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七年级数学培优竞赛讲座第7讲__物以类聚——话说同类项

发布时间:2014-02-06 14:59:58  

第七讲 物以类聚——话说同类项

俗话说“物以类聚,人以群分”.在数学中,我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项,一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项.整式的加减实质就是去括号合并同类项.

整式的加减这一章涉及到许多概念,准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础,归纳起来就是要注意以下几点:

理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则.

解与整式加减相关问题时,有括号先去括号,有同类项先合并同类项,这样能使解题过程大为简化. 例题

【例1】 当x的取值范围为时,式子?4x?4?7x??3x?4的值恒为一个常数,这个值是 . (北京市“迎春杯”竞赛题)

思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后,式子应不再含“x”的项,由此得出x的取值范围. 注:数学概念是容的基础.是数学推理和论证的基础.科学研究表明,概念的形成过程中,人们的心理活动经历着以下阶段:

(1)辨别不同的事物; (2)抽象一类事物的共同属性; (3)用简洁的语言符号给概念下定义、定名称. 在概念学习中,应注意以下策略: (1)关键字词理解的策略; (2)正、反例对比策略;

(3)相似概念比较策略;(4)概念系统化策略.

【例2】已知a?b?0,a?b,则化简ba(a?1)?(b?1)得( ). ab

A.2a B.2b C.十2 D.一2 (江苏省竞赛题)

思路点拨 由已知条件可推得多个关系式,这是解本例的关键.

【例3】 已知x=2,y=一4时,代数式ax3?11by?5?1997,求当x??4,y??时,代数式223ax?24by3?4986的值.

思路点拨 一般的想法是先求出a,b的值,这是不可能的(为什么?)解本例的关键是:将给定的x、y值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的联系,整体代人求值.

【例4】已知关于;的二次多项式a(x?x?3x)?b(2x?x)?x?5,当 x=2时的值为一17,求当x=一2时,该多项式的值. (“希望杯”邀请赛培训题)

思路点拨 设法求出a,b的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a,b的等式.

【例5】(1)已知:5∣(x+9y)(x,y为整数),求证:5∣(8x十7y) . (全国初中数学联赛试题)

(2)试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.

思路点拨 (1)尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式,(2)逆用整式的加减,将每一类自然数表示为两个式子的和,并证明它们互质,注意分类讨论.

注:解代数式化简求值问题的基本方法有:将字母的值代入或字母间的关系整体代入等.关键是对代数式进行恰当变形,其中去括号、添括号能改变代数式的结构,是变形求简的一

种常用工具.

“回到定义中去”,这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法,在解题遇到困难的时候,请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示.

欲证明一个多项式能被某数整除,常需对该多项式进行适当的变换,或对字母进行代换,充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题.

数学中有许多可以类比的对象,如数与式,整数与整式.教学中的许多结论就是通过类比得到的,同时类比也是学习数学中的一种有效方法.

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学力训练

1.已知2abxn?1与?3a2b2m是同类项,那么(2m?n)x. (江苏省竞赛题)

2.已知代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1).

(1)当x的取值无关;

(2)在(1)的条件下,多项式3(a2-2ab-b2)一(4a2+ab+b2)的值为

3.已知a=1999,则3a3?2a2?4a??3a3?3a2?3a?2001.

4.已知当x=一2时,代数式ax3?bx?1的值为6,那么当 x=2时,代数式ax3?bx?1的值是. (安徽省中考题)

5.火车站和机场都为旅客提供打包服务,如果长、宽、高分别为x、y、z的箱子按如图的方式打包,则打包带的长至少为( ).(太原节中考题)

A. 4x+4y+10z B.x+2y+3z C. 2x+4y+6z D. 6x+8y+6z

6.同时都含有字母a、b、c,且系数为1的7次单项式共有( ) .

A .4个 B.12个 C. 15个 D.25个 (北京市竞赛题)

7.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示:则代数式a?a?b?c?a?b?c化简后的结果是

( ).A.2一a B.2a一2b C.2c—a D.a

8.已知?m?2n?25,那么5(m?2n)?6n?3m?60的值为( ).

A.80 S.10 C.210 D.40

9.把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F并展开如图所示,已知:A?x?4xy?3y,222C?3x2?2xy?y2 ,B?

求D、F.

1(C?A) ,E?B?2C,若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等,2

10.已知单项式0.25xy与单项式?0.125xy

bcm2n?1的和为0.625xy,求abc的值. nm2

11.对于整式6x5+5x4+4x3+3x2+2x+2002,给定x的一个数值后,如果小颖按四则运算的规则计算该整式的值,需算15次乘法和5次加法.小明说:“有另外一种算法,只要适当添加括号,可以做到加法次数不变,而乘法只算5 次”.小明同学的说法是 的.(填“对”或“错”) ( “希望杯”邀请赛试题)

12.若a?b?2,b?c??3,c?d?5,则(a?c)(b?d)?(a?d)=

13.当x=2时,代数式ax3?bx?1的值等于一17,那么当x=一1时,代数式12ax—3bx3—5的值等于 . (北京市“迎春杯”竞赛题)

14.将1,2,3,??,100这100个自然数,任意分为50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式1(a?b?a?b)中进行计算,求出其结果,50组数代人后可求得2

50个值,则这50个值的和的最大值是.

15.计算1+2—3—4+5+6一7一8+9+10—1l一12??+1993+1994—1995一1996+1997+1998—1999—2000,最后结果是( ). A.0 B.一1 C.1999 D.一2000

16.已知a??b且a?0,则a?b?a?b?ab等于( ). b

A.2a+2b+ab B.一ab C.一2a一2b+ab D.一2a+ab

x2(ax5?bx3?cx)17.已知代数式,当x=l时,值为l,那么该代数式当x=一l时的值是( ). x4?dx2

A.1 B.一l C.0 D.2 ( “希望杯”邀请赛试题)

18.如果对于某一特定范围内x的任意允许值p??2x??3x????9x??10x的值恒为一常数,则此值为( ) A.2 B.3 C.4 D. 5 (安徽省竞赛题)

19.(1)已知a、b为整数,且n=l0a+b,如果17│a一5b,请你证明:17│n.

(2)已知一个三位数,它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数.

证明:这个三位数也是11的倍数.

20.在一次游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字),并请这个人算出5个数acb、bac、bca、cab与cba的和N,把N告诉魔术师,于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc.

现在设N=3194,请你当魔术师,求出数abc而来.

3

21.x、y、z均为整数,且11 │7x+2y—5z,求证:1l│3x一7y十12z. (北京市竞赛题)

22.计算多项式ax3?bx2?cx?d的值时有以下3种算法,分别统计3种算法中的乘法次数. ①直接计算:ax3?bx2?cx?d时共有3十2+l=6(次)乘法;

②利用已有幂运算结果:x3?x2?x,计算ax3?bx2?cx?d时共有2+2+1= 5(次)乘法; ③逐项迭代:ax?bx?cx?d??(ax?b)x?c?x?d,其中等式右端运算中含有3次乘法. 32

请问:(1)分别使用以上3种算法,统计算式

a0x10?a1x9?a2x8???a9x?a10中乘法的次数,并比较3种算法的优劣.

(2)对n次多项式a0xn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an(其中a0,a1,a2,?,an为系数,n>1),分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数,并比较3种算法的优劣.

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第七讲 物以类聚——话说同类项参考答案

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