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初中数学培优竞赛讲座第19讲__丰富的图形世界

发布时间:2014-02-10 10:51:03  

第十九讲 丰富的图形世界

我们生活在一个数字化时代,也生活在一个图形的世界里,图形有黑色的,也有彩色的;有静止的,也有运动的;有平面的,有立体的;有具体的,有抽象的,它既可以是艺术中的绘画和雕塑,也可以是科学上的表达或记录.

数学既研究数,又研究形,数与形是数学这棵大树上的不同分支,这两者互相结合,常常有助于问题的解决.

历史上一些著名科学家,如阿基米德、牛顿、罗素、爱因斯坦,都曾被欧基里德几何迷住过,早在公元前四世纪,古希腊哲学家柏拉图曾在他设立哲学科学院的大门上写着:“不懂几何的人,不准入门.”

在学习几何的起始阶段,我们可以自己动手实验、操作,在观察和实验中,掌握知识的来龙去脉,学到发现规律的方法,感受到发现的欢乐,促进科学思维能力的提高.

例题

【例1】 爸爸给女儿圆圆买了一个圆柱形的生日蛋糕,圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块(不少于10块),分给l0个小朋友,若沿竖直方向切分这块蛋糕,至少需要切 刀. (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把蛋糕看作一个圆面,每切一刀在蛋糕上留下的刀印可以看作一条线段,于是问题转化为:在一个圆内画两个端点在圆周上的线段,这些线段把圆分成若干部分,问至少画几条线段才可以把圆分成不少于10部分.

注:小学阶段学的是实验几何,即时一些简单图形性质的认识,往往是通过观察和实验,对一些图形的研究也仅侧重于面积和体积的计算,只告诉你应该这样,并没有告诉你为什么这样,并没向你介绍证明结论的普遍性,更没教你证明结论普遍性的方法.

初中学习的是推理几何,是在学习知识的同时发展能力,使你学习逻辑分析、论证的方法,使你逐步具备可持续发展的能力.

爱因斯坦曾说:“推理的这种可赞叹的胜利,使人类理智获得了为取得以后成就所必需的信心.”

【例2】 图中有一个正方体的纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形,则展开图应当是( ).

思路点拨 展开与折叠是两个步骤相反的过程,只需验证展开图能否折成符合要求的正方体的前、后、左、右、上、下六个面.

【例3】 棱长为a的正方体,摆放成如图所示的形状.

(1)如果这一物体摆放三层,试求该物体的表面积;

(2)依图中摆放方法类推,如果该物体摆放了上下20层,求该物体的表面积.

(河北省竞赛题)

思路点拨 由题中图示,从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的

平面图相同,每个方向上均有6个等面积的小正方形.

【例4】 用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体.

(1)如图①,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔,

打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm;

(2)如果在第(1)题打孔后,再在正面中心位置处(按图②中的虚线)从前到后打一个边长为lcm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥的表面积为 cm2;

(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长xcm、宽lcm的长方形通孔,能不能使所得橡皮泥块的表面积为130cm2?如果能,请求出x;如果不能,请说明理由. (第16届江苏省竞赛题)

思路点拨 对于(3),扩孔有不同的方案,通过一一列举、计算比较,求x的值.

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注:学习几何的方法与学习算术、代数相比有较大突变,我们应通过剪拼、折叠,设计等操作活动,去感受图形运动变化规律,还应注意利用图形直观,仔细观察.从图形的结构分析,提高抽象、概括能力.

【例5】 请以给定的图形“OO、△△、=”(两个圆、两个三角形、两条平行线段)为构件,构思尽可能多独特且有意义的图形,并写上一两句贴切、诙谐的解说词. (俞学明等著《基础教育新概念一创造教育》)

思路点拨 解答本例需要利用给定的6个元素,充分展开想象的翅膀,组合成各种有意义的图形.此外,还要有一定的生活经验和一定的文学修养.

学力训练

1. 如图,将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的4组图形,试

按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系,填空.

A与对应;B与对应;C与D与对应. (江西省中考题)

2.图①是一个正方体形状的纸盒,把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上,可得到图②的图形,如果把图②的纸片重新恢复成图①的纸盒,那么与点G重合的点是 .(江苏省竞赛题)

3.你可以依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等,那么正方形⑤的面积为 .

4.一个正方体的每个面分别标有数字1,2,3,4,5,6.根据图中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字,可推出“?”处的数字是 .

5.我们从不同的方向观察同——物体时,可能看到不同的图形.如图,图①是由若干个小正方体所搭成的几何体,图②是从图①的上面看这个几何体所看到的图形,那么从图①的左面看这个几何体所看到的图形是( ). (无锡市中考题)

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6.下面几个图片都是由6个相同的正方形组成的,其中不能折成正方体的是( ).

(连云港市中考题)

7.图①是一个水平放置的小正方体木块,图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形时,小正方体木块总数应是( ). (宁波市中考题)

A.25 D.66 C.91 D.120

8.一个画家有14个边长为1米的正方体,他在地面上把它摆成如图的形式,然后,他把露出的表面都染上颜色,那么被她染上颜色的面积有( )平方米.

A.21 B.24 C.33 D.37 E.42

9.如图是“毕达哥拉斯树”,它是由一个正方形不断“生长”而得的,找出它的“生长”规律,并画出一个更大的“枝繁叶茂”的毕达哥拉斯树.

10.现有两块可以重叠的三角板,在相等长的两边重合时,能拼出多少种不同的三角形?画图说明.

11.把两个长3cm、宽2cra、高lcm的小长方体先粘合成一个大长方体,再把它切成两个大小相同的小长方体,最后一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积

大 cm2.

12.一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5 cm,先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体,再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体,那么,经三次切割后剩余部分的体积为 cm2.

13.

现将上述大小相同、颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个平面放置的长方体,那么长方体的下底共有 朵花.

14.如图是正方体分割后的一部分,它的另一部分是下列图形中的( ). (山西省中考题)

3

15.小华用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的四个图案中,符合图示胶滚涂出的图案是( ) (江苏省镇江市中考题)

16.图(a)是图(b)中立方体的平面展开图,图(a)与图(b)中的箭头位置和方向是一致的,那么图(a)中的线段AB与图(b)中对应的线段是( ). (江苏省竞赛题)

A.e B.h C.k D.d

17.用火柴摆出正方形,用多少根火柴才能摆出6个正方形?尽可能多地设想各种方案,(注:要求摆出的

6个正方形中每个正方形的边长限于一根火柴的长)

18.商标是刻在或印在商品表面或包装上的一种标志记号,它使该商品同其他商品有所区别,因此,某种商品的商标是该商品的象征,须向国家有关部门登记,备案的商标称作注册商标,它受国家法律保护,随着商品经济的发展,商标的设计成为一项重要的商业业务项目,由于几何图形构成的商标具有简明、和谐、对称等特点,所以深为商标设计者所青睐.

(1)画出你所熟悉的由几何图形构成的商标(不少于4个);

(2)用你所熟悉的基本图标,设计“山川”牌助动车商标,并说明商标中几何图形的名称、组合的形式及其含义.

19.如图是一个由12个相似(形状相同,大小不同)的直角三角形所组成的图案,它是否有点像一个商标图案?你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案?最好再给你设计的图案取一个名字.

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参考答案

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