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初中数学培优竞赛讲座第16讲__不等式(组)的应用

发布时间:2014-02-09 16:02:16  

第十六讲 不等式(组)的应用

在客观世界中,相等的关系是相对的、局部的,不等的关系是绝对的、普遍的,因此,我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计,列出不等式(组),运用不等式(组)的相关知识予以求解.

不等式(组)的应用主要表现在:作差或作商比较数的大小;求代数式的取值范围;求代数式的最值,列不等式(组)解应用题.

列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿,一般步骤是:

1.弄清题意和题中的数量关系,用字母表示未知数;

2.找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系;

3.列出不等式(组);

4.解这个不等式(组),求出解集并作答.

例题

【例1】 给出四个自然数a,b、c、d,其中每三个数之和分别是180、197、208、222,则a,b、c、d中最大的数是 (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 较繁的一般解法是解关于a,b、c、d的四元一次方程组.由题意知a,b、c、d互不相等,不妨设a<b<c<d,思维定向,整体考虑可优化解题过程.

【例2】 甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条a?b元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( ). 2

A.a>b B.a<b C.a=b D.与a和b的大小无关 (山东省竞赛题)

思路点拨 把买卖的钱数作差比较,推导出a与b的关系.

注: 学习不等式 (1)基本≠简单

许多人非常不重视基本的东西,甚至轻视它,“基本”应该等于“重要”加上“简单”.

(2)懂≠会≠对

“懂”有时只是浮面的,只是形式上的了解,还必须经过组织与整理,融会贯通,并从问题的演练中.不断地发现自己不会的地方,才可以逐渐达到“真会”的地步.

在解一些涉及到多个变元的数学问题时,题设条件并没有给出变元的大小顺序,若给它们假设一个大小顺序,并不影响命题的成立,则给问题的解决增加了一个可供使用的条件,从而降低问题的难度,这种方法叫排序法.

【例3】已知a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7是彼此互不相等的正整数,它们的和等于159,求其中最小数a1的最大值. (北京市竞赛题)

思路点拨 设a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7则a1+a2+a3+?+a7=159,解题的关键是怎样把多元等式转化为只含a1o的不等式,这里要用到整数的如下性质:设a、b为整数,若a<b,则a+1≤b.

【例4】现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.

(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的关系式:

(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?

(3)在上述方案中,哪个方案运费最省?最少运费为多少元?

(广州市中考题)

思路点拨 (2)解关于x的不等式组,由正整数x的值确定安排车厢的不同方案.

【例5】 某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币,他要求硬币总数为150枚,且每种硬币不少于20枚,5分的硬币要多于2分的硬币,请你据此设计兑换方案.

(河北省竞赛题)

思路点拨 引入字母,列出含等式、不等式的混合组,把解方程组、解不等式组结合起来. 1

注: 从近年中考应用题中可以看出,应用题涉及我们日常生活中的经营决策、商品买卖、方案设计,最佳效益等多方面,且呈现出数量关系复杂、背景新颖的趋势.为此,我们应对社会和自然充满好奇心,贴近生活实际,关心c社会热点,加强应用数学的意识,努力用数学的思想和方法研究解决实际问题,同时在解题中侧重于与解答有关联的数量关系进行分析,不必追求那些自己一时不易弄懂的背景材料的实际意义.

解含等式、不等式组成的混合型问题的基本策略是,通过消元转化成只舍有一个未知数的不等式(组),解不等式(组)通近求解,从而解决相关问题.

【例6】 (江苏省常州市中考题)某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题:

(1)用含x的代数式表示m;

(2)求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数.

思路点拨 (1)m=3x十8;

?3x?8?5(x?1)?01 (2) 依题意得?,∴5?x?6 2?3x?8?5(x?1)?3

∵x是正整数,∴x=6,m=26.

答:该校的获奖人数为6人,所买的课外读中的本数为26.

注:在一些实际问题中,往往含有:“不足”“不超过”不低于”等关键词,将这些关键词转换成不等符号,就可以建立不等式,从而使问题得以解决.

