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⑾竞赛中的概率问题

发布时间:2014-02-04 10:40:17  

Y.P.M数学竞赛讲座 1

竞赛中的概率问题

高中阶段的概率是数学的一个重要分支概率论的初步,主要问题是概率与期望(含概率分布),主要工具是计数方法及思想.概率问题最早于2002年出现在我国中学数学竞赛中,高中联赛中的概率问题主要出现在一试中,重点关注计数技巧和思想的应用.

一、知识结构

一、概率含义:古典与几何

1.概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率m接近于某个常数p(0≤p≤1),则称常数p是事件An

的概率;

2.频率概率:概率是频率的期望值,频率可近似地作为概率;

3.古典概型:具有如下特点的概率模型称为古典概率模型简称为古典概型:①试验中出现的可能结果只有有限个;②每个结果出现的可能性相同;古典概型的概率公式p(A)=A包含的可能结果数/所有可能结果数;

4.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型;几何概型的概率公式p(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/构成全部结果的区域长度(面积或体积);

二、事件关系:互斥与独立

1.关系定义:如果事件A与B不能同时发生,则称事件A与B为互斥事件;必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件,事件A的对立事件记为A;如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,则称事件A与B为独立事件;

2.事件运算:如果事件A与B至少有一个发生,记为A+B;如果事件A与B同时发生,记为AB;如果事件B在事件A发生的条件下发生,记为B|A;

3.事件关系:如果事件A与B独立,则事件A与B、A与B、A与B也相互独立;对任意事件A与B,则事件AB、AB、AB与AB两两互斥;

4.概率公式:如果事件A与B为互斥事件,则p(A+B)=p(A)+p(B);特别地,p(A)=1-p(A);如果事件A与B为独立事件,则p(AB)=p(A)p(B);对任意事件A与B,则①p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB);②p(B|A)=p(AB)/p(A);设A1,A2,?,An,?是一组完备事件(当且仅当A1,A2,?,An,?中任意两事件互斥,且A1∪A2∪?∪An∪?是必然事件),则对任意事件B,都有P(B)=P(A1) P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+?+P(An)P(B/An)+?;

三、概率分布:期望与方差

1.概率分布:设离散型随机变量可能取值为:x1、x2、?、xn,

且p(ξ=xi)=pi(i=1,2,?,n),则称右表为随机变量ξ的概率分布列,

简称ξ的分布列.且有性质:①pi≥0;②p1+p2+?+pn=1.

ξ)p1+(x2-Eξ)p2+?+(xn-Eξ)pn,或Dξ=Eξ-(Eξ)为ξ的方差. 22222 2.期望方差:若离散型随机变量ξ的概率分布如上表,则称Eξ=x1p1+x2p2+?+xnpn为ξ的数学期望;称Dξ=(x1-E

3.统计意义:随机变量ξ的数学期望Eξ的实质是随机变量ξ的所有取值的平均数,反映随机变量ξ可能取值的平均水平;而方差Dξ反映随机变量ξ取值偏离平均水平的集中或离散程度;

4.运算性质:若ξ、μ是离散型随机变量,且μ=aξ+b,其中a,b为常数,则Eμ=aEξ+b,Dμ=a2Dξ,特别地,若ξ+μ=a,则Eξ+Eμ=a,Dξ=Dμ;若随机变量ξ=ξ1+ξ2+?+ξn+?,则Eξ=Eξ1+Eξ2+?+Eξn+?;若随机变量ξ的一切值位于区间[a,b]内,则期望Eξ∈[a,b],Eξ可正、可负、可为零;但方差Dξ必为非负数;

四、常见分布:概率与公式

1.两点分布:若随机变量ξ满足:P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,则Eξ=p,Dξ=p(1-p);若随机变量ξ满足:P(ξ=a)=1-p, P(ξ=b)=p,则Eξ=a+(b-a)p,Dξ=(b-a)p(1-p); 2

2.二项分布:若随机变量ξ~B(n,p),即P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k,则Eξ=np,Dξ=np(1-p);

2 Y.P.M数学竞赛讲座

3.几何分布:若随机变量ξ~g(k,p),即P(ξ=k)=pk-1(1-p)(k=1,2,3,?),则Eξ=11?p,Dξ=2; pp

kn?kCMCN?M 4.超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有ξ件次品的概率P(ξ=k)=,则称随机变 nCN

量ξ服从超几何分布,且Eξ=nMM(N?n)(N?M),Dξ=n. NNN(N?1)

五、解题思想:变量与事件

1.变量取值:解决离散型随机变量ξ的概率分布问题,首要的问题是根据题意求出离散型随机变量ξ的取值集合;

2.变量事件:随机变量ξ的取值集合确定后,关键的是求解每一个随机变量的取值所对应的概率,为此,要建立二个对应关系:①随机变量与事件的对应关系;②事件与概率的对应关系;

3.事件概率:解决离散型随机变量ξ的概率分布问题的难点是求随机变量ξ对应的事件的概率,基本方法是用己知的基本事件表示待求事件,然后利用概率公式求概率;

4.概率分布:由以上两个对应关系及事件的概率推出的随机变量ξ与概率的对应关系,即得分布列.然后利用数学期望和方差的计算公式和简化计算技巧,求期望和方差.并利用期望和方差的意义分析解决有关问题.

六、正态分布:性质与转换

1.密度函数:①连续型随机变量:如果随机变量ξ可以取某一区间内的一切值,则称该随机变量ξ为连续型随机变量;②密度曲线:如果连续型随机变量ξ的概率分布是某条曲线C,则称该曲线C为随机变量ξ的分布密度曲线;③连续型随机变量ξ的分布密度曲线C对应的函数f(x)称为随机变量ξ的分布密度函数.

(x??)2

2? 2.正态分布:如果随机变量的分布密度函数f(x)=

212??e?,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)是参数,则称随机变量ξ服从参数为μ、σ的正态分布,用ξ~N(μ,σ)表示.

3.分布性质:①f(x)>0,即函数f(x)对应的分布密度曲线C在x轴上方;②分布密度曲线C的渐近线为x轴;③分布密度曲线C关于直线x=μ对称;④随机变量ξ的分布密度函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减;⑤随机变量ξ的分布密度函数f(x)在x=μ处取得最大值f(μ)=1

2??;⑥分布密度曲线C与x轴围成的面积等于1;⑦x=

μ?σ是函数f(x)的拐点,即函数f(x)在区间(μ-σ,μ+σ)内是凸函数,在区间(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)内是凹函数.

4.参数意义:①几何意义:直线x=μ是分布密度函数f(x)的对称轴;σ的大小决定分布密度曲线C的“胖”“瘦”,σ越大分布密度曲线C越“矮胖”,σ越小分布密度曲线C越“瘦高”;②统计意义:Eξ=μ,Dξ=σ,σ越大总体分布越分散,σ越小总体分布越集中,Dξ=Eξ-(Eξ). 222

5.特殊概率:P(ξ<a)=直线x=a、x轴与分布密度曲线C所围成的面积,P(b<ξ<a)=直线x=b、x=a、x轴与分布密度曲线C所围成的面积,特别地,P(ξ<μ)=0.5,P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997.

6.假设检验:正态分布ξ~N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)外的概率=0.003,几乎不可能发生,所以随机变量ξ的值在区间(μ-3σ,μ+3σ)外是非正常状态.

1

2??x22 7.标准分布:若ξ~N(0,1),则称随机变量ξ服从标准正态分布,则其正态曲线f(x)=

=0,Dξ=1.且P(ξ≤x)=φ(x),φ(-x)=1-φ(x),P(a<ξ≤b)=φ(b)-φ(a),φ(0)=1. 2e关于直线x=0对称,Eξ

a 8.互换公式:①正态分布与定积分的互换公式:P(b<ξ<a)=?bf(x)dx;②正态分布与标准正态分布的互换公式:p(ξ

≤x)=φ(x??b??a??),P(a<ξ≤b)=φ()-φ(). ???

Y.P.M数学竞赛讲座 3

二、典型问题

1.枚举计数

[例1]:(2007年全国高中数学联赛试题)将号码分别为1、2、?、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球.其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于 。

[解析]:

[类题]:

1.①(2009年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n.则以点(0,0)、(1,-1)、(m、n)为顶点能构成直角三角形的概率是 .

②(2010年全国高中数学联赛广西初赛试题)某人投掷两次骰子先后得到点数m,n,用来作为一元二次方程x+mx+n=0的系数.则使方程有实根的概率是 .

③(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中,a、b分别是投掷骰子所得的数字,则该二次方程有两个正根的概率P= .

2.①(2002年上海市高中数学竞赛试题)袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n的球重n-5n+ 23克,这些球以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率为__(用 分数作答).

②(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数abcde,满足条件“a<b>c<d>e”的概率是 .

3.①(2011年全国高中数学联赛试题(B卷))把扑克牌中的A、2、3、?、J、Q、K分别看作数字1、2、3、?、11、12、 13,现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起,从中随机取出两张牌,其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为 (用数字作答).

②(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀2金2银的概率是 . 132222

2.组合计数

[例2]:(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)在某次商品的有奖销售活动中,有n人获三等奖(n≥4),三等奖的奖品共有四种,每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选一种,结果有一种奖品无人挑选的概率是_________.

[解析]:

[类题]:

1.①(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生,要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛,则代表队包含男女各2人的概率为 .

②(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)从m个男生,n个女生(10≥m>n≥4)中任选2个人当组长,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等,则(m,n)的可能值为 . ③(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)袋中装有m个红球和n个白球,m>n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系m+n≤40的数组(m,n)的个数为 .

2.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,则取出的球的编号互不相同的概率为 .

②(2011年全国高中数学联赛吉林初赛试题)现有5双不同号码的鞋,从中取出4只,恰能配成一双的概率为 .

3.①(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)六个家庭依次编号为1、2、3、4、5、6.每家三人,大家一起聚会做游戏,游戏按每组三人依次进行.那么,一个组的成员来自不同家庭的概率为 .

②(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛(每局无平局),则比赛结果出现甲比乙为4:3的概率是 .

4 Y.P.M数学竞赛讲座

3.排列计数

[例3]:(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)用3种颜色给立方体的8个顶点染色,其中至少有一种颜色恰好染4个顶点.则任一棱的两个端点都不同色的概率是 .

[解析]:

[类题]:

1.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)a、b、c、d、e是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(允许重复),则abcd+e为奇数的概率为_____.

②(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在6个产品中有4个正品、2个次品.现每次取出1个作检查(检查完后不再放回),直到2个次品都找到为止.则经过4次检查恰好将2个次品全部找到的概率是 .

③(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)有20张卡片上分别写有数字1,2,?,20,将它们放入一个盒子内.有4个人从中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到5、14,则此两人在同一组的概率等于 (用最简分数作答).

2.①(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 .

②(2012年全国高中数学联赛广西初赛试题)如图,用红、篮、黄三色将图中区域A、B、C、D染色,要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色,则满足区域A恰好染篮色的概率是3.①(2012年上海市高中数学竞赛试题)一个口袋里有5个大小一样的小球,

其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答).

②(2011年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)一个盒子里有3个黑球和4个白球,现从盒子里随机每次取出一个球,取出后不再放回,每个球被取出的可能性相等,直到某种颜色的球全部被取出,则最后取出的是黑球的概率为 .

4.容斥原理

[例4]:(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球.则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是 .

[解析]:

[类题]:

1.①(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员,已知其中会唱歌的有2人,会跳舞的有5人.现从中选出2人,设ξ为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数,且P(ξ>0)=则n= .

②(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有六张分别写有数字1,2,3,4,5,6的卡片,每次从中抽取一张,记下上面的数字,然后放回.这样取了4次,则抽到的最大数与最小数的差等于5的概率为__________.

