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第六讲____四边形尖子班讲义

发布时间:2014-02-05 14:48:56  

第六讲 四边形

热点一 计算类

例1.(2009年桂林市、百色市)如图,□ABCD中,AC.BD为对角线,BC=6, BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( ).

A.3 B.6 C.12 D.24

例2(2009襄樊市)如图5,在

一元二次方程x2 ?ABCD中,AE?BC于E,AE?EB?EC?a,且a是?2x?3?0的根,则?ABCD的周长为( )

D A

.4? B

.12? C

.2? D

.212? C E

例3.(2009年甘肃白银)如图4,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( ) B

A.2 B.3 C

. D

例4.(2009年)如图6,在ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=42,则ΔCEF的周长为( )

A.8 B.9.5 C.10

D.11.5

例5 (2009年北京市)若一个正多边形的一个外角是40°,

则这个正多边形的边数是( )A.10 B.9 C.8 D.6

例6.(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为( )

A、217 B、48C、 D、

3 1717

热点二. 命题与结论类

E、F分别为BC、AD边上的点,例1. (2009年牡丹江市)如图,□ABCD中,要使BF?DE,

需添加一个条件: .

D

B E C

例2.(2009年广州市)已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形”,写出它的逆命题:________________________________

例3.(2009 黑龙江大兴安岭)在矩形ABCD中,AB?1,AD?3,AF平分?DAB,过C点作CE?BD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中:①AF?FH;②BO?BF;③ CA?CH;④BE?3ED,正确的

A.②③

C.①②④ B.③④ D.②③④

例4.(2009年湘西自治州)13.在下列命题中,是真命题的是( )

A.两条对角线相等的四边形是矩形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

热点三 动态与操作类

例1.(2009年甘肃庆阳)如图7,将正六边形绕其对称中心O旋转后,恰好能与原来的正六边形重合,那么旋转的角度至少是 度.

例2.(2009年温州)在所给的9×9方格中,每个小正方形的边长都是1.按要求画平行四边形,使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上.

(1)在图甲中画一个平行四边形,使它的周长是整数;(2)在图乙中画一个平行四边形,使它的周长不是整数.(注:图甲、图乙在答题纸上)解:(1)

(2

例3.(2009年湖北荆州)如图,将边长为8㎝的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

N

E AD∥BC,AD?6cm,CD?4cm,例4.(2009年山东青岛市)如图,在梯形ABCD中,

BC?BD?10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0?t?5).解答下列问题:

(1)当t为何值时,PE∥AB?(2)设△PEQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使S△PEQ?2S△BCD?若存在,求出此时t的值;若不存在,25

说明理由.

(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE的面积是否发生变化?说明理由.

F 例5.(2009桂林百色)如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放 在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发,沿

图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止,同时点R从B点

出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止,在这个

过程中,线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为

( ).A.2 B.4?π C.π D.π?1 热点四 规律类

例1. (2009年北京市)如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(n?2,且n为整数),则A′N= (用含有n的式子表示)

C

例2.(2009年中山)如图所示,在矩形ABCD中,AB?12,AC=20,

两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形

OBB1C,对角线相交于点A1,再以A1B1、AC1为邻边作第2个平行四

边形A1B1C1C,对角线相交于点O1;再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平

行四边形O1B1B2C1??依次类推.

(1)求矩形ABCD的面积;

(2)求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积.

例3.(2009年

安顺)如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在______点。

例4. (2009年重庆市江津区)在△ABC中,BC=10,B1 、C1分别是图①中AB、AC的中点,在图②中,B1、B2、C1、C2分别是AB,AC的三等分点,在图(3)中

AC的10等分点,则B1C1?B2C2???B9C9B1、B2、??B9;C1、C2??C9分别是AB、

的值是 ( )

A. 30 B. 45

C.55 D.60

例5.(2009湖北省荆门市)如图,正方形ABCD边长为1,动,沿正方形的边按逆时针方向运动,当它的运动路程为2009时,点P所在位置为______;当点P所在位置为D点时,点P的运动路程为______(用含自然数n的式子表示).

