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联赛题型解读之八:圆

发布时间:2014-02-08 09:45:29  

联赛题型解读之八:圆

一、真题分值分析

二、圆的相关知识与定理

圆是几何的熔炉,全等和相似均可以放在园中进行考察,结合圆特有的角和线段的数量关系,可以隐身极多的问题,但是大问题都是由小的知识点堆砌起来的,一切都需要回到知识的本质。我们这里先将圆内的一些知识,以及一些简单的结论进行梳理。

1.垂径定理

2.圆周角与圆心角

3.切线

性质与判断、弦切角、切线长定理、内切圆

直角三角形的内切圆半径:r=

三、联赛中圆的考察方式

1.计数与面积

例1.(2005年)图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是( )

A. 26 2a?b?c 2 B. C.125??2 2 D.1??2

2

例2.(2005年)圆内接四条边长顺次为5、10、11、14,则这个四边形的面积为( )

A.78.5

2.垂径定理

例3.(2007年)已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2,BC=CD=10,AD=6,过BD两点圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE-BF的值为

_________

B.97.5 C.90 D.102

3.圆与相似

例4.(2011年)如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果DE=3CE,AC=85,D为EF的中点,则AB=_________ 4

4.圆中的线段

例5.(2013年)已知AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠CAB=15°,∠ACB的平分线交⊙O于点D,若CD=,则AB=( )

A.2 B.6 C.22 D.3

5.圆与切线

例6.(1999年)如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC,已知圆过点C且与AC相交于F,与AB相切于AB的中点G,求证:AD⊥BF

6.公切圆

例7.(2002年)如图所示,⊙O1与⊙O2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行平行,则⊙Ol与⊙O2的半径之比为( )

A.2∶5

B.1∶2

C.1∶3

D.2∶3

7.三角形内切圆

例8.(2010年)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MQ∥AC,交⊙I于点Q,证明:PQ是⊙I的切线

8.四点公圆判断及应用

例9.(2012年)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,证明:AD2=BD·CD

9.多个三角形的外心

例10.(2006年)在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于EF,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心

(1) 求证:O、E、O1三点共线;(2) 求证:若∠ABC=70°,求∠OBD的度数

10.五心

例11.(2007年)已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的的外接圆的半径,则∠A的度数是( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

例12.(2013年)在△ABC中,AB>AC,O、I分别△ABC是的外心和内心,且满足AB-AC=2OI,求证:(1) OI∥BC;(2) S△AOC-S△AOB=2S△AOI

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