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初中数学培优竞赛讲座第2讲__跨跃从算术到代数

发布时间:2014-02-10 09:44:35  

第二讲 跨越——从算术到代数

“算术”可以理解为“计算的方法”,而“代数”可以理解为“以符号替代数字”,即“数学符号化”.著名数学教育家玻利亚曾说:“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言.”

用字母表示数是数学发展史上的一件大事,是由算术跨越到代数的桥梁,是人类发展史上的一个飞跃,也是代数与算术的最显著的区别.

字母表示数使得数学具有简洁的语言,能更普遍地说明数量关系,在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用.

例题

【例1】观察下列等式

9—l=8, 16—4=12,25—9=16,36—16=20,??

这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:

.(河南省中考题)

思路点拨 在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,发现一般规律.

注:从个别事物中发现一般性规律.这种研究问题的方法叫“归纳法”,是由特殊到一般的思维过程,是发明创造的基础。

【例2】 某商品2002年比2001年涨价5%,2003年又比2002年涨价10%,2004年比2003年降价12%,则2004年比2001年( ).

九涨价3% B.涨价1.64% C涨价1.2% D.降价1.2%

(“TRUIY信利杯”竞赛题)

思路点拨 设此商品2001年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.

【例3】 计算

11111111111(????)(1?????)?(1????)(????) 23200223200122002232001

思路点拨 直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系,引入字母,将复杂的数值计算转化为简单的式的计算.

【例4】 有—张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割成4片,以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问:

(1)经5次分割后,共得到多少张纸片?

(2)经n次分割后,共得到多少张纸片?

(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?

(江苏省竞赛题)

思路点拨 从简单情形人手,发现纸片数的特点是解本例的关键.

【例5】在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图左上角的数是多少?

思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此, 需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.

注:① 用字母表示数,有利于运用代数式揭示问题中的数量关系,便于找到数量的相依关系或相等不等关系,具有设元意识,会用代数式表示,是由算术习惯向代数过渡的重要步骤,是突破算术方法的定势的关键.

② 本例的3个小题,反映了我们认识事物、探究问题的基本过程.第(1)小题是研究具体对象,第(2)小题是归纳出一般规律,第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题.

③ 有些问题涉及的量比较多,关系复杂,我们就需要引入不同的字母,便于把数量关系表示出来,在

解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值,只需求出关键的字母的值,这种方法我们称之为“设而不求”.

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学力训练

1.给出下列算式:

l2+1=1×2,22+2=2×3, 32 +3=3×4,??

观察上面一列算式,你能发现什么规律,. (福州市中考题)

2.已知:2?223344aa?22?,3??32?,4??42?,??,若10??102? (a、b为33881515bb

正整数),则a+b= . (2003年武汉市中考题)

3.若(m十n)人完成一项工程需要m天,则n个人完成这项工程需要天.

(假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)

4.某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车.全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么需要的时间是 . (河南省竞赛题)

5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a天完成,乙建筑队单独承包需要b天完成,现两队联合承包,完成这项工程需要( )天.

A.111ab1 B.? C. D. a?baba?bab

6.某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( ).

A.增加10% B.减少10% C.不增不减 D.减少1%

(河南省中考题)

7.如图,在长方形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四

边形,依照图中标注的数据,计算图中空白部分的面积,其面积是( ).

A.bc-ab+ac+c2 B.ab-bc-ac+c2 C.a2 +ab+bc-ac D.b2-bc+a2-ab

(河北省中考题)

8.为了绿化环境、美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S1、S2的大小关系是( ).

A.S1>S2 B.Sl<S2 C.S1=S2 D.无法比较

9.从1开始,连续的奇数相加,和的情况如下:

1=12,

1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=42,

1+3+5+7+9=25=52,

(1)请你推测出,从1开始,n个连续的奇数相加,它们的和s的公式是什么?

(2)计算:

①1+3+5+7+9+1l+13+15+17+19;

②11+13+15+17+19+21+23+25.

(3)已知1+3+5+?+(2n一1)=225,求整数n的值.

10.从小明的家到学校,是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟,放学途中花12分钟.

(1)判断a与b的大小;

(2)求a与b的的比值. (江苏省竞赛题)

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11.观察下列各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.按此规律推断出S与n的关系式是 . (2001年广西中考题)

12.如图,将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(b>a>0),用a、b表示三角形ABC

的面积为 . (“希望杯”邀请赛试题)

13.已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在这17个数后面的那17个整数的和为.

14.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律.拼成若干个图案:

(1)第4个图案中有白色地面砖

(2)第n个图案中有白色地面砖 (2003年南昌市中考题)

15.下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( ).

A.1627384950 B.2345678910 C. 3579111300 D.4692581470 (江苏省竞赛题)

16.给出两列数:l,3,5,?,9,?,2001和1,6,1l,16,21,?,2001,同时出现在两列数中的数的个数为( ).

A.199 B.200 C. 201 D.202 (重庆市竞赛题)

17.—种商品每件进价为a元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利( ).

A.0.125a B.0.15a C.0.25a D.1.25a (山东泰安市中考题)

18.如果用a名同学在b小时内搬运c块砖,那么c名同学以同样的速度搬运a块砖所需的小时数是( ).

c2c2a2bab A.2 B. C.2 D.2 ababcc

19.已知an?1?1

1?1

an (n=l,2,3,?2002).求当a1?1时,a1a2?a2a3?a3a4???a2002a2003 的值.

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20.在——次数学竞赛中,组委会决定用NS公司的赞助款购头一批奖品,若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品.则可买100份奖品;若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品.则可买80份奖品.问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书,可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题),

21.将1~16这16个整数填入4×4的正方形表格中, 使得每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等,如右图所示,恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了,请你将擦掉的这8个数设法恢复出来。

22.阅读下列材料:十六大提出全面建设小康社会,国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为:n?

表所示:

食品消费支出总额?100%,各类家庭的思格尔系数如下消费支出总额年至2002年间,该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元,其中食品消费支出总额每年平均增加200元,1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平,已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元.

求:(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?

(2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm(rn为正整数).请用rn的代数式表示该乡平均每户当年的思格尔系数nm,并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数).

(3)按这样的发屉,该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题).

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第二讲 跨越——从算术到代数参考答案

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