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七年级数学培优竞赛讲座第6讲_计算——工具与算法的变迁

发布时间:2014-02-06 15:00:01  

第六讲 计算——工具与算法的变迁

研究数学、学习数学总离不开计算,随着时代的变迁,计算工具在不断地改变,从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算.

初中代数中运算贯穿于始终,运算能力是运算技能与逻辑能力的结合,它体现在对算理算律的理解与使用,综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上,这要求我们要善于观察问题的结构特点,灵活选用算法和技巧,有理数的计算常用的方法与技巧有:

1.巧用运算律;

2.用字母代数;

3.分解相约;

4.裂项相消;

5.利用公式等.

【例1】 现有四个有理数3,4,一6,l0,将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算,使其结果等于24,其三种本质不同的运算式有:

(浙江省杭州市中考题)

思路点拨 从24最简单的不同表达式人手,逆推,拼凑.

注: 今天,计算机泛应用于社会生活各个方面,计算机技术在数学上的应用,不但使许多繁难计算变得简单程序化,而且还日益改变着我们的观念与思维.

著名的计算机专家沃斯说过:“程序=算法十数据结构”.

有理数的计算与算术的计算有很大的不同,主要体现在:

(1)有理数的计算每一步要确定符号;

(2)有理数计算常常是符号演算;

(3)运算的观念得以改变,如两个有理数相加,其和不一定大于任一加数;两个有理数相减,其差不一定小于被减数.

【例2】 如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7?m)(7?n)(7?p)(7?q)?4,那么,m?n?p?q等于( ).

A.10 B.2l C.24 D.26 E.28 (新加坡数学竞赛题)

思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式.

【例3】 计算: (1)1?111; (“祖冲之杯”邀请赛试题) ????1?21?2?31?2?3???100

(2)19492—19502+19512—19522+?+19972—19982+19992 (北京市竞赛题)

(3)5+52+53+?十52002.

思路点拨 对于(1),首先计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形人手;(2)式使人易联想到平方差公式,对于(3),由于相邻的后一项与前一项的比都是5,可从用字母表示和式着手.

【例4】(1)若按奇偶分类,则22004+32004+72004+92004是 数;

(2)设a?3,b?4,c?5 ,则a、b、c的大小关系是(用“>”号连接);

(3)求证:32002+42002是5的倍数.

思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,解与乘方运算相关问题常用到以下知识:①乘方意义;②乘方法则;③a

r=0时,n4k?r2n554433?0;④an与a的奇偶性相同;⑤在n4k?r中(k,r为非负整数,n?0,0≤r<4),当4k?r的个位数字与n4的个位数字相同;当r?0时,? n的个位数字与n的个位数字相同. r

注:在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧.

1

【例5】有人编了一个程序:从1开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次运算结果加2或加3;每次乘法,将上次运算结果乘2或乘3,例如,30可以这样得到:

(1)证明:可以得到22;

(2)证明;可以得到2100?297?2.

学力训练

1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×

(2)若a??

2.计算: 200420032002,b??,c??,则a、b、c的大小关系是 200320022001

4351?2?(?15)?0.7???(?15)?; 9494

1919197676(2) ?7676761919

111(3); ????3?55?71997?1999(1)0.7?1

(4)(13.672?125?136.72?12.25?1367.2?1.875)?17.09? .

3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),使得等式成立:

6

111得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得数的 又得到一个234

1数,??,依次类推,一直加到上一次得数的,那么最后得到的数是 . 1999

35.根据图所示的程序计算,若输入的x值为,则输出的结果为( ). 2

7919A . B. C. D. 24224.1999加上它的

(北京市海淀区中考题)

6.已知a??2000?2000?20001999?1999?1999,b??,1999?1999?19991998?1998?1998

c??2001?2001?2001,则abc=( ). 2000?2000?2000

A. 一1 B.3 C. 一3 D.1 ( “希望杯”邀请赛试题)

7.如果有理数a、b、c满足关系a<b<0<c,那么代数式bc?ac的值( ). ab2c3

A.必为正数 B.必为负数 C.可正可负 D.可能为0

8.将322、414、910、810,由大到小的排序是( ).

A.322、910、810、414 B.322、910、414、810

C. 910、810、414、322 D. 322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题)

9.阅读下列一段话,并解决后面的问题:

观察下面一列数:

l,2,4,8,?,我们发现,这一列数从第2项起,每一项与它前一项的比都等于2. 一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.

(1)等比数列5,一15,45,?的第4项是;

2

(2)如果一列数a1,a2,a3,a4,?是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有aa2?q,3?q,a1a2a4?q,?,所以a2?a1q,a3?a2q?(a1q)q?a1q2,a4?a3q?a1q3,?,an (用a3

a1与q的代数式表示).

(3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (广西省中考题)

abcabcnm

??10.(1)已知a、b、c都不等于零,且?的最大值是m,最小值为n,求的值. abcabcmn

(2)求证:5353一3333是10的倍数.

11.计算

20032?4004?2003?2002?4008?2003?2004(1)?; 22003?3005?2003?2003?2005?2005?3005

(2)2?2?2?2?2?2?2?2?2?2; 2345678910

1?2?3?3?6?9?5?10?15?7?14?21; 1?3?5?3?9?15?5?15?25?7?21?35

(4)98?998?9998???99?98= ???(3)

50各9

12.(1)32001?72002?132003所得积的末位数字是 (江苏省竞赛题)

(2)若l3+23+33+?+153=14400,则23+43+63+?+303= .

13.若a、b、c、d是互不相等的整数(a?b?c?d),且abcd=121,则a?b

14.你能比较20012002与20022001的大小吗? (江苏省常州市中考题)

为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较nn+1与(n+1)n的大小(n是自然数),然后,我们从分析n=l,n=2,n=3??中发现规律,经归纳,猜想得出结论。

(1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号).

①1223; ②2332;③343;④454; ⑤5665;??

(2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是 .

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小200120022001.

cd

3

15.如果ttttt1t2??3?1,则123的值为( ). t1t2t3t1t2t3

A.一1 B.1 C.土1 D.不确定 (2003年河北省竞赛题)

16.如果ac<0,那么下面的不等式a ?0,ac2?0,a2c?0,c3a?0,ca3?0中必定成立的有( ).c

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

222232491222248

17.设S?,T???,则S?T=( ). ????????1?33?55?797?9935799

249249249249

A. B.1? C.?1 D. ?1 ( “五羊杯”竞赛题) 99999999

18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为( ). 11175 A. B. C. D. (江苏省竞赛题) 21869

19.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数:11,,1,2,4,8,16,32,64填入方格42

中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x的值. (上海市竞赛题)

20.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0,

a2002+b2001的值.

4 a,b的形式,求b

21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数;

(2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数;

(3)用相同的3个数字(1~9),不用运算符号,写出最大的数.

22.如图,是一个计算装置示意图,J1,J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1,J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:

(1)若J1,J2分别输入l,则输出结果为1;

(2)若J1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2;

(3)若J2输入l,J1输人自然数增大1,则输出结果为原来的2倍.

试问:(1)若J1输入l,J2输入自然数n,输出结果为多少?

(2)若J2输入l,J1输入自然数m,输出结果为多少?

(3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?

(2002年扬州中学招生试题)

5

第六讲 计算——工具与算法的变迁参考答案

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