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第六届数学竞赛决赛试题及答案

发布时间:2013-09-23 17:41:23  

第六届数学竞赛决赛试题

(满分120分)

一、计算题(能用简便方法计算的,要用简便算法。每题4分,共12分。)

2. 77×13+255×999+510

二、填空题(1~9题每空 4分,10~12题每空 3分,共 54分。)

1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,a的整数部分是____。

2.1995的约数共有____。

3.等式“学学×好好+数学=1994”,表示两个两位数的乘积,再加上一个两位数,所得的和是1994。式中的“学、好、数”3个汉字各代表3个不同数字,其中“数”代表____。

4.如图1,“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1~7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等。图中间的“好”代表____。

5.农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝(如图2)。为了防止鸡飞出,所建鸡窝高度不得低于2米。要使所建的鸡窝面积最大,BC的长应是米。

1

7.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积,小胡看错了甲数的个位数字,计算结果为1274;小涂看错了甲数的十位数字,计算结果为819。甲数是____。

8.1994年“世界杯”足球赛中,甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中,这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定:每场比赛获胜的队可得3分;失败的队得0分;如果双方踢平,两队各得1分。已知:

(1)这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数;

(2)乙队总得分排在第一;

(3)丁队恰有两场同对方踢平,其中有一场是与丙队踢平的。 根据以上条件可以推断:总得分排在第四的是____队。

9.一块空地上堆放了216块砖(如图3),这个砖堆有两面靠墙。现在把这个砖堆的表面涂满石灰,被涂上石灰的砖共有____块。

10.南方某城市的一家企业有90%的员工是股民,80%的员工是“万元户”,60%的员工是打工仔。那么,这家企业的“万元户”中至少有____%是股民;打工仔中至少有____(填一个分数)是“万元户”。

11.方格纸(图4)上有一只小虫,从直线 AB上的一点 O出发,沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为1厘米。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上,但不一定回到O点。如果小虫一共爬过2厘米,那么小虫的爬行路线有____种;如果小虫一共爬过3厘米,那么小虫爬行的路线有____。

2

12.自然数按一定的规律排列如下:

从排列规律可知,99排在第____行第____列。

三、应用题(第1题5分,第2~6题每题7分。共40分。)

1.如图5,AF=2FB,FD=2EF,直角三角形ABC的

面积是36平方厘米,求平行四边形EBCD的面积。

2.利民商店从日杂公司买进一批蚊香,然后按希望获得的纯利润,每袋加价40%定价出售。但是,按这种定价卖出这批蚊香的90%时,夏季即将过去。为加快资金周转,商店以定价打七折的优惠价,把剩余蚊香全部卖出。这样,实际所得纯利润比希望获得的纯利润少了15%。按规定,不论按什么价钱出售,卖完这批蚊香必须上缴营业税300元(税金与买蚊香用的钱一起作为成本)。问利民商店买进这批蚊香用了多少元?

3.李老师从数学兴趣小组调出1名女生到英语兴趣小组后,剩下的同学

3

4.园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔3米挖一坑,当挖完30个坑时,突然接到通知:改为每隔5米栽一棵树。这样,他们还要挖多少个坑才能完成任务?

5.一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时,每人可挣3元钱。到11月11日,他们一共挣了1764元。这个小组计划到12月9日这天挣足3000元,捐给“希望工程”。因此小组必须在几天后增加一个人。问:增加的这个人应该从11月几日起每天到餐馆打工,才能到12月9日恰好挣足3000元钱?