A(P) B

热点五 证明类

例1.(2009年莆田)已知:如图在ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交

DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。

(1)观察图形并找出一对全等三角形:△________≌△____________,请加以证明; C C ?

(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的

变换得到?

例2.(2009临沂)数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.?AEF?90,且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE?EF.

在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;

(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由. ?

A D

F A D F A D

E C

图1 G E C 图2 G 图3 C E G

例3.(2009年烟台市)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,?BCD?90°,且CD?2AD,tan?ABC?2,过点D作DE∥AB,交?BCD的平分线于点E,连接BE.

(1)求证:BC?CD;

(2)将△BCE绕点C,顺时针旋转90°得到△DCG,连接EG..求证:CD垂直平分EG.

(3)延长BE交CD于点P.求证:P是CD的中点.

G

C 例4.(2009眉山)在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥BC,∠A=

60°,AB=2CD,E、F分别为AB、AD的中点,连结EF、EC、BF、CF。。

⑴判断四边形AECD的形状(不证明);

⑵在不添加其它条件下,写出图中一对全等的三角形,用符号“≌”表

示,并证明。

⑶若CD=2,求四边形BCFE的面积。

例5.(2009年佳木斯)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.

(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.

(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.

热点六 综合类

AD=m,?D?60°, 例1.(2009年中山)在ABCD中,AB?10,

以AB为直径作⊙O,

(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示);

(2)当m取何值时,CD与⊙O相切. ?

例2.(2009泰安)如图,双曲线y?

k

(k>0)经过矩形QABC的边BC的中点E,交AB于x

点D。若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为 (A)

y?

12 (B)y? xx

36

(Dy? xx

例3. (2009年北京市)在?ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕

(C) y?

点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)(1)在图1中画图探究:

①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系,并加以证明;

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论. (2)若AD=6,tanB=

??

?

4

,AE=1,在①的条件下,设CP1=x,S?P1FC1=y,求y与x之间3

的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

例4.(2009年铁岭市)△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE.

(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时. ①求证:△AEB≌△ADC;

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由;

(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立?

(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.

图D C

B D G E 图

例5.(2009江西)如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB?4,BC?6,∠B?60?.

(1)求点E到BC的距离;

(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM?EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP?x.

△PMN的形状是否发生改变?若不变,①当点N在线段AD上时(如图2),求出△PMN

的周长;若改变,请说明理由;

②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由

图1

D C M D C 图2 D C D C M 图3 D C

真题训练

一.填空题

1.(2009年哈尔滨)如图,在□ABCD中,BD为对角线,E、F分别是AD.BD的中点,

连接EF.若EF=3,则CD的长为 .

2.(09湖南怀化)亲爱的同学们,我们在教材中已经学习了:①等边三角形;②等腰梯形;③平行四边形;④等腰三角形;⑤圆.在以上五种几何图形中,既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是 .

3.(2009年山西省)如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,△ABD的周长为16cm,则△DOE的周长是cm.

C

4.(2009呼和浩特)如图,四边形ABDC中,?ABD?120°,AB⊥AC,BD⊥

CD,AB?4,CD?,则该四边形的面积是

B

C D .

5.(2009泰安)如图所示,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P是线段BC上一点(P不与B重合),M是DB上一点,且BP=DM,设BP=x,△MBP的面积为y,则y与x之间的

函数关系式为 (第17题图)

6.(2009江西)如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的距离AB?BC?16cm,则∠1?

1

7. (2009年烟台市)如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是 .

8.(2009年天津市)我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形,则四边形ABCD可以是 .

9.(2009年牡丹江市)矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AE?BD于E

,若OE∶ED?1∶3,则BD?

AE?

10.(2009年甘肃庆阳)如图,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB,sinA?

菱形的面积= cm2.

3,则这个5

l∥m,11.(2009年长春)如图,矩形ABCD的顶点B在直线m上,则???