【例7】(黑龙江省中考题)为了迎接2002年的世界杯足球赛,某足球协会举办了一次足球赛,其记分

当比赛进行到第12轮结束时(每队需要比赛12场),A队共积19分.

(1)请通过计算,判断A队胜、平、负各九场?

(2)若每赛一场,每个参赛队员得出场费500元,设A队其中一名,参赛队员所得的奖金和出场费的和为W(元),试求W的最大值.

思路点拨 设A队胜x场,平y场,负z场,则有

??x?y?z?12?y?19?3x, 解得? ?3x?y?19?z?2x?7

?19?3x?0? 由题意可知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数,∴?2x?7?0

?x?0?

解得 311≤x≤6,∴ x=4,5,6. 23

∴ A队胜4场,平7场,负1场;或胜5场,平4场,负3场;或胜6场,平1场,负5场

(2)W=(1500+500)x+(700十500)y+ 500z=-600x十19300,

观察代数式-600x+19300,发现x越小,W越大.

∴ 当x=4时,W最大值=16900元.

注: 题中有两个明显的相等关系,可以列出两个方程,但问题中迫切需要求出三个未知量,利用题中隐含的不等关系“三个未知量都是非负整数”建立不等式组,确定未知量的取值范围.这实际上也是利用不等式求不定方程组的整数解的一种重要方法.

2

【例8】 商业大厦购进某种商品1000件,销售价定为购进价的125%.现计划节日期间按原定销售价让利10%,售出至多100件商品,而在销售淡季按原定销售价的60%大甩卖,为使全部商品售完后赢利,在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品?

思路点拨 设购进价为a元,按原定价销售x件,节日让利销售y件,则淡季销售(1000-x-y)件. 依题意有

125%ax+125%(1—10%)ay+125%x60%a(1000-x-y)>1000a

即4x+3y>2000,

∵ y≤100,

∴ 4x>2000—3y≥1700,

又x是整数,∴x≥425.

所以,在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能赢利.

注:充分利用“赢利”这一不等关系,赢利即销售金颇大于成本,题目中并没有包含x、y的等量关系,但利用y≤100和不等式的传递性建立关于x的不等式,从而求出x的取值范围.

【例9】 (江苏省竞赛试题)货轮上卸下若干只箱子,其总重量为10t,每只箱子的重量不超过1t,为保证能把这些箱子一次运走,问至少需要多少辆载重3t的汽车?

思路点拨 设共需n辆汽车,它们运走的重量依次为a1,a2,?,an则

2≤ai≤3(I=1,2,?,n),al+a2+?+an=10

∴2n≤10≤3n,解得10?n?5. ∵ 车子数n应为整数,∴ n=4或5,但4辆车子不够.例如有133

只箱子,每只重量为10,而3×10<3,4×10>3,即每辆车子只能运走3只箱子,4辆车子只能运走12131313

只箱子,还剩一只箱子,故需5辆汽车.

学力训练

ax?x?1997?0只有负数根,则a的取值范围是 . 1997

?x?y?m?22.若方程组?的解x、y都是正数,则m的取值范围是 . (河南省中考题) 4x?5y?6m?3?1.若方程

3.某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时,收集了如下信息:

(1)生产该种化肥的工人数不能超过200人;

(2)每个工人全年工作时数不得多于2100个;

(3)预计2002年该化肥至少可售销80000袋;

(4)每生产一袋该化肥需要工时4个;

(5)每袋该化肥需要原料20千克;

(6)现库存原料800吨,本月还需用200吨,2002年可以补充1200吨.

根据上述数据,确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是. (江苏徐州中考题)

21999?122000?14.设P?2000,Q?2001,则P、Q的大小关系是( ). 2?12?1

A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.不能确定

5.某种出租车的收费标准是:起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费),超过3千米以后.每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲地到乙地经过的路 程是x千米,那么x的最大值是( ).