6.有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑,跑步时速度都不变,男运动员比女运动员跑得稍快些。如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑,那么每隔25秒钟相遇一次。现在,他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑,经过13分钟男运动员追上了女运动员,追上时,女运动员已经跑了多少圈?(圈数取整数)

四、简答题(共5分)

1.在555555的倍数中,有没有各位数字之和是奇数的?(3分)

2.如果有,请举出一个例子;如果没有,请说明理由。(2分)

五、作图题(共9分)

1.右图是一个直角梯形。请你画一条线

段,把它分成两个形状相同面积相等的四边

形。(请标明表示线段位置的数据及符号或写

出画法)。(4分)

2.下面5个图形都具有两个特点:(1)由4个连在一起的同样大小的正方形组成;(2)每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边。

我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。

如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同(比如上面图中的B与E),那么这两个俄罗斯方块只算一种。

除上面4种外,还有好几种俄罗斯方块,请你把这几种都画出来。(5分)

4

详解与说明

一、计算题

说明:本题由编辑部提供。据第11册课本复习题改编。

2.77×13+255×999+510

解法一:77×13+255×999+510

=1001+255×999+255×2

=1001+255×(999+2)

=1001×(1+255)

=256256

解法二:77×13+255×999+510

=1001+255×(1000-1)+510

=1000+1+255×1000-255+510

=1000×(1+255)+255+1

=256000+256

=256256

说明:本题由编辑部提供。据第275期第1版《接二连三的趣味》一文1001的性质设计。

5

说明:编辑部供题。见第289期“奥林匹克学校·自己练”。

二、填空题

1.解法一:a=(9-0.2)+(9-0.02)+(9-0.002)+(9-0.0002)+ (9-0.00002)

=45-0.22222

=44.77778

解法二:a>8.8×5=44

a<9×5=45

44<a<45

答案:44。

说明:编辑部供题。据第285期、第295期“小读者园地”中的问题改编。

2.解:1995=3×5×7×19,由乘法原理可知,1995的约数有 (1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)

答案:16个。

说明:编辑部供题。据第298期“奥林匹克学校·教练员提示语”和第302期“奥林匹克学校·自己练(4)”改编。

3.解:“学学”、“好好”一定都是11的倍数,从而它们的积一定是121(=11×11)的倍数。

1994÷121=16?58

6

58即“数学”。

答案是5。

说明:编辑部供题。见第287期“新年趣题·数学小狗”。

4.解:由3条直线上3个数和相等可知:

1+2+3+4+5+6+7+2×好=3a

从而,好=1或4、或7。

但是由于圆圈上三个数之和也相等,所以,“28-好”一定可均分为2份(必是偶数)。因此,好=4。

答案是4。

说明:刘后一供题。见第324期第4版《七色光芒(四)》。

5.解:设B、C关于AD的对称点分别为B′,C′,则AB=AB′,DC=DC′,长方形BB′C′C的面积是长方形ABCD面积的2倍。只要长方形BB′C′C面积最大,长方形ABCD的面积就能最大。只有当BB′=BC时,长方形BB′C′C面积才最大,这时

AB=CD

1.2×20÷(1+1+2)=6(米)

BC=6×2=12(米)

答案是12。

说明:编辑部供题。据第308期“奥林匹克学校”例3改编。

7

由于小数点后第100位上的数字,即是“6”后面第99位上的数字,所以,由“99÷6=16??3”可知,小数点后第100位上的数字,即是循环节中左起第3个数字。

答案是8。

说明:编辑部供题。据第291期“奥林匹克学校自己练(1)”改编。

7.解:由于小胡和小涂都没有看错乙数,所以,乙数是1274和819的公约数。

1274=2×7×7×13

819=3×3×7×13

1274与819的公约数有1,7,13,91这四个。但是由“乙数是两位数”,可排除1和7;又由“小涂看错了的甲数也是两位数”,可排除91(不然的话,小涂看错了的甲数只能是一位数9)。因此,乙数必定是13。 根据乙数是13,可知小胡看错了的甲数是

1274÷13=98(8是看错的)

小涂看错了的甲数是

819÷13=63(6是看错的)

