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小升初奥数知识汇总

发布时间:2014-02-09 16:00:58  

小升初奥数知识点汇总

1. 归一问题 ..................................................................... 3

2. 归总问题 ..................................................................... 4

3. 和差问题 ..................................................................... 5

4. 和倍问题 ..................................................................... 6

5. 差倍问题 ..................................................................... 7

6. 倍比问题 ..................................................................... 8

7. 相遇问题 ..................................................................... 9

8. 追及问题 .................................................................... 10

9. 植树问题 .................................................................... 12 10.

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27. 年龄问题 .................................................................. 13 行船问题 .................................................................. 15 列车问题 .................................................................. 16 时钟问题 .................................................................. 18 盈亏问题 .................................................................. 19 工程问题 .................................................................. 20 正反比例问题 .............................................................. 22 按比例分配问题 ............................................................ 23 百分数问题 ................................................................ 25 “牛吃草”问题 ............................................................ 26 鸡兔同笼问题 .............................................................. 28 方阵问题 .................................................................. 30 商品利润问题 .............................................................. 31 存款利率问题 .............................................................. 33 溶液浓度问题 .............................................................. 34 构图布数问题 .............................................................. 35 幻方问题 .................................................................. 36 抽屉原则问题 .............................................................. 38

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28. 29. 30. 31. 公约公倍问题 .............................................................. 39 最值问题 .................................................................. 40 列方程问题 ................................................................ 41 综合题 .................................................................... 43 2 第 2 页 共 46 页

1. 归一问题

【含义】 在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】 总量÷份数=1份数量 1份数量×所占份数=所求几份的数量

另一总量÷(总量÷份数)=所求份数

【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。

例1 :买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?

例2 :3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6 天耕地多少公顷?

例3 :5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次?

例1 : 解(1)买1支铅笔多少钱? 0.6÷5=0.12(元)

(2)买16支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元)

列成综合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)

答:需要1.92元。

例2 :解(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷? 90÷3÷3=10(公顷)

(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷? 10×5×6=300(公顷)

列成综合算式 90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷)

答:5台拖拉机6 天耕地300公顷。

例3:解 (1)1辆汽车1次能运多少吨钢材? 100÷5÷4=5(吨)

(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材? 5×7=35(吨)

(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次? 105÷35=3(次)

列成综合算式 105÷(100÷5÷4×7)=3(次)

答:需要运3次。

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2. 归总问题

【含义】 解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】 1份数量×份数=总量 总量÷1份数量=份数

总量÷另一份数=另一每份数量

【解题思路和方法】 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。

例1:服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?

例2:小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》? 例3:食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?

例1: 解 (1)这批布总共有多少米? 3.2×791=2531.2(米)

(2)现在可以做多少套? 2531.2÷2.8=904(套)

列成综合算式 3.2×791÷2.8=904(套)

答:现在可以做904套。

例2: 解 (1)《红岩》这本书总共多少页? 24×12=288(页)

(2)小明几天可以读完《红岩》? 288÷36=8(天)

列成综合算式 24×12÷36=8(天)

答:小明8天可以读完《红岩》。

例3:解 (1)这批蔬菜共有多少千克? 50×30=1500(千克)

(2)这批蔬菜可以吃多少天? 1500÷(50+10)=25(天)

列成综合算式 50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)

答:这批蔬菜可以吃25天。

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3. 和差问题

【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。

【数量关系】 大数=(和+差)÷ 2 小数=(和-差)÷ 2

【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。

例1:甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?

例2:长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。

例3:有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

例4:甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?

例1:解 甲班人数=(98+6)÷2=52(人)

乙班人数=(98-6)÷2=46(人)

答:甲班有52人,乙班有46人。

例2:解 长=(18+2)÷2=10(厘米) 宽=(18-2)÷2=8(厘米)

长方形的面积 =10×8=80(平方厘米)

答:长方形的面积为80平方厘米。

例3:解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知

甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)

丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)

乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。

例4:解 “从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是(14×2+3),甲与乙的和是97,因此 甲车筐数=(97+14×2+3)÷2=64(筐)

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乙车筐数=97-64=33(筐)

答:甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。

4. 和倍问题

【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】 总和 ÷(几倍+1)=较小的数 总和 - 较小的数 = 较大的数

较小的数 ×几倍 = 较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例1:果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?

例2:东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨?

例3 :甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

例4 甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?

例1:解 (1)杏树有多少棵? 248÷(3+1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵)

答:杏树有62棵,桃树有186棵。

例2:解 (1)西库存粮数=480÷(1.4+1)=200(吨)

(2)东库存粮数=480-200=280(吨)

答:东库存粮280吨,西库存粮200吨。

例3:解 每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍,那么,几天以后甲站的车辆数减少为

(52+32)÷(2+1)=28(辆)

所求天数为 (52-28)÷(28-24)=6(天)

答:6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

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例4:解 乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;

又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;

这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么,

甲数=(170+4-6)÷(1+2+3)=28

乙数=28×2-4=52

丙数=28×3+6=90

答:甲数是28,乙数是52,丙数是90。

5. 差倍问题

【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】 两个数的差÷(几倍-1)=较小的数

较小的数×几倍=较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例1:果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?

