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[极品]初中数学竞赛专项训练

发布时间:2014-02-10 12:44:43  

初中数学竞赛专项训练(1)

(实 数)

一、选择题

1、如果自然数a是一个完全平方数,那么与a之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )

A. a+1 B. a2+1 C. a2+2a+1 D. a+2a+1

2、在全体实数中引进一种新运算*,其规定如下:①对任意实数a、b有a*b=(a+b)(b-1)②对任意实数a有a=a*a。当x=2时,[3*(x)]-2*x+1的值为

A. 34 B. 16 C. 12 *2*2( ) D. 6

( ) ?2004?y?n3、已知n是奇数,m是偶数,方程?有整数解x0、y0。则 11x?28y?m?

A. x0、y0均为偶数

C. x0是偶数y0是奇数 B. x0、y0均为奇数 D. x0是奇数y0是偶数

4、设a、b、c、d都是非零实数,则四个数-ab、ac、bd、cd( )

A. 都是正数 B. 都是负数 C. 两正两负 D. 一正三负或一负三正

5、满足等式xy?yx?2003y?2003x?2003xy?2003的正整数对的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6、已知p、q均为质数,且满足5p2+3q=59,由以p+3、1-p+q、2p+q-4为边长的三角形是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

7、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。

A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111

8、在1、2、3??100个自然数中,能被2、3、4整除的数的个数共( )个

A. 4

二、填空题

1、若S?B. 6 C. 8 D. 16 1

111????198019812001,则S的整数部分是____________________

2、M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数N,若M-N恰

是某正整数的立方,则这样的数共___个。

3、已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么,a、b中较大的数是_____。

4、设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数,则m=_________

5、满足19982+m2=19972+n2(0<m<n<1998)的整数对(m、n)共有____个

6、已知x为正整数,y和z均为素数,且满足x?yz?

三、解答题 1x11?,则x的值是___ yz

1、试求出这样四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数。

2、从1、2、3、4??205共205个正整数中,最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数a、b、c(a<b<c),都有ab≠c。

3、已知方程x?6x?4n?32n?0的根都是整数。求整数n的值。

4、设有编号为1、2、3??100的100盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n个(n≤100)学生进来,凡号码是n的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。

5、若勾股数组中,弦与股的差为1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式:222a?1, 2a2?2a, 2a2?2a?1,其中a为正整数。

初中数学竞赛专项训练(2)

(代数式、恒等式、恒等变形)

一、选择题:下面各题的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在括号内。

1、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( )

A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元

C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元

2、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么a?b?c?abc的所有可能的值为 |a||b||c||abc|

A. 0

B. 1或-1 ( ) C. 2或-2

D. 0或-2

3、在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若∠B=60°,则 A. 1

2

ca

的值为 ?

a?bc?b

B. D.

2 2

( )

D. 3

( )

C. 1

2

4、设a<b<0,a2+b2=4ab,则 A.

a?b

的值为 a?b

C. 2

3

B.

6

5、已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a、b、c为实数,x?a?2b?一个值 A. 大于0

B. 等于0

2

?

3

,y?b2?2c?

C. 不大于0

?

6

,z?c2?2a?

?

2

,则x、y、z中,至少有( )

D. 小于0

a2b2c2

7、已知abc≠0,且a+b+c=0,则代数式的值是 ??

bccaab

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

2

2

( )

8、若M?3x?8xy?9y?4x?6y?13(x、y是实数),则M的值一定是 ( ) A. 正数

二、填空题

B. 负数

C. 零

D. 整数

1、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为_____

11

2、已知-1<a<0,化简(a?)2?4?(a?)2?4得_______

aa

3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______________

4、已知x1、x2、??、x40都是正整数,且x1+x2+??+x40=58,若x12+x22+??+x402的最大值为A,最小值为B,则A+B的值等于________

(34?4)(74?4)(114?4)(154?4)??(394?4)

?________________ 5、计算4

(5?4)(94?4)(134?4)(174?4)??(414?4)

6、已知多项式ax?bx?47x?15可被3x?1和2x?3整除,则a?b?_____

3

2

三、解答题:

1、已知实数a、b、c、d互不相等,且a?

21111?b??c??d??x,试求x的值。2、如果对一切bcdax的整数值,x的二次三项式ax?bx?c的值都是平方数(即整数的平方)。

证明:①2a、ab、c都是整数。

②a、b、c都是整数,并且c是平方数。

反过来,如果②成立,是否对于一切x的整数值,x的二次三项式ax?bx?c的值都是平方数?

3、若a?1995?1995?1996?1996,求证:a是一完全平方数,并写出a的值。4、设a、b、c、d是四个整数,且使得m?(ab?cd)?

个合数。

5、若a的十位数可取1、3、5、7、9。求a的个位数。\ 222222212(a?b2?c2?d2)2是一个非零整数,求证:|m|一定是4

初中数学竞赛专项训练(3)

(方 程)

一、选择题:

1、方程x?(a?8)x?8a?1?0有两个整数根,试求整数a的值

A. -8

2、方程(x?x?1)

A. 2 22( ) B. 8 x?3C. 7 D. 9 D. 5

2?1的所有整数解的个数是 C. 4 ( ) B. 3 223、若x0是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根,则判别式??b?4ac与平方式M?(2ax0?b)

的大小关系是

A. △>M

2 B. △=M 2 C. △<M ( ) D. 不能确定 4、已知b?4ac是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的一个实数根,则ab的取值范围为

A. ab≥ ( ) 1 8B. ab≤

21 8C. ab≥21 4D. ab≤1 4225、已知x1、x2是方程x?(k?2)x?(k?3k?5)?0的两个实根,则x1?x2

A. 19 B. 18 ( ) C. 5的最大值是 5 9D. 以上答案都不对

6、已知x、y、z为三个非负实数,且满足3x?2y?z?5, 2x?y?3z?1,若u?3x?y?7z,则u的最大值与最小值之和为

( )

A. ?62 77B. ?64 77

2C. ?68 772D. ?74 777、若m、n都是正实数,方程x?mx?2n?0和方程x?2nx?m?0都有实数根,则m+n的最小值

是 ( )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

8、气象爱好者孔宗明同学在x(x为正整数)天中观察到:①有7个是雨天;②有5个下午是晴天;③有6个上午是晴天;④当下午下雨时上午是晴天。则x等于( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

二、填空题

1、已知两个方程x?ax?b?0与x?bx?a?0有且只有一个公共根,则这两个方程的根应是____________ 22

2、若a?11a?16?0, b?11b?16?0(a?b),则

222ba??_______ ab3、已知关于x的方程x?(n?1)x?2n?1?0的两根为整数,则整数n是_____

4、设x1、x2是方程x?2(k?1)x?k?2?0的两个实数根,且(x1?1)(x2?1)?8,则k的值是__________

5、已知a、b是方程x?4x?m?0的两个根,b、c是方程x?8x?5m?0的两个根,则m=__________

6、设x1、x2是关于x的一元二次方程x?ax?a?2的两个实数根,则(x1?2x2)(x2?2x1)的最大值为__________

三、解答题

1、关于x的方程kx?(k?1)x?1?0有有理根,求整数k的值。

2、设方程2002x?2003?2001x?1?0的较大根是r,方程2001x?2002x?1?0的较小根是s,求r-s的值。

3、确定自然数n的值,使关于x的一元二次方程2x?8nx?10x?n?35n?76?0的两根均为质数,并求出此两根。

4、已知关于x的一元二次方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的两个根均为整数,求所有满足条件的实数k的值。

22222222222

5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇,其速度依次为每小时v1、v2、v3、v4千米,且满足v1>v2>v3>v4>0,其中,v水为河流的水流速度(千米/小时),它们在河流中进行追逐赛规则如下:(1)四条艇在同一起跑线上,同时出发,①、②、③是逆流而上,④号艇顺流而下。(2)经过1小时,①、②、③同时掉头,追赶④号艇,谁先追上④号艇谁为冠军,问冠军为几号艇?

