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初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式

发布时间:2014-02-10 09:44:44  

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在复杂的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点:

1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;

2.根据待求式的特点,模仿套用公式;

3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;

4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.

例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是.(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999,那么(2000一a)2+(1998一a)2. (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体,由平方和想到完全平方公式及其变形.

注:公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式,通过推导,得到一些新的公式;另一种是从大量的特殊的数量关系入手,并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式.

从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 乘法公式常用的变形有:

(a?b)2?(a2?b2)(a2?b2)?(a?b)2 (1)a?b?(a?b)?2ab,ab?. ?22

2222 (2)(a?b)?(a?b)?2a?2b; 222

(3) (a?b)?(a?b)?4ab; 22

(a?b)2?(a?b)22222 (4)ab?,a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac) 4

【例2】 若x是不为0的有理数,已知M?(x?2x?1)(x?2x?1),N?(x?x?1)(x?x?1),则M与N的大小是( ) A.M>N B. M<N C. M=N D.无法确定 思路点拨 运用乘法公式,在化简M、N的基础上,作差比较它们的大小.

【例3】 计算:

(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1; (天津市竞赛题)

(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452. (江苏省竞赛题)

思路点拨 若按部就班计算,显然较繁.能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.

【例4】 (1)已知x、y满足x2十y2十

222222xy5=2x十y,求代数式的值. (“希望杯”邀请赛试题) x?y4(2)整数x,y满足不等式x?y?1?2x?2y,求x+y的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)

(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b,乙商场:两次提价的百分率都是a?b(a>0,b>o),丙商场:第一次提价的百分率为2

b,第二次提价的百分率为a,则哪个商场提价最多?说明理由. (河北省竞赛题)

思路点拔 对于(1),(2)两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.

注: 有些问题常常不能直接使用公式,而需要创造条件,使之符合乘法公式的特点,才能使用公式.常见的方法是:分组、结合,拆添项、字母化等.

1

完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论: (1)a?2ab?b?(a?b)?0;

揭示式子的非负性,利用非负数及其性质解题. (2)a?b?2ab

应用于代数式的最值问题.

代数等式的证明有以下两种基本方法:

(1) 由繁到简,从一边推向另一边; (2)相向而行,寻找代换的等量.

【例5】 已知a、b、c均为正整数,且满足a?b?c,又a为质数.

证明:(1)b与c两数必为一奇一偶;

(2)2(a+b+1)是完全平方数.

思路点拨 从a?b?c的变形入手;a?c?b,运用质数、奇偶数性质证明.

学力训练

1.观察下列各式:

(x一1)(x+1)=x2一l;

(x一1)(x2+x+1)=x3一1;

(x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1.

根据前面的规律可得(x一1)(x n+x n-1+? (武汉市中考题)

2.已知a?b?4a?2b?5?0,则2222222222222222a?b (杭州市中考题) a?b

3.计算:

(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655: ;

(2)19492一19502+19512一19522+?+19972一19982+19992;

199919982

(3) 199919972?199919992?2

4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 . (大原市中考题)

a4?a2?115.已知a??5,则. (菏泽市中考题) aa2

26.已知a?b?3,b?c??5,则代数式ac?bc?a?ab的值为( ).

A.一15 B.一2 C.一6 D.6 (扬州市中考题)

1111)(1?)?(1?)(1?)等于( ). 22222319992000

1999200119992001A. B. C. D. (重庆市竞赛题) 2000200040004000

222002?y2002的值是( ). 8.若x?y?2,x?y?4,则x7.乘积(1?

A.4 B.20022 C. 22002 D.42002

9.若x?13x?1?0,则x?241的个位数字是( ). 4x

A.1 B.3 C. 5 D.7

10.如图①,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( ).

A.a?b?(a?b)(a?b) B.(a?b)?a?2ab?b

C.(a?b)?a?2ab?b D.(a?2b)(a?b)?a?ab?2b (陕西省中考题

) 2 2222222222

11.(1)设x+2z=3z,判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值,求出它的值;否则请说明理由.

(2)已知x2一2x=2,将下式先化简,再求值:(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1). (上海市中考题)

12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.

13.观察:1?2?3?4?1?5

2?3?4?5?1?11

3?4?5?6?1?19

??

(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;

(2)根据(1),计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示). (黄冈市竞赛题)

14.你能很快算出19952吗?

为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析 n=1,n=2,n=3??这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.

(1)通过计算,探索规律.

152225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2×(2+1)+25;

352=1225可写成100× 3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+25;??752=5625可写成 ;852=7225可写成 .

(2)从第(1)题的结果,归纳、猜想得(10n+5)2.

(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952= . (福建省三明市中者题)

15.已知x?y?z?2x?4y?6z?14?0,则x?y?z. (天津市选拔赛试题)

16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2= .

(2)若a-b=3,则a3-b3-9ab= .

17.1,2,3,??,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是. (初中数学联赛)

18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ). A.4 B.0 C.2 D.一2

19.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解. A.6 B.7 C.8 D.9

20.已知a、b满足等式x?a?b?20,y?4(2b?a),则x、y的大小关系是( ).

A.x≤y B.x≥y C.x<y D.x>y (大原市竞赛题)

21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2一ab—bc-ac的值为( ).

A.0 B.1 C.2 D.3 (全国初中数学竞赛题)

3 22222222

22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)

23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a?7a的值. (河北省竞赛题)

24.若x?y?a?b,且x?y?a?b,求证:x222219978?4?y1997?a1997?b1997. (北京市竞赛题)

25.有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用xl,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数;??;用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数. 求证:x1?x2???x10?y1?y2???y10.

26.(1)请观察:25?5,1225?35,112225?335,1122225?3335?

写出表示一般规律的等式,并加以证明.

(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32.

任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?

注:有人称这样的数“不变心的数”.数学中有许多美妙的数,通过分析,可发现其中的奥秘.

瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广.他指出:可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为四个平方数之和.即

(a2+b2+c2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2.这就是著名的欧拉恒等式.

4 2222222222

第十八讲 乘法公式参考答案

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