haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

新数学竞赛讲座(第四讲)

发布时间:2014-02-05 12:47:32  

数学竞赛讲座
王进良

方程

1. 求 ( x ln x ) y"? xy'? y ? 0 的通解
2

解 : 二阶变系数线性方程 显然,y1 ? x 是方程的一个解 1 ? ? p ( x ) dx y2 ? y1 ? 2 e dx 刘维尔公式 y1 ?x ? 1 ? x 2 ln x dx ? x? 2 e dx x ln x ? x ? 2 dx x 1 ? x ? ln x ? d ( ? ) x ? ? ln x ? 1 ? C

通解:y ? C1 x ? C2 (ln x ? 1)

1. 求 ( x ln x ) y"? xy'? y ? 0 的通解
2

或解 :

变量代换 x ? e t , 或t ? ln x , 则 2 1 d y dy 1 dy y" ? 2 ( 2 ? ) y' ? x dt dt x dt d 2 y dy dy t( 2 ? ) ? ( ? y) ? 0 dt dt dt du dy 则 t ? u ? 0, 其中 u ? ?y dt dt dy u ? Ct 即, ? y ? Ct dt 通解:y ? C 2e t ? C ( t ? 1) ? C 2 x ? C (ln x ? 1)

2. 解方程 x 3 ? ( y' )3 ? 3 xy' ? 0

解 : 方程参数化 令 y' ? tx, 则

3t ? x? 3 ? ? 1? t ? 2 ? y' ? 3 t 3 ? 1 ? t ? 3t 2 3(1 ? 2t 3 ) 9t 2 (1 ? 2t 3 ) dy ? y' dx ? ? dt ? dt 3 3 2 3 3 1? t (1 ? t ) (1 ? t ) 3 1 ? 2t 3 12 t ?3 3 y ? 3? dt ? ?C 3 3 3 2 (1 ? t ) 2(1 ? t ) 3t ? x? 3 ? 1 ? t ? 通解: ? 3 12 t ?3 ?y ? ?C 3 2 ? 2(1 ? t ) ?

1 3. 若方程 y"? y'? q( x ) y ? 0有两个特解 y1 ( x ), y2 ( x ) x 且 y1 ( x ) ? y2 ( x ) ? 1 , 求q( x )及方程的通解。 解: 充分利用特解 y1 ( x ), y2 ( x )满足y1 ( x ) ? y2 ( x ) ? 1 (1) 若y1 ( x ) ? C 则 C ? 0

代入方程有: q( x ) C ? 0 ? q( x ) ? 0 1 原方程为: y"? y' ? 0 x ? y' ? Cx ? y ? C1 x 2 ? C 2 ( 2) 若y1 ( x ) ? C 则 y2 ( x ) ? 1 / y1 ( x )与y1 ( x )线性无关 1 ? y1 "? y1 '? q( x ) y1 ? 0 ? x ? ? ? 1 1 1 1 ?( )"? ( )'? q( x )( ) ? 0 ? x y1 y1 ? y1

1 ? y1 "? y1 '? q( x ) y1 ? 0 ? x ? 即, ? 2 2 ( y ' ) 1 1 1 1 ? ? 2 ( y1 "? y1 ' ) ? q( x )( ) ? 0 3 ? y1 x y1 ? y1 2( y1 ' )2 1 1 ( y1 ' )2 ? ? 2 ( ? q( x ) y1 ) ? q( x )( ) ? 0 ? q( x ) ? ? 3 2 y1 y1 y1 y1 1 ( y1 ' )2 y1 " 1 y1 ' ( y1 ' )2 ? y1 "? y1 '? y1 ? 0 ? ? ? ?0 2 2 x y1 y1 x y1 y1 y1 ' du u ? u ? 2Cx 令 u? , 则上式为 ? ?0 y1 dx x Cx 2 ? y1 ' ? 2Cxy1 ? y1 ? C1e
取 y1 ? e
Cx 2