例2 :爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁?

例3: 商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元?

例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?

例1:解 (1)杏树有多少棵? 124÷(3-1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵)

答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。

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例2:解 (1)儿子年龄=27÷(4-1)=9(岁)

(2)爸爸年龄=9×4=36(岁)

答:父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3:解 如果把上月盈利作为1倍量,则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍,因此 上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(万元)

本月盈利=18+30=48(万元)

答:上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。

例4:解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(138-94)就相当于(3-1)倍,因此

剩下的小麦数量=(138-94)÷(3-1)=22(吨)

运出的小麦数量=94-22=72(吨)

运粮的天数=72÷9=8(天)

答:8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

6. 倍比问题

【含义】 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】 总量÷一个数量=倍数 另一个数量×倍数=另一总量

【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。

例1:100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?

例2 :今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵? 例3:凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

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例1:解 (1)3700千克是100千克的多少倍? 3700÷100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克? 40×37=1480(千克)

列成综合算式 40×(3700÷100)=1480(千克)

答:可以榨油1480千克。

例2:解 (1)48000名是300名的多少倍? 48000÷300=160(倍)

(2)共植树多少棵? 400×160=64000(棵)

列成综合算式 400×(48000÷300)=64000(棵)

答:全县48000名师生共植树64000棵。

例3:解 (1)800亩是4亩的几倍? 800÷4=200(倍)

(2)800亩收入多少元? 11111×200=2222200(元)

(3)16000亩是800亩的几倍?16000÷800=20(倍)

(4)16000亩收入多少元? 2222200×20=44444000(元)

答:全乡800亩果园共收入2222200元,全县16000亩果园共收入44444000元。

7. 相遇问题

【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)

总路程=(甲速+乙速)×相遇时间

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例1:南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?

例2 :小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?

例3:甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。

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例1:解 392÷(28+21)=8(小时)

答:经过8小时两船相遇。

例2:解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400×2

相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)

答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3:解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,

相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)

两地距离=(15+13)×3=84(千米)

答:两地距离是84千米。

8. 追及问题

【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速)

追及路程=(快速-慢速)×追及时间

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例1:好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?

例2:小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。

例3:我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?

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例4:一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。

例5:兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?

例6:孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

例1:解 (1)劣马先走12天能走多少千米? 75×12=900(千米)

(2)好马几天追上劣马? 900÷(120-75)=20(天)

列成综合算式 75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)

答:好马20天能追上劣马。

例2:解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是 (500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米) 答:小亮的速度是每秒3米。

例3:解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米,甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间=[10×(22-6)+60]÷(30-10)=220÷20=11(小时)

答:解放军在11小时后可以追上敌人。

例4:解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,

这个时间为 16×2÷(48-40)=4(小时)

所以两站间的距离为 (48+40)×4=352(千米)

列成综合算式 (48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米)

答:甲乙两站的距离是352千米。

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例5:解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为

180×2÷(90-60)=12(分钟)

家离学校的距离为 90×12-180=900(米)

答:家离学校有900米远。

例6:解 手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。所以

步行1千米所用时间为 1÷[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟)

跑步1千米所用时间为 15-[9-(10-5)]=11(分钟)

跑步速度为每小时 1÷11/60=1×60/11=5.5(千米)

答:孙亮跑步速度为每小时5.5千米。

9. 植树问题

【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】 线形植树 棵数=距离÷棵距+1 环形植树 棵数=距离÷棵距

方形植树 棵数=距离÷棵距-4 三角形植树 棵数=距离÷棵距-3 面积植树 棵数=面积÷(棵距×行距)

【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。

例1:一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?

例2 :一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树?

例3:一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯? 例4:给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米,问至少

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需要多少块地板砖?

例5:一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯?

例1:解 136÷2+1=68+1=69(棵)

答:一共要栽69棵垂柳。

例2:解 400÷4=100(棵)

答:一共能栽100棵白杨树。

例3:解 220×4÷8-4=110-4=106(个)

答:一共可以安装106个照明灯。

例4:解 96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(块)

答:至少需要400块地板砖。

例5:解 (1)桥的一边有多少个电杆? 500÷50+1=11(个)

(2)桥的两边有多少个电杆? 11×2=22(个)

(3)大桥两边可安装多少盏路灯?22×2=44(盏)

答:大桥两边一共可以安装44盏路灯。

10. 年龄问题

【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

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例1:爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?

例2:母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍?

例3 :3年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁?

例4:甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少?

