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2讲数论问题能力进阶——数的整除进阶T

发布时间:2014-02-03 13:43:15  

整除:

①一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除;

一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;

一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除;?

②一个数各位数字之和能被3整除,这个数就能被3整除;

一个数各位数字之和能被9整除,这个数就能被9整除;

③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个

数能被11整除;

④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7,11或13整除,那么这个数能被7,11或13整除;

⑤部分特殊数的分解:

111=3×37;1001=7×11×13;11111=41×271;10001=73×137;10101=3×7×13×

37;

1995=3×5×7×19;1998=2×3×3×3×37;2007=3×3×223;2008=2×2×2×251; 六位数3ABABA是6的倍数,这样的六位数有多少个?

解析:这样的六位数共20个,

求解过程:若该六位数是6的倍数,则1、该六位数是偶数;2;该六位数可以被3整除。 该六位数是偶数,则A只能为0,2,4,6,8中的数字。可以被3整除,则有3+A+B+A+B+A=3+3A+2B,可以被3整除。

由3+3A+2B可以被3整除可知,B必须能被3整除,则B只能为0,3,6,9。

有排列组合可以,这样的六位数有20个。

或者1)当A为0时,B可以取0,3,6,9;

同理A还可以取2,4,6,8。则这样的六位数有4*5=20个。

拓展:六位数3ababa是15的倍数,符合的六位数有几个?

15=3×5

1.a=0

b是3的倍数,共有:4种

2.a=5

1

已知四位数abcd是11的倍数,且有b+c=a,bc为完全平方数,求此四位数。

解析:四位数abcd是11的倍数,则a+c-(b+d)能整除11,只有

a+c-(b+d)=0或a+c-(b+d)=11,a+c-(b+d)=-11

b+c=a,bc为完全平方数,由于a是一位整数

bc可能的情况bc=16,25,36,81.a分别为7,7,9,9

由此d分别只能是1,,1,2

此四位数是7161,,9361,9812

拓展一个4位数 ABCD 这个数字数15 的倍数 且A+D等于 B+C 求这样的四位数的个数

解析

ABCD是15的倍数,那么D只能是0、5中的一个。

(1)D=0时,A+D=A=B+C,A+B+C=2A是3的倍数,因此A必须为3的倍数。 A=9、6、3,对应B、C的组合有10、 7、4,一共21种。

(2)D=5时,A+5=B+C,A+B+C+5=2(A+5)是3的倍数,A只能是7、4、1,对应B、C取值为8、5、2,总共15种。

因此一共有36个这样的四位数。

2,?,9这是个数字组成能被11整除的最大十位数是多少?

解析:

最大为9876524130,最小为1024375869.

我们都知道,能被11整除的数的特征是:奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。(包括0) 2

设组成的数的奇数位上的数字之和为x,偶数位上的数字之和为y。

则,x+y=0+1+2+?+9=45

x-y或y-x=0,11,22 (最大绝对值不会超过22)

由x+y=45是奇数,根据数的奇偶性可知x-y也是奇数,所以x-y=11或-11。

解方程 x+y=45

x-y=11或-11 得x=28或17,y=17或28。

为排出最大的十位数,前几位尽量选用9,8,7,6 所以应取x=28,y=17。

这时,奇数位上另三位数字之和为:28-(9+7)=12

偶数位上另三位数字之和为:17-(8+6)=3

所以,偶数位上的另三个数字只能是2,1,0;从而奇数位上的另三个数字为5,4,3。 由此得到最大的十位数是9876524130。

设所求最小数是102abcdefg

根据被11整除的数的性质,有:

(各位数字之和)-(1+2+b+d+f)×2 能被11整除或者等于0

∴39-(b+d+f)×2 能被11整除或者等于0

∵b、d、f只能从3、4、5、6、7、8、9中取值

∴-9≤39-(b+d+f)×2≤15

∴39-(b+d+f)×2=11或者0

当39-(b+d+f)×2=0时,无解。

当39-(b+d+f)×2=11时

b+d+f=14

可见,b、d、f的组合是3、4、7或者3、5、6

①当b、d、f的组合是3、4、7时,

对应的a、c、e、g的组合是5、6、8、9

从此得出的最小数是1025364879

② 当b、d、f的组合是3、5、6时,

对应的a、c、e、g的组合是4、7、8、9

从此得出的最小数是1024375869

③比较1024375869和1025364879

1024375869就是楼主要求的最小数。

用1-9这九个数字能组成若干个被11整除的九位数.在这些九位数中最大的和最小的两个各是什么?

一个正整数能被11整除的特征是:

“奇数位上的数字和”与“偶数位上的数字和”的差能被11整除.

3

1.先求最大数

写下987654321

奇数位 9, 7, 5, 3, 1;---和25---目标28

偶数位---8, 6, 4, 2。-----和20---目标17

因为1+2+...+9=45

所以奇数位数字和≠偶数位数字和

因此考虑它们的差是11的倍数

在低位上调整,尽量保持高位9876不变

奇数位 9, 7, 5, 3, 4;---和28

偶数位---8, 6, 1, 2。-----和17

为什么1与4对换?

奇数位上的数字和=9+7+5+4+3=28

偶数位上的数字和=8+6+2+1=17

所以能被11整除的最大数是987652413

2.再求最小数

写下123456789

奇数位上的数字和=1+3+5+7+9=25

偶数位上的数字和=2+4+6+8=20

在低位上调整,尽量保持高位1234不变

奇数位上的数字和=1+3+7+8+9=28

偶数位上的数字和=2+4+5+6=17

所以能被11整除的最小数是123475869

拓展:由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中能被11整除的最大的数是多少?