因此,甲数是93。

答案是93。

说明:编辑部供题。据第257期“教你思考”《抓不变量》中例题改编。

8.解:(1)这4个连续奇数必为1,3,5,7,如果不是,只有3,5,7,9可能,这样第一名得9分(三场全胜),第二名最多得6分(胜两场),而不是7分。矛盾。所以,乙队得7分,而且一定是“2胜1平”。或者由每场双方得分之和最多3分,最少2分,所以,4支队共比6场,6场的总分A满足。

12≤A≤18

但是当4个奇数为3、5、7、9时,A=24,不在上面的范围内,所以,4个奇数为1、3、5、7。

8

(2)由于丁队有两场踢平(已得2分),另一场必胜(得3分)。不然的话就是败,总分2分与“奇数”的条件矛盾。所以,丁队“2平1胜”,得5分。

(3)由于丁队一场未败,所以,败给乙队的一定是甲队与丙队。

(4)丙队不可能排第三(得3分)。这是因为它与乙、丁两队比的两场是“1平1败”,得1分,而把甲队打胜打平都不可能得2分。 所以,丙队一定排在第四。

答案是“丙”。

说明:编辑部供题。据“奥林匹克学校第24讲例4”及94世界杯足球赛小组赛成绩设计。

9.解:如下图,把这个砖堆分成9垛:

容易算出,这9垛的第1层(最上层)的砖都被涂上了石灰,这些砖共有

4×3×3=36(块)

从第二层开始,仅有A、B、C、D、E这5垛的砖被涂上石灰,而且每层块数相同,都是

(1+4)×2+4=14(块)

这个砖堆中被涂上石灰的砖共有

36+14×5=106(块)

答案是106。

说明:编辑部供题。据第249期“趣题巧解”设计。

10.解:根据题意,可假设该企业共有员工100人(也可假设为1000人,10000人??),那么,这个企业有

9

90人 是 股民

80人 是 “万元户”

60人 是 打工仔

也就是说,这个企业中

100-90=10(人)不是股民

100-80=20(人)不是“万元户”

因此,是“万元户”的80人中,最多有10人不是股民,从而他们当中至少有

80-10=70(人)

是股民,他们占全体“万元户”的

70÷80×100%=87.5%

同样道理,是打工仔的60人中,最多有20人不是“万元户”,从而,他们当中至少有

60-20=40(人)

是“万元户”。

说明:本题由李克正研究员提供。

11.解:为了方便,下面叙述中省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”。

(1)小虫爬过2厘米,可有以下6种路线,分别是:

10

左,右;右,左;

上,下;下,上;

左,左,右,右。

(以上前4种路线均回到o点)。

(2)小虫爬过3厘米,可有20种路线,分别是:

上,左,下;上,右,下;

下,左,上;下,右,上;

上,下,左;上,下,右;

下,上,左;下,上,右。

(以上8种都是先“上”或先“下”。)

如果第一步为“左”或“右”,那么转化为第(1)题,各有6种路线。一共是8+6×2=20(种)

答案是:(1)6;(2)20。

说明:本题由单墫教授提供。

12.解:表格中自然数的排列规律是:

n2排在第1行第n列,靠近它,但比它小a的数排在第n列,第a+1行;靠近它但比它大b的数排在第n+1行第b列。

99=100-1=102-1

这里n=10,a=1,所以,99应排在第2(=1+1)行,第10列。 答案是2、10。

说明:编辑部供题,据第290期“奥林匹克学校·自己练”改编。

三、应用题

1.解法一:连接BD。

由FD=2EF可知,

11

S△BFD=S△BFE×2;