例1:解 35÷5=7(倍) (35+1)÷(5+1)=6(倍)

答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2:解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁? 37-7=30(岁)

(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)

列成综合算式 (37-7)÷(4-1)-7=3(年)

答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3:解 今年父子的年龄和应该比3年前增加(3×2)岁,今年二人的年龄和为 49+3×2=55(岁)

把今年儿子年龄作为1倍量,则今年父子年龄和相当于(4+1)倍,因此,

今年儿子年龄为 55÷(4+1)=11(岁)

今年父亲年龄为 11×4=44(岁)

答:今年父亲年龄是44岁,儿子年龄是11岁。

例4:解

这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:

表中两个“□”表示同一个数,两个“△”表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差数

列,所以,61应该比4大3个年龄差,因此二人年龄差为 (61-4)÷3=19(岁)

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甲今年的岁数为 △=61-19=42(岁)

乙今年的岁数为 □=42-19=23(岁)

答:甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。

11. 行船问题

【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 (顺水速度+逆水速度)÷2=船速

(顺水速度-逆水速度)÷2=水速

顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2

逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1:一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时? 例2 :甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?

例3:一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?

例1:解 由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米,所以,

船速为每小时 320÷8-15=25(千米)

船的逆水速为 25-15=10(千米)

船逆水行这段路程的时间为 320÷10=32(小时)

答:这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2:解由题意得

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甲船速+水速=360÷10=36

甲船速-水速=360÷18=20

可见 (36-20)相当于水速的2倍,

所以, 水速为每小时(36-20)÷2=8(千米)

又因为, 乙船速-水速=360÷15,

所以, 乙船速为 360÷15+8=32(千米)

乙船顺水速为 32+8=40(千米)

所以, 乙船顺水航行360千米需要 360÷40=9(小时)

答:乙船返回原地需要9小时。

例3:解 这道题可以按照流水问题来解答。

(1)两城相距多少千米? (576-24)×3=1656(千米)

(2)顺风飞回需要多少小时? 1656÷(576+24)=2.76(小时)

列成综合算式[(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小时)

答:飞机顺风飞回需要2.76小时。

12. 列车问题

【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】 火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速

火车追及: 追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速)

火车相遇: 相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速)

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 :一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

例2:一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?

例3 :一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

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例4 :一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?

例5:一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少?

例1:解 火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。

(1)火车3分钟行多少米? 900×3=2700(米)

(2)这列火车长多少米? 2700-2400=300(米)

列成综合算式 900×3-2400=300(米)

答:这列火车长300米。

例2:解 火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为

8×125-200=800(米)

答:大桥的长度是800米。

例3:解 从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米,因此,所求的时间为

(225+140)÷(22-17)=73(秒)

答:需要73秒。

例4:解 如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。

150÷(22+3)=6(秒)

答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

例5:解 车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。可知火车在(88-58)秒的时间内行驶了(2000-1250)米的路程,因此,火车的车速为每秒

(2000-1250)÷(88-58)=25(米)

进而可知,车长和桥长的和为(25×58)米,因此,车长为

25×58-1250=200(米)

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答:这列火车的车速是每秒25米,车身长200米。

13. 时钟问题

【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】 分针的速度是时针的12倍,二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1:从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?

例2:四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?

例3:六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

例1:解 钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以分针追上时针的时间为 20÷(1-1/12)=2(分钟)

答:再经过2分钟时针正好与分针重合。

例2:解 钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4)格,如果分针在时针后与它成直角,那么分针就要比时针多走 (5×4-15)格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。

(5×4-15)÷(1-1/12)=5(分钟)

(5×4+15)÷(1-1/12)=38(分钟)

答:4点05分及4点38分时两针成直角。

例3:解 六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一

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个追及问题。

(5×6)÷(1-1/12)=36(分钟)

答:6点36分的时候分针与时针重合。

14. 盈亏问题

【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:

参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差

如果两次都盈或都亏,则有:

参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差

参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1:给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

例2:修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

例3:学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?

例1:解 按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系:

(1)有小朋友多少人? (11+1)÷(4-3)=12(人)

(2)有多少个苹果? 3×12+11=47(个)

答:有小朋友12人,有47个苹果。

例2:解 题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数=(大

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亏-小亏)÷分配差”的数量关系,可以得知

原定完成任务的天数为 (260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)

这条路全长为 300×(22+4)=7800(米)

答:这条路全长7800米。

例3:解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有

(1)有多少车? (30-0)÷(45-40)=6(辆)

(2)有多少人? 40×6+30=270(人)

答:有6 辆车,有270人。

15. 工程问题

【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)

【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1:一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成? 例2:一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?

例3:一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?

例4 :一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注

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满,至少要打开多少个进水管?