③(1972年美国数学奥林匹克(USAMO)试题)假设一个随机数选择器只能从1,2,?,9这九个数字中选择一个,并且以等概率做这些选择.试确定在n(n>1)次选择后,选出的n个数的乘积能被10整除的概率.

2.①(2011年美国数学邀请赛(AIME)试题)有九位代表来自三个不同的国家,每个国家三人.他们随机地选择有九把椅子的圆桌.若每位代表旁至少有来自另外国家的一位代表的概率为m((m,n)=1),求m+n. n7,10

②(2009年全国高中数学联赛山东初赛试题)随机地投掷4颗骰子,其中有两颗骰子所示数字之和为9的概率为 .

3.①(2002年美国数学邀请赛(AIME)试题)许多洲用三字母后加三位数的排序作为该洲标准的车牌号的排列模式.已知每三个字母、每三个数码的排列是等可能的概率.若车牌号中三字母或三数字中至少包含一个是“回文数”(即三字母或三

Y.P.M数学竞赛讲座 5 数字的排列自左至右和自右至左的读法是相同的)的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

②(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)将3×3方格表中每一个随机地染成蓝色或红色,染成蓝色或红色的机会均等,3 ×3方格表中没有的2×2红色正方形的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

5.一一对应

[例5]:(2005年全国高中数学联赛试题)将编号为1,2,?,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法).

[解析]:

[类题]:

1.①(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在1,2,?,2006中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 . ②(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)从集合{1,2,3,?,20}中任选3个不同的数排成一个数列,则这个数列为等差数列的概率是 .

③(2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率是_______.

2.①(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)圆周上有10个等分点,则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形 中,梯形所占的比为 .

②(2008年上海市高中数学竞赛试题)有一个19×19的正方形棋盘,从中任取2条水平线,2,条垂线,围成的图形恰好是正方形的概率是________.

3.①(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)将1,2,?,9随机填入右图

正方形ABCD的九个格子中,则其每行三数,每列三数自上而下、自左而右

顺次成等差数列的概率P= .

②(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)从1,2,3,?,10这10个号码

中任意抽取3个号码,其中至少有两个号码是连续整数的概率是__________. 6.不定方程

[例6]:(2004年全国高中数学联赛试题)一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2,则算过关.问:

(Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?

(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?

(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体.抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数). n

[解析]:

[类题]:

1.①(原创题)等可能的随机抽取集合N={1,2,3,?,n}(n≥7)的一个三元子集,则所取三元子集满足:“任意两元素之差的绝对值不小于3”的概率是 .

我们称子集A为N的“好子集”,则这样的“好子集”的个数为 .

②(原创题)将20个相同的小球等可能的随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,则每个盒内的球数不小于盒子的编号数的概率是 .

③(原创题)3个人随机坐在一条有9个座位的长椅上,则相邻两人之间至少有两个空位的概率是 .

2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)将正整数1,2,3,4,5,6,7任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数的和与第二组数的和相等的概率是 .

6 Y.P.M数学竞赛讲座 ②(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一项“过关游戏”的规则规定:在第n关要抛一颗骰子n次,如果这n次抛

n掷所出现的点数之和大于2,则算过关.则连过前3关的概率为_________.

3.①(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试试题)从1到9这九个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,则这个三位数能被3整除的概率为 .

②(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)一枚骰子掷四次,后三次的点数都不小于上一次的点数的概率为

求m+n. m((m,n)=1), n

7.对立事件

[例7]:(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)骰子是一个质量均匀的立方体,6个面上分别刻有1,2,3,4,5,6.现在桌面上有3枚骰子分别为木制、骨制、塑料制的,重复下面操作,直至桌面上没有骰子:将桌面上的全部骰子掷出,然后去掉那些奇数点的骰子.求完成以上操作的次数多于三次的概率.

[解析]:

[类题]:

1.①(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)同时投掷三颗骰子,至少有一颗骰子掷出6点的概率是 (结果要求写成既约分数).

②(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)从3名男生和n名女生中,任选3人参加比赛,已知3人中至少有1名女生的概率为34.则n=__________. 35

③(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)某班共有30名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 (结果用最简分数表示).

2.①(2010年上海市高中数学竞赛试题)设甲袋中有4只白球、5只红球、6只黑球,乙袋中有7只白球、6只红球、2只黑球.若从两袋中各取一球,则两球颜色不同的概率是 (用最简分数作答).

②(2010年上海市高中数学竞赛试题)已知由1,2,?,1000这1000个正整数构成的集合A,先从集合A中随机取一个数 a,取出后把a放回集合A,然后再从集合A中随机取一个数b,求a1>的概率. b3

23mx-nx+1在33.①(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y=

[1,+∞)上为增函数的概率是 .

②(1979年美国数学竞赛(AMC)试题)任意选择一对有序整数(b,c),其中每一个整数的绝对值小于或等于5,每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的.方程x+bx+c=0没有相异正实根的概率是 . 2

8.事件关系

[例8]:(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)如图是一个由3×4个单位方格组成的街道地图,线条为

道路.甲从A(0,0)点出发按最短路程走向B(4,3),

乙从B点按最短路程走向A点,如果他们同时出发并且以相同的速度前进,那么,甲和乙在路上相遇的概率是多少?

[解析]:

[类题]:

1.①(1994年美国数学竞赛(AMC)试题)一袋正在爆的玉米,其中

有211是白粒的,是黄粒的,又知白粒的有会爆开,黄粒的3322会爆开.今从袋中任选一粒放锅中发生爆花,则它是白粒玉米的概率是 . 3

Y.P.M数学竞赛讲座 7 ②(2011年上海市高中数学竞赛试题)甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜;乙必须再胜3 局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为1,则甲最后获胜的概率是 . 2

32,事件B出现的概率是,设P是A和B同时出现的概率,那么包 43 ③(1983年美国数学竞赛(AMC)试题)事件A出现的概率是

含的区间是 .

2.①(2009年美国数学邀请赛(AIME)试题)抛一枚硬币,设正面朝上的概率为p(0<p<1),背面朝上的概率为1-p.现抛该硬 币8次,其中,3次正面朝上5次背面朝上的概率是5次正面朝上3次背面朝上的m1.令p=(m,n∈N+,(m,n)=1),求m+n. n25

②(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)在一次投篮测试中,每人只要投中3个,即为合格,不用再投,不过每人至多只能投5次.一投篮命中率为2的球员,其测试合格的概率为 . 3

3.①(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)甲队在某足球联赛中要和其他六支队伍各比赛一场.已知甲队在任何一场比赛中胜、负、平的概率都为m1.设甲队在这六场比赛中胜的场数多于负的场数的概率为((m,n)=1),求m+n. n3

②(2009年美国数学邀请赛(AIME)试题)戴维和琳达各自掷六面骰子.当掷出“6点”时停止掷骰子.记两人掷骰子次数至多相差一次的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

9.计数事件

[例9]:(2012年全国高中数学联赛试题(B卷))一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字1,2,?,6,每次投掷这样两个相同的骰子,规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数.那么,投掷3次所得3个点数之积能被14整除的概率是 (用最简分数表示).

[解析]:

[类题]:

1.①(2011年全国高中数学联赛广西初赛试题)在1~2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是 .

②(2005年美国数学邀请赛(AIME)试题)某饭店为3位客人准备了早餐,每份早餐包括三种不同的饭团,一个坚果的、一个奶酪的、一个水果的.厨师在做这9个饭团时,给这9个饭团都做了包装,而一旦包装后,饭团的类型就无法区分了.厨师随机地给3位客人的餐包里各放了3个饭团.若三位客人均能得到三种不同饭团的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

2.(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体的4个面分别写着1,2,3,4,将4个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 .

3.(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)标号1,2,?,13各4种颜色的卡片,共计52张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的盒子,若某个盒子中,有两张空白卡片,4张1,且2,3,?,13号卡片各一张,称该盒是“超级盒”.则出现超级盒的概率为 (列出算式即可).

10.递推概率

[例10]:(2006年全国高中数学联赛山东初赛试题)中国男子篮球甲级联赛的规则规定:每场比赛胜者得2分,负者得1分(每场比赛,即使通过加时赛也必须分出胜负).某男篮甲级队实力强劲,每场比赛获胜的概率为31、失利的概率为.求该 44队在赛程中间通过若干场比赛获得n分的概率(设该队这一赛季的全部比赛场次数为S,这里0<n≤S).

[解析]:

[类题]:

8 Y.P.M数学竞赛讲座

1.①(2003年美国数学邀请赛(AIME)试题)一只蚂蚁从等边三角形的一个顶点开始爬行,每次爬行可随机选择向另一个顶点沿边线爬行.假设蚂蚁第十次爬回起始顶点的的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

②(1985年美国数学邀请赛(AIME)试题)设正四面体的四个顶点是A,B,C,D,各棱长为1米.有一个小虫从点A开始按以下规则前进:在每一个顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这个棱的尽头.设它爬了7米以后位于顶点A的概率为n,求n的值. 729

2.(1994年美国数学邀请赛(AIME)试题)一种单人纸牌游戏,其规则如下:将6对不相同的纸牌放入一个书包中,游戏者每 次随机地从书包中抽牌并放回,不过当抽到成对的牌时,就将其放到一边.如果游戏者每次总取三张牌,若抽到三张牌的中 两两互不成对,游戏就结束;否则抽牌继续进行直到书包中没有牌为止.设书包空的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

3.(《中等数学》.2012年第6期.数学奥林匹克高中训练题(154))已知条100线段的长度集合N={x||x-50|≤50,且x∈N+}.试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率.

11.数学期望

[例11]:(2008年全国高中数学联赛试题)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一 人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为 . 21,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则 33

[解析]:

[类题]:

1.①(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)随机抛掷一颗6个面分别刻有1,2,3,4,5,6个点的骰子,其出现(即向上一面)的点数的数学期望值为 .

②(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门打开的锁打开.设抽取钥匙是相互独立且等可能的,每把钥匙试开后不再放回,求试开次数ξ的分布列及数学期望Eξ.

2.①(2008年全国高中数学联赛安徽初赛试题)将6个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各2个)随机放入3个盒子中,每个盒子中恰好放2个小球,记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求η的分布.

②(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)盒子里装有大小相同的球8个,其中三个1号球,三个2号球,两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球,放回后第二次再任取一个球,记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量ξ,则ξ的数学期望Eξ3.①(2009年全国高中数学联赛试题)某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为

到站时刻

概率 8:10 9:10 1 68:30 9:30 1 28:50 9:50 1 3

一旅客8:20到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到1分).

②(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)如图记从“田字型”网格(由四个边长为1的正方形组成)的9个交点中任取3个点构成的三角形面积为ξ(当所取的三点共线时ξ=0),则ξ的期望Eξ= .

12.条件概率

[例12]:(2006年全国高中数学联赛试题)袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1个白球,则 第4次恰好取完所有红球的概率为 .

Y.P.M数学竞赛讲座 9

[解析]:

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)有5个乒乓球,其中有3个是新球,2个是旧球(即至少用过一次的球).每次比 赛,都拿其中的2个球用,用完后全部放回.设第二次比赛时取到新球的个数为ξ,则ξ的数学期望Eξ= .

2.(2012年全国高中数学联赛福建初赛试题)有14个大小、形状相同的球,其中7个红球,7个白球.它们分别装在甲、乙两个盒子内,其中甲盒子内装有4个红球,3个白球,乙盒子内装有3个红球,4个白球.现从甲盒子内随机摸出一个球放入乙盒子内,再从乙盒子内随机摸出一个球放回甲盒子内,记此时乙盒子内红球的个数为ξ,则ξ的数学期望Eξ= .

