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第二十四届希望杯1试试题及答案

发布时间:2014-02-08 14:00:16  

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试试题

2013年3月17日 上午8:30至10:00

竞赛结束时,只交答题卡,试卷可带走。答案于今日10:00在以下网站和微博公布:

“希望杯”官方网站:http://www.hopecup.org “希望杯”微博:http://e.weibo.com/xiwangbei 《数理天地》官方网站:http://www.mpw91.com 《数理天地》微博:http://e.weibo.com/shulitiandi 未经“希望杯”组委会授权,任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷,也不准以任何形式(包括网络)转载。

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.有下列五个等式:①y=3x+1;②y2=x2-1;③y=;④y=|x|;⑤|y|=x.其中,表示“y是x的函数:的有 ( )

(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.

2.点(-7,m)和点(-8,n)都在直线y=-2x-6上,则m和n的大小关系是( )

(A)m>n. (B)m<n. (C)m=n. (D)不能确定的.

3.下列命题中,正确的是( )

1(A)若a>0,则a> a

(B) 若a>a2,则a>1. (D) 若|a|=a,则a>0. (C)若0<a<1,则a>a2.

14.若定义运算“⊙”:a⊙b=ba,如3⊙2=23=8,则3⊙( ) 2

1(A) 8 (B)8. 1(C). 6 3(D). 2

5.以下关于平行四边形的判定中,不正确的是( )

(A)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (B)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(C)对角线相等的四边形是平行四边形. (D)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

6.用一根长为a,并且没有伸缩性的线围成面积为S的等边三角形.在这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三条边的距离之和为( )

2S(A). a (B) 4S. a (C) 6S a (D) 8S. a

7.若-199<x<199,且m=||x|-100|的值为整数,则m的值有( )

(A) 100个. (B)101个. (C)201个. (D)203个.

8.已知x=2+3,且x8+1=x4(6y+8),则y的值是( )

(A)10. (B)15. (C)20. (D)30.

9.If a right triangle has edge lengths a-b,a,a+b(a and b are both positive integers),then the perimeter of the triangle might be( )

(A)60. (B)70. (C)80. (D)90.

(英汉词典:right triangle 三角形;positive integer正整数;perimeter 周长)

10.小王与小李约定下午3点在学校门口见面,为此,他们在早上8点将自己的手表对准.小王于下午3点到达学校门口,可是小李还没到,原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟.如果小李按他自己的手表在3点到达,则小王还需要等( )(正确时间)

(A)26分钟. (B)28分钟. (C)30分钟. (D)32分钟.

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.若52x+1=125,则(x-2)2012+x.

12.计算:22013-22012-22011-?-22-2-1= .

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13.用边长为1cm的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形,则第n次所摆图形的周长是 cm.(用关于n的代数式表示)

14.有两个函数y=ax+b和y=cx+5,学生甲求出它们图象的交点的正确坐标(3,-2),学生乙因抄错c

31而得出交点坐标(),则函数y=ax+b的解析式是.

44

图1 图2

图3

图4

15.如图2,三个正比例函数的图象分别对应解析式:①y=ax,②y=bx,③y=cx,若将a,b,c从小

到大排列,则应当是 .

16.如图3,在正方形ABCD中,E、G、F分别是AB、AD、BC边上的点,若BE=2AE,AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长是 .

17.一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2,2x-1.若

这两个三角形全等,则x的值是 .

18.有甲、乙、丙三种商品,购甲3件,乙7件,丙1件,需3.15元;购甲4件,乙10件,丙1

件,需4.20元.若购甲、乙、丙各一件,则需 元.

19.设a,b是实数,且1111+b1+a- = + 的值是 . 1+a1+bb-a1+a1+b

20.将不大于20的正偶数分成两组,使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除.则商的最

小值是 .

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.数学老师用10道题作为一次课堂练习,课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图,如图4

所示.观察此图可知,每位同学答对的题的个数组成的样本众数是 ,中位数是 .

22.方程|x-|2x+1||=3的解是 或 .

2mx323.若关于x的方程+ = m= 或 . x+2x-2x-4

124.Let x(y+,x and y are both positive integers,then the largest value of x+y is,the x

smallest value of x+y is

(英汉词典:value 值)

c25.已知a+b+c=0,a≥b≥c,a≠0 ,最小值是 . a

附加题(每小题10分,共20分)

1.A商品的单价是50元,B商品单价是60元,几所学校各付款1220元购买了这两种商品,任意2

所学校购买的A商品的数量都不同.则参加这次采购的学校最多有 所.

2.十进制数中,右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数,如134,258.那么三位数中的上升数

有 个;在三位上升数中,3的倍数有 个.