初中数学竞赛专项训练(4)

(不等式)

一、选择题:

1、若不等式|x+1|+|x-3|≤a有解,则a的取值范围是

A. 0<a≤4 B. a≥4 C. 0<a≤2 D. a≥2

2、已知a、b、c、d都是正实数,且( ) acacac给出下列四个不等式:① ② ?,??bda?bc?da?bc?d

bcbd③ ④其中正确的是 ( ) ??a?bc?da?bc?d

( )

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a、b、c满足a<b<c,ab+bc+ac=0,abc=1,则 A. |a+b|>|c| B. |a+b|<|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定

?2x?5?x?5??34、关于x的不等式组?只有5个整数解,则a的取值范围是 ( )

?x?3?x?a??2

A. -6<a<-11 2B. -6≤a<-

211 2C. -6<a≤-11 2D. -6≤a≤-11 25、设关于x的方程ax?(a?2)x?9a?0有两个不等的实数根x1、x2,且x1<1<x2,那么a的取值

范围是

A. ? B. a? ( ) 22?a? 752 5C. a??2 7D.?2?a?0 11

b,其中 a ( ) 6、下列命题:①若a=0,b≠0,则方程ax?b无解 ②若a=0,b≠0,则不等式ax?b无解 ③若a≠0,则方程ax?b有惟一解 ④若a≠0,则不等式ax?b的解为x?

A. ①②③④都正确

C. ①③不正确,②④正确 B. ①③正确,②④不正确 D. ①②③④都不正确

x?37、已知不等式①|x-2|≤1 ②(x?2)2?1 ③(x?1)(x?3)?0 ④x?1?0其中解集是1?x?3的不等

式为

A. ① B. ①② C. ①②③ ( ) D. ①②③④

( ) 8、设a、b是正整数,且满足56≤a+b≤59,0.9<

A. 171

二、填空题: B. 177 C. 180 a<0.91,则b2-a2等于 bD. 182

1、若方程2x?a??1的解是正数,则a的取值范围是_________ x?2

2、乒乓球队开会,每名队员坐一个凳子,凳子有两种:方凳(四脚)或圆凳(三脚),一个小孩走进会场,他数得人脚和凳脚共有33条(不包括小孩本身),那么开会的队员共有____名。

3、已知不等式①|x?2|?3 ②(x?2)?9?0 ③

的不等式有_____个。

4、若关于x的一元二次方程2x?(a?5)x?2?0无实数根,则a的取值范围是___

5、在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.80元,超过20g而不超过40g时付邮费1.6元,依次类推,每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内),如果某人寄一封信的质量为72.5g,那么他应付邮费_______

6、若x1、x2都满足条件|2x?1|?|2x?3|=4且x1<x2则x1-x2的取值范围是___

三、解答题

1、有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用12台水泵需5小时,用10台水泵需7小时,若要在2小时内抽干,至少需水泵几台?、

2、已知一元二次方程(k?1)x?(4?k)x?1?0的一个根大于1,另一个根小于1,求整数k的值。

3、若关于x的不等式|ax+a+2|<2有且只有一个整数解,求a的整数值。

4、某宾馆一层客房比二层客房少5间,某旅游团48人,若全安排在第一层,每间4人,房间不够,每间5人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每3人,房间不够,每间住4人,则有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间?

5、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做10个零件,这样8个人一天做的零件超过200个,后来改进技术,每人一天又多做27个零件,这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件,问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍? 2222x?16?0 ④??1,其中解集是?5?x?1x?5x?1

初中数学竞赛专项训练(5)

(方程应用)

一、选择题:

1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B,若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A之后35分钟到达B,甲乙的速度之比为 ( )

A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4

2、某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件,如果获利润最大的产品是第R档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么R等于 ( )

A. 5 B. 7 C. 9 D. 10

3、某商店出售某种商品每件可获利m元,利润为20%(利润=售价?进价),若这种商品的进价提高25%,进价

而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元,则提价后的利润率为 ( ) A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5%

4、某项工程,甲单独需a天完成,在甲做了c(c<a)天后,剩下工作由乙单独完成还需b天,若开始就由甲乙两人共同合作,则完成任务需( )天 A.

c a?b

B.

ab a?b?c

C. a?b?c

2

D.

bc a?b?c

5、A、B、

则:A、B两队比赛时,A队与B队进球数之比为 ( ) A. 2∶0 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 0∶2

6、甲乙两辆汽车进行千米比赛,当甲车到达终点时,乙车距终点还有a千米(0<a<50)现将甲车起跑处从原点后移a千米,重新开始比赛,那么比赛的结果是 ( ) A. 甲先到达终点 B. 乙先到达终点 C. 甲乙同时到达终点 D. 确定谁先到与a值无关

7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时,逆流航行这段路程需b小时,那么一木块顺水漂流这段路需( )小时

2ab2abab

B. C. ab D. a?bb?ab?aa?b

8、A的年龄比B与C的年龄和大16,A的年龄的平方比B与C的年龄和的平方大1632,那么A、B、C的年龄之和是 ( ) A. 210 B. 201 C. 102 D. 120 二、填空题

A.

1、甲乙两厂生产同一种产品,都计划把全年的产品销往济南,这样两厂的产品就能占有济南市场同类产

311

,然而实际情况并不理想,甲厂仅有的产品,乙厂仅有的产品销到了济南,两厂的产品仅423

1

占了济南市场同类产品的,则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为_______

3

品的

2、假期学校组织360名师生外出旅游,某客车出租公司有两种大客车可供选择,甲种客车每辆有40个座位,租金400元;乙种客车每辆有50个座位,租金480元,则租用该公司客车最少需用租金_____元。

3、时钟在四点与五点之间,在_______时刻(时针与分针)在同一条直线上?

4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生,钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生,考虑到三年来物价的总涨幅为40%,则钱先生实际上按_____%的利率获得了利润(精确到一位小数)

5、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳,甲游100米要72秒,乙游100米要60秒,略去转身时间不计,在12分钟内二人相遇____次。

6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数,甲的年龄是乙的两倍,乙比丙小7岁,三人的年龄之和是小于70的质数,且质数的各位数字之和为13,则甲、乙、丙三人的年龄分别是_________

三、解答题

1、某项工程,如果由甲乙两队承包,223天完成,需付180000元;由乙、丙两队承包,3天完成,需54

6付150000元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付160000元,现在工程由一个队单独承包,在保证7

一周完成的前提下,哪个队承包费用最少?

2、甲、乙两汽车零售商(以下分别简称甲、乙)向某品牌汽车生产厂订购一批汽车,甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍,后来由于某种原因,甲从其所订的汽车中转让给乙6辆,在提车时,生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆,最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍,试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量?最少是多少辆?

3、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机),其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

4、某乡镇小学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师生立即出发到县城,由

于汽车在赴校途中发生了故障,不得不停车修理,学校师生等到7时10分仍未见汽车来接,就步行走向县城,在行进途中遇到了已修理好的汽车,立即上车赶赴县城,结果比原来到达县城的时间晚了半小时,如果汽车的速度是步行速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间?

