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2011年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试题(含答案)

发布时间:2014-02-03 12:32:24  

2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、分式xyz。 (xyz?0)中x,y,z的值都变为原来的2倍,则分式的值变为原来的( )x?y?z

(A)2倍 (B)4倍 (C)6倍 (D)8倍

答:选B。

2、有甲、乙两班,甲班有m个人,乙班有n个人。在一次考试中甲班平均分是a分,乙班平均分是b分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是( ).

(A) a?bm?nam?bnam?bn (B) (C) (D) 2a?bm?n2

答:选D。

3、若实数a满足|a|??a,则|a?a2|一定等于( ).

(A)2a (B)0 (C) -2a (D)-a

答:因为|a|??a,所以a?0,故|a?a2|?|a?|a||?|2a|??2a,选C。

4、?ABC中,AD是?BAC的平分线,且AB?AC?CD。若第4题

?BAC?60?,则?ABC的大小为( ) (A)40 (B)60 (C)80 (D)100 答:作C关于AD的对称点C’。因为AD是角平分线,

则C’一定落在AB上。

由AB?AC?CD,得AB?AC'?C'D,故BC'?C'D,

所以?C??AC'D?2?B,

又?B??C?180??A?120,故?B?40,选A。

5、在梯形ABCD中,AD平行BC,AD:BC?1:2,若?ABO的面

积是2,则梯形ABCD的面积是( )。

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

答:设S?ADO?x。由AD:BC?AO:OC?S?ADO:S?CDO?1:2,故S?CDO?2x, ???????第5题

- 1 -

同理S?ABO?2x,S?CBO?4x,故x?1,所以梯形面积是9,选C。

6、有一个最多能称10千克的弹簧秤,称重发现,弹簧的长度与物体重量满足一定的关系,如下表。那么,在弹簧秤的称重范围内,弹簧最长为( )。

A 10厘米 B 13.5厘米 C 14厘米 D 14.5厘米

答:由表中关系可以得到,弹簧长度(y)与称重(x)的关系是y?3.5?x,故弹簧最长为13.5厘米,选B。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分) 1、已知a?

13?1

,b?

1?1

,则a2?b2?7的值为答:由题设有:a?

2

4?2324?23

,则a2?b2?7?3。 ,b?

44

?

2、已知在?ABC中,?C?90,AD是?BAC的平分线交BC于点D,

BD:DC?2:1,则?B的度数是。

答:因为AD是角平分线,所以BD:DC?AB:AC?2:1, 故?B?30。

?

?

第2题

3、在?ABC中,?A?80,I是?B,?C的角平分线的交点,则?BIC的度数为.

答:由题知

1111

?BIC?180??(?B??C)?180??(180???A)?90???A?130?。

2222

1

4、设函数y?kx(k?0)与y?的图像相交于A、C,过A作x轴

x的垂线相交于B,则

?ABC的面积是 。 答:由题得B的坐标为(

1k

,k),

所以S?ABO?

111

??k?,又显然O为AC的中点, 2k2

第4题

- 2 -

故S?ABC?2S?ABO?1。 三、(本大题满分20分)

设tx?2?2x?t是关于x的方程。当方程的解分别:(1)大于0;(2)等于0;(3)小于0时,求t的取值范围。

解:方程整理为(t?2)x?2?t 当t?2时,方程的解为:x?(1)当x?0时,则

2?t

…………………5分 t?2

2?t

?0,此时,t??2或t?2;…………………10分 t?22?t

?0,此时,t??2; …………………15分 (2)当x?0时,则

t?22?t

?0,此时,?2?t?2。 …………………20分 (3)当x?0时,则

t?2

四、(本大题满分25分)

在平面直角坐标系中,A(2,0),B(3,0),P是直线y?x上的点,当PA?PB最小时,试求P点的坐标。

解:如图,作A关于直线y?x的对称点A’, 则PA?PA',

故PA?PB?PA'?PB。 …………………5分

由图知,只有当A、P、B共线时,PA?PB最小。 ……10分 又由A与A’关于y?x对称知,A’(0,2)。 …………15分 由A'、B两点坐标得AB直线方程:

xy

??1。 ……20分 32

?xy

6???1

联立?32解得x?y?,

5?y?x?

故当PA?PB最小时,P的坐标为(,)。…………………25五、(本大题满分25分)

求证:有两条中线相等的三角形是等腰三角形。

66

55

设BD、CE是?ABC的两条中线(如图),证明AB?AC。……5分 证明1 作中线AF,则三条中线交于重心G。 ……10分

- 3 -

因为BG?22BD,CG?CE,所以BG?CG; ………15分 33

所以GF?BC,即AF?BC。 ………20分 又AF是中线,故AB?AC。 ……………25分

证明2:

如图,将EC沿ED平移得DF,连接ED、CF,则四边形EDFC是平行四边形, 所以BD?EC?DF. …………10分

又D、E分别AC、AB的中点,所以DE平行BC,

所以B、C、F共线。

所以 ?DBF??DFB??ECB ………15又 BD=CE,BC=CB

所以?ECB??DBC(SAS) ………20分所以?ABC??ACB,故AB=AC。 ……………25

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