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第20讲 计数综合四

发布时间:2014-02-07 10:48:47  

第20讲 计数综合四

内容概述

了解对应的思想,能够建立起一类对象与另一类对象之间的对应关系,并通过对后者的计数得到前者的答案;需要考虑对称性的各种复杂计数问题,解题时要注意旋转和翻转对结果的影响。

典型问题

兴趣篇

1. 在8×8的放个表中,取出一个如图20-1所示的由3个小方格组成的“L”形,共有多少种不同的取法?

图20-1

2. 冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋,那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法?

3. 常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛,比赛没有平局,谁先胜4局即获得比赛的胜利,请问:比赛过程一共有多少种不同的方式?

4. 10只相同的橘子放到3个不同的盘子李,每个盘子至少放1只,一共有多少种不同的放法?

5. 一部电视连续剧共8集,电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完,其中可以有若干天不播,共有多少种安排播出的方法?

6. 某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查,每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中作出了选择,请问:三个选项的统计数学共有多少种不同的可能?

7. 海淀大街上一共有18盏路灯,区政府为了节约用电,打算熄灭其中的7盏,但为了行路安全,任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭,请问:一共有多少种熄灯方案?

8. 数字和为9,而且不含数字0的三位数共有多少个?四位数共有多少个?

9. 有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分为相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂,相邻两节不能同色,那么可以染成多少种不同的圆棒?

10. 给一个正四面体的4个面染色,每个面只允许用一种颜色,且4个面的颜色互不相同,现有5种颜色可选,共有多少种不同的染色方式?(旋转后是一样的染色情况算是同一种方式)

拓展篇

1. 在8×8的方格期盼中,一共可以数出多少个如图20-2

所示的由4个单位小正方形组成的“L”型?

图20-2 图

20-3

2. 一次射击比赛中,7个泥制的靶子挂成3列(如图20-3)。一位射手按下列规则去击碎靶

子:先挑选一列,然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个,若每次都遵循这一原则,则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序?

3. (1)一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点,如果它每一次跳跃的长度都是1分

米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法?

(2)如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回4到起点,每次跳跃的长度仍是1分米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法?

4. 如图20-4所示,有两条平行线,如果每条直线上有3个点,连出3条线段,从图中最多可以数出5个三角形;如图20-5所示,如果每条直线上有4个点,连出4条线段,从图中最多可以数出16个三角形,如果每条直

线上有10个点,连出10条线段,从图

中最多可以数出多少个三角形?

20-4 图20-5

5. 把20个苹果分给3个小朋友,每个小朋友至少分1个,共有多少种分苹果的方法?如果可以有小朋友没有分到苹果,共有多少种分法?

6. 冬冬有10块大白兔奶糖,他从今天起,每天至少吃一块,直到吃完,请问一共有多少种不同的吃法?

7. 美国众议院435名议员队“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票,每名议员都可以选投赞同票、反对票和弃权票中的某一种,并且只要赞成票多于总票数的一半,提案就会被通过,否则不能通过,表决结果是拒绝缴纳,试问共有多少种可能的三种票数的统计情况?

8. 有10个小朋友排成一列,要从中选出3个互不相邻的小朋友,有多少种不同的选法?

9. 一次自助餐,共有10种菜,每个人都有4个盘子可以选菜,每个盘子只能放1种菜,但可以重复选菜,请问:共有多少种选菜方案?

10. 3个男生和7个女生站成一排,要求每2个男生之间至少有2个女生,共有多少种排列方法?如果站成一圈呢?

11. 一个长方体的各边长都是整数,并且它的体积是2310,那么这样的长方体有多少个?(如果两个长方体经过旋转可以重合,则认为它们是同一个长方体。)

12. 用4种颜色为一个正方体的6个面染色,要求每个面只能用1种颜色,且相邻面的颜色

必须补相同。如果将正方体经过翻转后颜色相同,就认为是同一种染色方法,那么共有多少种不同的染色方法?

超越篇

1. 某工厂生产一批玩具,玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球,其中3个是红球,10

个白球,如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起,使得红球对红球、白球对白球,这样的两个圆环就认为是相同的,那么一共可以生产多少种不同的圆环?

2. 对于由1至6组成的无重复数字的六位数,如果它的首位数字不是1,那么可以进行如

下的1次操作:记首位数字为k,则将数字k与第k位上的数字对换,例如,245136可以进行两次操作:245136→425136→125436,请问:可以进行5次操作的六位数有多少个?

3. 大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚,现在要将它们穿

成一串,要求相同样色的珠子不能相邻,共有多少种不同实质的穿法?如果要穿成一个圈呢?

4. 有8个队参加比赛,采用如图20-6所

示的淘汰制方式,问:在比赛前抽签时,

可以得到多少种实质不同的比赛安排

表?

图20-6

5. 平面上8个点构成一个凸八边形,将这8个点中任意2个点之间连接一条线段,已知任

意3条线段都没有交于一点,请问:

(1) 八边形内共连接了多少条线段?

(2) 这些线段在八边形内共有多少个交点?

(3) 所形成的图形中最多可以数出多少个三角形?

6. 动物园的门票5元1张,每人限购1张。现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋

友只有5元的钞票,另外5个小朋友只有10元的钞票,售票员没有准备零钱,请问:有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?

7. 经理将要打印的信件交给秘书,每次给一封,且放在所有信件的最上面,秘书一有空就

从最上面拿一封信来打,有一天共有7封信要打印,经理按1号信,2号信,??,7号信的顺序交给秘书。午饭时,秘书告诉同事,经理已经给了5封信,她已经把5号信打好了,但未透露上午工作的其他情况。问:

(1) 如果上午秘书已经把五封信打完了,那么上午打印信的顺序有多少种可能?

(2) 如果上午秘书海没有把信打完,那么下午打印信的顺序有多少种可能?

8.(1)将8个黑球和20个白球排成一圈,每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种?

(2)8名女生,20名男生站成一圈,要求每2名女生之间至少有2名男生。有多少种不同的站法?(经过旋转后相同的算作同一种排法,答案用阶乘表示。)

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