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第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试答案与解析

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.选:C;【解析】①③④是函数;

2.选:B;【解析】k=-2,y随x增大而减小,-7>-8,∴m<n;

3.选:C;

1114.选:A;【解析】3)3=; 228

5.选:C;

2S6.选:C; a

7.选:B;【解析】当100≤|x|≤199时,m=0,1,?,99这100个值,当0≤x≤99时,m=1,2?,100这100个值,综合两种情况:m=0,1,?100,这101个整数值;

111118.选:B;【解析】x=2+332,x+3,6y+8=x4+=(x2+2-2=[(x+2-2]2-2=(12-2)2-2=98;xxxxx

∴y=15;

9.选:A;【解析】题目翻译:“一个直角三角形三边为a-b,a,a+b,(a,b是正整数),则它的周长可能是( )”,由于a-b<a<a+b,有(a-b)2+ a2 =(a+b)2,得a=4b,所以三边为3b,4b,5b,周长是12的倍数;

正常时间601510.选:C;【解析】:= = 8:00走到15:00用t小时,有t:5614小李手表时间

7=15:14,t=7.5,即15:30时,小李的表才走到下午3点;

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.-1;【解析】52x+1=53,2x+1=3,x=1,(-1)2013= -1;

-----12.1;【解析】∵2n-2n1 =2×2n1-2n1 =(2-1)×2n1=2n1,

∴22013-22012-22011-?-22-2-1=22012-22011-?-22-2-1=22011-?-22-2-1=??=2-1=1;

13.4n;【解析】如图5,周长可以看作是边长为n的正方形的周长;

3114.y=--x+1;【解析】即3a+b= -2,a+b=,解出a = -1,b = 1; 44

15.c<a<b;【解析】由图可知:b>a>0,c<0;

1610;【解析】设AE=x,作GH⊥于BC于H,由GE2+EF2=GF2,可得: (12+x2)+[22+(2x)2]=(3x)2+(2-1)2,得x=1,GF3+1=10;

717.3;【解析】若3x-2=5,x=2x-1=7,x=4矛盾,舍去;若3x-2=7,x=3,2x-1=5,x=3无矛盾; 3

?3x+7y+z=3.15?①18.1.05;【解析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别是x元、y元、z元.则有? ?4x+10y+z=4.20?② 图5

②-①得:x+3y=1.05?③ ,①-2×③得:x+y+z=1.05;

b-ab-ab+1-(a+1)b+1-(a+1)1+b1+a19.3;【解析】两边同时乘以(b-a) - = 1 - = 1-1+ -1=1,1+a1+b1+a1+b1+a1+b

即1+b1+a+ = 3; 1+a1+b

20.7;【解析】将不大于20的正偶数的积分解质因数为:218×34×52×7,所以分成两组积为29×32×5×7、和29×32×5商为7是最小的.验证:(2×14×16×18×20)÷(4×6×8×10×12);

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.8;9;

4122.2;【解析】当x≥- |x-2x-1|=3,|x+1|=3,x+1>0, x+1=3,x=2;

32

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14当x<-时,|x+2x+1|=3,|3x+1|=3,3x+1<0,3x+1=-3,x=2,x=-; 23

23.-4;6;【解析】去分母:2(x+2)+mx=3(x-2),当x=2时,8+2x=0,x= -4,

当x= -2时-2x= -12,x=6;

124.2013;507;【解析】不妨设x<y,x(y+)=2013,xy+1=2013,xy=2012=2×2×503,x、y是整数,x

当x=1,y=2012,x+y=2013最大;当x=4,y=503时,x+y=507最小;

125.- ;-2;【解析】a+b+c=0,a≥b≥c,a≠0,∴a>0,b= -a-c ,∴a≥-a-c≥c,两边同时除以2

ccc1a,得:1≥-1-≥,∴-2≤- aaa2

附加题

1.4;【解析】设某校购买了x件A商品,y件B商品.则有50x+60y=1220,即5x+6y=122,

2122-5x2+x5x<122,x<24y==20-x+x是除以6余4的数,所以x=4,10,16,22,即有四个整数566

解,所以有4所学校;

2.84;30;【解析】前两位是12,个位可以是3,4?9,共7个;前两位是13,个位可以是4,5?9,共6个;??;前两位是18,个位可以是9,共1个,首位是1的共有1+2+3+4+5+6+7=28个.同理,首位是2的共有1+2+3+4+5+6=21个,首位是3的共有1+2+3+4+5=15个;首位是4的共有1+2+3+4=10个;首位是5的共有1+2+3+=6个;首位是6的共有1+2=3个;首位是7的共有1个;1+3+6+10+15+21+28=84.

其中3的倍数有:(123、126、129),3个;(135、138),2个;147,1个;(156、159),2个;168;1个;189,1个.一共10个.

(234、237),2个,(246.249),2个;(258、267、279)各1个,一共7个.

(345、348、357、369、378),一共5个.

(456、459、468、489),一共4个.

(567、579),一共2个.

678,一共1个

789,一共1个,∴一共是30个;

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