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第33周 包含与排除

发布时间:2014-02-03 12:43:11  

第33周 包含与排除(容斥原理)

专题简析:

集合是指具有某种属性的事物的全体,它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合,每一个学生都是这个集合的元素,数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除:先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起,再“排除”A、B两集合的公共元素的个数,减去加了两次的元素,即:C=A+B-AB。

在解包含与排除问题时,要善于使用形象的图示帮助理解题意,搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系,用了适当的图形就显得很直观、很清楚,因而容易进行计算。

例1 五年级96名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人?

分析 用左边的圆表示订少年报的64人,右边的圆表示订小学报的48人,中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然,两种报刊都订的人数被统计了两次:64+48=112人,比总人数多112-96=16人,这16人就是两种报刊都订的人数。

练 习 一

1,一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业,有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人?

2,五年级有122人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人,数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人?

3,某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人,那么,两次测验都得满分的有多少人?

例2:某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语,34人懂日语,两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师?

分析 把懂英语和懂日语的人数加起来得35+34=69人,但是,两种语言都懂的21人被统计过两次,应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数:69-21=48人。

练 习 二

1,某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动,有850人爱好文娱活动,其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人?

2,某班在一次测验中有26人语文获优,有30人数学获优,其中语文、数学双优的有12人,另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人?

3,第一小组的同学们都在做两道数学思考题,做对第一题的有15人,做对第二题的有10人,两题都做对的有7人,两题都做错的有2人。第一小组共有多少人?

例3:学校开展课外活动,共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动,参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中,象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人? 分析 两个小组都参加的有25人,因此,至少参加这两种小组的一个小组的人数是84+86-25=144人,所以,这两个小组都不参加的人数是250-144=106人。

练 习 三

1,五年级有250人,其中参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人?

2,五(1)班有50人,在一次测试中,语文90分以上的有30人,数学90分以上的35人,语文和数学都在90分以上的有20人。两科都在90分以下的有多少人?

3,老师在统计考试成绩,数学得90分以上的有25人,语文得90分以上的有21人,两科中至少有一科在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少人?

例4 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中,四年级与五年级共有20人获奖,在获奖者中有16人不是四年级的,有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人?

分析 由“16人不是四年级的”可知:16人是五年级和其他年级的;由“12人不是五年级的”可知:12人是四年级和其它年级的。用16+12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和,再减去20就得两个其他年级的人数,这样其他年级的人数是:(16+12-20)÷2=4人,该校参加书法比赛获奖的总人数是4+20=24人。

练 习 四

1,五一小学举行小学生田径运动会,其中24名运动员不是六年级的,28名运动员不是五年级的,已知五、六年级运动员共有32名,求五、六年级和中低年级运动员各有多少名?

2,少年乐团学生中有170人不是五年级的,有135人不是六年级的,已知五、六年级的共有205人,求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人?

3,六一儿童狼子野心同学们做小花,有24朵不是红色的,有20朵不是黄色的,已知红花和黄花一共有18朵,其他颜色的花一共做了多少朵?

例5 在100个外语教师中,懂英语的有75人,懂日语的有45人,其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问:只懂英语的老师有多少人?

分析 显然,两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次,在懂日语的45人中又统计过一次。因此,75+45=120人,比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后,从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人,就是只懂英语的人数了:75-20=55人。

练 习 五

1,40人都在做加试的两道题,并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人,做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人?

2,五年级122名同学参加语文、数学考试,每人至少有一门得优。已知语文65人得优,数学78人得优,求只有语文一门得优的人数。

3,全班46名同学,仅会打乒乓球的有28人,会打乒乓球又会打羽毛球的有10人,不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人?

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