解析:1+3+4+5+7+8=28

奇数位和偶数位的差是11的倍数,可以是:

4

14-14=0

19.5-8.5=11(不合题意要求)

25-3=22(三个数字相加>=8,不可能是3)

所以,只有奇数位和偶数位的差为0这一种情况:

8+5+1-(7+4+3)=0

最大的数是875413

16,并小于1000的正整数有( )个。

解析:9个。

88、187、286、385、484、583、682、781、880

因必是2位数到3位数。

按照被被11整除的数字特征——奇数位的各数字之和与偶数位的各数字之和的差为11的0、1、2??倍。

两位数中,只能是0倍即奇数位=偶数位,奇数位+偶数位=16,有解88。

三位数中,数位差不超过9*2-0=18,因此数位差 = 0或11。

而数位差等于11、和等于16是无解的,因数位差等于11意味着奇数位和、偶数位和的奇偶性必不同,奇数位和、偶数位和之和必为奇数,与16矛盾。

因此三位数,数位差为0,三个数字和为16,

有187、286、385、484、583、682、781、880。

拓展:在小于1000的自然数中,能被11整除,并且数字和为13的数有多少个

解析:可以整除11的数的特点是:奇数位的和与偶数位的和之差是11的倍数(包括0)。所谓奇偶数位可以从数字的左边或右边数起

题目要求数字和为13,是个奇数,那么差不可能是0。因为如果为0,说明奇数位和等于偶数位和,不可能加出13。而题目又要求是1000一下的数字,故只能考虑三位数。(两位数11,22,...,99容易被排除)

唯一的可能是,这些三位数的奇数位和减去偶数位和是11。但和是13。设百位和个位的和是x,十位是y,则 x-y=11,x+y=13。算出百位和个位和是12,十位是1。容易知道只有319,418,517,616,715,814,913这七个数满足条件。

答案:7个。

5

2001这2001个数中选出一些数,使得取出的这些数中任意两个数的和都能被26整除,这样的数最多能选出( )个。 是26的倍数的一种情况,有76个数

比26倍多13的是另一种情况,有77个数,所以填77个

七位数4_____75xy中末两位数是多少时,它有两个不同的七位数4_____75xy能被99整除?

测试题

1.一个五位数2x3y6是72的倍数,且两位数y6是9的倍数,则xy=( )。

A.46

B.43

C.50

D.42

解析:(1)y6是9的倍数,那么y+6肯定是9的倍数(这是9的倍数特点,各位数字之和是9的倍数,这个数就是9的倍数),y只能等于3。

然后整个数是72的倍数,也就是即是9的倍数,也是8的倍数(8,9是互质的)y6已经是9的倍数了 那么2x3也是9的倍数,也就是2+x+3是9的倍数,可以得到x是4.那么再来验证这个数24336是8的倍数,显然末三位是八的倍数是对的,所以 xy=43

2.一个六位数568abc,能分别被3,4,5整除,这个六位数最小是( )。

A.568020

B.568000

C.568060

D.568120

解析:568020

能被5整除的尾数只能是0或5 能被4整除的尾数至少是偶数 所以尾数是0

然后3 就是关键了 568除3是余1 所以就可以把他看成1ab0 来求解了 因为是最小的所以从a开始 设a=0 , b=1(不行) b=2(可以) 得出来了

3.用1~7这七个正整数组成无重复数字且能被11整除的七位数,则这样的七位数中最大数与最小数的差为( )。

6

A.7645231

B.1235476

C.6409755 D.6408325

解析:最大7645231

最小1235476

4.在小于5000的正整数中,能被11整除,且数字和为13的数,共有( )个。

A.17

B.18

C.19

D.16

解析:可证能被11整除的数的性质:奇数位数字和-偶数位数字和=11×N(N为整数),结合题意,只有两种情况:奇数位数字和=12,偶数位数字和=1

或奇数位数字和=1,偶数位数字和=12

前种情况下,可能为3190,3091,4180,4081共4种可能,

后种情况下,可能为1309,1408,1507,1606,1705,1804,1903;319,418,517,616,715,814,913共14种可能,

所以共18个

5.如果各位数字都是2的某个整数能被3333整除,那么这个整数至少是( )位数。

A.6

B.8

C.10

D.12

解析:被3整除需要有3的倍数个2,被1111整除需要有4的倍数个2

3,4的最小公倍数12

这个整数至少是12位数

222222222222

6.一个五位数,前三位是一个完全平方数,后两位数字相同,且该五位数能被99整除,这样的五位数是多少?

A.12177

B.48411

C.12177或48411

D.12177或48411或52431

前面三位数是个完全平方数,那么设它为x^2,后面两个都相同,设为10a+a=11a. 这个数表示为A:A=100x^2+11a

7

此数可被99整除,必然能被11整除,11a已经可被11整除了,所以100x^2也能被11整除,即x^2也能被11整除,设x^2=(11b)^2=121b^2

A=100*121b^2+11a

121b^2是个三位数,所以b只能是1和2。

如果b=1,A=100*121+11a=12100+11a

因为A可被99整除,故也可被9整除,能被9整除的特点是各位数之和也能被9整除。那么A的各位数之和是:1+2+1+a+a=4+2a

4+2a不可能为9,那么只能是18了。a=7,所以这个数可以是12177

如果b=2,A=121*400+11a=48400+11a

各位数之和是:4+8+4+a+a=16+2a

最大为34,但却不能是27,因为这是个偶数,所以只能是18,此时a=1

A=48411

那么,可能是12177和48411

8

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