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2014“数学花园探秘”高年级组决赛解析

发布时间:2014-02-09 13:54:04  

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??????????????????????????????2014年“数学花园探秘”高年级组决赛解析?

(时间:2014年2月8日19:30—21:00)?

?

一.填空题Ⅰ(每小题8分,共40分)?

3?20141. 算式的计算结果是???????.?1133?3+?5464103.6?37?

【考点】计算、繁分数化简

【难度】☆

【答案】1

【分析】略?

?

2. 右图中有个平行四边形.?

?

【考点】几何计数

【难度】☆

【答案】5

【分析】两个小+三个大的?

?

3. 盛盛和嘉嘉共有28块糖,盛盛把自己一半的糖给嘉嘉,然后嘉嘉又把一半的糖给了盛盛,此时盛盛、嘉嘉的糖数

之比为4:3,那么开始时,嘉嘉有________块糖.

【考点】还原问题

【难度】☆

【答案】20

【分析】如下表分析:

12

24

20

?盛1648 ?

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4. 8的所有约数的乘积是A,A的所有约数的乘积是B,B的所有约数的乘积是C,那么,C有个约数.?

【考点】数论、约数积、约数个数

【难度】☆☆☆

【答案】232

n??N非完全平方数 约数积是:N2 【分析】N的约数积公式:约数个数是n个?

2n??N完全平方数(N?a) 约数积是:a

8(非完全平方数、4个约数)→约数积是82

82=26(完全平方数、7个约数)→约数积是87

87?221(非完全平方数、22个约数)→约数积是(2)21222?2231

2231的约数个数是232个.

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5. 右面竖式中的两个乘数之和为________.?

?

【考点】数字谜

【难度】☆☆☆

【答案】903

【分析】如下图所示:g是2或6;d?4,所以d的取值是1、2、3;d?2时,

立。d?3,2n和1g是2倍关系,不成2n和1g相差一个abc,b?8或9,无法成立,所以d?1,可得b是2,可得c是8或9,由

0f可确定1e4的e是7,c?9,从而确定abc?729、de4?174,所以729?174?903.

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????

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二.填空题Ⅱ(每小题10分,共50分)?

6. 定义新运算“⊙”:a⊙b=ab?1?ba?1,那么,算式2014⊙2013⊙2012⊙…⊙2⊙1的计算结果是________.(任何非零

数的零次方都是1)?

【考点】定义新运算

【难度】☆☆☆

【答案】2

【分析】1的任何次方均为1,任何不为0的数的0次方也为1;因此本题中,可令不管2014⊙2013⊙2012⊙…⊙2的

得数是多少,令其等于“A”,其实就是求A⊙1,而A必不为“0”,根据题中“⊙”的定义,A⊙1=A

为“2”。

7. 如图,在10×10的棋盘内玩警察抓小偷的游戏.游戏开始时,小偷在第4行第4列,警察在第10行第10列.小

偷警察轮流走,小偷先行.小偷1步能走到与所在格子有公共边的格子中,轮到小偷时也可以选择不动.警察1步可走2次,每次能走到与所在格子有公共边的格子中.当警察和小偷在同一格子中时,警察就能抓住小偷.要确保抓住小偷,警察至少要走__________步.?

1?1?1A?1,答案

【考点】数学游戏

【难度】☆☆

【答案】9

【分析】从(10.10)走到(1.1)需要走9步即可。最坏情况小偷由(4.4)到达(1.1),要确保抓住小偷,警察需

要走到(1.1)位置。?

????证明:警察要追上小偷(现在离12格),需要12?2=6(步),小偷往右走或者往下走只能减少小偷与警察之

间的距离,所以小偷只能往左走或上走,而警察每步都比小偷多走1格;当小偷走到(1.1)位置,警察与小偷的距离是12?6?1?6格。若不动,警察只需要再走3步就可以追上小偷。若小偷再往右或下走,就会缩短警察和小偷的距离。所以确保警察追上小偷,至少需要6?3?9步.?

?

8. 如图,在公园内铺设道路,如果按照下左方案铺设,需要360万元,如果按照下中图方案铺设,需要300万元,??

????

??????????????????????????????如果按照下右方案铺设,需要___________万元.(图中虚线表示水泥路,实线表示沥青路)

【考点】正六边形、

【难度】☆☆

【答案】270

【分析】由左图可得:设水泥路一小段是x,则x?300?(6?6?12)?15,设沥青路是y,则有12x?12y?300,y?10,最后一个图是12x?9y?12?15?9?10?270.

xx

9. 过年了,微信流行“抢红包”,红包分为大红包、中红包、小红包3种,同种红包所含钱数相同,每种红包所含钱数

都是整数元.迎迎、新新和年年3人共抢到9个红包,恰好是大、中、小每种3个.迎迎抢到了4个红包,共获得25元;新新抢到了3个红包,也获得了25元;年年只抢到了2个红包,获得了7元.那么,3种红包内所含的3个钱数(单位:元)的乘积是?

【考点】数论

【难度】☆☆

【答案】72

【分析】设大、中、小红包的钱数分别是:x、y、z(x?y?z)。则有3(x?y?z)?25?25?7?57,即

,x?y?z?19.因为年年抢到两个红包,假定年年抢到1大1小,不可能,因为最大的红包是6元(7=6+1)

6?3<19,所以只能是中、小。19?12?7,中+小=7元。 讨论得中(6)小(1).

迎迎:25?12?6?6?1;

新新:25?12?12?1;

年年:7=6+1

所以三种红包的乘积:12?6?1=72.

