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2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷[1]

发布时间:2014-02-07 12:42:49  

2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)

1.(7分)已知非零实数a,b满足|2a﹣

4|+|b+2|+ +4=2a,则a+b等于( )

2.(7分)如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( )

3.(7分)将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组

只有正数解的概率为( )

4.(7分)(2006?鄂尔多斯)如图1,在直角梯形ABCD,∠B=90°,DC∥AB,动点P从B点出发,由B﹣﹣C﹣﹣D﹣﹣A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果关于x的函数y的图象如图2,则△ABC的面积为( )

22二、填空题(共5小题,每小题7分,满分35分)

6.(7分)一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 _________ km.

7.(7分)已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则值为 _________ . 的

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8.(7分)已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数,若b是关于x的方程(x﹣a1)(x﹣a2)(x﹣a3)(x﹣a4)(x﹣a5)=2009的整数根,则b的值为 _________ .

9.(7分)如图,在△ABC中,CD是高,CE为∠ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于

10.(7分)(2009?呼和浩特)10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人,然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 _________

三、解答题(共4小题,满分80分)

222211.(20分)已知抛物线y=x与动直线y=(2t﹣1)x﹣c有公共点(x1,y1),(x2,y2),且x1+x2=t+2t﹣3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

12.(20分)已知正整数a满足192|a+191,且a<2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

13.(20分)如图,给定锐角三角形ABC,BC<CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG

的大小,并证明你的结论. 3

14.(20分)n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…,an中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

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2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)

1.(7分)已知非零实数a,b满足|2a

﹣4|+|b+2|++4=2a,则a+b等于( )

2.(7分)

如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( )

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菁优网 3.(7分)将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组

只有正数解的概率为( )

4.(7分)(2006?鄂尔多斯)如图1,在直角梯形ABCD,∠B=90°,DC∥AB,动点P从B点出发,由B﹣﹣C﹣﹣D﹣﹣A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果关于x的函数y的图象如图2,则△ABC的面积为( )

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二、填空题(共5小题,每小题7分,满分35分)

6.(7分)一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 3750 km.

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7.(7分)已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则值为 . 的

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8.(7分)已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数,若b是关于x的方程(x﹣a1)(x﹣a2)(x﹣a3)(x﹣a4)(x﹣a5)=2009的整数根,则b的值为 10 .

9.(7分)如图,在△ABC中,CD是高,CE为∠ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于 .

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10.(7分)(2009?呼和浩特)10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人,然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 ﹣2 .

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菁优网 三、解答题(共4小题,满分80分)

11.(20分)已知抛物线y=x与动直线y=(2t﹣1)x﹣c有公共点(x1,y1),(x2,y2),且x1+x2=t+2t﹣3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

2222

12.(20分)已知正整数a满足192|a+191,且a<2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和. 3

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13.(20分)如图,给定锐角三角形ABC,BC<CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

14.(20分)n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…,an中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

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