初中数学竞赛专项训练(6)

(函 数)

一、选择题:

1、如果一条直线L经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么直线L经过

( )

A. 二、四象限 B. 一、二、三象限

C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限

2、当|x|?4时,函数y?|x?1|?|x?2|?|x?3|的最大值与最小值之差是( )

A. 4

22 B. 6 C. 16 D. 20 ( ) 3、对ab?0,a?b,二次函数y?(x?a)(x?b)的最小值为

A. (a?b2) 2B. ?(a?b2) 2C. (a?b2) 2D. ?(a?b2) 2

24、若直线y?ax?b(ab?0)不经过第三象限,那么抛物线y?ax?bx的顶点在

A. 第一象限 ( ) B. 第二象限 C. 第三象限

D. 第四象限

5、二次函数y?ax?bx?c的图象一部分如图6-1,则a的取值范围是

A. ?1?a?0 B. a>-1 C. -1<a<0 D. a≤-1 122

6、若函数y?(x?100x?196?|x?100x?196|),

图6-1

2

( )

2

则当自变量x取1,2,3,??,100这100个自然数时,函数值的和是 ( ) A. 540 B. 390 C. 194 D. 197

7、已知函数f(x)?|8?2x?x|和y?kx?k(k为常数),则不论k为何常数,这两个函数图象只有( )个交点 A. 1

2

B. 2 C. 3 D. 4

2

2

8、二次函数y??x?6x?7,当x取值为t?x?t?2时,y最大值??(t?3)?2,则t的取值范围是

A. t=0

2

B. 0≤t≤3

2

2

C. t≥3

2

D. 以上都不对

( )

9、两抛物线y?x?2ax?b和y?x?2cx?b与x轴交于同一点(非原点),且a、b、c为正数,a≠c,则以a、b、c为边的三角形一定是

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形

( ) D. 等腰或直角三角形

2

2

10、当n=1,2,3,??,2003,2004时,二次函数y?(n?n)x?(2n?1)x?1的图象与x轴所截得的线段长度之和为 A.

( )

2002

2003

B.

2003

2004

C.

2004

2005

D.

2005

2006

图6-2

二、填空

1、已知二次函数y?ax?bx?c图象如图6-2所示,则下列式子: ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b2、已知函数y?

2

1213

x?在0?a?x?b时,有2a?y?2b,则(a,b)=___ 22

2

3、若第一象限内的整点(a,b)位于抛物线y?19x?98x上, 则m+n的最小值为_____ 4、如果当m取不等于0和1的任意实数时,抛物线y?

m?122m?3

在平面直角坐标系上都过x?x?

mmm

两个定点,那么这两个定点间的距离为_______

5、已知抛物线y?x?(k?1)x?1与x轴两个交点A、B不全在原点的左侧,抛物线顶点为C,要使△ABC恰为等边三角形,那么k的值为_______ 6、已知f(x)?x?(m?1)x?(2m?1)(m?号为_______

2

2

1m?1

)在x轴上的两截距都大于2,则函数值f()的符24m?2

23x?6x?5的最小值是______ 7、设x为实数,则函数y?12x?x?12

8、已知函数f(x)?1

,则f(1)?f(3)?...f(2k?1)?...?f(999)x?2x?1?2x?1?2x?2x?12

的值为________

9、函数y?(cos?)x?4(sin?)x?6对任意实数x都有y?0,且θ是三角形的内角,则θ的取值范围

是_________ 2

三、解答题

1、已知x,y,z为三个非负有理数,且满足3x?2y?z?5,x?y?z?2,若s?2x?y?z,求s的

最大值与最小值的和。

2、设a、b、c是三角形的三边长,二次函数y?(a?b)x?2cx?(a?b)在x??

求这个三角形三个内角的度数。

3、二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图6-3所示:

①判断a、b、c及b?4ac的符号

②若|OA|?|OB|,求证ac?b?1?0 2221a时,取得最小值?,22图6-3 24、设二次函数y?x?px?q 的图象经过点(2,-1), 且与x轴交于不同的两点 A(x1,0) B

(x2,0),M为二次函数图象的顶点,求使△AMB面积最小时的二次函数的解析式。

5、已知二次函数y?4x?(3k?8)x?6(k?1)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左边),且点A、B

到原点距离之比为3∶2。

①求k值。

②若点P在y轴上,∠PAB=α,∠PBA=β。求证:α<β 22

初中数学竞赛专项训练(7)

(逻辑推理)

一、选择题:

1、世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时

两队各得1分,小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛,如果总积分相同,还要按净胜球排序,一个队要保证出线,这个队至少要积 ( )

A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分

2、甲、乙、丙三人比赛象棋,每局比赛后,若是和棋,则这两个人继续比赛,直到分出胜负,负者退下,

由另一个与胜者比赛,比赛若干局后,甲胜4局,负2局;乙胜3局,负3局,如果丙负3局,那么丙胜 ( )

A. 0局 B. 1局 C. 2局 D. 3局

3、已知四边形ABCD从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB=CD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥

∠B=∠D,任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有

( )

A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种

4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人,一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处,那么满足上述要求的排法的方案有 ( )

A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种

5、正整数n小于100,并且满足等式?n???n???n??n,其中?x?表示不超过x的最大整数,这样的正???????2??3??6?

整数n有( )个

A. 2 B. 3 C. 12 D. 16

6、周末晚会上,师生共有20人参加跳舞,其中方老师和7个学生跳舞,张老师和8个学生跳舞??依次下去,一直到何老师,他和参加跳舞的所有学生跳过舞,这个晚会上参加跳舞的学生人数是

( )

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12

7、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成,每两个相邻展室(指有公共边的小三角形)都有门相通,若某参观者不愿返回已参观过的展室(通过每个房间至少一次),那么他至多能参观( )个展室。

A. 23 B. 22 C. 21 D. 20

8、一副扑克牌有4种花色,每种花色有13张,从中任意抽牌,最小要抽( )张才能保证有4张牌是同一花色的。

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

二、填空题:

1、观察下列图形:

① ② ③ ④

根据①②③的规律,图④中三角形个数______

2、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花花色的牌又按A,1,2,3,??J,Q,K的顺序排列,某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,??如此下去,直到最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是______

3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字一共可组成_____个能被5整除的三位数

4、将7个小球分别放入3个盒子里,允许有的盒子空着不放,试问有____种不同放法。

5、有1997个负号“-”排成一行,甲乙轮流改“-”为正号“+”,每次只准画一个或相邻的两个“-”为“+”,先画完“-”使对方无法再画为胜,现规定甲先画,则其必胜的策略是__________________

6、有100个人,其中至少有1人说假话,又知这100人里任意2人总有个说真话,则说真话的有_____人。

三、解答题

1、今有长度分别为1、2、3、??、9的线段各一条,可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形?

2、某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,证明至少有5人植树的株数相同。、

3、袋中装有2002个弹子,张伟和王华轮流每次可取1,2或3个,规定谁能最后取完弹子谁就获胜,现由王华先取,问哪个获胜?他该怎样玩这场游戏?

4、有17个科学家,他们中的每一个都和其他的科学家通信,在他们的通信中仅仅讨论三个问题,每一对科学家互相通信时,仅仅讨论同一个问题。证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信。 初中数学竞赛专项训练(8)

(命题及三角形边角不等关系)

一、选择题:

1、如图8-1,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD,则线段CD的长度的最小值是 ( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 5(?1)

2、如图8-2,四边形ABCD中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7, 则BC+CD等于 ( )

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

3、如图8-3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF∥BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为 ( )

A.

D C

60° B B P 图8-3 图8-2

图8-1

4、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α=A+B,β=C+A,γ=C+B,则α、β、γ中,锐角的个数最多为 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

5、如图8-4,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 ( ) A. 4cm cm B. 5cm cm

C. 4cm 2cm D. 5cm 23cm 图8-4

6、一个三角形的三边长分别为a,a,b,另一个三角形的三边长分别为a,b,b,其中a>b,若两个三角

45 7B. 33 5C. 39 5D. 15 2

形的最小内角相等,则 A.

3?1 2

a

的值等于 b

5?1 2

C.

?2 2

( ) D. D. 5

?2

2

B.

7、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是 A. 0 B. 1 C. 3 8、若函数y?kx(k?0)与函数y? A. 1

B. 2

( )

1

的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为 x

C. k

( ) D. k2

二、填空题

1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a,b,则d与______

2、如图8-5,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为___

3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、5、7)、(5、9、11)??问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长_____

4、如图8-6,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=_______

图8-6

D

a?b

的大小关系是_2

′ A′

图8-5

图8-7

5、如图8-7,甲楼楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时求①如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?______②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是______米。 6、如图8-8,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,使

得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=__

B D

图8-9

B 图

8-8 三、解答题

1、如图8-9,AD是△ABC中BC边上的中线, 求证:AD<1(AB+AC) 2

2、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?