A

°

C m

B

12.(2009年长春)如图,方格纸中4个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 (结果保留π).

13.(09湖北宜昌)如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面,那么这个图形只能是 .

14. (2009年安顺)若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状,并使面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是______度。

15、(2009年鄂州)如图,四边形ABCD中,AD∥BC已知BC=CD=AC=23,AB=,则BD的长为________.

16.(2009年崇左)如图,正方形ABCD中,E是BC边上一点,以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心,AB为半径的圆弧外切,则sin?EAB的值为 .

C

E

B

E∥ABAD∥BC,?B?70°,?C?40°,17.(2009年宁波市)如图,梯形ABCD中,作D

B

交BC于点E,若 E C AD?3,BC?10,则CD的长是 .

18.(2009东营)如图,在四边形ABCD中,已知AB与CD不平行,∠ABD=∠ACD,请

你添加一个条件: ,使得加上这个条件后能够推出AD∥BC

且AB=CD.

19.(2009年济宁市)在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, AD=3cm, AB=

4cm, ∠B=60°, 则下底BC的长为 cm . O B C 20. (2009年四川省内江市)如图,梯形ABCD中,AD//BC,两腰BA与CD的延长线相交于

P,PE⊥BC,AD=2,BC=5,EF=3,则PF=__________

P

21.(200B F 9 年陕西省) 14.如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,DA=CB,

若AB=10,DC=4,tanA=2,则这个梯形的面积是______.

22(2009 黑龙江大兴安岭)梯形ABCD中,AD//BC, AD?1,BC?4,?C?70?,?B?40?, 则AB的长为.

23.(2009年济宁市)在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, AD=3cm, AB=4cm, ∠B=60°, 则

下底BC的长为 cm .

24. (2009宁夏)14.如图,梯形ABCD的两条对角线交于点E,图中面积相等的三角形共有

对.

B 24.(2009年泸州)如图4,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=3,BC=4, 则梯形ABCD的面积是

25.(2009山西省太原市)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,

BC=4AD=?B=45°.直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动,一

直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F.若△ABE为等腰三角形,则CF的长等于 .

E∥ABAD∥BC,?B?70°,?C?40°,26.(2009年宁波市)如图,梯形ABCD中,作D

B

交BC于点E,若 E C AD?3,BC?10,则CD的长是 .

27.(2009年济宁市)在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, AD=3cm, AB=4cm, ∠B=60°, 则下底BC的长为 cm .

28.(2009湖北省荆门市)如图,正方形ABCD边长为1,动,沿正方形的边按逆时针方向运动,当它的运动路程为2009时,点P所在位置为______;当点P所在位置为D点时,点P的运动路程为______(用含自然数n的式子表示).

A(P)B

29.(2009年杭州市)如果用4个相同的长为3宽为1的长方形,拼成一个大的长方形,那么这个大的长方形的周长可以是_____________.

30.矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7,则该矩形的最大面积为单位.

31.(2009年山东青岛市)如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 . B? C?

32.(2009年漳州)如图,在菱形ABCD中,?A?60°,E、F分别是AB、AD的中点,若EF?2,则菱形ABCD的边长是_____________.

33.(2009年哈尔滨)若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为 .

34.(2009年温州)如图,已知正方形纸片ABCD的边长为8,⊙0的半径为2,圆心在正方形的中心上,将纸片按图示方式折叠,使EA7恰好与6)0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分),延长FA′交CD边于点G,则A′G的长是

35.(2009临沂)如图,在菱形ABCD中,?ADC?72,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则?CPB?________度.

C ?

B

36.(2009年赤峰市)菱形的对角线长分别是16cm、12cm,周长是。

37.(2009贺州)如图,正方形ABCD的边长为1cm,E、F分别是BC、CD的中点,连接BF、DE,则图中阴影部分的面积是 cm2.

二. 选择题

1.(2009年济南)如图,矩形ABCD中,AB?3,BC?5.过对角线交点O作OE?AC交AD于E,则AE的长是( )

A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4

D F C 2.(2009年凉山州)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使C落在C?处,BC?交AD于E,则下列结论不一定成立的是( )

?