3.(2003年全国高中数学联赛山东初赛试题)在一场篮球比赛临终场还有0.1秒时,A队获得一个两次罚球的机会,当时A队以100:101落后.关于该队罚球队员两次罚球命中率的统计资料显示:其第一投的命中率为0.6.若第一投命中,则其第 二投的命中率为0.8;若第一投不中,则其第二投的命中率为0.7.该队罚球后得分的数学期望值为 .

13.典型分布

[例13]:(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知7件产品中有4件正品和3件次品.

(Ⅰ)从这7件产品中一次性随机抽取3件,求正品件数不少于次品件数的概率;

(Ⅱ)从这7件产品中一次性随机抽取5件,记其中次品件数为ξ,求ξ的数学期望.

[解析]:

[类题]:

1.①(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)在5件产品中有4件正品、1件次品.从中任取2件,记其中含正品的个数 个数为随机变量ξ,则ξ的数学期望Eξ是 .

②(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为ξ,则随机变量ξ的数学期望Eξ的值为 .

2.①(2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知随机变量奋服从正态分布N(1.5,σ),P(ξ≤2.5)=0.78,则P(ξ≤0.5)= .

解:由标准正态分布的性质:P(ξ≤0.5)=P(ξ>2.5),P(ξ≤2.5)+P(ξ>2.5)=1?P(ξ≤0.5)=1-P(ξ≤2.5)=0.22. ②(2008年湖南高考试题)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则c= .

解:由标准正态分布的性质:P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1)?(c+1)+(c-1)=2×2?c=2.

③(2008年安徽高考试题)设两个正态分布N(μ1,σ1)(σ1>0)

和N(μ2,σ2)(σ2>0)的密度函数图像如图所示.则有( )

(A)μ1<μ2,σ1<σ2 (B)μ1<μ2,σ1>σ2

(C)μ1>μ2,σ1<σ2 (D)μ1>μ2,σ1>σ2

3.①(2007年安徽高考试题)以φ(x)表示标准正态分布在区间

(-∞,x)内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),则概率P(|ξ-μ|<σ)等于( )

(A)φ(μ+σ)-φ(μ-σ) (B)φ(1)-φ(-1) (C)?(1??2222

?) (D)2φ(μ+σ)

②(2012年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设随机变量X~N(1,2),Y~N(3,4).若P(X<0)=P(Y>a),则a= .

14.概率综合

[例14]:(2012年全国高中数学联赛山东初赛试题)三棱锥A-BCD中△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形,△BCD在平面α内,侧棱3.现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个,并记对应的标号为f(η),(η取值为A、B、C、D),E为侧棱AB上一点.

(Ⅰ)求事件“f(C)+f(D)为偶数”的概率P1

10 Y.P.M数学竞赛讲座 (Ⅱ)若|BE|:|EA|=f(B)+f(A),求二面角E-CD-A的平面角大于?的概率P2. 4

[解析]:

[类题]:

1.①(2008年全国高中数学联赛福建初赛试题)正整数n≤500,具有性质:从集合{1,2,?,500}中任取一个元素m,使得m|n的概率是1,则n的最大值是 . 100

2 ②(2010年美国数学邀请赛(AIME)试题)玛娅随机地选出两个不同的2010的正约数,两个正约数中恰有一个为完全平 方数的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

2)ln(1+t)>2; t2.①(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)(Ⅰ)设实数t>0,求证:(1+

(Ⅱ)从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取张,然后放回;用这种方式连续抽取20次,设抽的20个号码互不相同的概率为p,求证:P<1

e2.

2x,证明:当x>0时,f(x)>0; x?2本题改编于2011年全国高考试题:(Ⅰ)设函数f(x)=ln(1+x)-

(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互补相同的概率为P.证明:P<(9191)<2. 10e

②(第八届美国数学奥林匹克(USAMO)试题)给定三只相同的n面骰子,它们的对应面标上同样的任意整数.证明:如果随 机投掷它们,那么向上的三面上的数的和被3整除的概率大于或等于1. 4

3.①(2012年全国高中数学联赛陕西初赛试题)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为等差的等差数列.则参加这项游戏活动获得奖金的期望是______元.

②(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得1分,负者得0分;当其中一人的得分比另一人的得分多2分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过20次,即经20次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为P(0<p<1),乙获胜的概率为q=1-P.假定各次比赛的结果相互独立的,比赛经ξ次结束,求ξ的期望Eξ的变化范围.

Y.P.M数学竞赛讲座详解 1

竞赛中的概率问题详解

高中阶段的概率是数学的一个重要分支概率论的初步,主要问题是概率与期望(含概率分布),主要工具是计数方法及思想.概率问题最早于2002年出现在我国中学数学竞赛中,高中联赛中的概率问题主要出现在一试中,重点关注计数技巧和思想的应用.

一、知识结构

一、概率含义:古典与几何

1.概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率m接近于某个常数p(0≤p≤1),则称常数p是事件An

的概率;

2.频率概率:概率是频率的期望值,频率可近似地作为概率;

3.古典概型:具有如下特点的概率模型称为古典概率模型简称为古典概型:①试验中出现的可能结果只有有限个;②每个结果出现的可能性相同;古典概型的概率公式p(A)=A包含的可能结果数/所有可能结果数;

4.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型;几何概型的概率公式p(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/构成全部结果的区域长度(面积或体积);

二、事件关系:互斥与独立

1.关系定义:如果事件A与B不能同时发生,则称事件A与B为互斥事件;必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件,事件A的对立事件记为A;如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,则称事件A与B为独立事件;

2.事件运算:如果事件A与B至少有一个发生,记为A+B;如果事件A与B同时发生,记为AB;如果事件B在事件A发生的条件下发生,记为B|A;

3.事件关系:如果事件A与B独立,则事件A与B、A与B、A与B也相互独立;对任意事件A与B,则事件AB、AB、AB与AB两两互斥;

4.概率公式:如果事件A与B为互斥事件,则p(A+B)=p(A)+p(B);特别地,p(A)=1-p(A);如果事件A与B为独立事件,则p(AB)=p(A)p(B);对任意事件A与B,则①p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB);②p(B|A)=p(AB)/p(A);设A1,A2,?,An,?是一组完备事件(当且仅当A1,A2,?,An,?中任意两事件互斥,且A1∪A2∪?∪An∪?是必然事件),则对任意事件B,都有P(B)=P(A1) P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+?+P(An)P(B/An)+?;

三、概率分布:期望与方差

1.概率分布:设离散型随机变量可能取值为:x1、x2、?、xn,

且p(ξ=xi)=pi(i=1,2,?,n),则称右表为随机变量ξ的概率分布列,

简称ξ的分布列.且有性质:①pi≥0;②p1+p2+?+pn=1.

ξ)p1+(x2-Eξ)p2+?+(xn-Eξ)pn,或Dξ=Eξ-(Eξ)为ξ的方差. 22222 2.期望方差:若离散型随机变量ξ的概率分布如上表,则称Eξ=x1p1+x2p2+?+xnpn为ξ的数学期望;称Dξ=(x1-E

3.统计意义:随机变量ξ的数学期望Eξ的实质是随机变量ξ的所有取值的平均数,反映随机变量ξ可能取值的平均水平;而方差Dξ反映随机变量ξ取值偏离平均水平的集中或离散程度;

4.运算性质:若ξ、μ是离散型随机变量,且μ=aξ+b,其中a,b为常数,则Eμ=aEξ+b,Dμ=a2Dξ,特别地,若ξ+μ=a,则Eξ+Eμ=a,Dξ=Dμ;若随机变量ξ=ξ1+ξ2+?+ξn+?,则Eξ=Eξ1+Eξ2+?+Eξn+?;若随机变量ξ的一切值位于区间[a,b]内,则期望Eξ∈[a,b],Eξ可正、可负、可为零;但方差Dξ必为非负数;

四、常见分布:概率与公式

1.两点分布:若随机变量ξ满足:P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,则Eξ=p,Dξ=p(1-p);若随机变量ξ满足:P(ξ=a)=1-p, P(ξ=b)=p,则Eξ=a+(b-a)p,Dξ=(b-a)p(1-p); 2

2.二项分布:若随机变量ξ~B(n,p),即P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k,则Eξ=np,Dξ=np(1-p);

2 Y.P.M数学竞赛讲座详解

3.几何分布:若随机变量ξ~g(k,p),即P(ξ=k)=pk-1(1-p)(k=1,2,3,?),则Eξ=11?p,Dξ=2; pp

kn?kCMCN?M 4.超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有ξ件次品的概率P(ξ=k)=,则称随机变 nCN

量ξ服从超几何分布,且Eξ=nMM(N?n)(N?M),Dξ=n. NNN(N?1)

五、解题思想:变量与事件

1.变量取值:解决离散型随机变量ξ的概率分布问题,首要的问题是根据题意求出离散型随机变量ξ的取值集合;

2.变量事件:随机变量ξ的取值集合确定后,关键的是求解每一个随机变量的取值所对应的概率,为此,要建立二个对应关系:①随机变量与事件的对应关系;②事件与概率的对应关系;

3.事件概率:解决离散型随机变量ξ的概率分布问题的难点是求随机变量ξ对应的事件的概率,基本方法是用己知的基本事件表示待求事件,然后利用概率公式求概率;

4.概率分布:由以上两个对应关系及事件的概率推出的随机变量ξ与概率的对应关系,即得分布列.然后利用数学期望和方差的计算公式和简化计算技巧,求期望和方差.并利用期望和方差的意义分析解决有关问题.

六、正态分布:性质与转换

1.密度函数:①连续型随机变量:如果随机变量ξ可以取某一区间内的一切值,则称该随机变量ξ为连续型随机变量;②密度曲线:如果连续型随机变量ξ的概率分布是某条曲线C,则称该曲线C为随机变量ξ的分布密度曲线;③连续型随机变量ξ的分布密度曲线C对应的函数f(x)称为随机变量ξ的分布密度函数.

(x??)2

2? 2.正态分布:如果随机变量的分布密度函数f(x)=

212??e?,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)是参数,则称随机变量ξ服从参数为μ、σ的正态分布,用ξ~N(μ,σ)表示.

3.分布性质:①f(x)>0,即函数f(x)对应的分布密度曲线C在x轴上方;②分布密度曲线C的渐近线为x轴;③分布密度曲线C关于直线x=μ对称;④随机变量ξ的分布密度函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减;⑤随机变量ξ的分布密度函数f(x)在x=μ处取得最大值f(μ)=1

2??;⑥分布密度曲线C与x轴围成的面积等于1;⑦x=

μ?σ是函数f(x)的拐点,即函数f(x)在区间(μ-σ,μ+σ)内是凸函数,在区间(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)内是凹函数.

4.参数意义:①几何意义:直线x=μ是分布密度函数f(x)的对称轴;σ的大小决定分布密度曲线C的“胖”“瘦”,σ越大分布密度曲线C越“矮胖”,σ越小分布密度曲线C越“瘦高”;②统计意义:Eξ=μ,Dξ=σ,σ越大总体分布越分散,σ越小总体分布越集中,Dξ=Eξ-(Eξ). 222

5.特殊概率:P(ξ<a)=直线x=a、x轴与分布密度曲线C所围成的面积,P(b<ξ<a)=直线x=b、x=a、x轴与分布密度曲线C所围成的面积,特别地,P(ξ<μ)=0.5,P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997.

6.假设检验:正态分布ξ~N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)外的概率=0.003,几乎不可能发生,所以随机变量ξ的值在区间(μ-3σ,μ+3σ)外是非正常状态.