3、如图8-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F。 C

求证:①四边形CEDF是正方形。

②CD2=2AE2BF

A B 图8-10

4、从1、2、3、4??、2004中任选k个数,使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的k的最小值是多少?

初中数学竞赛专项训练(9)

(面积及等积变换)

一、选择题:

1、如图9-1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC与BD交于O,点P在AB的延长线上,且BP=CD,则图形中面积相等的三角形有 ( )

A. 3对 B. 4对 F 图9-2

9-1 C. 5对 D. 6对

2、如图9-2,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE,设AF、CE交于点G,则

等于

A. B. ( ) S四边形DCGAS矩形DCBA5 64 5C. 3 4D. 2 3

3、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且

使四边形DECB的面积为

( )

3CE,则的值为 4EAAD1=,若在边AC上取一点E,AB3 图9-3

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

4、如图9-3,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、AB为边,在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB,作CK⊥AB,分别交AB和GH于D和K,则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是 ( ) A. S1=S2 B. S1>S2 C. S1<S2

D. 不能确定,与

AC

的大小有关 AB

C

A B 图9-4

5、如图9-4,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°, AD=8,AB=7,则BC+CD等于 ( ) A. 6

B. 53

C. 4

D. 3

6、如图9-5,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=1,则正方形的面积为 ( )

9-5 A.

7?33?5

B. C. 22?12

D. (1?2) 2

7、如图9-6,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足,则DE=( ) A.

2ab4a2?b22aba?4b

2

2

B.

ab4a2?b2

aba?4b

2

2

9-6

D

C

C. D.

8、O为△ABC内一点,AO、BO、CO及其延长线把△ABC分成六个小三角形,它们的面积如图9-7所示,则S△ABC=( ) A. 292 B. 315 C. 322 D. 357 二、填空题

1、如图9-8,梯形ABCD的中位线EF的长为a,高为h,则图中阴影部分的面积为___

C

图9-8

图9-10

9-9

图9-7

2、如图9-9,若等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等于15cm,则这个等腰三角形的面积等于____

3、如图9-10,在△ABC中,CE∶EB=1∶2,DE∥AC,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为_____

4、如图9-11,已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结AD和BE,它们相交于点P,过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q、R,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为_____

9-11

9-13

5、如图9-12,梯形

9-12

ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=2∶5,AF∶FD=1∶1,BE∶EC=2∶

3,EF、CD延长线交于G,用最简单的整数比来表示,S△GFD∶S△FED∶S△DEC=_____ 6、如图9-13,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=____ 三、解答题

1、如图9-14,在矩形ABCD中,E是BC上的点,F是CD上的点,S△ABE=S△ADF= 求:

1

S矩形ABCD。 3

S?AEF

的值。 S?CEF

F

9-14

E

C

2、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F。

BDCEAF求证:???1

DCEAFB

图9-15

3、如图9-16,在

中,P1、P2、P

3??Pn-1是BD的n等分点,连结AP2,并延长交BC于点E,连

结APn-2并延长交CD于点F。

①求证:EF∥BD

②设的面积是S,若S△AEF=

B

E

图9-16

D

3

S,求n的值。 8

4、如图9-17,△ABC是等腰三角形,∠C

=90°,O是△ABC内一点,点O到△ABC各边的距离等于1,

将△ABC绕点O

顺时针旋转45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。 ①证明:△AKL,△BMN,△CPQ都是等腰直角三角形。

②求证:△ABC与△A1B1C1公共部分的面积。

A1

初中数学竞赛专项训练(10)

图9-17

(三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖)

一、填空题:

1、G是△ABC的重心,连结AG并延长交边BC于D,若△ABC的面积为6cm2, 则△BGD的面积为

( )

A. 2cm2 B. 3 cm2

B

322 图10-2 C. 1 cm D. cm

图10-1 2

2、如图10-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点,

则∠AEB是( ) A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 3、在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,如图10-2,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’

的位置,其中A’、B’分别是A、B的对应点,B在A’B’上,CA’交AB于D,则∠BDC的度数为( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

4、设G是△ABC的垂心,且AG=6,BG=8,CG=10,则三角形的面积为( )

A. 58 B. 66 C. 72 D. 84

5、如图10-3,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为

AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,△CEF的面积为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

A F C C E E

图10-3

6、在△ABC中,∠A=45°,BC=a,高BE、CF交于点H,则AH=( )

12B. C. a D. 2a a a 22

7、已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1、B1、C1分别是点I关于BC、CA、AB的对称点,若点B在

△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

8、已知AD、BE、CF是锐角△ABC三条高线,垂心为H,则其图中直角三角形的个数是( )

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

二、填空题 图10-4 1、如图10-4,I是△ABC的内心,∠A=40°,则∠CIB=__ A.

2、在凸四边形ABCD中,已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠ABC=90°,则∠DAB的度数是_____

3、如图10-5,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,将矩形ABCD沿对角线对折,

然后放在桌面上,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是_______

4、在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心)

若现在时间恰好是12点整,则经过____秒钟后,△OAB的面积第一次达到最大。

5、已知等腰三角形顶角为36°,则底与腰的比值等于______

6、已知AM是△ABC中BC边上的中线,P是△ABC的重心,过P作EF(

BC),分别交AB、AC于E、F,则A B D C ’ 图10-5 BECF=________ ?AEAF

三、解答题

1、如图10-6,在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E,过D作AE的垂线与OA交于F。求证:OE=OF

2、在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N。 求证:①△DEM≌△DFN

②∠PAE=∠PBF F

10-7

3、如图10-8,在△ABC中,AB=AC,底角B的三等分线交高线AD于M、N,边CN并延长交AB于E。 求证:EM∥BN

图10-8

4、如图10-9,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经过点A,且分别交两于C、D两点,连结BC、CD,设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的中点。

求证:①BPNQ ?PMQB

②△KPM∽△NQK

数学竞赛专项训练(1)实数参考答案

一、选择题

1、解:设与a之差最小且比a大的一个完全平方数是x,则x?

应选D 图10-9 2a?1,所以x?(a?1)?a?2a?1

2、解:原式?[3*(2*2)]?2*2?1

      ?[3*(2*2)]?2*2?1

      ?3*3?3?1

      ?(3?1)(3?1)?3?1

      ?8?3?1

      ?6

3、2004=n-y0,n是奇数,y0必是奇数,又11x0=m-28y0,m和28y0均为偶数,所以11x0是偶数, 应选D

x0应为偶数。故选C

4、解:-ab2ac2bd2cd=-a2b2c2d2<0,所以这四个数中应一正三负或一负三正。应选D

5、解:由xy?yx?2003x?2003y?2003xy?2003?0可得

(xy?2003)(x?y?2003)?0x?y?2003?0

所以xy?2003?0  故xy?2003 又因为2003是质数,因此必有

?x?1?x?2003 应选B ???y?2003   ?y?1

6、解:因5p?3q为奇数,故p、q必一奇一偶,而p、q 均为质数,故p、q中有一个为2,若q?2 p2?253

5

不合题意舍去。若p=2,则q=3,此时p+3=5,1-p+q=12,2p+q-4=13,因为52+122=132,所以5、12、13为边长的三角形为直角三角形。故选B

bcabc7、解:依题意设六位数为abcabc,则a=a3105+b3104+c3103+a3102+b310+c=a3102(103

+1)+b310(103+1)+c(103+1)=(a3103+b310+c)(103+1)=1001(a3103+b310+c),而a3103+b310+c是整数,所以能被1001整除。故选C

8、解:能被2、3、4整除即能被[2,3,4]=12整除,共有12、24、36、48??96共8个。应选C

二、填空题

1、解:因1981、1982??2001均大于1980,所以S?1

22?1

1980?1980?90,又1980、1981??200022

均小于2001,所以S?1

22?1

2001?200121?90,从而知S的整数部分为90。 2222

2、解:设两位数M=10a+b,则N=10b+a,由a、b正整数,且1≤a,b≤9,

M?N?(10a?b)?(10b?a)?9(a?b)?c3,又c是某正整数,显然c3<100,c≤4,而且c3是9的倍数,所以c=3,即a-b=3,满足条件的两位数有41、52、63、74、85、96共6个

3、解设(a,b)=d,且a=md,b=nd,其中m>n,且m与n 互质,于是a、b的最小公倍数为mnd,

?md?nd?1203??m?105??(m?n)d?2?3?5①依题题有?mnd即?,则m>n据②可得?或n?1?105????mn?3?5?7    ②?d

?m?135?m?21?m?15或?或? ??n?3?n?5?n?7

根据①只取??m?15可求得d=15,故两个数中较大的数是md=225。 n?7?