A

B

A.AD?BC?

D C B.?EBD??EDB

D.sin?ABE? C.△ABE∽△CBD AE ED

3.(2009年济宁市)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上), 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的概率是

A. 1111 B. C. D. 24510

4.(2009年衡阳市) 如图,菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,cosA?则下列结论中正确 的个数为( )

24,5 ①DE=3cm; ②EB=1cm; ③S菱形ABCD?15cm.

A.3个 B.2个 C.1个

B

C D.0个

5.(2009年衡阳市)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )

A.1 B.

B G

6.(2009年广西南宁)如图2,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )

A.10cm 243 C. D.2 32C A B.20cm 2C.40cm 2D.80cm 2

图2 B

7.(2009年宁波市)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( )

A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形

C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

O D

C

8.(2009河池)已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm,则菱形的面积为( )

A. 3cm 2 B. 4cm C.

22 D.

2

9.(2009年杭州市)如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )

A.35° B.45° C.50° D.55°

D

P

C F

10.(2009年义乌)如图,一块砖的外侧面积为x,那么图中残留部分墙面的面积为

A.4x A.12x A.8x A.16x

11.(2009年台湾) 如图(八),长方形ABCD中,E点在BC上,且AE平分?BAC。 D

E C 若BE=4,AC=15,则?AEC面积为何?

(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。

12. (2009年台湾)图(十二)中,过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、 丁四个矩形,其中P在AC上,且AP:PC=AD:AB=4:3。

A

B

P 乙

丁 C 下列对于矩形是否相似的判断,何者正确? D

(A) 甲、乙不相似 (B) 甲、丁不相似 (C) 丙、乙相似 (D) 丙、丁相似。

13.(2009年滨州)顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点,所得图形一定是( )

A.矩形 B.直角梯形 C.菱形 D.正方形

14.(2009仙桃)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,∠BAE=30°,AB=,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处.则BC的长为( ).

A、 B、2 C、3 D、23

15.(2009年郴州市)如图2是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD=( )

A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm

B

16.(2009年长春).菱形OABC

在平面直角坐标系中的位置如图所示,AFDEC

?AOC?45°,OC?B的坐标为( ) A

. B

. C

.11), D

.1)

17.(2009年甘肃白银)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称

图形的是( )

A.等腰梯形 B.平行四边形 C.正三角形 D.矩形

18.(2009年甘肃庆阳)如图4,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点O,设△OCD的面积为m,△OEB

A.m?5 B

.m? C

.m?D.m?10

19.(2009年烟台市)利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置,再交换两木块的位置,按图②方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是( )

B.74cm C

.75cm D

.76cm

20.(2009年南宁市)如图2,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )

A.10cm 2 B.20cm 2C.40cm 2D.80cm 2

21. (2009年重庆市江津区)如图:在菱形ABCD中,AC=6, BD=8,则菱形的边长( )

A. 5 B. 10 C. 6 D.8

22.(2009年长沙)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,

?AOB?60°,AB?2,则矩形的对角线AC的长是( )

A.2

A

B

O B.4 D C C. D.

23.(2009年莆田)如图1,在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则当x?9时,点R应运动到( )

(图1)

A.N处 N B.P处 C.Q处 D.M处

26.(2009眉山)下列命题中正确的是(

A.矩形的对角线相互垂直

C.平行四边形是轴对称图形 ) B.菱形的对角线相等 D.等腰梯形的对角线相等

27.(2009东营)如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′等于 ( )

(A) 70° (B) 65° (C) 50° (D) 25°

A

D′B D C′ F C

28.(2009年抚顺市)如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD?PE的和最小,则这个最小值为( )

A

. B

. C.3 D

C E

29.(2009威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,∠B=30°,AD=CD=6,则AB的长度为( )

A.9 B.12 C.18 D.6?30..(2009湖北省荆门市)等腰梯形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点,则四边形EFGH的形状是( )

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

31.(2009年山西省)如图(1),把一个长为m、宽为n的长方形(m?n)沿虚线剪开,拼接成图(2),成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为( )

A.m?nm B.m?n C. 22

D.n 2

n (2) (1)

32.(2009年兰州)如图7所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是

A. B. C. D.

33.(09湖北宜昌)如图1,由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( ).