例1:解 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。由此可以列出算式: 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)

答:两队合做需要6天完成。

例2:解 设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以(1)每小时甲比乙多做多少零件? 24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)

(2)这批零件共有多少个? 7÷(1/6-1/8)=168(个) 答:这批零件共有168个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算:

两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8=4∶3

由此可知,甲比乙多完成总工作量的 4-3 / 4+3 =1/7

所以,这批零件共有 24÷1/7=168(个)

例3:解 注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1×4×5),2个进水管15小时注水量为(1×2×15),从而可知

每小时的排水量为 (1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量为 1×4×5-1×5=15 又因为在2小时内,

每个进水管的注水量为 1×2, 所以,2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管? (15+1×2)÷(1×2)=8.5≈9(个)

答:至少需要9个进水管。

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例4:解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是 60÷12=5 60÷10=6 60÷15=4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 (60-5×2)÷(6+4)=5(小时)

答:还需要5小时才能完成。

16. 正反比例问题

【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。

【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1:修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?

例2 :张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?

例3:孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完? 例4 一个大矩形被分成六个小矩形,其中四个小矩形的面积如图所示,求大矩形的面积。

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例1:解 由条件知, 公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为 300÷(4-3)×12=3600(米)

答: 这条公路总长3600米。

例2:解 做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4=91∶X

28X=91×4 X=91×4÷28 X=13

答:91分钟可以做13道应用题。

例3:解 书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完,就有 24∶36=X∶15 36X=24×15 X=10

答:10天就可以看完。

例4:解 由面积÷宽=长可知,当长一定时,面积与宽成正比,所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等,第二行三个小矩形的宽也相等。因此,A∶36=20∶16

25∶B=20∶16 解这两个比例,得 A=45 B=20

所以,大矩形面积为 45+36+25+20+20+16=162

答:大矩形的面积是162

17. 按比例分配问题

【含义】 所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看,已知总量和几个部分量的比;

从问题看,求几个部分量各是多少。 总份数=比的前后项之和

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【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。

例1:学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?

例2:用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

例3:从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。

例4:某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?

例1:解 总份数为 47+48+45=140

一班植树 560×47/140=188(棵) 二班植树 560×48/140=192(棵)

三班植树 560×45/140=180(棵)

答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2:解 3+4+5=12 60×3/12=15(厘米) 60×4/12=20(厘米)

60×5/12=25(厘米)

答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3:解 如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到 1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=17 17×9/17=9 17×6/17=6 17×2/17=2

答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。

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例4:解 80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)

答:三个车间一共820人。

18. 百分数问题

【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。

【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:

百分数=比较量÷标准量 标准量=比较量÷百分数

【解题思路和方法】 一般有三种基本类型:

(1) 求一个数是另一个数的百分之几;

(2) 已知一个数,求它的百分之几是多少;

(3) 已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

例1:仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几? 例2:红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?

例3 :红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?

例4 红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几? 例5 :百分数又叫百分率,百分率在工农业生产中应用很广泛,常见的百分率有:

增长率=增长数÷原来基数×100%

合格率=合格产品数÷产品总数×100%

出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率=实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%

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出油率=油的重量÷油料重量×100%

废品率=废品数量÷全部产品数量×100%

命中率=命中次数÷总次数×100%

烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率=及格人数÷参加考试人数×100%

例1:解 (1)用去的占 720÷(720+6480)=10%

(2)剩下的占 6480÷(720+6480)=90%

答:用去了10%,剩下90%。

例2: 解 本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量, 所以

(525-420)÷525=0.2=20%

或者 1-420÷525=0.2=20%

答:男职工人数比女职工少20%。

例3:解 本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此

(525-420)÷420=0.25=25% 或者 525÷420-1=0.25=25% 答:女职工人数比男职工多25%。

例4:解 (1)男职工占 420÷(420+525)=0.444=44.4%

(2)女职工占 525÷(420+525)=0.556=55.6%

答:男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。

19. “牛吃草”问题

【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量×天数

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【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1:一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完? 例2:一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

例1: 解 草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛? 设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:

(1)求草每天的生长量

因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以

1×10×20=原有草量+20天内生长量

同理 1×15×10=原有草量+10天内生长量

由此可知 (20-10)天内草的生长量为 1×10×20-1×15×10=50

因此,草每天的生长量为 50÷(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100

(3)求5 天内草总量

5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

(4)求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5=25(头)

答:需要5头牛5天可以把草吃完。

例2:解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:

(1)求每小时进水量

因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

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所以,(10-3)小时内的进水量为 1×5×10-1×12×3=14

因此,每小时的进水量为 14÷(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30

(3)求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是 30÷(17-2)=2(小时)

答:17人2小时可以淘完水。

20. 鸡兔同笼问题

【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题:

假设全都是鸡,则有 兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

第二鸡兔同笼问题:

假设全都是鸡,则有 兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。

例1:长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?

例2:2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩? 例3:李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本 3 .20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

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例4:(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

例5:有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?

