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2013浙江数学竞赛解答

发布时间:2014-02-04 11:45:17  

2013年浙江省高中数学竞赛试题解答

一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)

1.答案 C P?{x0?x?2},Q?{xa?1?x?a?1},要使P?Q??,则a?1?2或a?1?0。解得a??1或 a?3。

2.答案 D 若??0,??90??sin??sin??1。

当????60??sin??sin???1,但????90?。

3.答案 B 计算得q?

3,a3?

4. 已知复数z?x?yi(x,y?R,i为虚数单位),且z?8i,则z?( )

A.z?2?2i B. z??2?2i

C. z??2?2i,或z?2?2i D. z?2?2i,或z??2?2i

答案 D

5. 已知直线AB与抛物线y?4x交于A,B两点,M为AB的中点,C为抛物线上一个动2272

??????????????????点,若C0满足C0A?C0B?min{CA?CB},则下列一定成立的是( )。

A. C0M?AB B. C0M?l,其中l是抛物线过C0的切线

C. C0A?C0B D. C0M?

答案 B 1AB 2

?????????????????????????????????2?????????????????????????CA?CB?(CM?AM)?(CM?BM)?CM?CM(AM?BM)?AM?BM

?????2?????2??????????CM?AM?min{CA?CB}?CMmin?CM?l。

6. 某程序框图如下,当E?0.96时,则输出的K=( )

A. 20 B. 22 C. 24 D. 25

1

,

答案 C S? 111????1?22?3k?k(?1?1??0.9?6k?1)k?12 4.

7. 若三位数abc被7整除,且a,b,c成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( )个。

A.4 B. 6 C. 7 D 8

答案 D 设三位数为(b?d)b(b?d)?111b?99d(0?b?9,?9?d?9,d?0),由 7(111b?99d)?7(b?d)?b?1,d??1;b?2,d??2;b?3,d??3;b?4,d?3,?4; b?5,d?2;b?6,d?1;b?8,d??1。所以,所有的三位数为

210,420,630,147,840,357,567,987

8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为( )。

A.

2

正视图:

正方形 2 俯视图:边长为2的

正三角形

答案 D 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。

9. 设函数f(x)?x(x?1)2(x?2)3(x?3)4,则函数y?f(x)的极大值点为( )

A.x?0 B. x?1 C. x?2 D. x?3

答案 B 由图象可知x?1为函数极大值点,x?3是极小值点,x?0,2不是极值点。

10. 已知f(x),g(x),h(x)为一次函数,若对实数x满足

??1,x??1?f(x)?g(x)?h(x)??3x?2,?1?x?0,则h(x)的表达式为( )。 ??2x?2,x?0?

11A.h(x)?x? B.h(x)??x? 22

11C.h(x)??x? D.h(x)?x? 22

?2x?2??(1)1??x?。 答案 C h(x)?22

二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空7分,共49分)

11. 若tanxtany?2,sinxsiny?

则x?y?_______2k??1, 3?

3__________。

3

解答:由tanxtany?2,sinxsiny?111?cosxcosy??cos(x?y)?,所以 362

x?y?2k???

3。

212. 已知f(x)?x,若当x?0时f(x)恒大于零,则k的取值范围为

?(k?1)x?2

______(??1)_______ 。

解答

由x?(k?1)x?2?0?k?1?x?222,x??

等号在x?

xx

k?1。

13.

数列n?1,2,?,则数列中最大项的值为

1

x1lnxx解答 f(x)?x?e?f/(x)?x(1?lnx)?x?e为极大值点,所以数列最大项为第

2x1x

14. 若x,y?R,满足2x?2xy?2y(x?x)?x?5,则x2222?3,y??2。 3

解答 把等式看成关于x的一元二次方程

2??4(y?1)2?20(2y2?2y?1)?0?(3y?2)2?0?y??,x?3。 3

15. 设直线l与曲线y?x?x?1有三个不同的交点A,B,C,

且AB?BC?则直线l的方程为_____y?2x?1____________。

解答 曲线关于(0,1)点对称,设直线方程为y?kx?1,A(x,y),

则3?y?kx?1??3?(k?2)(k2?k?2)?0?k?2。所求直线方程为y?2x?1。 ?y?x?x?1

?11?)}?

。 22ab

11112解答 max{a,b,2?2?m?a?m,b?m,2?2?m?m?

2?m ababm

11min{max(a,b,2?