B

A 基本图案

图1 A. B. C. D.

34. (2009年赤峰市)将一张三角形纸片沿中位线剪开,拼成一个新的图形,这个新的图形可能是 ( )

A、三角形 B、平行四边形 C、矩形 D、正方形

35.(2009四川绵阳)如图,四边形ABCD是矩形,AB:AD = 4:3,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE,则DE:AC =D

A.1:3 B.3

:8

C.8:27

D.7

:25

E

C

B

36.(2009

四川绵阳)如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到

一个锐角为60?

? 的度数应为

A.15?或30? B.30?或45? C.45?或60? D.30?或60?

37. (2009年达州)如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD

相交于点O,以下四个结论:①?ABC??DCB ,②OA=OD ,

③?BCD??BDC,④S?AOB=S?DOC,其中正确的是

A. ①② B.①④ C.②③④ D.①②④

38.(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,

BC=DC=5,点P在BC上移

动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为( )

48A、2B、C、 D、3 171717

39. (2009年淄博市)如图,梯形ABCD中,∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF=3,则梯形ABCD的周长为( C ) A.9

C.12 B.10.5 D.15 F C

40.(2009年齐齐哈尔市)梯形ABCD中,AD∥BC,AD?1,BC?4,?C?70°,?B?40°,则AB的长为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

41. (2009年台湾)如图(十),等腰梯形ABCD中,AD=5,AB=CD=7,

BC=13,且CD之中垂线L交BC于P点,连接PD。

求四边形ABPD的周长为何?

A. 24 B.25 C. 26 D.27 AB?BC,E为AB边,42.(2009武汉)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,?ABC?90°

上一点,?BCE?15°,且AE?AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:①△ACD≌△ACE; ②△CDE为等边三角形; ③

其中结论正确的是( )

A.只有①② B.只有①②④ C.只有③④

L EHSAH?2; ④△EDC?. BES△EHCCH D.①②③④

A

E

B C

43.(2009威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,∠B=30°,AD=CD=6,则AB的长度为( ) A.9 B.12 C.18 D

.6?44.(2009临沂)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC?BD于点O,AE?BC,DF?BC,垂足分别为E、F,设AD=a,BC=b,则四边形AEFD的周长是( )

A.3a?b

B E F C B.2(a?b) C.2b?a D.4a?b

45.(2009年哈尔滨)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,将梯形沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC边上的点A′处,若∠A′BC=20°,则∠A′BD的度数为( ).

(A)15° (B)20° (C) 25° (D)30° D

A?

C B o46.(2009年遂宁)如图,在梯形ABCD中,AB//DC,∠D=90,AD=DC=4,

AB=1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是

A.2 B.4 C.8 D.1

三 解答题

1.(2009年南宁市)25.如图13-1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE?EF,BE?2.

(1)求EC∶CF的值;

(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图13-2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;

(3)在图13-2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

F

B E C B E P C

2.(2009年包头)已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,?2),直线x?m(m?2)与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式;

(2)在直线x?m(m?2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.

3.(2009年宁德市)(本题满分8分)如图:点A.D.B.E在同一直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF,请从图中找出一个与∠E相等的角,并加以证明.(不再添加其他的字母与线段)

A

D B E

4. (2009年达州)如图10,⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H,DO及延长线分别交AC.BC于点G、F.

(1)求证:DF垂直平分AC;

(2)求证:FC=CE;

(3)若弦AD=5㎝,AC=8㎝,求⊙O的半径

5.(2009年日照市)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

(1)求证:EG=CG;

(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)

B

F

第24题图① B D D

D

第24题图②

B 第24题图③

6.(2009年北京市)阅读下列材料:

小明遇到一个问题:5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示,将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是:按图2所示的方法分割后,将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题:

(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求:在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可);

(2)如图4,在面积为2的平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果).