1

2??x22 7.标准分布:若ξ~N(0,1),则称随机变量ξ服从标准正态分布,则其正态曲线f(x)=

=0,Dξ=1.且P(ξ≤x)=φ(x),φ(-x)=1-φ(x),P(a<ξ≤b)=φ(b)-φ(a),φ(0)=1. 2e关于直线x=0对称,Eξ

a 8.互换公式:①正态分布与定积分的互换公式:P(b<ξ<a)=?bf(x)dx;②正态分布与标准正态分布的互换公式:p(ξ

≤x)=φ(x??b??a??),P(a<ξ≤b)=φ()-φ(). ???

Y.P.M数学竞赛讲座详解 3

二、典型问题

1.枚举计数

[例1]:(2007年全国高中数学联赛试题)将号码分别为1、2、?、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球.其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于( ) (A)52596061 (B) (C) (D) 81818181

2[解析]:甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为9=81个.由不等式a-2b+10>0?2b<a+10.

当b=1,2,3,4,5时,a=1,2,?,9,有5×9=45种;当b=6时,a=3,4,?,9,有7种;当b=7时,a=5,6,?,9,有5种;当b=8时, a=7,8,9,有3种;当b=9时,a=9,有1种.于是,所求事件的概率为45?7?5?3?161=.选(D). 8181

[类题]:

1.①(2009年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n.则以点(0,0)、(1,-1)、(m、n)为顶点能构成直角三角形的概率是 .

解:因(m,n)共有36种取值情况.而以点(0,0)、(1,-1)、(m,n 为顶点能构成直角三角形的(m,n)有以下10种取值的可能: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(3,1),(4,2),(5,3),(6,4).故所求概率为=105=3618.

2 ②(2010年全国高中数学联赛广西初赛试题)某人投掷两次骰子先后得到点数m,n,用来作为一元二次方程x+mx+n=0的

系数.则使方程有实根的概率是( ). (A)151719 (B) (C) (D) 293636

2解:方程有实根?m-4n≥0.当n=1时,m≥2,有5个;当n=2时,m≥3,有4个;当n=3时,m≥4,有3个;当n=4时,m≥4,有3

个;当n=5时,m≥5,有2个;当n=6时,m≥5,有2个.故所求概率为=

219. 362 ③(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中,a、b分别是投掷骰子所得的数字,

则该二次方程有两个正根的概率P=( ) (A)11113 (B) (C) (D) 189618

???4(a?3)2?4(9?b2)?0?a2?b2?2a???解:方程有两个正根??.当b=1时,a>3,有3个;当b=2时,a>3,有3个;故所求概a?3?0a?3???

2??9?b?0b?3????

率为=1. 6

1

322.①(2002年上海市高中数学竞赛试题)袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n的球重n-5n+

23克,这些球以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率为__(用 分数作答).

解:n-5n+23的对称轴为n=1

32151,重量相等的有(7,8),(6,9),?(1,14),概率P=. 285

②(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数abcde,满足条件“a<b>c<d>e”的概率是 .

解:①当b=5,d=4或b=4,d=5时,均有A3;②当b=5,d=3或b=3,d=5时,均有A2.概率=322. 15

3.①(2011年全国高中数学联赛试题(B卷))把扑克牌中的A、2、3、?、J、Q、K分别看作数字1、2、3、?、11、12、

4 Y.P.M数学竞赛讲座详解 13,现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起,从中随机取出两张牌,其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为 (用数字作答).

解:从26张牌中任意取出2张,共有C26=325种取法.牌的花色相同且积是完全平方数的有4=1×4,9=1×9,16=2×8,36=2 ×13=4×9,共有5×2=10对.因此,所求概率为102=. 325652

②(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀2金2银的概率是 .

解:枚举法,注意可翻转,有6种情况,2金2银有两种,概率为. 1

3

2.组合计数

[例2]:(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)在某次商品的有奖销售活动中,有n人获三等奖(n≥4),三等奖的奖品共有四种,每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选一种,结果有一种奖品无人挑选的概率是_________.

[解析]:因每人对奖品有4种不同的选择,所以全部可能的不同选择结果共有4n种;一种奖品无人挑选,即有3种奖品均有人选.从4种奖品选择3种奖品的方法共有C4种,因为针对3种奖品,n个人的不同选择结果有3种,但须去除仅有1种奖品的3种情况和仅有2种奖品的C3(2-2)种情况 有C4{3-3-[C3(2-2)]}=4×3+12×2+12种不同结果,其相应概率为4(3n1n1n)-12()+12(). 4242n3n2nnn3n

[类题]:

1.①(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生,要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛,则代表队包含男女各2人的概率为( ) (A)10306070 (B) (C) (D) 143143143143

22C8C6

4C14解:P==60. 143

②(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)从m个男生,n个女生(10≥m>n≥4)中任选2个人当组长,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等,则(m,n)的可能值为 . 解:P(A)=P(B)?22Cm?Cn

2Cm?n=11CmCn2Cm?n?Cm+Cn=CmCn?(m-n)=m+n,即m+n是完全平方数,且9≤m+n≤19,因此(m,n)=(10,6). 22112

③(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)袋中装有m个红球和n个白球,m>n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系m+n≤40的数组(m,n)的个数为( )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解:22Cm?Cn

2Cm?n=11CmCn2Cm?n?Cm+Cn=CmCn?(m-n)=m+n,即m+n是完全平方数,且9≤m+n≤40,因此(m,n)=(10,6),(15,10), 22112

(21,15).

2.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,则取出的球的编号互不相同的概率为( ) (A)5218 (B) (C) (D) 217321

4解:从10个球中取出4个,不同的取法有C10=210种.如果要求取出的球的编号互不相同,可以先从5个编号中选取4个编

号,有C5种选法.对于每一个编号,再选择球,有两种颜色可供挑选,所以取出的球的编号互不相同的取法有C52=80种.因此,取出的球的编号互不相同的概率为808=.故选(D). 21021444

②(2011年全国高中数学联赛吉林初赛试题)现有5双不同号码的鞋,从中取出4只,恰能配成一双的概率为 .

Y.P.M数学竞赛讲座详解 5 解:4只中,恰能配成一双,先从5双中取一双有C5种,然后从余下的4双中取2双,并分别从每双中取一只,有C2C2C2种, P=1211C5C4C2C2

4C101211=4. 7

3.①(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)六个家庭依次编号为1、2、3、4、5、6.每家三人,大家一起聚会做游戏,游戏按每组三人依次进行.那么,一个组的成员来自不同家庭的概率为( ). (A)551545 (B) (C) (D) 204686868

3解:从18个人中选出3人,不同的选法共有C18=816(种).因为一个家庭的三个人编号是相同的,所以,为使所选的组员编号

不同,应先从6个编号中选取3个号,有C6种选法,而对每一个编号再选人,又有3种选择.因此,选出的小组成员来自不同家庭的选法种数为C6×3=540,故一个小组的三个成员来自不同家庭的概率为=33354045=. 81668

②(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛(每局无平局),则比赛结果出现甲比乙为4:3的概率是( ) (A)35545 (B) (C) (D) 1281678

4C7解:符合条件的概率为27=35.故选(A). 128

3.排列计数

[例3]:(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)用3种颜色给立方体的8个顶点染色,其中至少有一种颜色恰好染4个顶点.则任一棱的两个端点都不同色的概率是 .

[解析]:当其中一种颜色染4个顶点时,其余两种颜色可任意染色剩余的4个顶点(每个顶点均有2种染法).于是满足要求的染色方法共有C3C82;若要求任一棱的两个端点都不同色,则一种颜色染4个顶点的染法只有2种,此时其余两种颜色仍可任意染色剩余的4个顶点.于是这样的染法共有C3×2×2.故所求概率为241441. 35

[类题]:

1.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)a、b、c、d、e是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(允许重复),则abcd+e为奇数的概率为_____.

解:abcd+e为奇数?①abcd为奇数,且e为偶数?a,b,c,d均为奇数,且e为偶数,其取法有3×2;②abcd为偶数,且e为奇数?a,b,c,d中至少有一个为偶数,且e为奇数,其取法有(5-3)×3.故总取法有3×2+(5-3)×3=4444441794. 3125

②(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在6个产品中有4个正品、2个次品.现每次取出1个作检查(检查完后不再放回),直到2个次品都找到为止.则经过4次检查恰好将2个次品全部找到的概率是( ) (A)1214 (B) (C) (D) 1515515

.解:经过4次检查恰好将2个次品全部找到?第4次抽取的是次品,且前3次中恰有一次抽取的是次品.建立排列模型:6个产品抽取4个的排列数=A6;其中满足条件的排列数=A2A3A4(先从2个次品中选一个排在第4位,再把另一个次品排在前三位中,最后从个正品中选个排在余下2位),故所求概率=112A2A3A4

4A64112=1.故选(C). 5

③(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)有20张卡片上分别写有数字1,2,?,20,将它们放入一个盒子内.有4个人从中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到5、14,则此两人在同一组的概率等于 (用最简分数作答).

解:由于已有两人分别抽到5和14两张卡片,则另外两人只需从剩下的18张卡片中抽取,共有A18种情况.抽到5和14 两人在同一组,有两种情况:①5和14为较小两数,则另两人需从15~20这6张中各抽1张,有A6种情况;②5和14为较 22

6 Y.P.M数学竞赛讲座详解 大两数,则另两人需从1~4这4张中各抽1张,有A4种情况.于是,概率为P=222A6?A4

A18=7. 51

2.①(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为( ) (A)31550 (B) (C) (D) 515881

5解:5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为3=253种.每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:第1

类,一个场馆去3人,剩下两场馆各去1人,此类的方法数为C3C5A2=60种;第2类,一场馆去1人,剩下两场馆各2人,此类的方法数为C3C5C4=90种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为31223250.选(D). 81

②(2012年全国高中数学联赛广西初赛试题)如图,用红、篮、黄三色将图中区域A、B、C、D染色,要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色,则满足区域A恰好染篮色的概率是解:先给A,B,C染色,有A3种,再给D染色,有2种(A与B中的一个同色),计有

A3×2=12种;当A染篮色时,先给B,C染色,有A2种,再给D染色,有2种(A与B中的一个同色),计有A2×2=4种.P=.

3.①(2012年上海市高中数学竞赛试题)一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答).

解:本题等价于把这5个球排成一列(其排法数=5A5

22A2A2322313=30),求相邻两个小球的颜色均不相同(其排法是从红球或白球中选

12其中一对,把黑球放其之间,然后把红球或白球中另一对插入其中,有C2C4=12)的概率=122=. 305

②(2011年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)一个盒子里有3个黑球和4个白球,现从盒子里随机每次取出一个球,取出后不再放回,每个球被取出的可能性相等,直到某种颜色的球全部被取出,则最后取出的是黑球的概率为( ) (A)3413 (B) (C) (D) 5727

解:最后取出的是黑球,说明至少还有一个白球未取出(否则取球己终止),所以,本题等价于把这7个球排成一列,求最后一个是白球的概率,故只需考虑最后一个位置,概率=4.选(B). 7

4.容斥原理

[例4]:(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球.则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是 .

[解析]:设集合U={5个球放入5个盒子内的放法},A={红球在红盒内的放法},B={黄球在黄盒内的放法},则|U|=5!,|A|= |B|=4!,|A∩B|=3!?红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的放法数|CU(A∪B)|=|A|+|B|-|A∩B|=78.故概率P=0.65.

[类题]:

1.①(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员,已知其中会唱歌的有2人,会跳舞的有5人.现从中选出2人,设ξ为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数,且P(ξ>0)=则n= .

