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初中数学竞赛定理

发布时间:2014-02-05 14:45:50  

九点圆:

●定义

任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。

欧拉线

●定义

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

●证明

作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’

∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角

∴ AD⊥AB,DC⊥BC

∵ CH⊥AB,AH⊥BC

∴ DA‖CH,DC‖AH

∴ 四边形ADCH是平行四边形

∴ AH=DC

∵ M是BC的中点,O是BD的中点

∴ OM= 1/2DC

∴ OM= 1/2AH

∵ OM‖AH

1

∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG/GM=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合

∴ O、G、H三点在同一条直线上

广勾股定理

●定理概述

在任一三角形中,

(1)锐角对边的平方,等于两夹边之平方和,减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍.

(2)钝角对边的平方,等于两夹边的平方和,加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍.

●证明

设△ABC中,BC是锐角A的对边(图2-4).作CH⊥AB于H,

根据勾股定理:BC^2 = BH^2 + CH^2

而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2

带入后有:BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2

简化后:BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AH 式(1)

同理: BC^2 = AB^2+AC^2 -2AC·AH

同理可证明钝角时的结论。

斯特瓦尔特定理

●定理概述

定理:

设P为△ABC边BC上一点,则有BP*AC^2+PC*AB^2=BP*PC*BC+BC*AP^2 逆定理:

点P在△ABC边BC上必须满足BP*AC^2+PC*AB^2=BP*PC*BC+BC*AP^2

梅涅劳斯定理

2

●定理概述

定理:

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

逆定理:

设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

●证明

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 ●推广

如图:若E,F,D三点共线,则

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

塞瓦定理

●定理概述

在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

●证明(本题可利用梅涅劳斯定理证明):

∵△ADC被直线BOE所截,

∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

3

而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

●应用

利用塞瓦定理证明三角形三条中线必交于一点:

三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

且因AF=BF所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 塞瓦定理推论

对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是: (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

西姆松定理

●定理概述

定理:

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线(此线常称为西姆松线)。

逆定理:

若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。

●证明

△ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF.

易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,(∵都是∠ABP的补角) 且∠PDE=∠PCE

② 而∠ACP+∠PCE=180°

③ ∴∠FDP+∠PDE=180°

④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.

●应用

4

1.称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上。

2.两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

3.若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。

4.从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

张角定理

●定理概述

定理

在△ABC中,D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

逆定理

sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD,

那么B,D,C三点共线。

●应用

在定理的条件下,且∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC,则B D C共线的充要条件是:2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD

由分角定理,

S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)

→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)

S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)

→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)

(1.1) 式+(1.2)式得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD

把平面几何和三角函数紧密相连,它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式,并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用它去解几何题,适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识,可以大大简化解题步骤,众多的几何问题可以得到简捷统一的解决。

共角比例定理

●定理概述

若两个三角形ABC与A1B1C1满足角CAB=角C1A1B1,则ABC面积/A1B1C1面积=AC*AB/A1C1*A1B1

●证明

可直接由面积公式S(ABC)=1/2*a*b*sinC得到。

共边比例定理

●定理概述

若P,Q所在直线与A,B所在直线交于M,则PAB面积/QAB面积=PM/QM

5

●证明

在直线AB上取点N,使MN=AB,则PAB面积=PMN面积

QAB面积=QMN面积

故PAB面积/QAB面积=PMN面积/QMN面积=PM/QM

四边形蝴蝶定理

●定理概述

若四边形一条对角线平分另一对角线,则过其交点的两条直线,以四边交点(邻边)的连线,与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等。

●证明

如图:BG=CG,求证:EG=FG

连接CP,BS,BR,CQ

EG/BE*CF/FG=S△PGQ/S△PBQ* S△SCR/S△SGR=S△ABD/S△PBQ * S△SCR/S△ACD * S△PGQ/S△SGR

=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG

=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG/RG*QG/SG

=S△ABC*S△BCD/S△BCP*BCQ * S△BCS*S△BCR/S△ABC*S△BCD * S△BCP/S△BCR*S△BCQ/S△BCS

=1

EG*CF=FG*BE

∵EG+BE=CF+FG

∴EG=GF

布拉美古塔定理:

●定理概述

在圆内接四边形ABCD中,AC⊥BD,自对角线的交点P向一边作垂线,其延长线必平分对边。

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四点共圆

证明四点共圆的基本方法

方法1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆.

方法2

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆. (若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。)

方法3

把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆.

方法4

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.(根据托勒密定理的逆定理)

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阿波罗尼斯圆

一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n,则点P的轨迹,是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆,这个圆被称为阿波罗尼斯圆,简称“阿氏圆”。

费尔马点:

对于一个顶角不超过120度的三角形,费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于一个顶角超过120度的三角形,费尔马点就是最大的内角的顶点

摩莱三角形:

在已知△ABC三内角的三等分线中,分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F,则△DEF是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形

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