7.(2009泰安)如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。

(1) 求证:BE=AD;

(2)

求证:AC是线段ED的垂直平分线;

(3) △DBC是等腰三角形吗?并说明理由。

8.(09湖南怀化)如图12,在直角梯形OABC中, OA∥CB,A、B两点的坐标分别为A(15,0),B(10,12),动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动,点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动,当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交AB于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t(单位:秒).

(1)当t为何值时,四边形PABQ是等腰梯形,请写出推理过程;

(2)当t=2秒时,求梯形OFBC的面积;

(3)当t为何值时,△PQF是等腰三角形?请写出推理过程.

9.(2009年湖北十堰市)如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.

(1) 求证:DE-BF = EF.

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由.

(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).

12. (2009年宜宾)已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.

(1)求证:AM=DM;

(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长.

B

FD第21题图C

13.(2009年日照市)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

(1)求证:EG=CG;

(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)

B

B

F

第24题图① D 第24题图②

D D

B 第24题图③

14.(2009年河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠B =60°,BC=2.点0是AC的中点,过点0的直线l从与AC重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转,交AB边于点

D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.

(1)①当α=________度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为_________; ②当α=________度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为_________;

(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.

16.(2009年孝感) 三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛,为保证公平合理,他们商量将牧场划分为三块分别看守,划分的原则是:①每个人看守的牧场面积相等;

②在每个区域内,各选定一个看守点,并保证在有情况时他们所需走的最大距离(看守点到....

本区域内最远处的距离)相等.按照这一原则,他们先设计了一种如图1的划分方案:把正方形牧场分成三块相等的矩形,大家分头守在这三个矩形的中心(对角线交点),看守自己的一块牧场.过了一段时间,牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案如图2:三块矩形的面积相等,牧童的位置在三个小矩形的中心.牧童C的划分方案如图3:把正方形的牧场分成三块矩形,牧童的位置在三个小矩形的中心,并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等.

请回答:

(1)牧童B的划分方案中,牧童 ▲ (填A、B或C)在有情况时所需走的最大距离较远;(3分)

(2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?(提示:在计算时可取正方形边长为2)(5分)

20. (2009山西省太原市)如图,A是?MON边OM上一点,AE∥ON.

(1)在图中作?MON的角平分线OB,交AE于点B;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)

(2)在(1)中,过点A画OB的垂线,垂足为点D,交ON于点C,连接CB,将图形补充完整,并证明四边形OABC是菱形. N

如图(1),将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不21. (2009山西省太原市)问题解决 CE1AM?时,求与点C,D重合),压平后得到折痕MN.当的值. CD2BN

类比归纳 方法指导: D E AM为了求得的值,可先求BN、AM的长,不妨设:AB=2 BN图N C

CE1AMCE1AM?,?则的值等于 ;若则的值等CD3BNCD4BN

CE1AM?(n为整数),则于 ;若的值等于 .(用含n的式子表CDnBN在图(1)中,若

示)

联系拓广

如图(2),将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN,设

含m,n的式子表示) AB1CE1AM??m?1??则的值等于 .(用BCmCDnBN D E

C N 图

22. (2009襄樊市)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC?90?.将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60?得到△DEC,点E在AC上,再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180?得到△ABF.连接AD.

(1)求证:四边形AFCD是菱形;

(2)连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形?为什么?

F C D B

29.(2009年安徽)学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm

,如图所示.已知每个菱形图案的边长,其一个内角为60°.

(1)若d=26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L;

(2)当d=20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案?

32.(2009年陕西省)问题探究

(1)请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB=90°的一个点P,并说明理由. ..

(2)请在图②的正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点P,并说明..

理由.

问题解决

如图③,现有一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3,工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板,且∠APB=∠CP’D=60°,请你在图③中画出符合要求的点P和P’,并求出△APB的面积(结果保留根号).