解:设|U|=n,|A|=2,|B|=5,U=A∪B,由|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|?|A∩B|=7-n≤2;若n=6,则|A∩B|=1?P(ξ>0)=77C1C1C2;若n=5,则|A∩B|=2?P(ξ>0)=2

23+2=.故n=5. 21010C5C511C1C52C67,10≠

②(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有六张分别写有数字1,2,3,4,5,6的卡片,每次从中抽取一张,记下上面的

Y.P.M数学竞赛讲座详解 7 数字,然后放回.这样取了4次,则抽到的最大数与最小数的差等于5的概率为__________.

解:要使抽到的最大数与最小数的差等于5,就是在4次抽取中6和1都必须抽到过.4次抽取可能出现的结果有6种,在这6种结果中,没有抽到1的有5种,没有抽到6的有5种,1和6都没有抽到的有4种.从而1与6都抽到过的结果有6-2×5+4=302种.故所求概率为4444444430264=151. 648

③(1972年美国数学奥林匹克(USAMO)试题)假设一个随机数选择器只能从1,2,?,9这九个数字中选择一个,并且以等概率做这些选择.试确定在n(n>1)次选择后,选出的n个数的乘积能被10整除的概率.

解:设集合A:“n次选择中没有数字5的选法”,集合B:“n次选择中没有数字2,4,6,8的选法”,则|A|=8,|B|=5,|A∩B|=4,由容斥原理知,|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=8+5-4?n次选择中有数字2,5的选法=|A∩B|=9-(8+5-4)?选出的n个数的乘积能被10整除的概率=9n?(8n?5n?4n)

9nnnnn9nnnn5.

2.①(2011年美国数学邀请赛(AIME)试题)有九位代表来自三个不同的国家,每个国家三人.他们随机地选择有九把椅子的圆桌.若每位代表旁至少有来自另外国家的一位代表的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

9A9

333A3A3A3解:设集合A,B,C分别是第一、二、三个国家的代表坐在相邻座位的坐法,则他们随机地的坐法数==1680,|A|(从

九把椅子中选一把给第一个国家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐,然后从余下的六把椅子中选三把安排第二个国家的代表就坐,第三个国家坐余下的三把椅子)=9C6,同理可得:|B|=|C|=9C6;|A∩B|(从九把椅子中选一把给第一个国家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐,然后从余下的六把椅子中选一把给第二个国家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐(有4种),第三个国家坐余下的三把椅子)=9×4,同理可得:|B∩C|=|C∩A|=9×4;|A∩B∩C|=9×2.由容斥原理知,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|=450?m45041=1-=?m+n=97. n16805633

②(2009年全国高中数学联赛山东初赛试题)随机地投掷4颗骰子,其中有两颗骰子所示数字之和为9的概率为 .

解:4颗骰子的每次投掷所示结果为一基本事件,X记全部基本事件的集合.显然有|X|=6,里|X|表示集合X所含元素的个数,对于每一个i,i=1,2,?,6},定义集合Ai:Ai={4颗骰子所示之数中没有i的所有基本事件}.因9=3+6=4+5,所以每次投掷结果中有两颗骰子所示数字之和为9的集合记为B,则B=A3?A6∪A4?A5.|A3?A6|=|X|-|A3∪A6|=|X|-(|A3|+|A6|- |A3∩A6|=6-(5+5-4)=302;同理有|A4?A5|=302,从而得|B|=|A3?A6|+|A4?A5|-|A3?A6∩A4?A5|=604-24=580所求概率=5806444444=145. 324

3.①(2002年美国数学邀请赛(AIME)试题)许多洲用三字母后加三位数的排序作为该洲标准的车牌号的排列模式.已知每三个字母、每三个数码的排列是等可能的概率.若车牌号中三字母或三数字中至少包含一个是“回文数”(即三字母或三数字的排列自左至右和自右至左的读法是相同的)的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

解:设事件A:“车牌号中三字母是“回文数””,事件B:“车牌号中三数字是“回文数””则P(A)=

1m17=P(A+B)(由容斥原理知)=P(A)+P(B)-P(AB)=?P(AB)=P(A)P(B)=??m+n=59. 260n105226226=1102,P(B)== 2610

②(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)将3×3方格表中每一个随机地染成蓝色或红色,染成蓝色或红色的机会均等,3×3方格表中没有的2×2红色正方形的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

P(A1∪A2∪A4∪A5)=P(A1)+P(A2)+P(A4)+P(A5)-P(A1∩A2)-P(A1∩A4)-

P(A1∩A5)-P(A2∩A4)-P(A2∩A5)-P(A4∩A5)+P(A1∩A2∩A4)+P(A1∩A2∩A5)+P(A1∩A4∩A5)+P(A2∩A4∩A5)-P(A1∩A2∩A4∩A5)= 4(

m95417141617181995

)-[4()+2()]+4()-()==?没有的2×2红色正方形的概率=1-?m+n=929.

512n51251222222

5.一一对应

[例5]:(2005年全国高中数学联赛试题)将编号为1,2,?,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上

各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法).

[解析]:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列,故共有

8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有

8!

种. 2

下求使S达到最小值的放法数:在圆周上,从1到9有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设x1,x2,?,xk是依次排列于这段弧上的小球号码,则|1-x1|+|x1-x2|+?+|xk-9|≥|(1-x1)+(x1-x2)+?+(xk-9)|=|1-9|=8,上式取等号当且仅当1<x1<x2<?<xk<9,即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此Smin=2×8=16.由上知,当每个弧段上的球号{1,x2,x3,?,xk,9}确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定.在1,2,?,9中,除1与9外,剩下7个球号2,3,?,8,将它们分为两个子集,元素较少的一个子集共有C7+C7+C7+C7=2种情况,每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法,

126

即有利事件总数是2种,故所求概率P==.

3152

6

1

2

3

6

[类题]:

1.①(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在1,2,?,2006中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 . 解:(法一)三个数成递增等差数列,设为a,a+d,a+2d,按题意必须满足a+2d≤2006?d≤1002,对于给定的d,a可以取1,2, ?,2006-2d.故三数成递增等差数列的个数为?(2006?2d)=1003×1002.三数成递增等差数列的概率为

d?11002

1003?1002

3C2006

=

3

; 4010

(法二)三个数an,am,ak成等差数列?an+ak=2am?n+k=2m?n与k同奇,或同偶,且当n与k确定后,m惟一确定.令A= {a1,a3,?,a2n-1},B={a2,a4,?,a2n}.则所取三数x,y,z成等差数列与x,z∈A,或x,z∈B成一一对应,故不同等差数列的个数=An+An=2An,成递增等差数列的个数=An.本题中,n=1003,概率为

2

2

2

2

2A1003C2006

=

3

. 4010

②(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)从集合{1,2,3,?,20}中任选3个不同的数排成一个数列,则这个数列为等差数列的概率是( ) (A)

1112 (B) (C) (D) 76381919

2

2A103A20

解:本题中,n=10,概率为=

1. 38

③(2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率是_______. 解:本题中,n=3,概率为

2A3C6

=

3. 10

2.①(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)圆周上有10个等分点,则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形

Y.P.M数学竞赛讲座详解 9

中,梯形所占的比为( ) (A)

8412 (B) (C) (D) 21211267

4

解:任选4点,共有C10=210个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取,也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取,去除矩形,梯形共有60个,所以,梯形所占的比为

2

. 7

②(2008年上海市高中数学竞赛试题)有一个19×19的正方形棋盘,从中任取2条水平线,2,条垂线,围成的图形恰好是正方形的概率是________.

解:在n×n的正方格中,长方形的个数=在n+1个横边中,任取2个,然后在其中一个横边上的n+1个点中,任取2个=(Cn+1);其中:边长为1的正方形有n个,边长为2的正方形有(n-1)个,?, 边长为n的正方形有1个,故正方形的个数=n+(n-1)+

1

n(n?1)(2n?1)

1134n?22?+1=n(n+1)(2n+1)?概率==.本题n=19,P=. 226903n(n?1)(Cn?1)

2

2

2

2

22

2

3.①(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)将1,2,?,9随机填入右图 正方形ABCD的九个格子中,则其每行三数,每列三数自上而下、自左而右 顺次成等差数列的概率P= .

解:把1,2,?,9的任意一个排列a1a2?a9分成三段a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,然后

把这三段顺次填入表中的一、二、三行中,这样1,2,?,9的一个排列与表中的一种填法构成一一对应(多排问题单排法),所以任意填法数为9!.{(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)},{(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)}分别有4种(上、下、左、右不同的填法)填入法.故P=

8

. 9!

②(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)从1,2,3,?,10这10个号码中任意抽取3个号码,其中至少有两个号码是连续整数的概率是__________.

解:记取得三个互不相邻的号码分别为(m,n,k)(1≤m<n<k≤10),则(m,n-1,k-2)(1≤m<n-1<k-2≤8),即从集合{1,2,?,8}中取三数,概率=

33C10?C83C10

=

8. 15

6.不定方程

[例6]:(2004年全国高中数学联赛试题)一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所

出现的点数之和大于2,则算过关.问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?

(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体.抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数).

n

[解析]:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的.

(Ⅰ)因骰子出现的点数最大为6,而6×4>2,6×5<2,因此,当n≥5时,n次出现的点数之和大于2已不可能.即这是一个不可能事件,过关的概率为0.所以最多只能连过4关;

(Ⅱ)设事件An为“第n关过关失败”,则对立事件An为“第n关过关成功”.第n关游戏中,基本事件总数为6个. 第1关:事件A1所含基本事件数为2(即出现点数为1和2这两种情况)?过此关的概率为:P1=1-p(A1)=1-1

1

1

n

4

5

n

22=; 63

第2关:事件A2所含基本事件数为方程x+y=a当a分别取2,3,4时的正整数解组数之和.即有C1+C2+C3=6?过此关的概率为:P2=1-P(A2)=1-66

2

=

5; 6

2

2

2

2

2

2

第3关:事件A3所含基本事件为方程x+y+z=a当a分别取3,4,5,6,7,8时的正整数解组数之和.即有C2+C3+C4+C5+C6+C7=

10 Y.P.M数学竞赛讲座详解 56?过此关的概率为:P3=1-P(A3)=1-5663=202520100.故连过前三关的概率为:P1P2P3=××=. 273627243

[类题]:

1.①(原创题)等可能的随机抽取集合N={1,2,3,?,n}(n≥7)的一个三元子集,则所取三元子集满足:“任意两元素之差的绝对值不小于3”的概率是 .

我们称子集A为N的“好子集”,则这样的“好子集”的个数为 .

解:设抽取集合A={a1,a2,a3},其中a1<a2<a3,且a3≥a2+3≥a1+6.另设小于或等于a1的数的个数记为x1;大于a3,且小于或等于a2的数的个数记为x2;大于a2,且小于或等于a3的数的个数记为x3;大于a3的数的个数记为x4,则x1+x2+x3+x4=n(x1≥1,x2≥3,x3≥3,x4≥0),令y1=x1,y2=x2-2,y3=x3-2,y4=x4+1,则y1+y2+y3+y4=n-3.故这样的集合A的个数=不定方程y1+y2+y3+y4=n-3

3正整数解的组数=Cn?4.概率=3Cn?4

3Cn.

②(原创题)将20个相同的小球等可能的随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,则每个盒内的球数不小于盒子的编号数的概率是 .

解:设编号为1,2,3,4的盒子中分别放入x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=20,其中非负整数解的组数=C23;且满足xi≥i(令yi=xi-

3i+1,则y1+y2+y3+y4=14)正整数解的组数=C13=286.概率=3286

3C23=26. 161

③(原创题)3个人随机坐在一条有9个座位的长椅上,则相邻两人之间至少有两个空位的概率是 . 解:三人坐下后,把空位从左到右分成四部分,设这四部分的空位个数分别为x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=6,且x1≥0,x2≥2,

333x3≥2,x4≥0,令y1=x1,y2=x2-2,y3=x3-2,y4=x4,则y1+y2+y3+y4=2,非负整数解个数=C5,不同的坐法有A3=60种.概率=C5603A9=

5. 42

2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)将正整数1,2,3,4,5,6,7任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数的和与第二组数的和相等的概率是 .

