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1讲数论问题基础拓展——质数、约数、倍数T1

发布时间:2014-02-03 13:43:10  

一、奇数与偶数:

奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数

奇数-偶数=奇数 奇数-奇数=偶数

应用:巧填数阵图

二、约数与倍数:

1.最大公约数

数学符号( )

①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。

例如:231?3?7?11,252?22?32?7,

所以(231,252)?3?7?21;

②短除法:先找出所有共有的约数,然后相乘。

21812

例如:396

32,所以(12,18)?2?3?6;

③辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止。那么,最后一个除数就是所求的最大公约数。(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)。

例如:求600和1515的最大公约数:1515?600?2??315;600?315?1??285;315?285?1??30;285?30?9??15;30?15?2??0;所以:1515和600的最大公约数是15。

2.最小公倍数

数学符号:[ ]

①分解质因数的方法;

例如:231?3?7?11,252?22?32?7,

所以:?231,252??22?32?7?11?2772

②短除法求最小公倍数;

21812

例如:396

32,所以?18,12??2?3?3?2?36;

3.重要性质:两个数的乘积等于它们的最大公约数乘以最小公倍数

4.求约数的个数:一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数

的指数(次数)加1后所得的乘积。

1

如:1400严格分解质因数之后为23?52?7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

口诀:指数加1联乘

5.求约数的和:一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质

因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。如: 21000?23?3?53?7,所以21000所有约数的和为(1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880

质数与合数:

1.一个数除了1和它本身,没有其他约数的正整数叫质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身,还有其他约数的正整数叫合数。

要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。

常用的100以内的质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,共计25个;除了2其余的质数都是奇数;除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9。

考点:

⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。

⑵除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9。这也是很多题解题思路,需要大家注意。

2.质因数与分解质因数

质因数:如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。 互质数:公约数只有1的两个自然数,叫做互质数。

分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

例如:30?2?3?5。其中2,3,5叫做30的质因数。又如12?2?2?3?22?3,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

第十一届“中环杯”小学生思维能力训练活动五 年级选拔赛)从1至13中选出12个自然数填入3×4的方格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等(横行的和没有必要和竖列的和相等)

考点分析:数阵图。

1+2+3+------+12+13=91现在从中选出12个自然数填入34?的方格中,使每横行四个数之和相等,每竖行三个数之和也相等,那么这12个数之和应该既是4的倍数、也是3的倍数,所以只能是91减7=84。 横行的和为84除以3=28??,竖行的和为84除以4=21??,下面给出一种填法:

13 10 1 4

2 3 11 12

6 8 9 15

拓展: 如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,

(1)a+b的最小可能值是多少?

(2)a+b的最大可能值是多少?

2

【分析与解】两位的质数有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,

67,71,73,79,83,89,97.

可得出,最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.

所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.

每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8,9,10,11,12,13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?

每个瓶称三次,故四个瓶子总重量为(8+9+10+11+12+13)/3=21

21是奇数故空瓶重量之和与油重量之和一奇一偶

而2是偶质数,故空瓶重量和为2,油重量和为19

每个空瓶0.5,故最重两瓶(即重13的两瓶)有13-0.5*2=12

拓展:在555555的约数中,最大的三位数是多少?

【分析与解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37

显然其最大的三位数约数为777.

(第八届“聪明小机灵”小学数学邀请赛五年级试题)若六位数ababab恰有32个正约数,小于50的这样的两位数ab有( )个。

80米,乙每分钟走120米,丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米,如果三个人同时同向从同一地点出发,问几分钟后,三个

3

人可以首次相聚?

甲400/80=5分钟走一圈,乙400/120=10/3分钟走一圈,丙400/70=40/7

分钟走一圈。取三者最小公倍数可得

40分钟相聚

拓展:

从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复,最后剪得正方形的边长是多少毫米?

【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形,这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽,于是有:2002÷847=2??308,847÷308=2??231,308÷231=1??77.231÷77=3.

不难得知,最后剪去的正方形边长为77毫米.

例五:(2008第四届“IMC国际数学邀请赛”(新加坡)六年级复赛)如图,A、B、C是三个顺次咬和的齿轮,当A转4圈时,B恰好转3圈:当B转4圈时,C恰好转5圈,则A

、B、C的齿数的最小数分别是多少?