Cx 2

y2 ? e ? C 2e

? Cx 2

, q( x ) ? ?4C 2 x 2

通解为: y ? C1e

? Cx 2

4. 设当x ? ?1时,可微函数 f ( x )满足
x 1 f '( x ) ? f ( x ) ? f ( t )dt ? 0, f (0) ? 1, 求f ' ( x ) ? x?1 0 解 : 简化为微分方程 x ( x ? 1)[ f ' ( x ) ? f ( x )] ? ? f (t )dt ? 0

0

? ( x ? 1) f "( x ) ? ( x ? 2) f '( x ) ? 0 df ' x?2 ? ?? dx f' x?1 C ? f '( x ) ? ( x ? 1)e x 由f (0) ? 1 ? f ' (0) ? ?1

? C ? ?1

?

?1 f '( x ) ? ( x ? 1)e x

5. 设f ( x )可导,且对于任意 s, t 有 f ( s ? t ) ? f ( s ) ? f ( t ) ? 2 st , 且f ' (0) ? 1, 求f ( x )

解:

简化为微分方程 令 s ? 0, f ( t ) ? f (0) ? f (t ) ? 0

, ? f (0) ? 0 对s求导 f ' ( s ? t ) ? f ' ( s) ? 2t
s ? 0, 有 f ' (t ) ? f ' (0) ? 2t ? 1 ? 2t



? f (t ) ? t ? t 2 ? C 注意到, f (0) ? 0, ? C?0 ? f (t ) ? t ? t 2

若本题改为: 设f ( x )连续,且对于任意s, t 有 f ( s ? t ) ? f ( s ) ? f ( t ) ? 2 st , 且f ' (0) ? 1, 求f ( x ) 如何做?

f ( x) ? f ( y) 6. 求满足f ( x ? y ) ? 的所有可微函数 1 ? f ( x) f ( y) 解 : 简化为微分方程 2 f ( 0) 令x ? y ? 0, 有f (0) ? ? f ( 0) ? 0 2 1 ? f ( 0) f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ( ?x )[1 ? f 2 ( x )] f ' ( x ) ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x[1 ? f ( x ) f ( ?x )] ?x f ( ?x ) ? f ( 0 ) 1 ? f 2 ( x) ? lim ? ?x ? 0 ?x 1 ? f ( x ) f ( ?x ) ? f ' (0)[1 ? f 2 ( x )] ? arctan f ( x ) ? f ' (0) x ? C
由f (0) ? 0, ? C?0

? arctan f ( x ) ? f ' (0) x

即,f ( x ) ? tan[ f ' (0) x]

7. 设f ( x )在[0,??)有 定 义 , ( 0,??)内 可 导 , g ( x )在 ( ??,??)内 可 导 , f ( 0) ? g ( 0) ? 1, 又 当x ? 0时 , f ( x ) ? g ( x ) ? 3 x ? 2, f ' ( x ) ? g' ( x ) ? 1, f ' ( 2 x ) ? g' ( ?2 x ) ? ?12 x 2 ? 1, 求f ( x ),g ( x ) f ( x ) ? g( x ) ? 3 x ? 2, f '( x ) ? g' ( x ) ? 1, 解: 解得:f ' ( x ) ? 2, g' ( x ) ? 1 ? f ( x ) ? 2 x ? C1 , g( x ) ? x ? C2 ( x ? 0) f (0) ? g(0) ? 1 ? C1 ? C2 ? 1 ? f ( x ) ? 2 x ? 1, g( x ) ? x ? 1 ( x ? 0) 当x ? 0时, g' ( ?2 x ) ? f ' ( 2 x ) ? 12 x 2 ? 1 ? 12 x 2 ? 1 ? 3( ?2 x )2 ? 1 ? g' ( x ) ? 3 x 2 ? 1, ? g( x ) ? x 3 ? x ? C

g(0) ? 1 ? C ? 1

? g( x ) ? x ? x ? 1
3

8. 设线性方程 u' ? a( t )u, u(0) ? C ; v' ? a( t )v , v (0) ? C , 0 ? t ? T, 证明:当 0 ? t ? T, v ( t ) ? u( t )
且,x(0) ? 0