4、解:最小三个合数是4,6,8,4+6+8=18,故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数,当m>18时,若m=2k>18,则m=4+6+2(k-5),若m=2k-1>18,则m=4+9+2(k-7)即任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和,故m=17

5、解:n2-m2=3995=5317347,(n-m)(n+m)=5317347,显然对3995的任意整数分拆均可得到(m,

n),由题设(0<m<n<1998),故满足条件的整数对(m,n)共3个。

6、解:由111y?z及x=yz得y-z=1,即y与z是两个相邻的自然数,又y与z均为素数,只???xzyyz

有y=3,z=2,故x=yz=6。

三、解答题

1、解:设前后两个二位数分别为x、y,10≤x,y≤99。

根据题意有(x?y)?100x?y

即x?2(y?50)x?(y?y)?0

当??4(y?50)?4(y?y)?4(2500?99y)?0

22222即2500?99y?0  y?25时方程有实数解  x?50?y?2500?99y

由于2500-99y必为完全平方数,而完全平方数的末位数仅可能为0、1、4、5、6、9,故y仅可取25,此时,x=30或20,故所求四位数为2025或3025。

2、解:首先1、14、15、16??205这193个数满足题设条件,事实上,设a、b、c(a<b<c)这3个数取自1、14、15、16??205,

若a=1,则ab=a<c;

若a>1,则ab≥14315=210>c

另一方面考虑如下12个数组

(2,25,2325)(3,24,3324)??(13,14,13314)上述这36个数互不相等,且其中最小的数为2,最大的数为13314=182<205,所以每一个数组中的3个数不能全部都取出来,于是,如果取出来的数满足题设条件,那么,取出来的数的个数不超过205-12=193(个)

综上所述,从1、14、15、16??205中最多能取出193个数,满足题设条件。

3、解:原方程解得:

6?36?4(4n2?32n)6?4?4n2?4?32n?4?9x??22 26?24n?32n?9  ??3?4n2?32n?92

因为方程的根是整数,所以4n2+32n+9是完全平方数。

设4n2+32n+9=m2 (m>0)

(2n+8)2-55=m2

(2n+8+m)(2n+8-m)=55

因55=1355=(-1)3(-55)=(-5)3(-11)=5311

???2n?8?m?55?2n?8?m?11?2n?8?m??1?2n?8?m??5解得:n=10、????2n?8?m?1   ?2n?8?m?5   ?2n?8?m??55  ?2n?8?m??11

0、-8、-18

4、解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

5、证明:设勾长为x,弦长为z,则股长为z?1

∵(z,z?1)?1

∴x,z?1,z是一个基本勾股数组。

由z为奇数知:z?1为偶数,从而x为奇数,设x?2a?1(a为正整数),则有(2a?1)2?(z?1)2?z2,解得

z?2a2?2a?1,故勾股数组具有形式

2a?1  2a2?2a   2a2?2a?1

数学竞赛专项训练(2)参考答案

一、选择题

1、解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1+a%)元,因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1+a%)b%元。

应选C

2、解:由已知,a,b,c为两正一负或两负一正。

①当a,b,c为两正一负时:

abcabcabcabc???1??1所以????0; |a||b||c||abc||a||b||c||abc|

②当a,b,c为两负一正时:

abcabcabcabc????1?1所以????0 |a||b||c||abc||a||b||c||abc|

由①②知

应选A

3、解:过A点作AD⊥CD于D,在Rt△BDA中,则于∠B=60°,所以DB=

△ADC中,DC2=AC2-AD2,所以有(a-abcabc所有可能的值为0。 ???|a||b||c||abc|3CC。在Rt,AD=22C2232)=b-C,整理得a2+c2=b2+ac,从而有24

cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc????1 2a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b

应选C

4、解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<0,得a?b??ab,a?b??2ab,故

应选A a?b ?。a?b

15、解:?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],2

   又a?b??1,b?c??1,c?a?2

1   ?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?32

应选D

6、解:因x?y?z?(a-1)2?(b?1)2?(c?1)2???3?0

    则x、y、z中至少有一个大于0

应选A

7、解:原式??(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c??bcacab

aabbcc        ??(?)?(?)?(?)bcacab

abc       ????3abc

应选A

8、解:因为M?3x2?8xy?9y2?4x?6y?13

        ?2(x?2y)2?(x?2)2?(y?3)2?0,

应选A

二、填空题

1、解:设该商品的成本为a,则有a(1+p%)(1-d%)=a,解得d?     且x?2y,x?2,y?3这三个数不能同时为0,所以M?0。100p 100?p

2、解因为-1<a<0,所以111 ?-1?a,即a??0,且a??0。aaa

1111a?)2?4?a?)2?4?a2?2?2?a2?2?2aaaa

1111112?(a?)2?(a?)2?|a?|?|a?|?a??(a?)??aaaaaaa

3、解:由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1)2y=z2+9,所以x+1,y是t2-6t+z2+9=0的两个实根,方

2程有实数解,则△=(-6)-4(z2+9)=-4z2≥0,从而知z=0,解方程得x+1=3,y=3。所以x+2y+3z

=8

4、解:494。因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种,故x1?x2?...?x40的最小值和最大

2值是存在的。不妨设x1?x2?...?x40,若x1>1,则x1+x2=(x1-1)+(x2+1),且(x1-1)+(x2+1)

2222=x12+x22+2(x2-x1)+2>x12+x22,所以,当x1>1时,可以把x1逐步调整到1,这时222222x1?x2?...?x40将增大;同样地,可以把x2,x3,?x39逐步调整到1,这时x1?x2?...?x40

将增大。于是,当x1,x2,?x39均为1,x40=19时,x1?x2?...?x40取得最大值,即A=22,则(xi+1)2+1?1??...?12+192=400。若存在两个数xi,xj,使得xj-xi≥2(1≤i≤j≤40)??????

39个222

(xj-1)2=xi2+xj2-2(xj- xi-1)<xi2+xj2,这说明在x1,x3,?x39,x40中,如果有两个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这时,x1?x2?...?x40将减小。所以,当222

x1?x2?...?x40取到最小时,x1,x2,?x40中任意两个数的差都不大于1。于是当x1=x2=?=x22=1,x23=x24=?=x40=2时,x1?x2?...?x40

222222B?1?1?...?1?2?2?...?2???????????????94,

22个18个222222取得最小值,即

故A+B=494

5、解:?x4?4?(x2?2)2?(2x)2?(x2?2x?2)(x2?2x?2)

     ?[(x?1)2?1][(x?1)2?1]

(22?1)(42?1)(62?1)?(382?1)(402?1)22?11    ?原式=2??(4?1)(62?1)(82?1)?(402?1)(422?1)422?1353

?ab47????15?0??a?2413?27936、解:由已知可知,f(?)?0, f()?0得?,解得? b?222914132??a?b??15?0?42?8

∴a+b=24+2=26

三、解答题

1、解:由已知有a?1111 ?x ① b??x ② c??x ③ d??x ④ bcda

1x?a ⑤  代入②得 c?2 ⑥x?ax?ax?1

x?a1将⑥代入③得2??x x?ax?1d

即dx3?(ad?1)x2?(2d?a)x?ad?1?0 ⑦ 由①解出b?

