5?(?2)?8??2.

12.现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个.

【答】36.

解:利用抽屉原理分析,设最多有x个小朋友,这相当于x个抽屉,问题变为把145颗糖放进x个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x?1≤145,解得x≤36,所以小朋友的人数最多有36个.

三、解答题(第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分)

13.王亮的爷爷今年(2012年)80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁?

解:设王亮出生年份的十位数字为x,个位数字为y(x、y均为0 ~ 9的整数).∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前.故应分两种情况: ???????2分

(1)若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为2000?10x?y,依题意,得 201?2,(20?00x?1y0?)?2?x0?y

10?11x,2整理,得 y? x、y均为0 ~ 9的整数,

∴x?0. 此时y?5.

∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁.???????8分

(2)若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为1900?10x?y,依题意,得 201?2,(19?00x?1y0?)?1?x9?y

102?11x102?11x,0≤≤9, 22整理,得 11x?102?2y,故x为偶数,又y?

∴ 77≤x≤9, ∴ x?8. 此时y?7. 11

∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁. ???????14分

综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁.?????15分

14.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、点D在线段OA上,BD=BA, 点Q是线段BD上一个动点,点P的坐标是(0,3),(3,2),

设直线PQ的解析式为y?kx?b.

(1)求k的取值范围;

(2)当k为取值范围内的最大整数时,若抛物线y?ax2?5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部,求a的取值范围.

解:(1)直线y?kx?b经过P(0,3),∴ b?3.

∵B(3,2),A(5,0),BD=BA,∴ 点D的坐标是(1,0)

∴ BD的解析式是y?x?1, 1≤x≤3.

?y?x?1,4依题意,得 ?,∴x?, 1?k?y?kx?3.41≤3.解得?3≤k≤?.?????????????????7分 1?k3

1 (2)??3≤k≤?,且k为最大整数,∴k??1. 3∴ 1≤

则直线PQ的解析式为y??x?3.?????????????????9分

5?525?又因为抛物线y?ax2?5ax的顶点坐标是?,?a?,对称轴为x?. 4?2?2

5??y??x?3,?x?,551??2解方程组?得? 即直线PQ与对称轴为x?的交点坐标为(,), 5222x?.??y?1.2??2?

∴12582??a?2.解得 ??a??.??????????????15分 242525

?上一动点, 15. 如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°.点B是MN

BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)求证:四边形EPGQ是平行四边形;(2)探索当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;(3)连结PQ,试说明3PQ2?OA2是定值.

解:(1)证明:如图①,

∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON, ∴四边形OABC是矩形. ∴AB//OC,AB?OC.

∵E、G分别是AB、CO的中点, ∴AE//GC,AE?GC.

C

G

Q

F

B

N

∴四边形AECG为平行四边形.

∴CE//AG. ???????????4分 O A M D 连接OB, 图① ∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点, ∴ GF∥OB,DE∥OB, ∴ PG∥EQ,

∴四边形EPGQ是平行四边形.??????????????????6分

(2)如图②,当∠CED=90°时,□EPGQ是矩形. 此时 ∠AED+∠CEB =90°.

N 又∵∠DAE=∠EBC =90°,∴∠AED=∠BCE.

∴△AED∽△BCE.????????????8分 C

ADAE∴. ?BEBC

E G

xyy22

设OA=x,AB=y,则∶=∶x,得y?2x.?10分 222又 OA2?AB2?OB2,即x2?y2?12. ∴x2?2x2?1,

解得x?

. 3

O

D A 图②

M

∴当OA

时,四边形EPGQ是矩形.????????????12分 (3)如图③,连结GE交PQ于O?,则O?P?O?Q,O?G?O?E..过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?.

PGPEGE2N???, PFPCFC1

2111C∴ PA?=A?B?=AB, GA?=GE=OA,

333311∴ A?O??GE?GA??OA. EG26

在Rt△PA?O?中,PO?2?PA?2?A?O?2,

222

PQABOAAMOD即 , 又 AB2?OA2?1, ??4936

图③ 122

∴ 3PQ?AB?,

3

14

∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?.??????????????18分

33

由△PCF∽△PEG得,

2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中有且只有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7分;不选、错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。

1、已知?1?x?0,则?x2,x,A、?x2?x?C、x??x2?