解:



x ? v(t ) ? u(t )
e
?0 a (? ) d?
t

x' ? v'? u' ? a(t )v ? a(t )u ? a(t ) x x'?a(t ) x ? 0 ?
t

[ x'? a ( t ) x ] ? 0

? [ xe

?0 a (? ) d?
?0 a (? ) d?
t

]' ? 0
]t ? 0 ? 0
?0 a (? ) d?
t

? [ xe

?当0 ? t ? T, xe

?0

即, x ? 0, ?

v( t ) ? u( t )

9. 设y1 , y2 , y3 是 方 程y"? P1 ( x ) y'? P2 ( x ) y ? Q ( x )的 解 , 其 中P1 ( x ), P2 ( x ), Q ( x )连 续 , 且 y2 ( x ) ? y1 ( x ) ? 常数 y3 ( x ) ? y1 ( x )

证明:通解 y ? (1 ? c1 ? c2 ) y1 ? c1 y2 ? c2 y3

证明: y2 ( x ) ? y1 ( x ),y3 ( x ) ? y1 ( x )分别为齐线性方程的解

y2 ( x ) ? y1 ( x ) ? 常数 y3 ( x ) ? y1 ( x )
? y2 ( x ) ? y1 ( x ),y3 ( x ) ? y1 ( x )线性无关 ? (1 ? c1 ? c2 ) y1 ? c1 y2 ? c2 y3 通解y ? y1 ? c1 ( y2 ? y1 ) ? c2 ( y3 ? y1 )

10. 上半 平面内 上凹 曲线上 任一 点P ( x , y )处的 曲率等 于 曲线 在该点 的法 线段 PQ长度 的倒数 ( Q为法 线在 x轴 上 交点 )曲线 在 (1,1

)处的 切线与 x轴平 行,求曲 线方程

y ? y( x ), 则在P点处法线方程 解 : 设曲线为 Y ? y ? ?1 / y' ( X ? x ) ? 在x轴上交点 ( x ? yy' , 0)
PQ ? y 1 ? y'2 | y"| y" 1 1 曲率K ? ? ? ? 2 3/ 2 2 3/2 (1 ? y' ) (1 ? y' ) PQ y 1 ? y'2 ? yy" ? 1 ? y'2 ? ? y | x ? 1 ? 1, y'| x ? 1 ? 0 dp y" ? p 令 y' ? p( y ) dy

dp yp ? 1 ? p2 dy
? 1 ? p 2 ? cy2

pdp dy ? ? 2 1? p y
?

p | x ? 1, y ? 1 ? 0, ? c ? 1 dy 2 ? ? ? dx ? p ? ? y ?1 2 y ?1 ln[ y ? y 2 ? 1 ] ? ? x ? c'

?
? ?

y | x ? 1 ? 1, ? c' ? ?1
y 2 ? 1 ] ? ? ( x ? 1)
2 ? ( x ? 1)

ln[ y ? y?

y ?1 ? e

y?

y 2 ? 1 ? e ? ( x ? 1)

?