由AF=2FB可知,

S△AFD=S△BFD×2=S△BFE×4

设S△BFE=S,

那么S△EBD=S+2S=3S

S平行四边形BCDE=S△EBD×2=6S

S△ABC=4S+2S+3S=9S

解法二:因为AB×BC÷2=36

所以AB×BC=72

又因为 AF=2FB

答:平行四边形BCDE的面积是24平方厘米。

说明:编辑部供题。根据第305期第1版“奥林匹克学校·教练员提示语”设计。

2.解法一:设买进这批蚊香共用x元,那么希望获得的纯利润为“0.4x-300”元,实际上比希望的少卖的钱数为

12

x×(1-90%)×(1+40%)×(1-70%)=0.042x(元) 根据题意,得

0.042x=(0.4x-300)×15%

方程两边都乘以1000,得,

42x=(0.4x-300)×150

42x=60x-45000

18x=45000

x=2500

解法二:设买进这批蚊香共用x元,那么希望获纯利润“0.4x-300”元,实际所得利润为(0.4x-300)×(1-15%)=0.34x-255。10%的蚊香打七折,就相当于全部蚊香打九七折卖,这样一共卖得“1.4x×0.97”元,根据题意

1.4x×0.97-x-300=0.34x-255

也就是 0.358x-300=0.34x-255

0.018x=45

x=2500

答:买进这批蚊香共用2500元。

说明:编辑部供题。根据第328期“奥林匹克学校·例2”改编。

3.解法一(算术方法):先画示意图如下:

用“1个大圆圈+1个小圆圈”表示女生人数,从图中容易看出,男生调走2人后,剩下的应是“4个大圆圈+4个小圆圈”,这就要拆开两个大圆圈,使其中4个搭配到4个大圆圈上,2人调走。也就是说,“2个大圆圈”代表

4+2=6(人)

13

1个大圆圈代表 6÷2=3(人)

这个兴趣小组原有学生

解法二:设这个兴趣小组原有女生x人,根据题意,得 5x+2=7×(x-1)+1

解方程,得 x=4

5x+2=22(人)

答:这个兴趣小组原有学生22人。

说明:编辑部供题。据321期“趣题巧解”改编。

4.解:(1)从第1个坑到第30个坑,共有多长?

(30-1)×3=87(米)

(2)改为“每5米栽一棵树”,有多少坑仍然有用?

87÷15=5??12

5+1=6(个)

(3)改为“每5米栽一棵树”,一共应挖多少个坑?

300÷5=60(个)

(4)还要挖多少个?

60-6=54(个)

答:还要挖54个才能完成任务。

说明:编辑部供题。根据第323期“奥林匹克学校·例3”改编。

5.解:(1)还缺多少钱?

14

3000-1764=1236(元)

(2)从11月2日~12月9日还有多少天? 30+9-12+1=28(天)

(3)这28天中,(原来小组中)每人可挣多少元钱? 3×28=84(元)

(4)增加的一人应挣多少元?

1236÷84=14(人)??60(元)

(5)要挣60元,增加的那一人要打工多少天? 60÷3=20(天)

30+9-20+1=20

答:增加的这个人应该从11月20日起去打工。 说明:编辑部供题。据第306期“趣题巧解”改编。

6.解法一:根据题意,可知

(1)男女运动员的速度和是(每秒)

(2)男女运动员的速度差是(每秒)

(3)女运动员的速度为(每秒)

(4)女运动员已经跑了

15

解法二:由于25秒内男女运动员一共跑完1圈,所以13分钟内他们一共跑了

1×(13×60÷25)=31.2(圈)

又由题意可知,13分钟内男运动员比女运动员多跑一圈。这就得到一个“和差问题”。由此容易求出女运动员已经跑了

(31.2-1)÷2=15.1(圈)

≈15(圈)

答:追上时女运动员已经跑了15圈。

说明:本题由李克正研究员提供。(见本报第289期“专家题卡”和第302期“小读者园地”)

四、简答题

(1)答:有。

(2)例如 6111105(=555555×11)

又如 556110555(=555555×1001)

55556055555(=555555×100001)

17222205(=555555×31)

说明:本题由单墫教授提供。

五、作图题

1.下面是两种标注数字符号的方法,如下图:

16

(2)取斜腰中点作两个全等的小三角形

说明:本题由张卫国编审提供。解法二可见第304期“奥林匹克学校”例2。

2.还有3种,如下图:

17

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