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浙江九年级“天乐杯”数学竞赛试题

发布时间:2014-02-05 14:45:53  

2013年嵊州市“天乐杯”初中生数学思维风暴活动

九年级试题

(2013年12月7日 上午8:00—9:30)

1、一同学根据下表,作了四个推测:

①2?

x?2 ②2? ?x?0?的值随着x的增大越来越小;?x?0?的值有可能等于1;

xxx?2x?2③2??x?0?的值随着x的增大越来越接近于1;④2??x?0?的值最大值

xx

是3.

则推测正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 2、如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路

与环城路垂直。如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( ) A、500m B、525 m C、575 m D、625 m

第3题图

??DA???3、如图,在⊙O中,CDAB,给出下列三个结论:(1)

DC=AB;(2)AO⊥BD;(3)当∠BDC=30°

时,∠DAB=80°.其中正确的个数是

( )

A、0 B、1 C、2 D、3

4、已知非零实数a,b 满足 a?2?b??a?3?a?2,则

第4题图

a?b等于( )

A、-1 B、0 C、1 D、

5、已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示,有以下结论:①a?b?c?0;②a?b?c?1;③abc?0;④4a?2b?c?0;⑤c?a?1其中所有正确结论的序号是( )

A.①② B.①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤

6、如图所示,一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的,矩形ABCD沿EF对折后,再把矩形EFCD沿MN对开,依此类推,若各种开本的矩形都相似,那么AD?( ) AB

A、

2 B、2 C、3 D、2 2A A1 第7题 B (第10题) D

B1 C C1 第6题

2?x?1?1?x≤3????7、已知函数y??,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( ) 2???x?5??1?x>3?

A.0 B.1 C.2 D.3

8、如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从A点出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……,并且都遵循如下规则:所爬行的第n?2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交(其中n是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( )

A、0 B、1 C、2 D、3

二、填空题(每小题5分,共40分)

9、若关于x,y的二元一次方程组?

______.

10、设a??1,则代数式a?3a?2a?14的值为

11、读一读:式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于式子32?3x?y?1?a的解满足x?y<2,则a的取值范围为?x?3y?3

比较长,书写不方便,为了简便起见,我们将其表示为

?n,这里“?

n?1

100

”是求和符号,

2012

通过以上材料的阅读,计算

?n(n?1).

n?1

1

12、在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC。如图,当点A的横坐标为?则点B的坐标为 ;

1

时,2

?是以点A为圆心2为半径的13、如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,AM=1,DE

1

圆弧,4

?是以点M为圆心2为半径的1圆弧,则图中两段弧之间的阴影部分的面积NB

4

为 .

?

14、如图,MN是?O的直径,MN?2,点A在?O上,∠AMN?30,B为?AN的中

点,P是直径MN上一动点,则PA?PB的最小值为 。

第12题

第13题

第14题

N

15、如图,已知动点A在函数y?

4

(

x?0)的图象上,AB?x轴于点B

,AC?y轴于点x

C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC。直线DE分别交x轴于点P,Q。当QE:DP?4:9时,图中阴影部分的面积等于_______

第15题

ABBB3

C321

B

第16题

C

16、在△ABC中,BC=6,S?ABC?12,B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形,B2C2所在

四边形是△AB1C1的内接正方形,B3C3所在四边形是△AB2C2的内接正方形,依此类推,则BnCn的长为。

三、解答题:(共70分)

17、(10分)如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为xm,面积为Sm.

(1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围;

(2)要围成面积为45 m的花圃,AB的长是多少米?

(3)能围成面积比45 m更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如不能,请说明理由。

222

18、(12分)某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走,他留意到每隔6分钟有一部

电车从他后面驶向前面,每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变(分别为v1,v2表示),请你根据下面的示意图,求电车每隔几分钟(用t表示)从车站开出一部?

19、(本题12分)阅读理解:对于任意正实数a、b,

∵2≥0,

∴a?b≥0,∴a?

b≥只有当a=b时,a?

b= 根据上述内容,回答下列问题:

(1)若m>0,只有当m=时,m?1有最小值. m

(2)探索应用:已知,点Q(-3,-4)是反比例函数图象y?

轴于点A,作QB⊥y轴于点B, 点P为反比例函数图象y?

PA、PB,求四边形AQBP面积的最小值,

(3)已知(x>0),则自变量x为何值时,函数y?

多少?

k的一点,过点Q作QA⊥xxk(x>0)上的任意一点,连接xx取到最大值,最大值为x2?2x?25

20、(12分)如图,AB是半⊙O的直径,点C是半圆弧的中点,点D是弧AC的中点,连结BD交AC、OC于点E、F。

(1)在图中与△BOF相似的三角形有 个;

(2)求证:BE=2AD;

(3)求

DE的值。 BE

21、(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0)。

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,在x轴上找一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。求出这个最小值及点G、H的坐标。

?上一动点,BA⊥22、(12分)如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°.点B是MNOM

于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.

(1)求证:四边形EPGQ是平行四边形;

(2)探索当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;

(3)连结PQ,求3PQ2?OA2的值.

参考答案与评分标准

一、选择题:

1、 B 2、 C 3、D 4、 D 5、C 6、 B 7、 D 8、 A 二、填空题:

9、a<4 10、2012 11、

n

2012

12、 2013

13?317?

13、2 14、 15、 2,??

3?24?

12?2?2?

16、6???或

5n?5?