解:因为U={1,2,3,4,5,6,7}的每一个分组U=X∪CUX与U的非空真子集X构成一一对应,所以分组数为2-2;因1+2+3+4+5+ 6+7=28,所以X中数的和=14,无两数和等于14,x1+x2+x3=14(1≤x1<x2<x3≤7)的解:(1,6,7),(2,5,7),(3,5,6),(3,4,7);x1+ x2+x3+x4=14(1≤x1<x2<x3<x4≤7)的解:(1,2,5,6),(1,2,4,7),(1,3,4,6),(2,3,4,5).共8组,故所求概率=8

2?27=4. 63

②(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一项“过关游戏”的规则规定:在第n关要抛一颗骰子n次,如果这n次抛

n掷所出现的点数之和大于2,则算过关.则连过前3关的概率为_________.

3.①(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试试题)从1到9这九个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,则这个三位数能被3整除的概率为 .

解:三位数能被3整除?三个数字a,b,c和被3整除?a+b+c=6,9,12,15,18,21,24.①a+b+c=6?(a,b,c)=(1,2,3),1个;②a+b+c=9?(a,b,c)=(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4),3个;③a+b+c=12?(a,b,c)=(1,2,9),(1,3,8),(1,4,7),(1,5,

6),(2,3,7),(2,4,6),(3,4,5),7个;④a+b+c=15?(a,b,c)=(1,5,9),(1,6,8),(2,4,9),(2,5,8),(2,6,7),(3,4,8),(3, 5,7),(4,5,6),8个;⑤a+b+c=18?(a,b,c)=(1,8,9),(2,7,9),(3,6,9),(3,7,8),(4,5,9),(4,6,8),(5,6,7),7个;⑥a+b+c=21?(a,b,c)=(4,8,9),(5,7,9),(6,7,8),3个;⑦a+b+c=24?(a,b,c)=(7,8,9),1个.共30个.P=330A3

3A9=5. 14

②(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)一枚骰子掷四次,后三次的点数都不小于上一次的点数的概率为

求m+n. m((m,n)=1),n

解:一枚骰子掷四次有6种结果;设掷骰子四次得到的点数分别为x1,x2,x3,x4(x1≤x2≤x3≤x4).考虑x4-x1=n(0≤n≤5); 4

Y.P.M数学竞赛讲座详解 11 ①若x4-x1=0,则x1与x4有6种,x2与x3有1种取法,计6×1种;②若x4-x1=1,则x1与x4有5种,x2与x3有3种取法,计5×3种;③一般地,若x4-x1=k,则x1与x4有6-k种,x2与x3有Ck+2(x2与x3可从x1,x1+1,?,x2=x1+k共k+1个中选2个(允许重复)=(k

2+1)+Ck+1=Ck+2)种取法,计(6-k)Ck+2种;因此,?(6?k)Ck?2=126.22225

k?0m1267=4=?m+n=79. 72n6

7.对立事件

[例7]:(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)骰子是一个质量均匀的立方体,6个面上分别刻有1,2,3,4,5,6.现在桌面上有3枚骰子分别为木制、骨制、塑料制的,重复下面操作,直至桌面上没有骰子:将桌面上的全部骰子掷出,然后去掉那些奇数点的骰子.求完成以上操作的次数多于三次的概率.

[解析]:先考虑至多三次完成操作的概率,其中:①第一次有3枚骰子出现奇数点的概率为C33(1)3(此时仅一次即完成操2

作);②第一次有2枚骰子出现奇数点,且二次或三次完成操作的概率为C3(

数点,且二次或三次完成操作的概率为C3(

率为C3(01213112)[+()];③第一次有1枚骰子出现奇22213212)[C2()+;④第一次有3枚骰子出现偶数点,且二次或三次完成操作的概2213)(此时).综上,至多三次完成操作的概率为故完成以上操作多于三次的概率为 2

[类题]:

1.①(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)同时投掷三颗骰子,至少有一颗骰子掷出6点的概率是 (结果要求写成既约分数).

解:考虑对立事件,P=1-(5391)=. 2166

②(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)从3名男生和n名女生中,任选3人参加比赛,已知3人中至少有1名女生的概率为34.则n=__________. 35

3C3

Cn?3解:考虑对立事件,1-=343?Cn+3=35?n=4. 35

③(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)某班共有30名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 (结果用最简分数表示).

解:考虑对立事件,P=1-2C28

2C30=19. 145

2.①(2010年上海市高中数学竞赛试题)设甲袋中有4只白球、5只红球、6只黑球,乙袋中有7只白球、6只红球、2只黑球.若从两袋中各取一球,则两球颜色不同的概率是 (用最简分数作答).

解:两球颜色相同的概率=4?7?5?6?6?2141431==. ?两球颜色不同的概率=1-15?15454545

②(2010年上海市高中数学竞赛试题)已知由1,2,?,1000这1000个正整数构成的集合A,先从集合A中随机取一个数 a,取出后把a放回集合A,然后再从集合A中随机取一个数b,求

1000a1>的概率. b3

a111a1解:≤?a≤b?a≤[b]?P(≤)==b333b31000?10001?[3b]b?1332k?1?3k?333?333

1000=3331667a1a1. ?P(>)=1-P(≤)=20002000b3b3

3.①(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y=

[1,+∞)上为增函数的概率是 .

23mx-nx+1在3

12 Y.P.M数学竞赛讲座详解 解:函数y=232mx-nx+1在[1,+∞)上为增函数?y??=2mx-n≥0在[1,+∞)恒成立?2m-n≥0.但符合2m<n条件的有(1,3), 3

65=. 366(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)共6种,故概率=1-

②(1979年美国数学竞赛(AMC)试题)任意选择一对有序整数(b,c),其中每一个整数的绝对值小于或等于5,每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的.方程x+bx+c=0没有相异正实根的概率是 .

解:“没有相异正实根”的对立事件“有相异正实根”?b-4c>0,b<0,c>0?(b,c)=(-3,1),(-4,1),(-5,1),(-3,2)(-4,2), (-5,2),(-4,3),(-5,3),(-5,4),(-5,5),共10对;概率=1-1011222=111. 121

8.事件关系

[例8]:(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)如图是一个由3×4个单位方格组成的街道地图,线条为

道路.甲从A(0,0)点出发按最短路程走向B(4,3),

乙从B点按最短路程走向A点,如果他们同时出发并且以相同的速度前进,那么,甲和乙在路上相遇的概率是多少?

[解析]:设甲乙经过一个单位长的线段需要时间T=1如图不难算出,甲从A出发,当T=3时,到达点P1(0,3),P3(1,2),

1331P5(2,1),P7(3,0),同理,乙从B点出发,当T=3时,到达点P2(1,3),P4(2,2),P6(3,1),P8(4,0)的概率8888

13311111,,甲和乙在路段P1P2上相遇的概率是:甲经过P1P2的概率×乙经过P1P2的概率=×(×=同理;甲和8888882128

乙在路段P2P3上相遇的概率为

在路段P5P6上相遇的概率为399;甲和乙在路段P3P4上相遇的概率为;甲和乙在路段P4P5上相遇的概率为甲和乙256256256931甲和乙在路段P6P7上相遇的概率为甲和乙在路段P7P8上相遇的概率为.综上所述.256256128

139993137甲和乙在路上相遇的概率为+++= 128256256256256256128256

[类题]:

1.①(1994年美国数学竞赛(AMC)试题)一袋正在爆的玉米,其中

有211是白粒的,是黄粒的,又知白粒的有会爆开,黄粒的3322会爆开.今从袋中任选一粒放锅中发生爆花,则它是白粒玉米的概率是 . 3

1

2221113解:会爆白粒玉米占×=,会爆黄粒玉米占×=,则在会爆的玉米中是白粒玉米的概率==. 5393233?39

②(2011年上海市高中数学竞赛试题)甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜;乙必须再胜3 局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为1,则甲最后获胜的概率是 . 2

1213)+2()+ 22解:设每局比赛甲胜的事件为A,则甲最后获胜的概率P=P(AA)+P(AAA+AAA)+P(AAAA+AAAA+AAAA)=(

3(1411)=. 216

③(1983年美国数学竞赛(AMC)试题)事件A出现的概率是32,事件B出现的概率是,设P是A和B同时出现的概率,那么包 43

Y.P.M数学竞赛讲座详解 13 含的区间是 .

解:因P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=5523232+-P;由P(A+B)≤1?P≥;由P(A+B)≥max{P(A),P(B)}=?P≤.P∈[,]. 121234343

2.①(2009年美国数学邀请赛(AIME)试题)抛一枚硬币,设正面朝上的概率为p(0<p<1),背面朝上的概率为1-p.现抛该硬 币8次,其中,3次正面朝上5次背面朝上的概率是5次正面朝上3次背面朝上的

解:C9p(1-P)=335m1.令p=(m,n∈N+,(m,n)=1),求m+n. n2515553C9p(1-P)?p=?m+n=11. 256

②(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)在一次投篮测试中,每人只要投中3个,即为合格,不用再投,不过每人至多只能投5次.一投篮命中率为2的球员,其测试合格的概率为 . 3

3解:3次投篮投中3个的概率=C3(

5次必命中)的概率=C4(22322222);4次投篮投中3个(第4次必命中)的概率=C3()(1-);5次投篮投中3个(第3333222222322222222226432)(1-).其测试合格的概率=C3()+C3()(1-)+C4()(1-)=. 333333333381

3.①(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)甲队在某足球联赛中要和其他六支队伍各比赛一场.已知甲队在任何一场比赛中胜、负、平的概率都为m1.设甲队在这六场比赛中胜的场数多于负的场数的概率为((m,n)=1),求m+n. n3

1

36解:设甲队胜多负少的概率为p,胜负一样的概率为q,则甲队胜少负多的概率也为p?2p+q=1.①全是平局的概率=();

②一胜一负的概率=C6C5();③二胜二负的概率=C6C4();④三胜三负的概率=C6()?q=(1+30+90+20)(

?p=981(1-q)=?m+n=341. 2432111362213631361647)= 2433

②(2009年美国数学邀请赛(AIME)试题)戴维和琳达各自掷六面骰子.当掷出“6点”时停止掷骰子.记两人掷骰子次数至多相差一次的概率为m((m,n)=1),求m+n. n

解:因第k次才出现“6点”的概率Pk=(115k-11).①若戴维掷一次即停止,则琳达应掷一次,或二次,概率为P1(P1+P2)=3;666

91m119152k-3②若戴维掷k次即停止,则琳达应掷k-1次,或k次,或k+1次,概率为Pk(Pk-1+Pk+Pk+1)=()?=+n6666k?2?(6)2k?3= ?5

1163+91

6458=??m+n=41. 2331?()6

9.计数事件

[例9]:(2012年全国高中数学联赛试题(B卷))一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字1,2,?,6,每次投掷这样两个相同的骰子,规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数.那么,投掷3次所得3个点数之积能被14整除的概率是 (用最简分数表示).