由④得ad?1?ax,代入⑦得(d?a)(x3?2x)?0

由已知d?a?0,?x3?2x?0

若x?0,则由⑥可得a?c,矛盾。故有x2?2,x??2

2、解:①令x?0,得c=平方数c2;令x??1,得a?b?c?m,a?b?c?n,其中m、n都是整22

2b?m?n都是整数。 数,所以,2a?m?n?2c,

②如果2b是奇数2k+1(k是整数),令x?4得16a?4b?c?h,其中h是整数,由于2a是整数,222222

所以16a被4整除,有16a?4b?16a?4k?2除以4余2,而h?l?(h?l)(h?l),在h,l的奇偶性不同时,(h?l)(h?l)是奇数;在h,l的奇偶性相同时,(h?l)(h?l)能被4整除,因此,2216a?4b?h2?l2,从而2b是偶数,b是整数,a?m2?c?b也是整数,在②成立时,ax2?bx?c不一定对x的整数值都是平方数,例如:a=2,b=2,c=4,x=1时,ax?bx?c=8不是平方数。

3、解:设x=1995,则1996=x+1,所以 2

a?19952?19952?19962?19962?x2?x2(x?1)2?(x?1)2

 ?(x?1)2?2x(x?1)?x2?2x(x?1)?x2(x?1)2

?(x?1?x)?2x(x?1)?[x(x?1)]?1?2x(x?1)?[x(x?1)]

?[1?x(x?1)]2?(1?1995?1996)2?39822021222

4、解:要证明|m|是合数,只要能证出|m|=p2q,p2q均为大于1的正整数即可。

1证明:m?(ab?cd)2?(a2?b2?c2?d2)4

11   ?[ab?cd?(a2?b2?c2?d2)][ab?cd?(a2?b2?c2?d2)22

1    ?[2ab?2cd?a2?b2?c2?d2][2ab?2cd?a2?b2?c2?d2] 4

1   ?[(a?b)2?(c?d)2][(c?d)2?(a?b)2]4

1   ?(a?b?c?d)(a?b?c?d)(c?d?a?b)(c?d?a?b)4

因为m是非零整数,则1(a?b?c?d)(a?b?c?d)(c?d?a?b)(c?d?a?b)是非零整数。由于4

四个数a+b+c-d,a+b-c+d,a-b+c+d,-a+b+c+d的奇偶性相同,乘积应被4整除,所以四个数均为偶数。所以可设a+b+c-d=2m1,a+b-c+d=2m2,a-b+c+d=2m3,-a+b+c+d=2m4,其中m1,m2,m3,m4均为非零整数。所以m?1(2m1)(2m2)(2m3)(2m4)?4m1m2m3m4, 4

所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0,

所以|m|是一个合数。

5、解:设a?10b?c,其中c取自0,1,2,3,4,??,9,将c写成两位数的形式为00,01,04,09,16,25,36,49,64,81,其中只有c=4、6时其十位数为奇数,又2

a2?(10b?c)2?2?(5b2?bc)?10?c2,可见,a2的十位数是一个偶数加上c2的十位数,当a2的十位数为奇数1,2,5,7,9时,a的个位数只能取4、6。

数学竞赛专项训练(3)方程参考答案

一、选择题

??1、选B。原方程变为(x?a)(x?8)?1,?x?a?1?x?a??1或?, ?x?8?1?x?8??1

解得x=9或7,a=8。

2、选C。原方程有整数解的条件有且只有以下3种:

①x?3?0而x2?x?1?0,此时x??3是方程的一个整数解; ②x2?x?1?1,解之得x??2或x??1,即原方程有两个整数解;③x?x?1??1而x?3为偶数。解x?x?1??1得x?0或?1。显然仅当x??1时x?3?2为偶数。故原方程此时仅有一个整数解。22

综上所述知方程的解共有1+2+1=4个。

3、解:令d?m-?

?(2ax0?b)2?(b2?4ac)

      ?4a2x0?4ax0b?b2?b2?4ac

      ?4a(ax0?bx0?c)

  应选B。

4、应选B。因为方程有实数解,故b?4ac?0。由题意有 222      因x0是ax2?bx?c?0的根,所以d?0,即??M。

?b?b2?4ac?b?b2?4ac2?b?4ac或者?b2?4ac。令u?b2?4ac2a2a

则得2au2?u?b?0或2au2?u?b?0,因为u?b2?4ac是其解,所以方程

1的判别式非负,即1?8ab?0,即ab?。8

5、选B。由方程有实根,得△≥0,即 (k?2)2?4(k2?3k?5)?0?3k2?16k?16?0?(3k?4)(k?4)?0

422??4?k??。又由x1?x2?k?2,x1?x2?k2?3k?5,得x1?x23

?(x1?x2)2?2x1x2?(k?2)2?2(k2?3k?5)??k2?10k?6?19?(k?5)2,当k??4时x1?x2取最大值18

22

6、选A。

?3x?2y?z?5?x?7z?3???u?3(7z?3)?(?11z?7)?7z?3z?2 ?2x?y?3z?1y??11z?7??

由x≥0,y≥0得 ??7z?3?03737??z??3??2?3z?2?3??2 711711??11z?7?0

51?u?? 711

515162 ?u最小??,u最大??  ?u最小?u最大???(?)?? 71171177 即?

2??m?8n?0427、选B。因方程有实根,故?2,因此有m?64n?64m, ??4n?4m?0

则m(m?64)?0,因m?0,则m?64,m?4,得m最小值是4。

又n?m?8n,得n?2即n的最小值为2,故m?n的最小值为6。

8、选C。设全天下雨a天,上午晴下午雨b天,上午雨下午晴c天,全天晴d天。由题

可得关系式a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得2d-a=4,即d=2,故b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

二、填空题 4233

1、设两个方程的根分别为x1、x2和x1、x3。?x1?ax1?b?0,x1?bx1?a?0,  两式相减得(a?b)(x1?1)?0,而a?b,故x1?1。代入任一方程可得a?b    ?1=0。解方程得x2?b??1?a,x3?a22

?a?b??11  ?a?0,b?0,2、由已知a、b是方程x?11x?16?0的两根。??ab?16?2

而baa?b1111???(a?b)??(a?b)2?4ab???64??57 ab444ab4

23、?x?(n?1)x?2n?1?0的两根为整数,它的判别式为完全平方式,故可设

??(n?1)?4(2n?1)?k(k为非负整数),即(n?3)?k?4满足上式的n、k

只能是下列情况之一:

2222

?n?3?k?4?n?3?k??1?n?3?k?2?n?3?k??2或?或?或? ?? n?3?k?1n?3?k??4n?3?k?2n?3?k??2????

解得n=1、5。

4、解:由题意得:??[2(k?1)2]2?4(k2?2)?0,得k?

又x1?x2?2(k?1),x1x2?k?2 21  ① 2

所以(x1?1)(x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1

?k?2?2(k?1)?1          

         ?k2?2k?5

由已知得k?2k?5?8,解得k??3,k?1  ②

由①②得k=1。

5、解:由已知b2-4b+m=0 ① b2-8b+5m=0 ②

①-②得:4b-4m=0

∴b=m ③

将③代入①得:m2-4m+m=0

∴m=0或m=3。

6、解:??a?4(a?2)?a?4a?8?(a?2)?4?0

∴对于任意实数a,原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得: 22222

x1?x2??a

x1x2?a?2

?(x?2x)(x?2x)??2(x?x)2?9xx 12211212

963  ??2a2?9a?18??2(a?)2?48

∴当a=639时原式有最大值- 48

三、解答题

1、解:①当k=0时,x=-1,方程有有理根。

②当k≠0时,因方程有有理根,所以若k是整数,则??(k?1)?4k=2

k2?6k?1必为完全平方数,即存在非负整数m,使k2?6k?1?m2

(k?3?m)(k?3?m)?8 配方得:(k?3)?m?8   

22

由k?3?m与k?3?m是奇偶性相同的整数,所以它们均为偶数,又其积为8,

?k?3?m?4?k?3?m??2或? k-3+m>k-3-m,从而有?k?3?m?2k?3?m??4??

