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3讲数论综合强化 T 1

发布时间:2014-02-03 13:43:12  

带余除法的定义及性质

一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q??r,也就是a=b×q+r,0?r<

b;

我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:

⑴当r=0时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商

⑵当r≠0时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商≠

三大余数定理:

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两

个余数的和3+1。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除

以5的余数,即2。

总结:和的余数等于余数的和(的余数)

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得

的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的

余数,即2。

总结:积的余数等于余数的积(的余数)

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b(mod m),左边的式子叫做同余式。

同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除

用式子表示为:如果有a≡b (mod m),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b) 中国剩余定理

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人?。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5,9,13,17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代

1

数学中占有一席非常重要的地位。

商为40,余数是16。被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少?

解析:设除数是x,被除数是40x+16

40x+16+x+40+16=933

x=21

被除数=21*40+16=856

练习:用一个自然数去除另一个自然数,商是8,余数是16,被除数、除数、商、余数这四个数的和为463,求除数。

解析如果你有学过方程,那这题很容易,首先设除数是X,则被除数是8X+16

则有8X+16+X+16+8=463

如果你没学过方程,那就列式子,

463-(16+8)=439

(439-16)/9=47

39,51,147所得的余数都是3,求这个数。

解析:这个数扣掉3.则同时能被39、51、147整除

39、51、147的最小公倍数是3*13*17*49=32487

这样的整数是32487K+3

最小的正整数是32490

拓展: “三个数:23、51、72,各除以大于1的同一个自然数,得到同一个余数,这个余数是几?

解析:

72-51=21

51-23=28

除数必是两两之差的最大公因数

两两的差有21,28,它们的最大公因数是 7

23/7=3....2

2

所以余数是 2

2试)号码分别为2005,2006,2007,2008的4名运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的场数是他们号码的和除以4所得的余数,那么2008号运动员赛了多少场?

解析:

2008号与2005号赛1场,与2006号赛2场,与2007号赛3场,其他人之间比赛不管, 2008赛了6场

练习:号码分别为37、57、77、和97的四名运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和除以3的余数,那么打球盘数最多的运动员是几号?他打了多少盘? ⑵有一个两位数,被9除余7,被7除余5,被3除余1,求这个两位数。

拓展:

今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何? 这道题的意思是:有一批物品,不知道有几件。如果三件三件地数,就会剩下两件;如果五件五件地数,就会剩下三件;如果七件七件地数,也会剩下两件。问:这批物品共有多少件?

变成一个纯粹的数学问题就是:有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2。求这个数。

3

这个问题很简单:用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,所以23就是本题的一个答案。 7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是( )如果它是一个四位数,那么最大可能是( )

解析:7余3,除以11余7,说明是77的倍数-4,那么除以13余4,说明找77的倍数-8能除开13就行了,这样不难算出最小是381,四位数里最大是9390

练习:某些数除以11余1,除以13余3,除以15余13,那么这些数中最小的数是几?

解析11-1=10 13-3=10 除以15余13没用,只是供你验证。如果这个数加上10就能被11、13整除。然后用11和13的最小公倍数再减去10就行了。

11和13的最小公倍数是:143

143-10=133

所以这个数最小是133

5除余3,被7除余2,被9除余8,那么N最小为多少?

解析:126*3+225*2+280*8=3068

3068-9*315=233

233+315*3=1178

4

练习:一个四位数除以11余8,除以7余1,除以6余2。这个四位数最大是多少? 11, 7, 6 的四位数的最大公倍数是9702 9702+8=9710

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测试题

1.两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是( )?

A.327

B.324

C.355 D.377

被除数,除数之和等于415-4-8=403

除数是(403-8)/(4+1)=79

被除数是403-79=324

2.(第九届“中环杯”五年级初赛填空题第10题)某个大于1的自然数分别除442,297,210,

得到相同的余数,则该自然数为( )。

A.29

B.30 C.35

D.25

使用同余定理

442-297=195=29*5

297-210=87=29*3

很容易看出答案是29

3.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数,那么打球盘数最多的运动员打了( )盘?

A.4

B.5

C.6 D.7

先把每个号码分别相加得:2 , 9 , 11 , 13 。

因为除以3要有余数,所以运动员之间相加不能是3的倍数。

其中只有9和其他数相加不是3的倍数,所以他的余数应该最多。

(9+2)除以3余2,

(9+11)除以3余2,

(9+13)除以3余1。

2+2+1=5 所以打最多的是 126号选手 打了5盘

4.一个班学生人数在30到50之间,分别按6,8,12人分组,学生均余1人,求这个班共有( )人?

A.35

B.37

6

C.49 D.48

由题意说明人数减少1正好是6,8,12的倍数

6,8,12的最小公倍数是24

所以学生人数可以表示为24x+1(x为自然数)

因为学生人数在30-50之间

所以x=2,这个班学生人数为24×2+1=49(人)

5.数119具有下列性质,当它被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,那么具有这样性质的三位数(包括119在内)共有( )个

A.17

B.14

C.15 D.16

注意到,这个三位数加上1,就能同时被2、3、4、5、6整除除尽。

而2、3、4、5、6的最小公倍数是60,则这个数 = 60X -1

根据3位数的条件有:100?60X -1?999

解出X的范围:

2?X?16

因此这些三位数就是 60X - 1,2?X?16 ,即从

119,179,239??到959

6.一个四位数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,被7除余6,被8除余7,被9除余8,被10除余9,求这样的四位数( )

A.2519

B.5039

C.7559

D.2139或5039或7559

个4位数除以23456789分别少1,也就是这个数加1后是23456789的公倍数

那就求23456789的公倍数=2*3*4*5*7*3=2520

所以这个4位数可以是2520-1=2519;2520*2-1=5039;2520*3-1=7559

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