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2012年全国初中数学竞赛试题(正题)

发布时间:2014-02-04 11:45:21  

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式

可以化简为( ).

(第1(甲)题)

(A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

1(乙).如果(A)

(B)

,那么 (C)2 (D)

的值为( ).

2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个

交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2) 2(乙). 在平面直角坐标系y)的个数为( ).

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,

3(甲).如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B) (C) (D)

,3(乙).如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.

AD = 3,BD = 5,则CD的长为

( ).

(第3(乙)题)

(A) (B)4 (C) (D)4.5

4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4(乙).如果关于x的方程

这样的方程的个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3

的概率为,则

(A) (B) (C)中最大的是( ). (D) 是正整数)的正根小于3, 那么

5(乙).黑板上写有

中选取2个数,然后删去共100个数字.每次操作先从黑板上的数,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).

(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是

.

(第6(甲)题)

6(乙). 如果a,b,c是正数,且满足,,那么的值为 .

,E,F分别是AB,BC的中点,AF与7(甲).如图,正方形ABCD的边长为2

DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是

(第7(甲)题) (第7(乙)题)

7(乙).如图,

且.延长,与的半径为20,分别交于是上一点.以两点,则 为对角线作矩形的值等于 . ,8(甲).如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+= 0的两个实数根分别为,

,那么 的值为.

8(乙).设为整数,且1≤n≤2012. 若

的个数为 . 能被5整除,则所有

9(甲).2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是 .

10(甲).如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与

EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为

(第10(甲)题)

10(乙).已知是偶数,且1≤≤100.若有唯一的正整数对成立,则这样的的个数为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11(甲).已知二次函数,当时,恒有;使得关于x的方程围. 的两个实数根的倒数和小于.求的取值范

11(乙). 如图,在平面直角坐标系xOy中, AO = 8,AB = AC,sin∠ABC=. CD与y轴交于点E,且S△COE = S△ADE. 已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

(第11(乙)题)

12(甲).如图,上的点,线与与交于点的直径为,且,过点.点.

,且与在内切于点.为交于点上,且,BE的延长,求证:△BOC∽△

(第12(甲)题)

12(乙).如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线, AC的中点I是△ABD的内心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;

(2)AB+AD = 2BD

.

(第12(乙)题)

13(甲).已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于?并说明理由

14(甲).求所有正整数n,使得存在正整数,满足,且

14(乙).将. (n≥2

)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数,求的最小值. (可以相同)使得

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