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10. 将一个正八面体的8个三角形表面涂上红、黄两种颜色,每种颜色各涂4个面,那么,一共有种不同

的涂色方法.(经过旋转、翻转可以重合的均算作同一种涂色方法)?

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????

??????????????????????????????【考点】计数

【难度】☆☆☆

【答案】7

【分析】每个面都与另3个面相邻,但上下两点距离比其他对角距离大,本题实质与染四侧面相同但与底面不同的长

方体的8个顶点没有区别。

考虑红点位置,共有以下7种情况:

?

三.填空题Ⅲ(每小题12分,共60分)?

11. 把一个自然数分别除以2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16的余数依次写下来,可以得到一

个共有15项的数列,如果这个数列的任意两项都不相同,我们就称这个数列叫“神马数列”,不同的“神马数列”共有__________个.?

【考点】计数

【难度】☆☆☆

【答案】5

【分析】如果除以15个数都没有整除,那只能除以2余1,除以3余2,……,除以16余15,仅此一种;?

如果有整除,则只能出现一个整除,所以不能被合数整除,只可能被2、3、5、7、11、13整除:?

?被2整除:则只能被4除余2,被6除余4,……,被16除余14,那么只能是被3除余1,被5除余3,……,被15除余13,也仅此一种;?

?被其他数整除:不能被2整除则说明此数是个奇数,则只能被2除余1,被4除余3,被6除余5,……,被16除余15,那么此数必然不能被3和5整除,有可能被7、11、13整除,3种情况?

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?

12. 甲、乙两车同时从A地出发,向B地匀速行驶,与此同时,丙车从B地出发向A地匀速行驶.当丙行了30千米时

与甲相遇,相遇后甲立即调头,并且将速度提高到原来的2倍;当甲、乙两车相遇时,丙行驶了40千米;当乙、丙两车相遇时,甲恰好回到A地.那么A、B两地的距离是__________千米.?【考点】行程、比例行程、多人相遇 【难度】☆☆☆ 【答案】54

【分析】由题意知,甲到达某地又立即2倍速度返回,假设走了3份时间,所以由第3次相遇,乙一份时间路程

是a,全程2a?a?15?30=3a?45. 所以甲第一次走的路程是:15+3a。在第二次相遇时,丙又走了

122

40?30?10千米,丙走的是30的,甲的速度提高到2倍,走到是第一次甲走的,即(15?3a)??10?2a.

333

112

乙走到第一次走的,即2a??a. 所以有:

333

8

15?3a?a?10?2a,a?3,所以全程15?3?3?30?54(千米).

3

(3)(2)甲

13. 如图,E、F分别为线段BC和CD的中点,三角形ECG和三角形FCH的面积都是12,矩形ABCD的面积是__________.?

【考点】几何、燕尾模型 【难度】☆☆☆ 【答案】144

【分析】解法一:连结AC、BD交于O,连结EF,

显然S?ABE?S?ACE?S?ACF?S?ADF?

1

SABCD,令S?ABE?x;由于E、F都是中点,有EF//BD,另外,有AO?OC,

4

S?ACG?S?ACE?S?ECG?S?ACF?S?FCH?S?ACH?CG?CH,又由于S?CEG?S?CFH ,这说明若分别以CG和CH为底,

两三角形等高,即EF//GH ,所以GH//BD

?

?

????

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延长HG、AB交于P,由于AO?OC,GH//BD,则有AB?BP ,则S?BCP?2x, S?ABG?x?12,S?PBG?2x?24,由S?ABG?S?PBG?x?36?SABCD?144

解法二: 由解法一知:C点是GH中点,延长GH交AB延长线于M,交AD延长线N点,可证C点是MN中点. 如下图1所示;图2是辅助图形,(24?12)?

A

图1图21?144. 4NB

14. 三个嫌疑人A、B、C中只有一个偷了东西,现在让他们每个人说一句话,可以说任何一个人(包括自己)是否偷

了东西.已知三个人中有且只有一个说了谎,则有________种不同情形使得可以根据他们三个的话判断出是谁偷了东西.?

【考点】计数

【难度】☆☆☆☆☆

【答案】99

【分析】三个嫌疑人中谁偷了东西有3种情况,谁说了谎话也有3种情况,至于谁偷了东西、谁说了谎,完全不会影

响到后边的种类数量,所以我们利用乘法原理分步。?

接下来考虑A偷了东西、A说谎的情况,接下来我们枚举能判断出A偷了东西的所有情况。?

如果三人说的三句话提到了全部的三个人的话,那么由抽屉原理,由于只有偷了东西/没偷东西两个“抽屉”,必然有两个人的处境是相同的,由于并不知道谁说谎,此时无法判断真实情况,所以至少要有两句话提到相同的人才行。?

当两人同时提到一个人的时候,如果互相矛盾,则必一真一假,此时可断定第三人所言为真;如果两人说的话相同,则必然都真,此时可断定两人的话是真话且第三人所言为假。所以不难枚举出所有能够顺利判断A是偷东西的人的情况(注意并不需要判断出谁在说谎):?

【为表达方便,在下面的枚举中,用A/B/C代表三人说的话是“A/B/C偷了东西”,而用a/b/c代表三人说的话是“A/B/C没有偷东西”,枚举中的每种情况的三个字母依次表示A、B、C三人说的话】?

aAA、abb、acc、BAA、BAb、BbA、Bcc、CAA、CAc、CcA、Cbb,共11种情况。?

所以,由乘法原理,3?3?11?99??

?

15. 请参考《2014年“数学花园探秘”决赛试题评选方法》作答.

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