A:B=3:4=15:20

B:C=5:4=20:16

A:B:C=15:20:16

这三个齿轮的齿数的最小值分别是15, 20, 16

4

1?2?33???20052005除以10所得的余数是多少? 12

因为每个大于10的数都可以变成10+,所以被10除还是后面+的部分被10除的余数, 1永远都是1,所以从1-2005总共有201个尾数为1的,余数为1

2的多少次方我们看一下,2,4,8,16,32...,每四个一轮回,而前四个之和也是能被10整除,所以余数为2005中共有201个,余数为2

3也是一样的道理,余3

4.则是两个一轮回,所以余数为4

5-9全部一样,至于10的倍数则是想都不需要想的

所以余数为1+2+3+4=10

换句话说,总和可以被10整除

5

测试题

温馨提示:请在线作答,以便及时反馈孩子的薄弱环节!

1.将一个数的所有约数两两求和分别是4,6,8,10,12,16,18,20,22,24,26,28,36,38,40,42,50,56,106,108,110,112,120,126,140,这个数是( )?

A.100

B.105

C.90 D.85

解析:最小因数是1,

4-1 = 3必有因数3

根据最大因数本身,和次大因数=本身的1/3,可知,此数本身=

140 ÷(1+3)×3 = 105

2.大雪后的一天,小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和步行方向完全相同,小明每步长54厘米,爸爸每步长72厘米.由于两人脚印有重合的,所以各走完一圈后,雪地上留下60个脚印。圆形花圃的周长是( )。

A.2200

B.2160

C.2300 D.2400

解析:54和72的最小公倍数是216,

小明每步长54厘米,每经过216厘米,小明会留下216÷54=4个脚印

爸爸每步长72厘米,每经过216厘米,爸爸会留下216÷72=3个脚印

且每经过216厘米,小明和爸爸会有一个脚印重合,则每经过216厘米,雪地上小明和爸爸共留下4+3-1=6个脚印,那么

60÷6=10个216厘米,60个脚印就需要小明和爸爸走10个216厘米

所以路长是216×10=2160厘米=21.6米。

3.在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种刻度线把木

棍分成12等份,第三种刻度线把木棍分成15等份,如果沿每条刻度线把木棍锯断,木棍总共被锯成( )段?

A.30

B.25

C.28

D.26

解:10,12,15的最小公倍数是60,

设木棍60厘米,60÷10=6(厘米),60÷12=5(厘米),60÷15=4(厘米), 10等分的为第一种刻度线,共10﹣1=9(条),

12等分的为第二种刻度线,共12﹣1=11(条),

6

15等分的为第三种刻度线,过15﹣1=14(条),

第一种与第二种刻度线重合的条数:6和5的最小公倍数是30,60÷30﹣1=2﹣1=1(条),

第一种与第三种刻度线重合的条数:6和4的最小公倍数是12,60÷12﹣1=5﹣1=4(条),

第二种与第三种刻度线重合的条数:5和4的最小公倍数是20,60÷20﹣1=3﹣1=2(条),

三种刻度线重合的没有,6、5和4的最小公倍数是60,

因此,共有刻度线9+11+14﹣1﹣4﹣2=27(条),木棍总共被锯成27+1=28(段); 答:木棍总共被锯成28段。

4.(第七届中环杯五年级复赛填空题第3题)121?122?123?124???2004?2005?2006的乘积的末尾有( )个零?

A.472

B.478

C.473 D.471

解析:121×122×123×124×??×2004×2005×2006的乘积的末尾有( 472 )个零 分析思路:

1)末尾连续有多少个零,决定于这些数中含有多少个因子(10)

2)因为含因子2的数量大于因子5的数量,所以,只需讨论有多少个因子5

3)含因子5的数有:(2006-121+1)/5=377余1 即有377个

含因子25的数有: (2006-121+1)/25=75余11 即有75个

含因子125的数有: (2006-121+1)/125=15余11 即有15个

含因子625的数有: (2006-121+1)/625=3余11 即有3个

4) 除以上考虑外,1000和2000这两个数字相乘时再各多出1个0,此时多出2个0

5) 所以,121到2006个数字中,共含有377+75+15+3+2=472个因子

所以121×122×123×124×??×2004×2005×2006的乘积的末尾有( 472 )个零 提问者评价

谢谢!

5.(“迎春杯”数学竞赛)3个质数的倒数之和是

A.335

B.270

C.359

D.336

解析:三个质数的倒数之和是1986分之1661,则三个质数的积必为1986,而1986=2*3*331,因此三个质数为2、3、331,它们的和为336。

6.如果一个数,将它的数字倒排后所得的数仍是这个数,我们称这个数为回文数。如年份

数1991,具有如下两个性质:①1991是一个回文数。②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积。在1000年到2000年之间的一千年中,除了1991

1661,则这3个质数之和为( )? 19867

外,具有性质①和②的年份数,有( )?

A.1111

B.1411

C.1001,1111,1221,1331,1441,1551,1661,1771,1881

D.1111,1441,1661

1001 1111 1221 1331 1441 1551 1661 1771 1881 1991

8

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