1 ( x ? 1) ? ( x ? 1) y ? [e ?e ] ? cosh( x ? 1) 2

11. 初 始 质 量 为 M 0 ( g ), 在 空 气 中 自 由 落 下 的 雨 点均匀 地蒸发,每秒蒸发 A( g ), 空 气 的 阻 力 与 雨 点 的 速 度呈 正比,求雨点的速度与 时间的关系 dv v ? v ( t ),由牛顿定律 m ? f 解 : 设t时刻雨点的速度为 dt dv ? ( M 0 ? At ) ? ( M 0 ? At ) g ? kv ( k ? 0) dt dv k 一阶线性方程 ? ? v?g dt ( M 0 ? At )

[C ? g ? e dt] k A? k g A ? ( M 0 ? At ) [C ? ( M 0 ? At ) A ] k?A A? k ?g 由v (0) ? 0, ? C ? M0 A k?A ? v?e

??

k dt ( M 0 ? At )

?

k dt ( M 0 ? At )

12. 微生物培养的繁殖速率 和它们的现有量及现有 营养物质的乘积成正比 (比例系数 k) , 营养物质减 少的速率和微生物的现 有量成正比(比例系数 k1 ), 试验开始时,容器中有 x克微生物, y克营养物质, 试求微生物的量和营养 物质的量虽时间的变化 规律, 何时微生物停止繁殖?

物质的量分别为 x( t ), y( t ) 解 :设t时刻微生物的量和营养 ? ? kxy ?x ? ? ? ? k1 x 依题意: ?y ? x ( 0) ? x , y ( 0) ? y 0 0 ? ? ? ? k1 x ? ? ? kk1 xy ? kyy ? ? ? y dp ? ? p( y ), 则? ?? p 令 y y dy

dp dp 1 2 ? p ? kyp ? ? ky ? p ? ky ? C1 dy dy dy 2 1 2 ? p |t ? 0 ? |t ? 0 ? ? k1 x0 ? ky0 ? C1 dt 2 1 2 ? C1 ? ? k1 x0 ? ky0 ? dy ? 1 ky2 ? k1 x0 ? 1 ky0 2 2 dt 2 2 dy 1 2k1 1 2 2 ? ? k[ y ? ( x0 ? y0 )] ? k[ y 2 ? A2 ] dt 2 k 2 y? A y? A ? ln ? kAt ? C 2 ? ? BekAt y? A y? A 1 ? Be kAt y0 ? A ?y? A 由初始条件: B? kAt 1 ? Be y0 ? A 1 kA2 1 ? Be kAt 2 ?? ?x ? ? y [1 ? ( ) ] kAt k 2k1 1 ? Be 1 1 kAt ? ? 0, ? y ? 0, ? 1 ? Be ? 0, ? t ? ?x ln(? ) kA B

13. 设 高 为 12m , 水 平 截 面 为 圆 形 的 桥 墩 的载荷为 p ? 90t , 材料密度为 2.5 t / m 3 , 允 许 的 压 力 为 k ? 2940KN / m 2 , 求 桥墩上、下底面积和通 过桥墩中心轴的垂直平 面与桥 墩相截所得截线方程。 ,设截面方程为 y ? f ( x ),

解 : 如图建立坐标系 x处 的 截 面 积 为 A( x ), 则A(0)的 载 荷 为 90t ,

k ? 2940KN / m 2 , 故 90 ? 9.8 ? 2940 ? A(0) ? 0.3 A(0)

o

y

x

y=f(x)

? ?f 2 (0) ? A(0) ? 0.3

?

f ( 0) ?

0.3

12

?
x

[90 ? 2.5V ( x )] ? 9.8 ? 2940 载荷为 90 ? 2.5V ( x ), 故有 A( x ) x ? 90 ? 2.5? ?f 2 ( x )dx ? 300?f 2 ( x )
? ? 2.5?f ( x ) ? 600?f ( x ) f ' ( x ) x / 240 240 f ( x ) ? f ' ( x ) ? f ( x ) ? Ce
0 2

x处以上部分的体积为 V ( x ) ? ? ?f 2 ( x )dx
0

x

f ( 0) ?
?

0.3

?

?

C?

0.3

f ( x) ?

0.3

?

?

e x / 240 0.3 e 12 / 240 ]2 ? 0.3 ? e1 / 0 ? 0.33

A(12) ? ?f (12) ? ? [
2

?

