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2012年全国初中数学竞赛试题(含答案) - 副本

发布时间:2014-02-05 15:44:39  

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)

1.如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

|a?b||b?c|可以化简为( ).

(A)2ca (B)2a2b (C)a (D)a

b2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,x

其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)2a?111 (C) (D) 244

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).

(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x

的取值范围是

.

7.如图,正方形ABCD的边长为

,E,F分别是AB,BC

分别交

于点M,N,则△DMN的面积是 .

x3298.如果关于x的方程x+kx+k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,那么1

2012 的24x222011

值为 .

9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分) (m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x的方11.已知二次函数y?x?

程x?(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?229.求m的取值范围. 10

12.如图,⊙O的直径为AB,⊙O 1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O 1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与⊙O 1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.

13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小

值.

?x2012,满足x1?x2???x2012 14.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

b?a?0?c,且b?c,

所以

|a?b||b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.

2.D

2解:由题设知,?2?a?(?3),(?3)?(?2)?b,所以a?,b?6. 3

2?y?x,??x??3,?x?3,?3解方程组?得? ? y??2;y?2.6??y?,??x?

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

3.D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44

(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?24

4?4a?2b3?4a?2b1于是 ??. 444

4.D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得

?x?2?n(y?2), ??y?n?2(x?n),

消去x得 (2y-7)n = y+4, 2n =(2y?7)?1515. ?1?2y?72y?7

因为15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,2y?7

6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

5.D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以p0?

98910,p1?,p2,p3,因此p3最大. 36363636

二、填空题

6.7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得

26≤487,

-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是

7<x≤19.

7.8

解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN,所以

ADANDN2???, BFNFBN1

2由此得AN?2NF,所以AN?AF. 3

在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以

AF??,

于是

cos?BAF?AB. AF由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?. 于是

AM?AE?cos?BAF,

2MN?AN?AM?AF?AM?, 315

S?MNDMN4??. S?AFDAF15

又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?S?AFD?a2.

21515

因为a?S?MND?8.

8.?2 3

39?=k2-4(k2?3k?)≥0, 42解:根据题意,关于x的方程有

由此得 (k-3)≤0.

又(k-3)≥0,所以(k-3)=0,从而k=3. 此时方程为x+3x+222293=0,解得x1=x2=?. 24

故x1

x220112012=12=?. x23

9.8

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知

2a?3b?130,

由此得0≤b≤43.

又 a?b?(m?1)(m?2),所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是 2

0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43,

87≤(m?1)(m?2)≤130,

由此得 m?8,或m?9.

当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,

a?

a?b55,不合题设. ?22

故m?8.

10.32 2

解:如图,连接AC,BD,OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此 BCBA. ?CFAD

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC, 于是 DEOE??2. 因此 DCOB

DE?2CD?2AD,CE?3AD.

由△AED∽△CEB,知DE?EC?AE?BE.因为AE?所以 2AD?3AD?BA3,BE?BA, 22BA3?BA,BA=22AD ,故 22

CF?AD??

BC?BA三、解答题

11.解: 因为当?1?x?3时,恒有y?0,所以

2??(m?3)?(4m?2)?0,

即(m?1)?0,所以m??1. ???(5分)

当x??1时,y≤0;当x?3时,y≤0,即 2

(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0,

且 3?3(m?3)?m?2≤0,

解得m≤?5. ???(10分)

2

设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1,x2,由一元二次方程根与2

系数的关系得

x1?x2???m?3?,x1x2?m?2. 因为119???,所以 x1x210

x1?x2m?39????, x1x2m?210

解得m??12,或m??2.

因此m??12. ????(20分)

12. 证明:连接BD,因为OB为?O1的直径,所以?ODB?90?.又

因为DC?DE,所以△CBE是等腰三角形.

????(5分)

设BC与?O1交于点M,连接OM,则?OMB?90?.又因为

,所以 OC?OB

?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F.

????(15分)

又因为?BOC,?DO1F分别是等腰△BOC,等腰△DO1F的顶角,所以

△BOC∽△DO1F. ????(20分)

13.解:设a-b = m(m是素数),ab = n(n是正整数).

因为 (a+b)-4ab = (a-b),

所以 (2a-m)-4n= m,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m. ???(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以 2a-m+2n?m,2a-m-2n?1. 2222 2222

(m?1)2m2?

1解得 a?,n?. 44

2(m?1)于是 b= a-m?. ????(10分) 4

(m?1)2

又a≥2012,即≥2012. 4

(89?1)2

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025. 4

当a?2025时,m?89,b?1936,n?1980.

因此,a的最小值为2025. ????(20分)

?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以 14.解:由于x1,x2, ,

x1≥1,x2≥2,?,x2012≥2012.

于是 n?122012122012????≤?????2012.????(10分) x1x2x2012122012

?x2012?2012?2012,则 当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,

122012?????1.????(15分) x1x2x2012

,x2?2, ,?xk?k, 当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令 x1?1

xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则

1220121?????k?(2012?k)??k?1?n. x1x2x20122012?k

综上,满足条件的所有正整数n为1, 2, , ?2012. ????(20分)

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