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第一讲 一笔画问题

发布时间:2014-02-09 16:59:03  

第一讲 一笔画问题

小朋友们,你们能把下面的图形一笔画出来吗?

如果用笔在纸上连续不断又不重复,一笔画成某种图形,这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢?这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题

例【1】 下面这些图形,哪个能一笔画?哪个不能一笔画?

(1) (2) (3) (4) 分析 图(1)一笔画出,可以从图中任意一点开始画该图,画到同一点结束。

经过尝试后,可以发现图(2)不能一笔画出。

图(3)不是连通的,显然也不能一笔画出。图(4)也可以一笔画出,且从任何一点出发都可以。

通过观察,我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条

数不同。由一点发出有偶数条线,那么这个点叫做偶点。相应的,由

一点出发有奇数条数,则这个点叫做奇点。

再看图(1)、(4),其中每一点都是偶点,都可以一笔画,且可以从任意一点画起。而图(2)有4个奇点,2个偶点,不能一笔画成。

这样我们发现,一个图形能否一笔画和这个图形奇点,偶点的个数有某种联系,到底存在什么样的关系呢,我们再看一个例题。

例【2】 下面各图能否一笔画成?

1) (

2) (3)

分析 图(

1)从任意一点出都可以一笔画成,因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图(2)

,经过反复试验,也可找到画法:由。图中B、D为偶点,A、C为奇点,即图中有两个奇点,两个偶点。要想一笔画,需从奇点出发,回到奇点。

经过尝试,图(3)无法一笔画成,而图中有4个奇点,5个偶点。

解 图(1)、(2

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关

系。

如果图形只有偶点,可以以任意一点为起点,一笔画出。如果只有两个奇点,也可以一笔画出,但必须从奇点出发,由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个,则图形不能一笔画出。

例【3】 下面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?

分析 图(1)有两个奇点,两个偶点,可以一笔画,须由A开始或由B开始到B结束或到A结束。

图(2)有10个奇点,大于2,不能一笔画成。

图(3)有4个奇点,1个偶点,因此也不能一笔画成。

解 图(1)的画法见下图。

例【4】 下图中,图(1)至少要画几笔才能画成?

D (1)

分析 图(1)有4个奇点,所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分,而每个部分是一笔画图形,则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求,每个部分最多含有两个奇点,可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法,该奇点就变成偶点。经观察,图(1)可以切分成图(A)、(B)两个图形。这两部分都可以一笔画出,所以图(1)至少用两笔画出。

解 将图(1)分成图(A)、(B),则图(A)可由A-B-O-D-A-C-D一笔画成,图(B)由B-C一笔画成,所以图(1)至少要两笔画完。

(1) B (A) D A O C B (B) C D

小结 能否一笔画成,关键在于判别奇点、偶点的

个数。

一、 只有偶点,可以一笔画,并且可以以任意一点作为起点。

二、 只有两个奇点,可以一笔画,但必须以这两个奇点分别作为起

点和终点。

三、 奇点超过两个,则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题,

可以先转化为简单的几何图形,然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。

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