例1:解 假设35只全为兔,则 鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

兔数=35-23=12(只)

也可以先假设35只全为鸡,则 兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

鸡数=35-12=23(只)

答:有鸡23只,有兔12只。

例2: 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有

白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)

答:白菜地有10亩。

例3:解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有

作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

日记本数=45-15=30(本)

答:作业本有15本,日记本有30本。

例4:解 假设100只全都是鸡,则有

兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

鸡数=100-20=80(只)

答:有鸡80只,有兔20只。

例5: 解 假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚 (3×100-100)÷(3-1/3)=75(人) 共有大和尚 100-75=25(人)

答:共有大和尚25人,有小和尚75人。

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21. 方阵问题

【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】

(1)方阵每边人数与四周人数的

四周人数=(每边人数-1)×4 每边人数=四周人数÷4+1

(2)方阵总人数的求法: 实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

??-(内边人数)??空心方阵:总人数=(外边人数) 内边人数=外边人数-层数×2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

总人数=(每边人数-层数)×层数×4

【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。

例1:在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?

例2:有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。

例3:有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人? 例4:一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?

例5:有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

例1:解 22×22=484(人)

答:参加体操表演的同学一共有484人。

例2:解 =84(人) ??-(10-3×2)??10

答:全方阵84人。

例3:解 (1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)

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(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)

(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)

答:这队学生共160人。

例4:解 (1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)

(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)

(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)

答:棋子有40只。

例5:解 第一种方法: 1+2+3+4+5=15(棵)

第二种方法: (5+1)×5÷2=15(棵)

答:这个三角形树林一共有15棵树。

22. 商品利润问题

【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润=售价-进货价 利润率=(售价-进货价)÷进货价×100%

售价=进货价×(1+利润率)

亏损=进货价-售价 亏损率=(进货价-售价)÷进货价×100%

【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例1 :某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何?

例2 :某服装店因搬迁,店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元,已知衣服原来按期望盈利30%定价,那么该店是亏本还是盈利?亏(盈)率是多少?

例3:成本0.25元的作业本1200册,按期望获得40%的利润定价出售,当销售出80%后,剩下的作业本打折扣,结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣?

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例4:某种商品,甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的利润定价,乙店按20%的利润定价,结果乙店的定价比甲店的定价贵6元,求乙店的定价。

例1:解 设这种商品的原价为1,则一月份售价为(1+10%),二月份的售价为(1+10%)×(1-10%),所以二月份售价比原价下降了

1-(1+10%)×(1-10%)=1%

答:二月份比原价下降了1%。

例2:解 要知亏还是盈,得知实际售价52元比成本少多少或多多少元,进而需知成本。因为52元是原价的80%,所以原价为(52÷80%)元;又因为原价是按期望盈利30%定的,所以成本为 52÷80%÷(1+30%)=50(元)

可以看出该店是盈利的,盈利率为 (52-50)÷50=4%

答:该店是盈利的,盈利率是4%。

例3:解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知,每册的原定价是0.25×(1+40%),所以关键是求出剩下的每册的实际售价,为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差,即

0.25×1200×40%×86%-0.25×1200×40%×80%=7.20(元)

剩下的作业本每册盈利 7.20÷[1200×(1-80%)]=0.03(元)

又可知 (0.25+0.03)÷[0.25×(1+40%)]=80%

答:剩下的作业本是按原定价的八折出售的。

例4:解 设乙店的进货价为1,则甲店的进货价为 1-10%=0.9

甲店定价为 0.9×(1+30%)=1.17

乙店定价为 1×(1+20%)=1.20

由此可得 乙店进货价为 6÷(1.20-1.17)=200(元)

乙店定价为 200×1.2=240(元)

答:乙店的定价是240元。

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23. 存款利率问题

【含义】 把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

【数量关系】 年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%

利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率

本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例1:李大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长。

例2 :银行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元,甲先存二年期,到期后连本带利改存三年期;乙直存五年期。五年后二人同时取出,那么,谁的收益多?多多少元?

例1:解 因为存款期内的总利息是(1488-1200)元,

所以总利率为 (1488-1200)÷1200 又因为已知月利率,

所以存款月数为 (1488-1200)÷1200÷0.8%=30(月)

答:李大强的存款期是30月即两年半。

例2:解

甲的总利息[10000×7.92%×2+[10000×(1+7.92%×2)]×8.28%×3=1584+11584×8.28%×3=4461.47(元)

乙的总利息 10000×9%×5=4500(元)

4500-4461.47=38.53(元)

答:乙的收益较多,乙比甲多38.53元。

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24. 溶液浓度问题

【含义】 在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。

【数量关系】 溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例1 :爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?

