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希望杯第三届(1992年)初中二年级第二试题

发布时间:2013-09-24 08:02:27  

希望杯第三届(1992年)初中二年级第二试题

一、选择题(:每题1分,共10分)

1.73282-73252= [ ]

A.47249 B.45829. C.43959 D.44969

2.长方形如图43.已知AB=2,BC=1,则长方形的内

接三角形的面积总比数( )小或相等. [ ] A.421; B.1; C.; D.. 373[ ] 3.当x=6,y=8时,x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是

A.1200000-254000. B.1020000-250400

C.1200000-250400. D.1020000-254000

4.等腰三角形的周长为a(cm).一腰的中线将周长分成5∶3,则三角形的底边长为

[ ] A.a3a84; B.a; C. 或a; D.a. 65655

5.

2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合[ ] ?x?2y?3z?0?x?3y?2z??6?? A.?2x?y?z?0;B.?x?y?z?0;

?x?y?z?0?2x?y?3z?2??

?x?3y?2z??6?x?y?z?0??C.?2x?y?z?0;D.??x?y?z?0

?2x?y?3z?2?2x?y?3z?2??

6.四边形如图

,BC=1, ∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是[ ]

A.1; B.111; C.; D.. 8247.在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中,用不同的x值代入,得到对应的值,在这

些对应值中,最小的值是 [ ]

A.1 B.2. C.3 D.4

8.一个等腰三角形如图45.顶角为A,作∠A的三等三分线AD,AE(即∠1=∠2=∠3),若BD=x,DE=y,EC=z,则有 [ ]

A.x>y>z B.x=z>y. C.x=z<y D.x=y=z

9.已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根,则a可以是[ ]

A.5 B.9. C.10 D.11

?和?10.正方形如图46,AB=1,BDAC都是以1为半径的圆弧,

则无阴影的两部分的面积的差是[ ] A.

二、填空题(每题1分,共10分)

1.

??2?1; B.1??4; C.?3?1; D.1??6. 的所有根的和的值是______________.

那么

ab=________.

2.已知

3.如图47,在△ABC中,∠ACB=60°,∠BAC=75°,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于H,则∠CHD=______.

4.已知

33525,那么x?x?x+1的值是______. 424

5.如图48,已知边长为a的正方形ABCD,E为AD的中点,P为CE的中点,那么△BPD的面积的值是______.

x3?y3

6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么3=________.

x?y3

7.在正△ABC中(如图49),D为AC上一点,E为AB上一点,

BD,CE相交于P,若四边形ADPE与△BPC的面积相等,那么∠BPE=______.

8.已知方程x-19x-150=0的一个正根为a,

那么2

+┉

9.某校男生若干名住校,若每间宿舍住4名,则还剩20名未住下;若每间宿舍住8名,则一部分宿舍未住满,且无空房,该校共有住校男生______名.

10.n是自然数,19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数,则d=______.

三、解答题(写出推理、运算的过程及最后结果,每题5分,共10分)

1. 若a,b,c,d>0,证明:在方程

121x??

0,x2?

0,22

121x?

?0x2??0中,至少有两个方程有22

不相等的实数根.

2.(1)能否把1,2,?,1992这1992个数分成八组,使得第二组各数之和比第一组各数之和多10,第三组各数之和比第二组各数之和多10,?,最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10?请加以说明.

(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”,结论如何?请加以说明.如果能够,请给出一种分组法.

答案与提示

一、选择题

提示:

5.等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0.∴x+1=0,xy+1=0.解之得x=-1,y=1.则x+y=0.∴应选(B).

6.由题设得:xy=1,x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993,得2(x+y)2+193xy=1993.将xy=1,x+y=4n+2代入上式得:(4n+2)2=900,即4n+2=30.∴n=7.∴应选(A).

7.由∠A=36°,AB=AC,可得∠B=∠C=72°.∴∠ABD=∠CBD=36°,∠BDC=72°.∴AD=BD=BC.由题意,1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD.∴应选(B).

8.原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0.即|x-1|2-5|x-1|+6=0.∴|x-1|=2,或|x-1|=3.

∴x1=-1,x2=3,x3=-2,x4=4.则x1+x2+x3+x4=4.∴应选(D).

9.连结CB',∵AB=BB',∴S△BB'C=S△ABC=1,又CC'=2BC∴S△B'CC'=2S△BB'C=2.∴S△BB'C'=3.

同理可得S△A'CC'=8,S△A'B'A=6.

∴S△A'B'C'=3+8+6+1=17.∴应选(D).

10.原方程为|3x|=ax+1.

(1)若a=3,则|3x|=3x+1.

当x≥0时,3x=3x+1,不成立.

(2)若a>3.

综上所述,a≥3时,原方程的根是负数.

∴应选(B).

另解:(图象解法)

设y1=|3x|,y2=ax+1。分别画出它们的图象.从图87中看出,当a≥3时,y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限.

二、填空题

提示:

1.∵49=7×7,∴所求两数的最大公约数为7,最小公倍数为42.设a=7m,b=7n,(m<n),其中(m,n)=1.由ab=(a,b)·[a,b].∴7m·7n=7·42,故mn=6.又(m,n)=1,∴m=2,n=3,故a=14,b=21.经检验,142+212=637.∴这两个数为14,21.

2.∴1993=1×1993=(-1)×(-1993),(1993为质数).而x1·x2=1993,且x1,x2为负整数根,∴x1=-1,x2=-1993.或x1=-1993,x2=-1.则

4.设S△BOC=S,则S△AOB=6-S,S△COD=10-S,S△AOD=S-1.由于

S·(S-1)=(6-S)(10-S),解之得S=4.

6.∵432=1849<1900<1936=442,又1936<1993<2025=452.

其他都不合适.此时所求方程为14x2-53x+14=0.

8.过E作EH⊥BC于H.∵AD⊥BC.∴EH∥AD.又∠ACE=∠BCE,EA⊥AC,EH⊥BC.∴EA=EH,∠AEC=∠HEC.∵EH∥AD,∴∠HEC=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF,∴EH=AF.即可推出△AGF≌△EHB.∴AG=EB=AB-AE=14-4=10.∴

BG=AB-AG=14-10=4.

10.设初一获奖人数为n+1人,初二获奖人数为m+1人(n≠m).依题意有 3+7n=4+9m,即7n=9m+1 ①

由于50<3+7n≤100,50<4+9m≤100.得

n=7,8,9,10,11,12,13.m=6,7,8,9,10.

但满足①式的解为唯一解:n=13,m=10.

∴n+1=14,m+1=11.获奖人数共有14+11=25(人).

三、解答题

1.解:若不考虑顺序,所跑的路线有三条:

OABCO(或OCBAO),OACBO(或OBCAO),OBACO(或OCABO).其中OABCO的距离最短.

记d(OABCO),d(OACBO),d(OBACO)分别为三条路线的距离.在AC上截取AB'=AB,连结OB'.则△ABO≌△AB'O.∴BO=B'O.

d(OABCO)-d(OACBO)

=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)

=AB+CO-AC-BO

=AB+CO-AB'B'CB'O

=CO-(B'C+B'O)<0

同理可得,d(OABCO)-d(OBACO)<0.

所以路线OABCO的距离最短.

因此x与y是关于t的方程

解二:由已知条件得

两边加上a4+1,得

显然0<a<1,0<a2<1.

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