[解析]:(法一)易知,在一次投掷中,投出的点数是7的概率为

是奇数但不是7的概率为611=,投出的点数是奇(偶)数的概率为?投出的点数3662111-=.在3次投掷中,记“仅有一次投出的点数是7,另两次中至少有一次投出的点数是偶数” 263

为事件A,“有两次投出的点数都是7,另一次投出的点数是偶数”为事件B,显然A与B互斥.故所求事件为C=A+B.因为

14 Y.P.M数学竞赛讲座详解 P(A)=C3×1111127121171112[C2××+()]=,P(B)=C3()×=+=; ?P(C)=P(A)+P(B)=623224622424243

(法二)在3次投掷中,记“至少有一次投掷的点数是偶数”为事件A,“至少有一次投掷的点数是7”为事件B,则所求事件为C=A?B=A∩B?C=A∪B?P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=(1-136316321)+(1-)-(-)=?P(C)=. 23623633

[类题]:

1.①(2011年全国高中数学联赛广西初赛试题)在1~2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)1831673 (B) (C) (D) 4100010004

2000333<334,知P(A)=.而6与462000解:设事件A为“取到的数能被6整除”,事件B为“取到的数能被4整除”.由333<

的最小公倍数为12,166<

P(A)-P(AB)=167. 10002000166<167,所以,恰有166个数既能被6整除又能被4整除,即P(AB)=.因此所求概率为122000

②(2005年美国数学邀请赛(AIME)试题)某饭店为3位客人准备了早餐,每份早餐包括三种不同的饭团,一个坚果的、一个奶酪的、一个水果的.厨师在做这9个饭团时,给这9个饭团都做了包装,而一旦包装后,饭团的类型就无法区分了.厨师随机地给3位客人的餐包里各放了3个饭团.若三位客人均能得到三种不同饭团的概率为

解:第一位客人得到三种不同饭团的概率为13(C3)

C9m((m,n)=1),求m+n. n=9(C1)32;第二位客人得到三种不同饭团的概率为2=;第三位客人得285C6

到三种不同饭团的概率为1?m92=××1?m+n=79. n285

2.(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体的4个面分别写着1,2,3,4,将4个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 .

解:事件“4个数均为奇数”的概率P1=(1411311131)=;事件“3个数为奇数,1个数为2”的概率P2=C4()=.故P=1-P1-P2=. 21624816

3.(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)标号1,2,?,13各4种颜色的卡片,共计52张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的盒子,若某个盒子中,有两张空白卡片,4张1,且2,3,?,13号卡片各一张,称该盒是“超级盒”.则出现超级盒的概率为 (列出算式即可).

解:先考虑一张空白卡片肯定要放入一个盒中,第二张空白卡也放入该盒的概率为

的过程是从剩余的48张卡片中取出12张,每个号码恰取一个的概率为112(C4)

12C48114,4个1放入该盒的概率为(),以后33112114(C4)(). 1233C48?出现超级盒的概率为

10.递推概率

[例10]:(2006年全国高中数学联赛山东初赛试题)中国男子篮球甲级联赛的规则规定:每场比赛胜者得2分,负者得1分(每场比赛,即使通过加时赛也必须分出胜负).某男篮甲级队实力强劲,每场比赛获胜的概率为31、失利的概率为.求该 44队在赛程中间通过若干场比赛获得n分的概率(设该队这一赛季的全部比赛场次数为S,这里0<n≤S).

[解析]:设经过若干场比赛,该队获n分的概率为pn,则有p1=,p2=p12+=

=433n+(-). 77414341313;当n>2时,有Pn+1=Pn-1+Pn-2(2<n≤S)?Pn 1644

Y.P.M数学竞赛讲座详解 15 [类题]:

1.①(2003年美国数学邀请赛(AIME)试题)一只蚂蚁从等边三角形的一个顶点开始爬行,每次爬行可随机选择向另一个顶点沿边线爬行.假设蚂蚁第十次爬回起始顶点的的概率为

m

((m,n)=1),求m+n. n

解:设蚂蚁第n次爬回起始顶点的的概率为Pn,则P0=1,P1=0,又第n-1次不在起始顶点,而在另外2个点上的概率为1-Pn-1,从

171112n?1?(?1)n

而第n步回到起始顶点的概率为(1-Pn-1)?Pn=(1-Pn-1)?Pn=?P10=?m+n=683. n?1512223?2

②(1985年美国数学邀请赛(AIME)试题)设正四面体的四个顶点是A,B,C,D,各棱长为1米.有一个小虫从点A开始按以下规则前进:在每一个顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这个棱的尽头.设它爬了7米以后位于顶点A的概率为

n

,求n的值. 729

解:设它爬了n米以后位于顶点A的概率为Pn,则P0=1,P1=0,又第n-1步不在点A,而在另外n-1个点上的概率为1-Pn-1,从而第n

182113n?1?(?1)n

步回到点A的概率为(1-Pn-1)?Pn=(1-Pn-1)?Pn=?P7=?n=182. n?1729334?3

2.(1994年美国数学邀请赛(AIME)试题)一种单人纸牌游戏,其规则如下:将6对不相同的纸牌放入一个书包中,游戏者每次随机地从书包中抽牌并放回,不过当抽到成对的牌时,就将其放到一边.如果游戏者每次总取三张牌,若抽到三张牌的中两两互不成对,游戏就结束;否则抽牌继续进行直到书包中没有牌为止.设书包空的概率为解:设书包中有n(n≥2)对不相同的纸牌,第一次抽取的三张牌书中有2张成对的概率为

m

((m,n)=1),求m+n. n

11CnC2n?23C2n

=

3

;设包空的概率为2n?1

Pn,则P2=1(抽到三张牌的中不可能两两互不成对,故游戏不结束,即直到书包空),P(n)=

?P(n)=

93n?2

?P(6)=?m+n=394.

3855?7????(2n?3)(2n?1)

3

P(n-1)(即逐次减少一对) 2n?1

3.(《中等数学》.2012年第6期.数学奥林匹克高中训练题(154))已知条100线段的长度集合N={x||x-50|≤50,且x∈N+}.试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率.

解:|x-50|≤50?0≤x≤10?N={1,2,?,100},本题转化并一般化为:从集合N={1,2,?,n}中任取三个数,且其中两个较小数的和大于最大数的取法有an,易得a3=0,a4=1,对于an+1:

Ⅰ:所取三数中没有n+1,此时有an种;Ⅱ:所取三数中有n+1,此时分类如下表: 由表知需分两种情况:

①当n为偶数时,表中个数和=(n-2)+ (n-4)+?+2=

n(n?2)n(n?2)

?an+1=an+

44

②当n为奇数时,表中个数和=(n-2)+ (n-4)+?+3+1=

(n?1)2(n?1)2

,an+1=an+; 44

⑴当n为偶数时,an+2=an+1+

8

2

n2n(n?1)n(n?2)n2122

=an++=an+?an=a4+(a6-a4)+(a8-a6)+?+(an-an-2)=1+[(4-4)+(6-6)+ 44242

2

2

(8-8)+?+((n-2)-(n-2))]=1+2[2+3+?+(

n?22n?2n?22n?2222

)]-(3+4+?+)=2[1+2+3+?+()]-(1+3+4+?+)= 2222

n?2n?2n?2n?2n?2

(?1)(2??1)(?1)

165a2-=n(n-2)(2n-5);本题P=100=.

2413262C100

16 Y.P.M数学竞赛讲座详解

(n?1)(n?1)1(n?1)2(n?1)(n?1)n(n?1)2⑵当n为奇数时,an+2=an+1+=an++=?an=a3+(a5-a3)+(a7-a5)+?+(an-an-2)=0+[(3- 44224

3)+(5-5)+?+((n-2)-(n-2))]=

22222222n?12n?12111n?12222[(1+3+5+?+(n-2)-(1+3+5+?+(n-2)]={[4()-1]-()}=?. 22223222注:1+3+5+?+(2n-1)=4(1+2+3+?+n)-4(1+2+3+?+n)+(1+1+1+?+1)=4n(n?1)(2n?1)n(n?1)12-4+n=n(4n-1). 623

11.数学期望

[例11]:(2008年全国高中数学联赛试题)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一 人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为( ) (A)266247670241 (B) (C) (D) 81818181

2

31321,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则 33[解析]:(法一)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为()2+()2=

5.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从9

而有P(ξ=2)=

(B). 555201652016266,P(ξ=4)=(1-)=+6×=.选?P(ξ=6)=1-P(ξ=2)-P(ξ=4)=?Eξ=2×+4×81999818198181

(法二)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.令An表示甲在第n局比赛中获胜,则An表示乙在第n局比赛中获胜.由独立性

520,P(ξ=4)=P(A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A2A3A4+A1A2A3A4)=?P(ξ=6) 981

1652016266=1-P(ξ=2)-P(ξ=4)=+6×=.选(B). ?Eξ=2×+4×818198181与互不相容性得P(ξ=2)=P(A1A2+A1A2)=

[类题]:

1.①(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)随机抛掷一颗6个面分别刻有1,2,3,4,5,6个点的骰子,其出现(即向上一面)的点数的数学期望值为( )

(A)3 (B)3.5 (C)4 (D)4.5 解:1×111111+2×+3×+4×+5×+6×=3.5. 666666

②(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门打开的锁打开.设抽取钥匙是相互独立且等可能的,每把钥匙试开后不再放回,求试开次数ξ的分布列及数学期望Eξ.

解:P(ξ=1)=1A1

1An,P(ξ=2)=1An?12An,P(ξ=3)=2An?13An,?,P(ξ=n)=n?1An?1nAn,Eξ=n?1. 2

2.①(2008年全国高中数学联赛安徽初赛试题)将6个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各2个)随机放入3个盒子中,每个盒子中恰好放2个小球,记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求η的分布.

解:η的所有可能的取值为0,1,2,3;将6个形状大小相同的小球随机放入3个盒子中,共有C6C4C2=90种放法;其中:①三 盒中小球颜色均相同的有A3=6种放法;②恰有二盒中小球颜色均相同的有0种放法;③恰有一盒中小球颜色均相同的有C3A3A2A2=36种放法?P(η=3)=11223222613628=,P(η=2)=0,P(η=1)==?P(η=0)=1-[P(η=3)+P(η=2)+P(η=1)]=. 901590515 ②(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)盒子里装有大小相同的球8个,其中三个1号球,三个2号球,两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球,放回后第二次再任取一个球,记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量ξ,则ξ的数学期望Eξ= .

Y.P.M数学竞赛讲座详解 17

解:ξ可能取的值是1,2,3,4,6,9;P(ξ=1)=P(ξ=9)=

11C2C2

11

C3C3

82

;P(ξ=2)=

11

2C3C3

8;P(ξ=3)=

11

2C3C2

8;P(ξ=4)=

11

C3C3

82

;P(ξ=6)=

11

2C3C2

8;

82

?Eξ=

27

. 8

3.①(2009年全国高中数学联赛试题)某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为

到站时刻 概率

8:10 9:10

1 6

8:30 9:30

1 2

8:50 9:50

1 3

一旅客8:20到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到1分). 解:

候车时间的数学期望为10×

+30×+50××+80××+90××=27. 23662636

②(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)如图记从“田字型”网格(由四个边长为1的正方形组成)的9个交点中任取3个点构成的三角形面积为ξ(当所取的三点共线时ξ=0),则ξ的期望Eξ解:依题意知,ξ的所有可能值为0,

3

13184C3?8?232

,1,,2.P(ξ=0)=3(6条边和2条对角线);P(ξ=)=43=3(每个小正222C9C9C9

方形上有C4个,以小正方形的每条对角线为底边,高为

4?3?2?6?2?4322

的有2个);P(ξ=1)==3(以大正方形的一边32C9C9

34

)=(△AHF、△CDH、2C9

5

. 6

为底边的均有3个,分别以DF、BH为底边的均有6个,分别以AI、CG为底边的均有4个);P(ξ=△GBF、△IBD);P(ξ=2)=

4?3?4

3C9

=

8

3C9

(以大正方形的一边为底边的均有3个,其中4个被重复计算)?Eξ=

12.条件概率

[例12]:(2006年全国高中数学联赛试题)袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1个白球,则

第4次恰好取完所有红球的概率为 .