三、解答题:

n?1

17、(10分)解:(1)∵BC=24?3x,

∴ S?x?24?3x???3x2?24x,由0<24?3x≤10,得

14

?x<8。----(3分) 3

2

(2)由s?45,得x?8x?15?0,∴x1?3(舍去),x2?5,

∴AB=5。------------------(3分)

14

?x<8, 3

142∴x?时,s有最大值是46。----------------------(4分)

33

(3)S??3?x?4??482

故能围成面积比45 m更大的花圃,围法是花圃的长为10m,宽为18、(12分)解:根据题意得:

2

14

m。 3

?6(u1?u2)?u1t

-------------(5分),解得u1?2u2.------------------(3) ?

2(u?u)?ut?121∴t?3(分钟)------------------(3分)

答:电车每隔3分钟从车站开出一部.-----------(1分) 19、(12分)(1) 1, 2.-------------- (4分)

(2)解:由题意得,SAQBO?3?4?12,反比例函数解析式为y?连接PO,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N,设点P的坐标为(x) ∴S△AOP?

12

,----(1分) x

12x

111218?AO?PM??3??,

22xx

S△BOP?11?BO?PN??4?x?2x 22

18?12 xSAQBP?SAQBO?S△AOP?S△BOP?2x?

当2x?18,时SAQBP的面积最小,解得x1?3,x2??3(舍去) x

18?12?24 ∴当x=3时,SAQBP?2?3?3

∴四边形AQBP面积的最小值为24。 ------------ (3分)

x2?2x?2525?x?2?(3)设y?? (2分) xx

当x?251?,∴当x=5时,y最小?=8 ∴时y最小当x=5时,y最大? ( 2分) 8x

20、(12分)解:(1)△BAD;△EAD;△BEC。--------------(3分)

(2)延长AD与BC相交于G,∵点C是半圆弧的中点,点D

是弧AC的中点,∴∠CBE=∠GAC,

∠BCE=∠ACG=90°, AC=BC,则△ACG≌△BCE

∴BE=AG,而AG=2AD,∴BE=2AD。----------(5分)

(3)连结OD交AC于点H,则OD⊥AC,∴DH∥BC,

∴△DHE≌△BCE,∴DEDH= BEBC

设BC=2,则OD=OB=2,∴OH=1,DH=?1, ∴DE2?1=。---------(4分) BE2

21、(12分)解:(1)设y=a(x-1)2+4,将点B(3,0)代入解得:a=-1

∴所求抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+4 ------------------------(4分)

(2)如图,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,

在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI -----------① 设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0),

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线y=-(x-1)2+4,得

y=-(2-1) 2+4=3 ∴点E坐标为(2,3) 2又∵抛物线y=-(x-1)+4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D

∴当y=0时,-(x-1)2+4=0,∴ x=-1或x=3

当x=0时,y=-1+4=3,

∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(0,3)---------(2分)

图6

又∵抛物线的对称轴为:直线x=1,

∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE ---------------② 分别将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得: ?

??k?b?0?k?1

解得:?

?b?1?2k?b?3

过A、E两点的一次函数解析式为:y=x+1 --------------(2分) ∴当x=0时,y=1 ∴点F坐标为(0,1)

∴DF?2----------------③, 又∵点F与点I关于x轴对称,

∴点I坐标为(0,-1

),∴EI??④

又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,∴只要使DG+GH+HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③,可知,DG+GH+HF=EG+GH+HI, 只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小

设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:y=k1x+b1(k1≠0), 分别将点E(2,3)、点I(0,-1)代入y=k1x+b1,得:

?2k?b?3?k?2

?11 解得:?1 ?b1??1?b1??1

过I、E两点的一次函数解析式为:y=2x-1 ∴当x=1时,y=1;当y=0时,x=

1

; 2

1

,0) 2

∴点G坐标为(1,1),点H坐标为(

∴四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④,可知: DF+EI

=2?∴四边形DFHG

的周长最小为2?-----------(4分) 22、(12分)解:(1)证明:如图①,

∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON, ∴四边形OABC是矩形. ∴AB//OC,AB?OC.

C

∵E、G分别是AB、CO的中点, ∴AE//GC,AE?GC. ∴四边形AECG为平行四边形.

G O

P

D

图①

E A M

B

N

图7

∴CE//AG. ……………………………4分 连接OB,

∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点, ∴ GF∥OB,DE∥OB, ∴ PG∥EQ,

∴四边形EPGQ是平行四边形;--------------------------(4分) (2)如图②,当∠CED=90°时,□EPGQ是矩形. 此时 ∠AED+∠CEB =90°.

又∵∠DAE=∠EBC =90°,∴∠AED=∠BCE. ∴△AED∽△BCE.………………………………8分 ∴

N C

P G

E ADAE

?. BEBC

设OA=x,AB=y,则

2

2

xyy

∶=∶x,得y2?2x2.…10分 222

2

O D

又 OA?AB?OB,即x2?y2?12.

2

2

A 图②

M

∴x?2x?

1,解得x?

∴当OA

EPGQ是矩形.--------------------(4分) (3)如图③,连结GE交PQ于O?,则O?P?O?Q,O?G?O?E..过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?.

PGPEGE2

???, PFPCFC1

2111

??=AB, GA?=GE=OA, ∴ PA?=AB333311

∴ A?O??GE?GA??OA.

26

由△PCF∽△PEG得,

在Rt△PA?O?中,PO?2?PA?2?A?O?2,

NCG

B'FD

A

MEOPQ2AB2OA222

即 , 又 AB?OA?1, ??

4936

1

∴ 3PQ2?AB2?,

3

14

∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?.---------------------(4分)

33

图③

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