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第三十讲从创新构造入手(2014年初中数学培优提高)

发布时间:2014-02-05 12:47:34  

第三十讲 从创新构造入手

有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解.

所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息,把问题作适当的加工处理.构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法.构造法是一种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的.

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”,以所求结论为“方向”,构造一种新的数学形式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有:

1.构造方程;

2.构造函数;

3.构造图形;

4.对于存在性问题,构造实例;

5.对于错误的命题,构造反例;

6.构造等价命题等.

【例题求解】

【例1】 设a1、a2、b1、b2都为实数,a1?a2,满足(a1?b1)(a1?b2)?(a2?b1)(a2?b2),求

证:(a1?b1)(a2?b1)?(a1?b2)(a2?b2)??1.

思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试.仔细观察已知等式特点,a1、a2可看作方程(x?b1)(x?b2)?1的两根,则(x?b1)(x?b2)?1?(x?a1)(x?a2),通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻.

注:一般说来,构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型;利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设计一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等.

【例2】 求代数式x2?2x?2?x2?4x?13的最小值.

思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值.

x2?2x?2?x2?4x?13?(x?1)2?(0?1)2?(x?2)2?(0?3)2,于是问题转化为:在x 轴上求一点

C(1,0),使它到两点A(一1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标.这样,通过构造图形而使问题获解.

【例3】 已知b、c为整数,方程5x2?bx?c?0的两根都大于?1且小于0,求b和c的值.

思路点拨 利用求根公式,解不等式组求出b、c的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难.由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令y?5x2?bx?c,从讨论抛物线与x轴交点在?1与0之间所满足的约束条件入手.

【例4】 如图,在矩形ABCD中,AD=a,AB=b,问:能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的E点有几个?若不能找到,请说明理由.

ADBEab?x思路点拨 假设在AB边上存在点E,使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD,又设AE=x,则,即?,?AEBCxa

于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根,在一定条件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题.

【例5】 试证:世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识.

思路点拨 构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段.比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色;2个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:

已知有6个点,任何3点不共线,每2点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色.证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形.

1

注:“数缺形时少直观,形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在:

(1)几何问题代数化;

(2)利用图形图表解代数问题;

(3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解.

利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质列出代数式或方程(组),再进行计算或证明.

特别地,证明几何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证;应用为韦达定理,讨论几何图形位置的可能性.

有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握.

对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的“构造性证明”. 学历训练

1.若关于x的方程(1?m2)x2?2mx?1?0的所有根都是比1小的正实数,则实数m的取值范围

是 .

2.已知a、b、c、d是四个不同的有理数,且(a?c)(a?d)?1,(b?c)(b?d)?1,那么(a?c)(b?c)的值是 .

3.代数式x2?4?(12?x)2?9的最小值为.

4.A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛,已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场,则还未与B队比赛的球队是.

5.若实数a、b满足a2?ab?b2?1,且t?ab?a2?b2,则t的取值范围是st?4s?16.设实数分别s、t分别满足19s2?99s?1?0,t2?99t?19?0,并且st?1,求的值. t

7.已知实数a、b、c满足(a?c)(a?b?c)?0,求证:(b?c)2?4a(a?b?c).

8.写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由.

9.求所有的实数x,使得x?x?11?? . xx

10.若是不全为零且绝对值都小于106的整数.求证:a?2b?c?

11.已知关于x的方程x2?23x?1?k有四个不同的实根,求k的取值范围.

12.设0?x,y,z?10,求证x(1?y)?y(1?z)?z(1?x)?1.

13.从自然数l,2,3,?354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差为177.

14.已知a、b、c、d、e是满足a?b?c?d?e?8,a2?b2?c2?d2?e?16的实数,试确定e的最大值.

15.如图,已知一等腰梯形,其底为a和b,高为h.

(1)在梯形的对称轴上求作点P,使从点P看两腰的视角为直角;

(2)求点P到两底边的距离;

(3)在什么条件下可作出P点?

11021.

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