E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA34.(2009威海)如图1,在正方形ABCD中,

上的点,HA?EB?FC?GD,连接EG,FH,交点为O.

(1)如图2,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;

C C D F F

H B A A B E E

1) )

(2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3cm,HA?EB?FC?GD?1cm,则图3中阴影部分的面积为_________cm.

35.(2009年贵州省黔东南州)如图,l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线,且每相邻的两条平行直线间的距离为h,正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上,且正方形ABCD的面积是25。

(1)连结EF,证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。

2

(2)求h的值。

37.(2009年浙江省绍兴市)若从矩形一边上的点到对边的视角是直角,则称该点为直角点.例如,如图的矩形ABCD中,点M在CD边上,连AM,BM,?AMB?90°,则点M为直角点.

(1)若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点,问该矩形的邻边具有何种数量关系?并说明理由;

(2)若点M,N分别为矩形ABCD边CD,AB

上的直角点,且AB?4,BC,求MN的长.

40.(2009年衢州)如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.

求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.

Q

B

D C

44.(2009年济宁市)在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y?x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y?x于点M,BC边交x轴于点N(如图).

(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积;

(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形

OABC旋转的度数;

(3)设?MBN的周长为p,在旋转正方形OABC

的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论.

x

51.(2009年遂宁)如图,已知矩形ABCD中,AB=4cm,AD=10cm,点P在边BC上移动,点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.

⑴求证:EF+GH=5cm;

⑵求当∠APD=90o时,EF的值. GH

52.(2009年咸宁市)如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪

开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A?C?D?.

(1)证明△A?AD?≌△CC?B;

(2)若?ACB?30°,试问当点C?在线段AC上的什么位置时,四边形ABC?D?是菱

? 形,并请说明理由.

AC A

B 53.(09湖北宜昌)已知:如图1,把矩形纸片

ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动 点P重合(P不与点D,C重合), MN为折痕,点M,N分别在边BC, AD上,连接AP,

MP,AM, AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.

(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);

(2)

AFAN

APAD

是否相等?请你说明理由;

(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H. 设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考) ..

C

B

M

O

O

N

PN

N

图1 图2 图3

54.(09湖南邵阳)如图(十二),直线l的解析式为y??x?4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方形以每秒1个单

y轴分别相交于M、N两点,位长度的速度运动,它与x轴、设运动时间为t秒(0?t≤4).

(1)求A、B两点的坐标;(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1;

(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2, ①当2?t≤4时,试探究S2与t之

图十二

间的函数关系式;②在直线m的运动过程中,当t为何值时,S2为

△OAB面积的

5? 16

57.(2009年山西省)在△ABC中,

AB?BC?2,?ABC?120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角?(0°???90°)得AC、BC于D、F两点. △A1BC1,A1B交AC于点E,AC11分别交

(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论;

B

1

1A1B

1

(2)如图2,当??30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;

(3)在(2)的情况下,求ED的长.

60.(2009年黄石市)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交?BCA的平分线于点E,交?BCA的外角平分线于点F.

(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;

(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由;

(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?

B N C D

61.(2009年黄石市)正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上,AB交y轴正半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE?1,抛物线

(1)求抛物线的解析式;(2)Q是抛物线上D、F间y?ax2?bx?4过A、D、F三点.

的一点,过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M,交BC所在直线于N,若S四边形AFQM?3S△FQN,则判断四边形AFQM的形状;(3分) 2

(3)在射线DB上是否存在动点P,在射线CB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且AP?PH,若存在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由.(4分)

62.(2009年广东省)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点, 当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,

(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)设BM?x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积;

(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.

A D

N

B M C

65.(2009年安徽)20.如图,将正方形沿图中虚线(其中x<y)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).

......

(1)画出拼成的矩形的简图;

(2)求x的值.y

66.(2009湖北荆州)把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多,除了可以分成能相互全等的四个三角形外,你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三...