例2 :要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克? 例3:甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中,使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

例1:解 (1)需要加水多少克? 50×16%÷10%-50=30(克)

(2)需要加糖多少克? 50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)

答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。

例2:解 假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出600×(30%-25%)=30(克)

这是因为30%的糖水多用了。于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样,每“换掉”100克,就会减少糖 100×(30%-15%)=15(克) 所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液) 100×(30÷15)=200(克)

由此可知,需要15%的溶液200克。

需要30%的溶液 600-200=400(克)

答:需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。

例3:解 由条件知,倒了三次后,甲乙两容器中溶液重量相等,各为500克,因此,只要算出乙容器中最后的含盐量,便会知所求的浓度。下面列表推算:

34 第 34 页 共 46 页

由以上推算可知,乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500=4.8%

答:乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。

25. 构图布数问题

【含义】 这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

【数量关系】 根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。

例1:十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。

例2:九棵树苗子,要栽十行子,每行三棵子,请你想法子。

例3 :九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。

例4:把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和,有几种写法?请设计一种图形,填入这七个数,每个数只填一处,且每条线上三个数的和都等于12。

例1:解 符合题目要求的图形应是一个五角星。

4×5÷2=10

35

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因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。

例2:解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形,

一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。

例3:解 符合题目要求的图形是一个三角形,每边栽4棵树,三个顶点上重复应减去,正好9棵。 4×3-3=9

例4: 解 共有五种写法,即 12=1+4+7 12=1+5+6 12=2+3+7

12=2+4+6 12=3+4+5

在这五个算式中,4出现三次,其余的1、2、3、5、6、7各出现两次,因此,4应位于三条线的交点处,其余数都位于两条线的交点处。据此,我们可以设计出以下三种图形:

26. 幻方问题

【含义】 把n×n个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和”。

三级幻方的幻和=45÷3=15

五级幻方的幻和=325÷5=65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和),其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。

例1:把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

例2:把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中,使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。

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例1:解 幻和的3倍正好等于这九个数的和,所以幻和为

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15

九个数在这八条线上反复出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上),四角的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心数”地位重要,宜优先考虑。

设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15,所以 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4

即 45+3Χ=60 所以 Χ=5

接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们

分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别

在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。

例2:解 只有三行,三行用完了所给的9个数,所以每行三数之和为

(2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18

假设符合要求的数都已经填好,那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18,我们看18能写成哪三个数之和:

最大数是10:18=10+6+2=10+5+3

最大数是9: 18=9+7+2=9+6+3=9+5+4

最大数是8: 18=8+7+3=8+6+4

最大数是7: 18=7+6+5 刚好写成8个算式。

首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数,共用了四次。观察上述8个算式,只有6被用了4次,所以正中间方格中应填6。

然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次,而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次,所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。

最后确定其它方格中的数。如图。

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27. 抽屉原则问题

【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中,会出现哪些结果呢?要么把2只苹果放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉;要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示:一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】 基本的抽屉原则是:如果把n+1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。

抽屉原则可以推广为:如果有m个抽屉,有k×m+r(0<r≤m)个元素那么至少有一个抽屉中要放(k+

1)个或更多的元素。

通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些,那么至少有一个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。

【解题思路和方法】 (1)改造抽屉,指出元素;

(2)把元素放入(或取出)抽屉;

(3)说明理由,得出结论。

例1:育才小学有367个1999年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日是同一天的?

例2:据说人的头发不超过20万跟,如果陕西省有3645万人,根据这些数据,你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗?

例3:一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同。其中红球10个,白球9个,黄球8个,蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个球,才能保证至少有4个球颜色相同?

例1:解 由于1999年是润年,全年共有366天,可以看作366个“抽屉”,把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中,至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

例2:解 人的头发不超过20万根,可看作20万个“抽屉”,3645万人可看作3645万个“元素”,把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中,得到

3645÷20=182??5 根据抽屉原则的推广规律,可知k+1=183

答:陕西省至少有183人的头发根数一样多。

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例3:解 把四种颜色的球的总数(3+3+3+2)=11 看作11个“抽屉”,那么,至少要取(11+1)个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

答;他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

28. 公约公倍问题

【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数,再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法,最常用的是“短除法”。

例1:一张硬纸板长60厘米,宽56厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少?

例2:甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶,甲车行一周要36分钟,乙车行一周要30分钟,丙车行一周要48分钟,三辆汽车同时从同一个起点出发,问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?

例3:一个四边形广场,边长分别为60米,72米,96米,84米,现要在四角和四边植树,若四边上每两棵树间距相等,至少要植多少棵树?

例4:一盒围棋子,4个4个地数多1个,5个5个地数多1个,6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间,求棋子总数。

例1: 解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

60和56的最大公约数是4。 答:正方形的边长是4厘米。

例2:解 要求多少时间才能在同一起点相遇,这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间,所以应是36、30、48的最小公倍数。 36、30、48的最小公倍数是720。 答:至少要720分钟(即12小时)这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

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例3:解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数,要使植树的棵数尽量少,须使相邻两树的间距尽量大,那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

所以,至少应植树 (60+72+96+84)÷12=26(棵)

答:至少要植26棵树。

例4:解 如果从总数中取出1个,余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60,又知棋子总数在150到200之间,所以这个总数为

60×3+1=181(个) 答:棋子的总数是181个。

29. 最值问题

【含义】 科学的发展观认为,国民经济的发展既要讲求效率,又要节约能源,要少花钱多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】 一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】 按照题目的要求,求出最大值或最小值。

例1:在火炉上烤饼,饼的两面都要烤,每烤一面需要3分钟,炉上只能同时放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟?