∴k=6或k=0(舍去)

综合①②可知,方程kx?(k?1)x?1?0有有理根,整数k的值为k=0或k=6。

22、解:由前一方程得:x2?2002?1x?1?0 2220022002

即x2?(1?1

2)x?12?0 200220022

设方程两根为x1、x2,且x1>x2

由根与系数的关系得:x1?x2?1?

则x1=1,x2=-1 20022

211    xx??122002220022 同理由后一方程得:x?(1?

'''11)x??0 20012001''' 设方程两根为x1、x2,且x1>x2,则x1=1,x2=1 2001

1, 2001

20001 所以r-s=1-= 20012001 由上述可知:r=1,s=

3、解:设方程两根为x1、x2,则x1+x2=4n-5

∵4n-5是奇数,即x1+x2是奇数

∴x1与x2必定一奇一偶,而x1与x2都是质数。

故必有一个为2,不妨设x1=2,则

2322-(8n-10)32-(n2-35n+76)=0

∴n=3或n=16

当n=3时,原方程即2x2-14x+20=0,此时两根为x1=2,x2=5

当n=16时,原方程即2x2-118x+228=0,此时两根为x1=2,x2=57

4、解:原方程可化为[(6?k)x?9][(9?k)x?6]?0,因此方程关于x的一元二次方程,

所以k?6,k?9,于是

x1=96,x2? 从上面两式中消去k,得:x1x2?2x1?3x2?0 6?k9?k

于是(x1?3)(x2?2)??6

?3, ?2, ?1, 1, 2, 3, 6?x1?3??6,  因为x1、x2均为整数,所以? x?2?1, 2, 3, 6, ?6, ?3, ?2, ?1?2

故x1??9, ?6, ?5, ?4, ?2, ?1, 0, 3,显然x1≠0

又k?6x1?99?6?,将x1??9, ?6, ?5, ?4, ?2, ?1, 3分别代入上x1x1

式得k15393321?7, 15, 3。 2542

5、解:出发1小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为

)?(v水 ?v4)]?1?vi?v4 Si?[(vi?v水 

各艇追上④号艇的时间为

ti?vi?v4v?v42v4?i?1? (vi?v水 )?(v水 ?v4)vi?v4vi?v4

对v1>v2>v3>v4有t1?t2?t3,即①号艇追上④号艇用的时间最小,①号是冠

军。

数学竞赛专项训练(4)不等式参考答案

一、选择题

1、B。解:

当?1?x?3时, x+1?0,x-3?0,所以|x?1|?|x?3|?x?1?3-x?4当x?-1时,|x-3|?3-x?4

当x?3时,|x?1|?x?1?4

因此,对一切实数x,恒有|x?1|?|x-3|?4,

?原不等式有解,必须a?4。故选B

2、D。解:

因a、b、c、d都是正实数,

?acbdbda?bc?bac ?????1??1????bdacacaca?bc?d

acaca?bc?dbd???1??1????bdbdbda?bc?d

故选D。

3、A。解:

?(ab?bc?ac)2?a2b2?b2c2?a2c2?2ab(ac?b?c)?0

1?a?b?c??(a2b2?b2c2?a2c2)2?0 2

?a?b?c  ?a?0,又ab?c1?0  ?b?0  c?0

?|a?b|??a?b?c?|c|

故选A。

4、C。解:

?x?20解不等式组,得?,不等式组只有5个整数解,即解只能是

?x?3?2a ?3?2a?1411x?15、16、17、18、19,a的取值范围是?,??6?a??2?3?2a?15

故选C。

5、D。解:

易知a?0,原方程可变形为x?(1?222)x?9?0,记y?x2?(1?)x?9 aa 则这个抛物线开口向上,因x1?1?x2,故当x?1时,y?0。

即1?(1?

故选D。

22)?9?0,解得??a?0 a11

6、B。

7、C。

8、B。解:

由题设得:0.9b?b?59 0.91b?b?56,所以b?30,31。

当b=30时,由0.9b<a<0.91b,得27<a<28,这样的正整数a不存在。

当b=31时,由0.9b<a<0.91b,得27<a<29,所以a=28,所以b?a?177 故选B。

二、填空题 22

2x?a2?a2?a??1得x??0,所以a?2,但x?2,即?2, x?233

所以a??4,故应填a?2且a??4。

2、解:设有x人开会,则全坐圆凳共有5x条脚,全坐方凳共有6x条脚,于是

13 5x?33?6x,即5?x?6,而x只能为整数,?x?6,故应填6。 251、解:解方程

3、解:由①得?3?x?2?3即?5?x?1,则②得(x?5)(x?1)?0,

∴?5?x?1。由③得?5?x?1。由④得

∴?5?x?1。故应填4。 6x?5?1?0,即?0, x?1x?1

??(a?5)?4?2?2?0,4、解:即(a?1)(a?9)?0,∴1?a?9,故应填1?a?9。

5、解:?20?3?72.5?20?4,由题意应付邮费0.834=3.2元,故应填3.2元。 2

13|?|x?|?2。 22

113 |x?|表示数轴上表示数x的点到表示的点之间的距离,|x?|表示数轴上222

331表示数x的点到表示数-的点之间的距离,显然,当x?或x?时, 222

13131331 |x?|?|x?|?|?(?)|?2,而当??x?时,|x?|?|x?|?2,22222222

31又x1?x2,∴??x1?x2?,故?2?x1?x2?0,故应填?2?x1?x2?0。 226、解:|2x?1|?|2x?3|?4,两边都除以2得:|x?

三、解答题

1、解:设开始抽水时满池水的量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水泵每小时抽水量

为z,2小时抽干满池水需n台水泵,则

?x?5y?5?12z  ①? ?x?7y?7?10z  ②

?x?2y?2nz   ③?

由①②得?

∴n?22?x=35z,代入③得:35z?10z?2nz ?y?5z1,故n的最小整数值为23。 2

22 答:要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台。 2、解:原方程有一个大于1的根和一个小于1的根,相当于抛物线y?(k?1)x?(4?k)x?1

与x轴的两个交点分在点(1,0)的两旁,因为k?1?0,抛物线开口向上,所以当x?1时,y值小于0即可,即 2 (k2?1)?(4?k)?1?0 ?k?k?2?0

(k?2)(k?1)?02 ??2?k?1   ?整数k的值只有?1和0

3、解:由题可得?a?4?ax??a,

若a?0,则?4?0?0,不等式无解,不合题意舍去。

4 若a?0,则?1??x??1, a

441a ∵不等式有惟一整数解,∴?3??1???2,即1??2。∴??1,即 aa24

2?a?4,∴整数a值只能为3。

4?a 若a?0则?1?x??1? ∵不等式有惟一整数解 ∴0??1??1,即a4

41?a1??2,∴??1,即?4?a??2,∴整数a的值为-3。 ?a24

综上所求,a的整数值为±3。

4、解:设第一层有客房x间,则第二层有(x?5)间,由题可得

?4x?48?5x      ① ? 3(x?5)?48?4(x?5)  ②?

由①得:??4x?483,即9?x?12 5?48?5x

?3(x?5)?48,即7?x?11 48?4(x?5)? 由②得:?

∴原不等式组的解集为93?x?11 5

∴整数x的值为x?10。

答:一层有客房10间。

5、解:设劳动竞赛前每人一天做x个零件

?8(x?10)?200 由题意? 4(x?10?27)?8(x?10)?