1

x

1

的大小关系是( ) x

1

??x2?x x

1

?x??x2 x

B、

D、

1

x

2、如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP, 过P作PQ?BP,PQ交CD于Q,若AP?CQ?2,则正方形ABCD的面积为( )

A、6?42 C、12?82

B、16 D、32

B A

P

Q C D

3、若实数a,b满足b2?a?2b?2?0,则a的取值范围是( ) A、a??1

B、a??1

C、a?1

D、a?1

4、如图,在四边形ABCD中,?B?135?,?C?120?,AB?,BC?3?,CD?6,则AD边的长为( )

A、6 C、42 5、方程

B、4 D、

C

A

113

??的正整数解(x,y)的组数是( ) xy7

D

A、0 B、1 C、3 D、5

y2x2z2yxz

??6、已知实数x,y,z满足的值是( ) ???1,则

y?zz?xx?yy?zz?xx?y

A、?1 B、0 C、1 D、2

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

x表示x的正约数个数,则③×④÷⑥等于. 1、x是正整数,○

2、草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛在60天内可以吃完这片青草,则20头牛吃完这片青草需要的天数是 .

3、如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是BC、DC的中点,AM?4,AN?3,且?MAN?60?,则AB的长是.

4、小明将1,2,3,?,n这n个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输入(n?1)个数,且平均值为30.75,假设这(n?1)个数输入无误,则漏输入的一个数

是 .

三、(本大题满分20分) 解方程x2?|2x?1|?2?0

四、(本大题满分25分)

如图,圆内接四边形ABCD中,CB?CD. 求证:CA2?CB2?AB?AD

五、(本大题满分25分)

已知二次函数y?ax2?bx?c和一次函数y??bx,其中a、b、c满足a?b?c,a?b?c?0.?a,b,c?R?.

D

C

B

D

N

C

A

M (1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A、B;

(2)过(1)中的两点A、B分别作x轴的垂线,垂足为A1、B1.求线段A1B1的长的取值范围。

2013年全国初中数学联赛(初三组)初试解答

一、 选择题(本大题满分42分,每小题7分)

1. 已知-1<x<0,则-x2,x,1

x的大小关系是( )

A.-x2<x<1

x B.1

x<-x2<x

C.x<-x2<1D.1

x x<x<-x2

解:由-1<x<0,得x+1>0,从而x+x2=x(x+1)<0,所以x<-x2, 又11-x2(1-x)(1+x)1

x-x=x=x<0,所以x<x.

故选D.

2. 如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP, 过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP

=CQ=2,则正方形ABCD的面积为 A.6+

B.16 C.12+ D.32 解:如图,过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD,垂足分别E、F、G.易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌

Rt△FDP,所以FQ=FD=EP

此正方形ABCD

的边长为

2+(2+2=12+ 故选C. 3. 若实数a,b满足b2+a-2b+2=0,则a的取值范围是( )

A. a≤-1 B.a≥-1 C.a≤1 D.a≥1 解:将原式看作为关于b的一元二次方程,则其判别式

D=(-2)2-4创1(a+2) 0,

解得a≤-1.

故选A.

4. 如图,在四边形ABCD

中,∠B=135°,∠C=120°

,,BC=3-CD=6,则

AD边的长为( ) A

. B.

C

. D.解:过A和D

点向BC作垂线,垂足为M和N,

那么

CN=3,DN=, MN=BM+BC+CN=6, 所以AD2=MN

2+(DN-AM)2=48,所以AD=. 故选B.

5. 方程113

x+y=7的正整数解(x,y)的组数是( )

A.0 B.1 C.3 D.5 解:不妨设x?y0,则1

x£1

y,所以3

7£2

y,解得y£4.

又显然y33,即3#y4.经验证:y=3,y=4均不符合条件. 所以,符合条件的解的组数为0

组.故答案选A.