例2:在一条公路上有五个卸煤场,每相邻两个之间的距离都是10千米,已知1号煤场存煤100吨,2号煤场存煤200吨,5号煤场存煤400吨,其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里,每吨煤运1千米花费1元,集中到几号煤场花费最少?

例3:北京和上海同时制成计算机若干台,北京可调运外地10台,上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台,给武汉调运6台,

若每台运费如右表,问如何调运才使运费最省?

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例1:解 先将两块饼同时放上烤,3分钟后都熟了一面,这时将第一块饼取出,放入第三块饼,翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼,翻过第三块饼,又放入第一块饼烤另一面,再烤3分钟即可。这样做,用的时间最少,为9分钟。

答:最少需要9分钟。

例2:解 我们采用尝试比较的方法来解答。

集中到1号场总费用为 1×200×10+1×400×40=18000(元)

集中到2号场总费用为 1×100×10+1×400×30=13000(元)

集中到3号场总费用为 1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元)

集中到4号场总费用为 1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元)

集中到5号场总费用为 1×100×40+1×200×30=10000(元)

经过比较,显然,集中到5号煤场费用最少。

答:集中到5号煤场费用最少。

例3:解 北京调运到重庆的运费最高,因此,北京

往重庆应尽量少调运。这样,把上海的4台全都调

往重庆,再从北京调往重庆4台,调往武汉6台,运费就会最少,其数额为

500×4+800×4+400×6=7600(元)

答:上海调往重庆4台,北京调往武汉6台,调往重庆4台,这样运费最少。

30. 列方程问题

【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替,根据等量关系列出含有未知数的等式——方程,通过解这个方程而得到应用题的答案,这个过程,就叫做列方程解应用题。

【数量关系】 方程的等号两边数量相等。

【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

(1)审:认真审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量关系是什么。

(2)设:把应用题中的未知数设为Χ。

(3)列;根据所设的未知数和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。

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(4)解;求出所列方程的解。

(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意。

(6)答:回答题目所问,也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时,一般只写出四项内容,即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的Χ值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出,但必须检验。

例1:甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人?

例2 :鸡兔35只,共有94只脚,问有多少兔?多少鸡?

例3:仓库里有化肥940袋,两辆汽车4次可以运完,已知甲汽车每次运125袋,乙汽车每次运多少袋?

例1:解 第一种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(90-Χ)人。

找等量关系:甲班人数=乙班人数×2-30人。

列方程: 90-Χ=2Χ-30

解方程得 Χ=40 从而知 90-Χ=50

第二种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(2Χ-30)人。

列方程 (2Χ-30)+Χ=90

解方程得 Χ=40 从而得知 2Χ-30=50

答:甲班有50人,乙班有40人。

例2:解 第一种方法:设兔为Χ只,则鸡为(35-Χ)只,兔的脚数为4Χ个,鸡的脚数为2(35-Χ)个。根据等量关系“兔脚数+鸡脚数=94”可列出方程 4Χ+2(35-Χ)=94 解方程得 Χ=12 则35-Χ=23

第二种方法:可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡,

则有 兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

所以 兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

鸡数=35-12=23(只) 答:鸡是23只,兔是12只。

例3: 解 第一种方法:求出甲乙两车一次共可运的袋数,再减去甲车一次运的袋数,即是所

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求。 940÷4-125=110(袋)

第二种方法:从总量里减去甲汽车4次运的袋数,即为乙汽车共运的袋数,再除以4,即是所求。 (940-125×4)÷4=110(袋)

第三种方法:设乙汽车每次运Χ袋,可列出方程 940÷4-Χ=125

解方程得 Χ=110

第四种方法:设乙汽车每次运Χ袋,依题意得

(125+Χ)×4=940 解方程得 Χ=110

答:乙汽车每次运110袋。

31. 综合题

例1、小军回家离家门300米时,妹妹和小狗一起向他奔来。小军和妹妹的速度都是50米一分钟,而小狗的速度是200米一分钟,小狗遇到小军后以同样的速度不停往返于小军和妹妹之间,当小军与妹妹相距只有10米时,小狗一共跑了多少米?

例2、甲乙两车分别从AB两地出发,在AB之间不断的往返行驶,已知甲车的速度是每小时15千米,乙车的速度是每小时35千米,并且甲乙两车第3次相遇点与第4次相遇点恰好为100千米,那么AB两地之间的距离是多少千米? 例3、在一条环形跑道上,甲乙两人从同一地点相背而行,当两人第一次相遇时,甲比乙共多行200米.已知乙和甲的速度比是2:3,这条跑道长几米?

例4、甲乙两个书架,已知甲书架有书600本.从甲书架上取出它的三分之一,从乙书架上取出它的百分之七十五以后,甲书架上的书比乙书架上的2倍还多150本.乙书架原有书几本?

例5、一列火车通过120米长的大桥要21秒,通过80米长的隧道要17秒,这列火车车身长几米?