A.11 B.3 C.7 D.5 (南京市中考题)

6.韩日“世界杯“期间.重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有A、B两个出租车队,A队比B队少3辆车,若全部安排乘A队的车,每辆坐5人,车不够,每辆坐6人,有的车未坐满;若全部安排乘B队的车,每辆车坐4人,车不够,每辆车坐5人,有的车未坐满,则A队有出租车( ).

A.11辆 B.10辆 C. 9辆 D.8辆 (重庆市中考题)

3

7.为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:00至22:00用电每千瓦时0.56元(“峰电’’价),22:00至次日8:00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.

(1)一居民家庭在某月使用“峰谷”电后,付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元,问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时?

(2)当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时,使用“谷电”合算?(精确到1%).

(宁波市中考题)

8.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:

经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.

(1)请你设计该企业有几种购买方案;

(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;

(3)在第(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,l0年节约资金多少万元?(注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) (黑龙江省中考题)

9.大、中、小三个正整数,大数与中数之和等于2003,中数减小数之差等于1000,那么这三个正整数的和为 . (北京市竞赛题)

10.已知a+b+c=0,a>b>c,则

c的取值范围是 . (江苏省竞赛题) a4

11.适合方程11113的正整数x的值是 . ???x?1x?2x?312

12. 设x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7为自然数,且x1?x2?x3??x6?x7,

又x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7?159,则x1?x2?x3的最大值是 (安徽省竞赛题)

13.正五边形广场ABCDE的周长为2000m,甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿A→B→C→D→E→A的方向行走,甲的速度为50m/mIm,乙的速度为46m/min,则出发后经过,甲、乙第一次行走在同一条边上. (河北省竞赛题)

14.如果x?x?1?1,那么( ). (山东省竞赛题)

A.(x+1)(x一1)>0 B.(x+1)(x一1)<0 C.(x+1)(x一1)≥0 D.(x+1)(x一1)≤0

15.小林拟将1,2,??,n这n个数输入电脑,求平均数.当他认为输入完毕时,电脑显示只输入了(n一1)个数,平均数为355,假设这(n一1)个数输入无误,则漏输入的一个数为( ). 7

A.10 B.53 C.56 D.67 (江苏省竞赛题)

16.已知0≤a一b≤1且1≤a+b≤4,则a的取值范围是( ). (重庆市竞赛题)

A.1≤ao≤2 B.2≤a≤3 C.1535≤a≤ D.≤a≤ 2222

17.某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售,现有三家运输公司可供选择,这三家运输公司提供的信息如下:

解答下列问题:

(1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍,求A、B两市的距离(精确到个位);

(2)如果A、B两市的距离为S千米,且这批水果在包装与装卸及运输过程上损耗为300元/时,那么要使果晶公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小,应选择哪家公司?

(南通市中考题)

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18.今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克,现要配制浓度为7%的盐水100克,问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克? (北京市竞赛题)

19.某企业有员工300人生产A种产品,平均每人每年可创造利润m万元(m为大于零的常数).为减员增效,决定从中调配x人去生产新开发的B种产品.根据评估,调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%,生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元.

(1)调配后企业生产A种产品的年利润为万元,生产月种产品的年利润为(用含rn的代数式表示).若设调配后企业全年的总利润为y万元,则y关于x的关系式为 ;

(2)若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四,生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半,应有哪几种调配方案?请设计出来,并指出其中哪种方案全年总利润最大(必要时运算过程可保留3个有效数字).

(3)企业决定将(2)中的年最大总利润(m=2)继续投资开发新产品,现有六种产品可供选择(不得重复投资同一种产品),各产品所需资金以及所获利润如下表:

如果你是企业决策者,为使此项投资所获年利润不少于145万元,你可以投资开发哪些产品?请你写出两种投资方案. (江苏镇江市中考题)

20.一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位,生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫总售价尽可能高.请你用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元? ( “希望杯”邀请赛试题)

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第十六讲 不等式(组)的应用参考答案

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