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第二十四讲几何的定值与最值(2014年初中数学培优提高)

发布时间:2014-02-05 12:47:28  

第二十四讲 几何的定值与最值

几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:

1.特殊位置与极端位置法;

2.几何定理(公理)法;

3.数形结合法等.

注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

【例题就解】

【例1】 如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为 .

1思路点拨 如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ=AB一常数,当CQ越小,CD2

越小,本例也可设AP=x,则PB=10?x,从代数角度探求CD的最小值.

注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置

与极端位置是指:

(1)中点处、垂直位置关系等;

(2)端点处、临界位置等.

【例2】 如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对

⌒ 于所有可能的圆的位置而言, MTN为的度数( )

A.从30°到60°变动 B.从60°到90°变动

C.保持30°不变 D.保持60°不变

思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时,其弧的度数,再证明一般情形,从而

作出判断.

注:几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,动与静是相对的,我们可以研究

问题中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,研究的量取得定值与最值.

【例3】 如图,已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b(a>b),P为AB边上的一动点,

直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.

思路点拨 设AP=x,把AP、BQ分别用x的代数式表示,运用不等式a2?b2?2ab

(当且仅当a?b时取等号)来求最小值.

【例4】 如图,已知等边△ABC内接于圆,在劣弧AB上取异于A、B的点M,设直线AC与

AK ⌒ BN

的乘积与M点的选择无关. BM相交于K,直线CB与AM相交于点N,证明:线段和

思路点拨 即要证AK·BN是一个定值,在图形中△ABC的边长是一个定值,说明AK·BN

与AB有关,从图知AB为△ABM与△ANB的公共边,作一个大胆的猜想,AK·BN=AB2,从而

我们的证明目标更加明确.

1

注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.

【例5】 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC直角边长的最大可能值.

思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX=x,CZ=y,建立x,y的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.

注:数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:

(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;

(2)构造二次函数求几何最值.

学力训练

1.如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为 ,最小值为 .

2.如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值为 .

3.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则PA?PB的最大值等于

.

4.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP

的最小值为( )

A.1 B.2 C.2 D.?1 2

5.如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( )

A.2??2 B.2?4?2 C.4??2 D.24??2

6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点,E,F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是( )

A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不改变 D.线段EF的长不能确定

7.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.(1)求证:MN∥AB;(2)若AB的长为l0cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;若不存在,请说明理由.

(2002年云南省中考题)

2

8.如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S对AB作垂线的垂足,求证:不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.

(加拿大数学奥林匹克试题)

9.已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.

(1)当点P在线段AB上时(如图),求证:PA·PB=PE·PF;

(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.

10.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是( )

25A.8 B.12 C. D.14 2

11.如图,AB是半圆的直径,线段CA上AB于点A,线段DB上AB于点B,AB=2;AC=1,BD=3,P是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是( )

A.2?2 B.1?2 C.3?2 D.3?2

12.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.

(全国初中数学联赛试题)

13.如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上的点,AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.“弘晟杯”上海市竞赛题

14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?(河南省竞赛题)

15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图如图所示).其中,正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米.

(1)设矩形的边AB=x(米),AM=y(米),用含x的代数式表示y为(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.

①设该工程的总造价为S(元),求S关于工的函数关系式.

②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案;若不能,请说明理由.

③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方案;若不能,请说明理由.

(镇江市中考题

)

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16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到1m2).

(北京市数学知识应用竞赛试题)

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