14. 设由x轴,y ? f ( x )( f ( x ) ? 0), x ? 0, x ? a(a ? 0)所围 平面图形的形心横坐标 x满足x ? g(a ), 证明: Cg' ( x ) f ( x) ? e 2 [ x ? g( x )] 证: xdxdy
? dx x ? g( x )

, 其中C为常数
f ( x) a

x?

??
D

? ?

xdx? dy ? xf ( x )dx ? ? ? ? g(a ) ?? dxdy ? dx? dy ? f ( x )dx ? tf (t )dt ? g( x)? f (t )dt ( x ? 0) xf ( x ) ? g' ( x )? f (t )dt ? g( x ) f ( x )
0 a 0 f ( x) 0 a D x 0 0 x 0

a

0

x

0

0

?

[ ? f ( t )dt ]'
0

x

?

x

0

g' ( x ) ? [ x ? g ( x )] f ( t )dt

?

?
?

x

0

f ( t )dt ? Ce
x

?

g '( x ) dx [ x ? g ( x )]

C ? e x ? g( x )
?

?

1 dx [ x ? g ( x )]

f ( x ) ? [?

0

Cg' ( x ) f ( t )dt ]' ? e 2 [ x ? g ( x )]

dx x ? g( x)

15. 我 方 雷 达 发 现 敌 机 后 , 立即向目标发射导弹, 设 敌机依速度 v1作 匀 速 直 线 飞 行 , 导 弹 方向始终指向 敌机,速度为 v 2 ( v 2 ? v1 ), 求 大 胆 的 飞 行 路 线 , 及 击中 敌机的时间。

解 : 如图建立坐标系 ,设开始时,敌机在原点 ,导弹
在x轴 上A(a ,0)处 , 敌 机 飞 行 方 向 为 y轴 正 向 , 导 弹 其切线方程为
y

飞行路线为 y ? y( x )。 设t时 刻 , 导 弹 在 P ( x , y )处 ,
Y ? y ? y' ( X ? x ) y=y(x) y轴上的截距: y ? xy' ? v1t v1t x 又AP弧的长: ? ? 1 ? y'2 dx ? v2t P(x,y) a
? ??
x 0

v2 1 ? y' dx ? ( y ? xy' ) v1
2

x A(a,0)

O

1 v1 ? ? 1 ? y' ? ? xy'' ( k ? ? 1) k v2 ? dp ? xy" ? k 1 ? y'2 令 y' ? p( x ), 则y" ? ? ? dx ? ? y(a ) ? 0, y' (a ) ? 0 ? xp' ? k 1 ? p 2 ? ln[ p ? 1 ? p 2 ] ? k ln x ? C1
2



p(a ) ? 0,
2

a k 2 x k p ? 1 ? p ? ?( ) ? p ? 1? p ? ( ) x a 1 x k a k dy ? p ? [( ) ? ( ) ] ? 2 a x dx a 1 x k ?1 1 x 1? k ak ? y? [ ( ) ? ( ) ]? 2 1? k a 1? k a 1 ? k2 ak av1v2 y av2 当x ? 0时 y ? ? 2 , t? ? 2 2 2 2 1? k v2 ? v1 v1 v2 ? v1

?

C1 ? ? ln a k

16.设f ( x ) ? C 2 [1,??), f (1) ? 0, f ' (1) ? 1且 二 元 函 数
2 2 ? z ? z 2 2 2 2 z ? ( x ? y ) f ( x ? y )满 足 2 ? 2 ? 0, 求f ( x )在 ?x ?y

