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同余知识

发布时间:2014-02-04 13:50:48  

【定义】两个整数a、b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a与b对于模

m同余或a同余于b模m

记作 a≡

b (mod m)

读作 a同余于b模m,或读作

a与b对模m同余。

【基本知识】设m是大于1的正整数,a

、b是整数,如果m|(a-b)

,则称a

与b关于模m

同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.

(1)若a≡0(mod m),则m|a;

(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同。

【定理】

1 反身性 a≡a (mod m)

2 对称性 若a≡b(mod m),则b≡a (mod m)

3 传递性 若a≡b (mod m),b≡c (mod m),则a≡c (mod m)

4 同余式相加 若a≡b (mod m),c≡d(mod m),则a+-c≡b+-d (mod m)

5 同余式相乘 若a≡b (mod m),c≡d(mod m),则ac≡bd (mod m) 6 乘方如果a ≡ b (mod m),那么a^n ≡ b^n (mod m)

7 若a ≡ b (mod m),n|m,则 a ≡ b (mod n)

8若a ≡ b (mod mi) i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示 m1,m2,...mn的最小公倍数 整除性

(即是说 a 和 b 之差是 m 的倍数)

换句话说,[1]

传递性

保持基本运算

这性质更可进一步引申成为这样:

除法原理

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