例6、4千克苹果的价格等于3千克香蕉的价格,5千克香蕉的价格等于8千克橘子的价格,那么12千克橘子的价格等于几千克苹果的价格?

例7、在含盐率百分之十的盐水中,加入盐和水个十克,这时盐水的含盐率是?

例8、甲乙两人公储蓄人民币若干元,其中甲占总数的百分之三十.若乙取30元给甲,则乙余下的钱和甲原有的钱一样多,两人公储蓄几元?

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例9、一筐白菜连筐重40.5千克,吃了一半后,连筐还有21.5千克.这筐白菜重几千克?筐重几千克? 例10、一项工程甲乙两人合做8天完成,乙丙合做9天完成。丙单独做几天完成?

例11、某班有学生45人其中有28人学钢琴,有35人学电脑,有37人学美术,有40人上奥校,那么可以肯定,这个班至少有多少学生以上四项全学。

例12、暑假期间,小明计划用8天做完数学作业,实际每天比计划多做了3道题,结果只用7天就完成了作业,数学作业共有多少道题?

例1:(300-10)/(50+50)*200

=290/100*200=2.9*200

=580(m)

答:当小军与妹妹相距只有10米时,小狗一共跑了580m。

例2:解:甲乙的速度比是:15:35=3:7;第三次相遇时两人共走5个单程,

甲走5÷(3+7)×3=1.5(个)个单程,第三次相遇的位置:距离A点1/2处(中点);

第四次相遇时两人共走7个单程,甲走7÷(3+7)×3=2.1(个)个单程,

第三次相遇的位置:距离A点1/10处;全程的距离是:100÷(0.5-0.1)=250(千米)

答:AB两地之间的距离是250千米。

例3:分析:因为甲乙两人同时出发,所以路程比=时间比。

解:设甲行了X米,则乙行了(X-200)米。

(x-200)/x=2/3 X=600 (X+x-200)=1000答:这条跑道长1000米。

例4:分析:根据甲乙的数量关系直接列方程。

解:设乙书架原有书X本。(1-75/100)*x*2+150=600*(1-1/3) x/2=250 x=500

答:乙书架原有书500本。

例5:分析:火车速度不变。

解:设这列火车车身长X米。 (120+x)/21=(80+x)/17 X=90

答:这列火车车身长90米.

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例6:分析:根据苹果橘子与香蕉的关系列方程。

解:设苹果X元一斤,橘子Y元一斤,香蕉Z元一斤。

4X=3Y 5Y=8Z 20X=15Y 15Y=24Z 20X=24Z 12Z=10X

答:12千克橘子的价格等于10千克苹果的价格。

例7:分析:略。

解:(10+10)/(100+10)=2/11~~18.2% 答:这时盐水的含盐率是18.2%。

例8:分析:略。解:设两人共储蓄X元.

30%*X=(100%-30%)*x-30 X=75 答:两人共储蓄75元。

例9:分析:略。

解:设这筐白菜重X千克,筐重Y千克。

X+y=40.5 x/2+y=21.5 X=38 y=2.5 答:这筐白菜重38千克,筐重2.5千克。

例10:思路:

1,若甲乙工作能力相等,则在八天内,每人每天完成十六分之一;乙在八天里完成工作总量的十六分之八。

2,乙丙合作时,若乙工作能力不变,则乙在九天里完成工作总量的十六分之九。那么,丙在九天里完成了工作总量的十六分之七。

3,设工作总量为1。依题意列式: 9÷(1-9/16)=20.67(天)

答:丙单独做20.67天完成。

例11:算式:45-28=17 45-35=10 45-37=8 45-40=5 45-(17+10+8+5)=5(人)

45-28表示班里有多少人不学钢琴;48-35表示有多少人不学电脑;45-37表示有多少人不学美术;45-40表示多少人不学奥数。17、10、8、5表示有多少人不可能学四项,用四十五一减既能求出有多少人学四项。

例12:7天就完成了,那么这七天多做了3*7=21道题目也就是原来的(8-7)=1一天做了21道题目则数学作业共有道题 21*8=168 设原来每天做X题X*8=(X+3)*7 8*(3*7)=168 设计划每天做x道题 8x=7(x+3) x=21 21乘8=168 解:设数学作业共有x道题。 x/8+3=x/7 168+7x=8x x=168答:数学作业共有168道题. 设总共有x道题,每天做y道。8*y=x,(y+3)*7=x.所以:(y+3)*7=8*y解得x=168 y=21 解:

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设小明原计划每天做x道题。 8x=7(x+3) 解得:x=21 所以共有8*21=168道题 设每天做x道8x=7*(x+3)x=21共168 算术法:计划每天完成:(3×7)÷(8-7)=21道数学作业共有:21×8=168道方程法:设小明计划每天做X道,则实际每天做(X+3)道8X=7(X+3)8X=7X+218X-7X=21X=21数学作业共有:21×8=168道

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