角形吗?请分别画出示意图。

67.(2009年湖北荆州)如图①,已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形(菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1),∠BAD=120°,对角线均在坐标轴上,抛物线y?12x经过AD的中点M⑴填空:A点坐标为,D点坐标3

为 ;⑵操作:如图②,固定菱形ABCD,将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转?度角(0????90?),并延长OE交AD于P,延长OH交CD于Q.

探究1:在旋转的过程中是否存在某一角度?,使得四边形AFEP是平行四边形?若存在,请推断出?的值;若不存在,说明理由;

探究2:设AP=x,四边形OPDQ的面积为s,求s与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围.

70.(2009厦门)23.已知四边形ABCD,AD//BC,连接BD.

(1) 小明说:“若添加条件BD?BC?CD,则四边形ABCD是矩形”.你认为小明222

的说法是否正确,若正确请说明理由,若不正确,请举出一个反例.

(2) 若BD平分∠ABC,∠DBC=∠BDC,tan∠DBC=1,求证:四边形ABCD 是正方形.

ADAD

BCBC

71.(2009四川绵阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内,E是边

OB上的动点(不包括端点),作∠AEF = 90?,使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m,n).(1)若m = n时,如图,求证:EF = AE;

(2)若m≠n时,如图,试问边OB上是否还存在点E,使得EF = AE?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若m = tn(t>1)时,试探究点E在边OB的何处时,使得EF =(t + 1)AE成立?并求出点E的坐标.

74.(2009

l1

2:y33

C,l1、l2分别交x轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合. (1)求△ABC的面积;

(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;

(3)若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,

设移动时间为t(0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.

77.(2009青海)请阅读,完成证明和填空.

B

图12-1

C

B

N

图12-2

C

A M D

B C 图12-3

E

?

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:

(1)如图12-1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM?AN,连接BN、CM,发现BN?CM,且?NOC?60°. 请证明:?NOC?60°.

(2)如图12-2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM?BN,连接AN、DM,那么AN? ,且?DON? 度.

(3)如图12-3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM?BN,连接AN、EM,那么AN?,且?EON?度.

(4)在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.

请大胆猜测,用一句话概括你的发现:

79.(2009龙岩)在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.

(1)如图25-1,当点M在AB边上时,连接BN.

①求证:△ABN≌△ADN;

②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =?,求点M到AD的距离及tan?的值;

(2)如图25-2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).

试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.

A A B M 80.(2009年抚顺市)如图所示,已知:Rt△ABC中,?ACB?90°.

(1)尺规作图:作?BAC的平分线AM交BC于点D(只保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)所作图形中,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使点A与点D重合,折痕EF交AC于点E,交AB于点F,连接DE、DF,再展回到原图形,得到四边形AEDF. ①试判断四边形AEDF的形状,并证明;

②若AC?8,CD?4,求四边形AEDF的周长和BD的长.

??2. (2009年北京市)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90,∠C=45,

AD=1,BC=4,E为AB中点,EF∥DC交BC于点F,求EF的长.

B

3.(2009仙桃)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D 出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.

(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);

(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形?

(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;

(4)探究:t为何值时,△PMC为等腰三角形?

10.【2009南宁市】如图14,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.

(1)用含x的式子表示横向甬道的面积;(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽;

(3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

18.(2009年山西省)有一水库大坝的横截面是梯形ABCD,AD∥BC, EF为水库的水面,点E在DC上,某课题小组在老师的带领下想测量水的深度,他们测得背水坡AB的

,?ADC?120°,长为12米,迎水坡上DE的长为2米,?BAD?135°求水深.(精确到

0.1

?1.41?1.73)

19.(2009 黑龙江大兴安岭)已知:在?ABC中,BC?AC,动点D绕?ABC的顶点A逆时针旋转,且

AD?BC,连结DC.过AB、DC的中点E、F作直线,直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.

D

(1)如图1,当点D旋转到

BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连结HE、HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论?AMF??BNE(不需证明).

(2)当点D旋转到图2或图3中的位置时,?AMF

与?BNE有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.

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