为因

xyzx2y2z2

6. 已知实数x,y,z满足的值是( ) ++=1,则++y+zz+xx+yy+zz+xx+y

A.-1 C.1

xyz解:显然x+y+z 0,否则++=-3 y+zz+xx+y

由已知得(xyz++)(x+y+z)=x+y+z y+zz+xx+y B.0 D.2

x2y2z2

即+x++y++z=x+y+z y+zz+xx+y

x2y2z2

所以++=0. y+zz+xx+y

故选B.

二、 填空题(本大题满分28分,每小题7分)

x表示x的正约数个数,则③×④÷⑥等于 . 1. x是正整数,○

解:③=2,④=3,⑥=4,所以③×④÷⑥=33.故填. 22

2. 草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛

在60天内可以吃完这片青草,则20头牛吃完这片青草需要的天数是 .

解:设草原上原有草量为a,每天长出量为b,并设20头牛在x天内可以吃完这片青草. 因为一头牛一天的吃草量相等,根据题意可得方程组

a+24ba+60ba+bx. ==70创24306020x

由a+24ba+60b得a=480b. =70创243060

a+60ba+bx3480+x中,得b==b, 30′6020x1020x代入

解得x=96.

故填96.

3. 如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是BC、DC

的中点,AM=4,AN=3,且?MAN60 ,则AB的长

是 .

解:延长AM交DC的延长线于F,则△AMB≌△FMC.

则CF=AB,则NF=

则AH=3 AB,过N作NH垂直AF于H,2313,

=2213,故HF=2?4AN=

,NH=22

NF=214. 7.所以AB=NF=33

故填14. 3

4. 小明将1,2,3,?,n这n个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输

入(n-1)个数,且平均值为30.75,假设这(n-1)个数输入无误,则漏输入的一个数是 .

解:依题意得1+2+?+n?30.75(n1)?2

3+?+n,

nn+2所以#30.75,即59.5#n61.5,所以n=60或61. 22

因为30.75(n-1)是整数,所以n=61.

所以漏输入的数为

故填46.

三、 61′62-30.75?60246. (本大题满分20分)

解方程x2-|2x-1|-2=0.

1解:当x3时,原方程可化为x2-(2x-1)-2=

0, 2

解得x

1=1+x2=1-

1又因为x2=1-,故应舍去. ···································································· 10分 2

当x<1时,原方程可化为x2-(-2x+1)-2=0, 2

解得x3=-3,x4=1.

1又因为x4=1>

,故应舍去. 2

所以原方程的解为x=1+

四、 ···························································· 20分 和x=-3. (本大题满分25分)

如图,圆内接四边形ABCD中,CB=CD,

求证:CA2-CB2=AB AD; 证明:连结BD、AC交于点E,则

?BAE CAD,?ABE ACD,

所以△ABE∽△ACD, ······················································································· 5分 所以ABAC, =AEAD

所以AB?ADAC AE. ······················································································ 10分 又?CBE CAB,?BCE ACB,

所以△CBE∽△CAB, ························································································ 15分 所以CBCA, =CECB

所以CB2=CA CE, ····························································································· 20分 所以CB2+AB?ADCA?CECA?AECA2,

所以CA2-CB2=AB AD. ·················································································· 25分

五、 (本大题满分25分)

已知二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0.(a,b,c?R).

(1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A、B;

(2)过(1)中的两点A、B分别作x轴的垂线,垂足为A1、B1.求线段A1B1的长的取值范围.

ì?y=ax2+bx+c?(1)证明:由í消去y得ax2+2bx+c=0, ???y=-bx

D=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c232········ 5分 )+c]. ·24

∵a+b+c=0,a>b>c,

∴a>0,c<0. 3∴c2>0, 4

∴D>0,即两函数的图象有两个不同的交点. ················································· 10分

(2)解:设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,

则x1+x2=-2b,x1x2=c. ·················································································· 15分 aa

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

2b24c4b2-4ac4(-a-c)2-4acc2cc123 =(-)-===4[()++1]=4[(+)+].aaa2a2aaa24 ····················································································································· 20分 ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴a>-a-c>c,解得-2<c1<-. a2

∴3<|A1B1|2<

12|A

1B1|< ······················································· 25分

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