2)}? ab

17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限x,y轴上的整点),其运16. 若a?0,b?0,则min{max(a,b,动规律为(m,n)?(m?1,n?1)或(m,n)?(m?1,n?1)。若该动点从原点出发,经过6步

4

运动到(6,2)点,则有__________9_________种不同的运动轨迹。

21解答 C6?C6?9.

三、解答题(本大题共有3小题,每题17分,共51分)

18. 已知抛物线y?4x,过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P,Q,

两点。证明,存在唯一一点K,使得21

PK2?1KQ2为常数,并确定K点的坐标。

解答 设K(a,0),过K点直线方程为y?k(x?a),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组

?y2?4x2(ak2?2)22222?kx?2(ak?2)x?ak?0?x1?x2?,x1x2?a2?5分 ?2k?y?k(x?a)

2?PK2?(x1?a)2?y12,KQ2?(x2?a)2?y2??????????????7分

a1?k211???22,????????????????????12分 22a(1?k)PKKQ

令a?2?111??,K(2,0)。????????????????17分 224PKKQ

219. 设二次函数f(x)?ax?(2b?1)x?a?2(a,b?R,a?0)在[3,4]上至少有一个零点,

求a?b的最小值。

解法1 由已知得,设t为二次函数在[3,4]上的零点,则有at?(2b?1)t?a?2?0,变形 222

(2?t)2?[a(t2?1)?2bt]2?(a2?b2)((t2?1)2?t2)?(a2?b2)(1?t2)2,??5分 t?2211,???????????12分 )??251?t(t?2??4)2100

t?2

523,t?[3,4]是减函数,上述式子在t?3,a??,b??因为t?2?时取等号,故t?22550

1a2?b2的最小值为。????????????????????????17分 100于是a2?b2?(

解法2 把等式看成关于a,b的直线方程:(x?1)a?2xb?x?2?0,利用直线上一点(a,b

?2(以下同

5

上)。

?1?x?20. 设x?N满足???x?2013?20142013,首项,,a20是.数列a1,a2?1公差为x2013

1?x,首项b1?(x?1)x2013

x 数列b1,b2,?,b2013是公比为a1?(x?1)2x2012?1的等差数列;

的等比数列,求证:b1?a1?b2???a2012?b2013 。

解:首先, ai?(x?1)2x2012?1?(i?1)x2013, -----------------2分

1?xi?1bi?(x?1)x2013()?(x?1)ix2014?i。-----------------4分 x

1?xibi?1?bi?x2013()????????????????6分 x

2014?i,1?i?2013。 用归纳法证明 ai?bi?x2013

2013

由于a1?b1?x2013?x2012?1?x2013,即i=1成立。????????8分 假设 1?i?2012成立, 1?xi)?(ai?bi) 则ai?1?bi?1?(ai?1?ai)?(bi?1?bi)?(ai?bi)?x2013?x2013(x

1?x2031?x2013?x2013()?(ai?bi)??x2013?(ai?bi) x2013

12013?i?12014?(i?1)??x2013?x2013?x2013。???????14分 201320132013所以,ai?bi,i?1,2,?,2013。 归纳证明bi?1?ai,i?1,2,?,2012,首先 b2?a1?1?0,假设 1?i?2011成立, 则

bi?2?ai?1?(bi?2?bi?1)?(ai?1?ai)?(bi?1?ai)

1?xi?1?x2013()?x2013?(bi?1?ai)?0。????????????????17分 x

故命题成立。

6

四、附加题:(本大题共有2小题,每题25分,共50分。)

21. 设a,b,c?R,ab?bc?ca?3,证明 ?

a5?b5?c5?a3(b2?c2)?b3(c2?a2)?c3(a2?b2)?9。

解答 原命题等价于(a3?b3?c3)(a2?b2?c2)?9,????????????10分 a2?b2?c2

3),???????????????????20分 又(a?b?c)?9(33332

故只需要证明a?b?c?3成立。???????????????????25分 利用已知条件,这是显然的。

22. 从0,1,2,?,10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”,若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法”。 试问:对图1和图2是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。

(图 1 )

解答 对图1,上述填法即为完美(答案不唯一)。????????????10分

对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰好为,1,2,3,??,10, ????? ?????????????????? 13分 其和s?a1?a2?a1?a3?a2?a3???a7?

a8?55为奇数。?????? 18分 另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。因此S应为偶数,矛盾。???????????????25分 所以,不存在完美填法。 222

7

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