[1,??)上 的 最

大 值 。 解 : 设r 2 ? x 2 ? y 2,则z ? r 2 f ( r 2 ) ?z ? 2 ?r 2 ? ? [r f ( r )] ? ? 2 x[ f ( r 2 ) ? r 2 f ' ( r 2 )] ?x ?r ?x 2 ? z ? ?z 2 2 2 2 2 2 2 ? [ ] ? 2 f ( r ) ? ( 2 r ? 8 x ) f ' ( r ) ? 4 x r f " ( r ) 2 ?x ?x ?x ? 2z 同理: 2 ? 2 f ( r 2 ) ? ( 2r 2 ? 8 y 2 ) f ' ( r 2 ) ? 4 y 2 r 2 f "( r 2 ) ?y 方程为: r 4 f " ( r 2 ) ? 3r 2 f ' ( r 2 ) ? f ( r 2 ) ? 0 记u ? r 2,则f ( r 2 ) ? f ( u)
f ' ( r 2 ) ? f ' ( u), f " ( r 2 ) ? f " ( u)

原方程为: u2 f "( u) ? 3uf ' ( u) ? f ( u) ? 0 欧拉方程 特征方程为: K ( K ? 1) ? 3 K ? 1 ? 0 特征值为: K1, 2 ? ?1 ?C 1 ? 0 ? f (1) ? 0 1 ?? ? ? ? f ( u) ? (C1 ? C 2 ln u) ? f ' (1) ? 1 ?C 2 ? 1 u ln u ? f ( u) ? u 1 ? ln u 有u ? e 令f ' ( u) ? ?0 2 u

当u ? (1, e )时,f ' ( u) ? 0;当u ? (e, ? ?)时,f ' ( u) ? 0.

1 ? f ( x )在[1,??)上的最大值为 f (e ) ? 。 e

17.设f ( x , y )可微, f x ' ( x , y ) ? ? f ( x , y ), f (0,

?
2

)?1

f (0, y ? 1 / n) n 且满足 lim[ ] ? e cot y,求f ( x , y ) n? ? f ( 0, y ) f ( 0, y ?1 / n )? f ( 0, y ) lim n ln[ 1 ? ] 解 : lim[ f (0, y ? 1 / n) ]n ? e n?? f ( 0, y ) f y '( 0 , y ) f ( 0 , y ?1 / n )? f ( 0 , y ) n? ? f (0, y ) lim ] n?? 1 / nf ( 0 , y ) f ( 0, y ) ? e ? e f y ' (0, y ) d ? ln f (0, y ) ? cot y ? f (0, y ) ? c sin y f (0, y ) dy ? ? f (0, y ) ? sin y ? c ? 1 由f (0, ) ? 1 2 ?x ? f ( x , y ) ? ? ( y ) e f x ' ( x , y ) ? ? f ( x , y ),

f (0, y ) ? sin y ? ? ( y ) ? sin y
? f ( x , y ) ? e ? x sin y

18.设?是yoz平面上,过原点的单调 上升的光滑曲线 正向夹角小于? / 2, 密度为1的不可压缩稳定流动流 体 为? ( h), ? ( h)随h的增加速度恒为?,求f ( z ). 解 : ? : x 2 ? y 2 ? f 2 (z)
有向曲面S : z ? h, x 2 ? y 2 ? f 2 ( h),向下 ? ( h) ? ?? x(1 ? z )dydz ? yzdzdx ? dxdy ?

y ? f ( z )( 0 ? z ? h)绕z轴旋转而成曲面,其法 向量与z轴

,其速度场v ? { x(1 ? z ), ? yz,1}, 单位时间内流经?的液体

? ? ? dz ?? dxdy ? ?? dxdy ? ?? ? f 2 ( z )dz ? ? f 2 ( h)
? S
0 Dz D xy 0

? ? ??? dV ? ?? dxdy
h

?

?? S

?? ? ??
S

h

? ' ( h) ? ??f 2 ( h) ? 2?f ( h) f ' ( h) ? ?
? [ f 2 ( h)]'? f 2 ( h) ? 1

?[ f 2 ( h)]'? f 2 ( h) ? 1 2 h ? f ( h ) ? e ?1 ? 2 ? f ( 0) ? 0

? f ( h) ?

eh ? 1


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com