1

.前3次10

[解析]:第4次恰好取完所有红球?第4次恰好取红球,且前3次中恰有1次取红球.第4次取红球的概率=

中恰有1次取红球的概率=第1次取红球的概率+第2次取红球的概率+第3次取红球的概率=

29282()+××10101010

98222928298221

+(),故第4次恰好取完所有红球的概率为[()+××+()]=0.0434. 1010101010101010101010

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)有5个乒乓球,其中有3个是新球,2个是旧球(即至少用过一次的球).每次比 赛,都拿其中的2个球用,用完后全部放回.设第二次比赛时取到新球的个数为ξ,则ξ的数学期望Eξ= . 解:设第一次比赛时取到新球的个数为η,则P(η=0)=为0,1,2;P(ξ=0)=P(η=0)

2

C22C5

2C22C52C42C5

==

163C1C1C2,P(η=1)=322=,P(η=2)=3=,ξ的所有可能值2101010C5C5

+P(η=1)

2

C32C5

+P(η=2)

37C1C1C1C1C1C1

,P(ξ=1)=P(η=0)322+P(η=1)223+P(η=2)124 100C5C5C5

18 Y.P.M数学竞赛讲座详解 =254918C2C2,P(ξ=2)=P(η=0)3+P(η=1)=. ?Eξ=10025C5C5100

2.(2012年全国高中数学联赛福建初赛试题)有14个大小、形状相同的球,其中7个红球,7个白球.它们分别装在甲、乙两个盒子内,其中甲盒子内装有4个红球,3个白球,乙盒子内装有3个红球,4个白球.现从甲盒子内随机摸出一个球放入乙盒子内,再从乙盒子内随机摸出一个球放回甲盒子内,记此时乙盒子内红球的个数为ξ,则ξ的数学期望Eξ= . 解:设从甲盒子内随机摸出红球的事件为A,则P(A)=

P(A)×439,ξ的所有可能值为2,3,4,则P(ξ=2)=P(A)×=,P(ξ=3)= 7856453141625+P(A)×=,P(ξ=4)=P(A)×=. ?Eξ=88568568

3.(2003年全国高中数学联赛山东初赛试题)在一场篮球比赛临终场还有0.1秒时,A队获得一个两次罚球的机会,当时A队以100:101落后.关于该队罚球队员两次罚球命中率的统计资料显示:其第一投的命中率为0.6.若第一投命中,则其第二投的命中率为0.8;若第一投不中,则其第二投的命中率为0.7.该队罚球后得分的数学期望值为 .

解:以ξ记该队最终的得分数,则P(ξ=100)=04×0.3=0.12,P(ξ=101)=0.6×0.2+0.4×0.7=0.4,P(ξ=102)=0.6×0.8= 0.48.Eξ=100×0.12+101×0.4+102×0.48=101.36.

13.典型分布

[例13]:(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知7件产品中有4件正品和3件次品.

(Ⅰ)从这7件产品中一次性随机抽取3件,求正品件数不少于次品件数的概率;

(Ⅱ)从这7件产品中一次性随机抽取5件,记其中次品件数为ξ,求ξ的数学期望.

[解析]:(Ⅰ)从这7件产品中一次性随机抽取3件的结果数为C73,其中正品件数不少于次品件数的结果数为C42C32+C43,则所求随机事件的概率为P=22; 35

41C4C3

5C7(Ⅱ)次品件数为ξ的所有可能取值为1,2,3;P(ξ=1)==115C3C24C2C32,P(ξ=2)=453=,P(ξ=3)=453=,故Eξ=. 7777C7C7

[类题]:

1.①(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)在5件产品中有4件正品、1件次品.从中任取2件,记其中含正品的个数 个数为随机变量ξ,则ξ的数学期望Eξ是( ) (A)6789 (B) (C) (D) 5555

M8=. N5解:N=5,M=4,n=2?Eξ=n

②(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为ξ,则随机变量ξ的数学期望Eξ的值为( ) (A) (B)

解:甲赢另外每个人的概率均为

=212.Eξ=2×=. 333

21342 (C) (D)1 93111411114111,P(ξ=0)=(1-)(1-)=,P(ξ=1)=(1-)+(1-)=,P(ξ=2)==,Eξ3339333393392.①(2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知随机变量奋服从正态分布N(1.5,σ),P(ξ≤2.5)=0.78,则P(ξ≤0.5)= .

解:由标准正态分布的性质:P(ξ≤0.5)=P(ξ>2.5),P(ξ≤2.5)+P(ξ>2.5)=1?P(ξ≤0.5)=1-P(ξ≤2.5)=0.22. ②(2008年湖南高考试题)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则c=( )

Y.P.M数学竞赛讲座详解 19

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解:由标准正态分布的性质:P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1)?(c+1)+(c-1)=2×2?c=2.

③(2008年安徽高考试题)设两个正态分布N(μ1,σ1)(σ1>0)

和N(μ2,σ2)(σ2>0)的密度函数图像如图所示.则有( )

(A)μ1<μ2,σ1<σ2 (B)μ1<μ2,σ1>σ2

(C)μ1>μ2,σ1<σ2 (D)μ1>μ2,σ1>σ2

解:因N(μ1,σ1)、N(μ2,σ2)的密度曲线分别关于直线x=μ1、x=μ2

对称,由图知μ1<μ2,且由密度曲线的“高瘦”知σ1<σ2.故选(A).

3.①(2007年安徽高考试题)以φ(x)表示标准正态分布在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),则概率P(|ξ-μ|<σ)等于( )

(A)φ(μ+σ)-φ(μ-σ) (B)φ(1)-φ(-1) (C)?(

解:由题意知P(|ξ-μ|<σ)=P(|???|?1)=φ(1)-φ(-1).选(B). ?1??22222?) (D)2φ(μ+σ)

②(2012年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设随机变量X~N(1,2),Y~N(3,4).若P(X<0)=P(Y>a),则a= . 解:由正态分布与标准正态分布的互换公式:p(ξ≤x)=φ(

1-φ(x??0?11)得:P(X<0)=φ()=φ(-);P(Y>a)=1-P(Y≤a)= ?22a?3a?3a?311).所以,P(X<0)=P(Y>a)?φ(-)=1-φ()?-+=0?a=3+2. 22222

14.概率综合

[例14]:(2012年全国高中数学联赛山东初赛试题)三棱锥A-BCD中△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形,△BCD在平面α内,侧棱3.现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个,并记对应的标号为f(η),(η取值为A、B、C、D),E为侧棱AB上一点.

(Ⅰ)求事件“f(C)+f(D)为偶数”的概率P1(Ⅱ)若|BE|:|EA|=f(B)+f(A),求二面角E-CD-A的平面角大于?的概率P2. 4

2[解析]:(Ⅰ)“f(C)+f(D)为偶数”?f(C)与f(D)同奇或同偶.所以P1=2A

24=; A837

(Ⅱ)取CD的中点O,则OA=3,且二面角E-CD-A的平面角=∠AOE,设AE=t?ED=AE+AD-2AE×ADcos∠BAD=t-t+4? OE=t2?3t?3.所以,∠AOE>?()2?(t2?3t?3)2?t222<?cos∠AOE<??t>3-3?f(B)+f(A)=|BE|: 42222?t?t?32222

|EA|=?t<t?1<1?P2=0. 2

[类题]:

1.①(2008年全国高中数学联赛福建初赛试题)正整数n≤500,具有性质:从集合{1,2,?,500}中任取一个元素m,使得m|n的概率是1,则n的最大值是 . 100

?1?2k解:由题设知n恰有5个小于500正约数.设n的质因数分解是n=p1p2???p?

k.则n的正约数个数为(α1+1)(α2+1)?

(αk+1)=5?k=1,α1=4?n具有p(p为质数)的形式.由于3=81,5=625>500,故n的最大值为81.

②(2010年美国数学邀请赛(AIME)试题)玛娅随机地选出两个不同的2010的正约数,两个正约数中恰有一个为完全平 2445

20 Y.P.M数学竞赛讲座详解

方数的概率为

2

m

((m,n)=1),求m+n. n

2

2

2

2

4

4

2

2

2

2

解:由2010=2×3×5×67,则n正约数个数为(2+1)=3=81;其中为完全平方数(2,3,5,67这四个数中可任取k(0≤k≤4)个)的个数为C4+C4+C4+C4+C4=2=16.

1

2

3

4

4

11

mC16C6526==?m+n=107. 2n81C81

2.①(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)(Ⅰ)设实数t>0,求证:(1+

2

)ln(1+t)>2; t

(Ⅱ)从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取张,然后放回;用这种方式连续抽取20次,设抽的20个号码互不相同的概率为p,求证:P<

1e2

.

2x

,证明:当x>0时,f(x)>0; x?2

解:本题改编于2011年全国高考试题:(Ⅰ)设函数f(x)=ln(1+x)-

(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互补相同的概率为P.证明:P<(

9191)<2. 10e

②(第八届美国数学奥林匹克(USAMO)试题)给定三只相同的n面骰子,它们的对应面标上同样的任意整数.证明:如果随机投掷它们,那么向上的三面上的数的和被3整除的概率大于或等于

1

. 4

解:本题涉及被3整除,可考虑3的剩余类.设每个骰子上除3余0的有a个,除3余1的有b个,除3余2的有c个,则0≤a,b,c≤n,a+b+c=n.随机投掷三个骰子,有n种情况;其中,和被3整除:①从余数为0的数中,取3个,有a种情况;②从余数为1的数中,取3个,有b种情况;③从余数为2的数中,取3个,有c种情况;④分别从余数为0、1、2的数中,各取1个,有abcA3=6abc种情况.所以,和被3整除的概率=

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

a3?b3?c3?6abc

n3

.而

3

a3?b3?c3?6abc

n3

3

2

2

1333

?4(a+b+c+6abc)≥4

2

2

2

(a+b+c)?a+b+c+3abc)≥ab+ac+ba+bc+ca+ab.不妨设a≥b≥c,则a+b+2abc-(ab+ac+ba+bc)=(a-b)(a+b-c)≥0;c+abc-(ca+ab)=c(a-c)(b-c)≥0,即证.

3.①(2012年全国高中数学联赛陕西初赛试题)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为等差的等差数列.则参加这项游戏活动获得奖金的期望是______元.

解:P(ξ=700)=a,P(ξ=700-140)=2a,P(ξ=700-280)=4a,a+2a+4a=1?7a=1?Eξ=700a+(700-140)×2a+(700-280)×4a =500.

②(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得1分,负者得0分;当其中一人的得分比另一人的得分多2分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过20次,即经20次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为P(0<p<1),乙获胜的概率为q=1-P.假定各次比赛的结果相互独立的,比赛经ξ次结束,求ξ的期望Eξ的变化范围.

解:以P(ξ=k)记比赛经k次结束的概率.若k为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数,因而有P(ξ=k)=0.考虑头两次比赛的结果:①甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为p+q;②甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为2pq.比赛经k次结束,k必为偶数k则1,2两次,3,4两次,?,k-3,k-2,两次均未分胜负.若k≠20,则第k-1,k两为有胜负的两次,从而有P(ξ

2

2

2

2

3

2

2

k?1

=k)=(2pq)2

(p+q);若k=20,比赛必须结束,所以P(ξ=20)=(2pq).综

2

2

229

上所述Eξ=(p+q)?2i(2pq)i?1+20(2pq).由p+q=1,令2pq=u?p+q=1-u?Eξ=(1-u)?2iui?1+20u=2

9

9

99

i?1i?1

1?u10

.因0<u≤1?u

118

?2<Eξ≤4-(). 22

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