解得15?x?17 ∵x是整数 ∴x=16 (16+37)÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。

数学竞赛专项训练(5)方程应用参考答案

一、选择题

1、D。 解:设甲的速度为v1千米/时,乙的速度为v2千米/时,根据题意知,从出发地

点到A的路程为v1千米,到B的路程为v2千米,从而有方程:

v2v135v2vv3v4??,化简得12(1)?7(1)?12?0,解得1?(1??不合题v1v260v2v2v24v23

意舍去)。应选D。

2、C。 解:第k档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为 y?[60?3(k?1)][8?2(k?1)]  ??6(k?9)?8642

所以,生产第9档次产品获利润最大,每天获利864元。

3、C。 解:若这商品原来进价为每件a元,提价后的利润率为x%,

?m?a?20% 则?解这个方程组,得x?16,即提价后的利润率为16%。 m?(1?25%)a?x%?

4、B。解:设甲乙合作用x天完成。

由题意:(1?ab1?c)x?1,解得x?ab。故选B。 a?b?c

5、A。解:A与B比赛时,A胜2场,B胜0场,A与B的比为2∶0。就选A。

6、A。解:设从起点到终点S千米,甲走(s+a)千米时,乙走x千米

(s?a)(s?a)a2

s:(s?a)?(s?a):x  ?x??s?ss

s2a2

2??0  ?s??s  即甲(s走?a)千米时 ?a?0  s?0   ,as

a2

乙走(s?)千米。甲先到。A。故选s

7、B。解:设小船自身在静水中的速度为v千米/时,水流速度为x千米/时,甲乙之间的

距离为S千米,于是有v?x?SS(b?a)SS2ab所以?。 ,v?x?求得x?ab2abxb?a

8、C。解:设A、B、C各人的年龄为A、B、C,则A=B+C+16 ①

A2=(B+C)2+1632 ② 由②可得(A+B+C)(A-B-C)=1632 ③,由①得A

-B-C=16 ④,①代入③可求得A+B+C=102

二、填空题

1、2∶1。解甲厂该产品的年产量为x,乙厂该产品的年产量为y。

3

x?y 则:?x:y?2:1 ?,解得x?2y  111x?y233

2、3520。解:因为9辆甲种客车可以乘坐360人,故最多需要9辆客车;又因为7辆乙

种客车只能乘坐350人,故最多需要8辆客车。

①当用9辆客车时,显然用9辆甲种客车需用租金最少,为40039=3600元;

②当用8辆客车时,因为7辆甲种客车,1辆乙种客车只能乘坐4037+50=330人,而

6辆甲种客车,2辆乙种客车只能乘坐4036+5032=340人,5辆甲种客车,3辆乙种客车只能乘坐4035+5033=350人,4辆甲种客车,4辆乙种客车只能乘坐4034+5034=360人,所以用8辆客车时最少要用4辆乙种客车,显然用4辆甲种客车,4辆乙种客车时需用租金最少为40034+48034=3520元。

3、4点21

69分或4点54分时,两针在同一直线上。 1111解:设四点过x分后,两针在同一直线上, 19 若两针重合,则6x?120?x,求得x?21分, 21116 若两针成180度角,则6x?120?x?180,求得x?54分。 21169所以在4点21分或4点54分时,两针在同一直线上。 1111

1?60%1.6?1??1?0.203?20.3% 95%(1?40%)0.95?1.44、20.3。解:钱先生购房开支为标价的95%,考虑到物价上涨因素,钱先生转让房子的利率为

5、共11次。

6、30岁、15岁、22岁。

解:设甲、乙、丙的年龄分别为x岁、y岁、z岁,则 ?x?2y             ①? ?y?z?7            ②

?x?y?z?70且x?y?z为质数  ③?

显然x?y?z是两位数,而13=4+9=5+8=6+7

∴x?y?z只能等于67 ④。由①②④三式构成的方程组,得x?30,y?15,

z?22。

三、解答题

1、设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成,

?115?x?y?12??x?4??114 则???解得?y?6

?z?10?yz15??117????zx20

再设甲、乙、丙单独工作一天,各需u、v、w元,

?12?5(u?v)?180000

?u?45500???15 则?(v?w)?150000,解得?v?29500

?w?10500?4??20?7(w?u)?160000?

于是,甲队单独承包费用是4550034=182000(元),由乙队单独承包费用是295003

6=177000(元),而丙不能在一周内完成,所以,乙队承包费最少。

2、解:设甲、乙最后所购得的汽车总数为x辆,在生产厂最后少供的6辆车中,甲少要

了y辆(0?y?6),乙少要了(6?y)辆,则有 31(x?6)?6?y?2[(x?6)?6?(6?y)],整理后得x?18?12y。 44

当y?6时,x最大,为90;当y?0时,x最小为18。

所以甲、乙购得的汽车总数至多为90辆,至少为18辆。

3、解:[方案一]:当小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内

的4个人送到火车站,立即返回接步行的4个人到火车站。

设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为xkm,根据题意,有 x15?15?x ?560

30 解得x?,因此这8个人全部到火车站所需时间为 13

3030355 ?5?(15?)?60??小时?=40?42(分钟)13135213

故此方案可行。

[方案二]:当小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内的4

个人送到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人,使得两批人员最后同时到达车站。

分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示,D为无故障汽车人员下车地

点,C为有故障汽车人员上车地点。因此,设AC=BD=y,有 y15?y?15?2y解得y?2。因此这8个人同时到火车站所需时间为 ?560

215?237 ,故此方案可行。 ???37(分钟)<42(分钟)56060

A C D B

火车站 故障点

4、解:假定排除故障花时x分钟,如图设点A为县城所在地,点C为学校所在地,点B为师生途中与汽车相遇之处。在师生们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从C到B步行代替乘车而耽误的,汽车所晚的30分钟,一方面是由于排除故障耽误了x分钟,但另一方面由于少跑了B到C之间的一个来回而省下了一些时间,已知汽车速度是步行速度的6倍,而步行比汽车从C到B这段距离要多花20分钟,由此汽车由C到B应花20,一个来回省下8分钟,?4(分钟)6?1

所以有x-8=30 x=38 即汽车在途中排除故障花了38分钟。

A B C

数学竞赛专项训练(6)参考答案

一、选择题

1、A。设L的方程为y?kx?t,则有:

?b?ka?t       ①? ?a?kb?t       ② ①-②得(b?a)?k(a?b)

?b?a?k(a?b)?t   ③?

?a?b  ?k??1,代入③得t?0

?L方程为y??x,经过二、四象限

(?4?x?1)?6?3x  ?4?x  (1?x?2)?y?2、C。因为?4?x?4,所以 ?x  (2?x?3)??(3?x?4)?3x?6  

所以当x??4时,y取最大值18,当x?2时,y取最小值2。

3、D。 ?y?x2?(a?b)x?ab?(x?a?b2a?b2)?ab?()22

a?b2a?b2   ?(x?)?()22

a?ba?b2?当x?时,ymin??()22

4、A。∵直线y?ax?b(ab?0)不经过第三象限,∴a?0,b?0。

∴抛物线4ac?b2在第一象限。 y?ax2?bx的顶点(?b)2a4a

5、C。显然a?0,因为二次函数图象过点(1,0)和(0,1),且当x??1时,y?0,

所以可设y?a(x?1)(x?k)(k?0),将(0,1)坐标代入,得ak??1,所以y?ax2?(a?1)x?1,将x??1代入,可知a?(1?a)?1?0,解得a??1,故-1<a<0。

6、B。?x?100x?196?(x?2)(x?98) 2

|x?100x?196|??(x?100x?196),当自变量x取2, ?当2?x?98时,

2,?,98时函数值为0,而当x取1,99,100时, |x?100x?196|?x?100x?196,所以,所求和为(1-2)(1-98)+(99-2)(99-98)+(100-2)(100-98)=97+97+196=390。

7、B。由于y?k(x?1)图点恒过点(-1,0),所以不论k为何常数,这两个函数图象有

两个交点。

8、C。y??x?6x?7??(x?3)?2,当t?3?t?2时,即1?t?3时,222222

y最大值?f(3)?2,与y最大值??(t?3)2?2矛盾。当3?t?2时,即t?1时,y最大值?f(t?2)??(t?1)2?2,与y最大值??(t?3)2?2矛盾。当3?t,即t?3时, y最大值?f(t)??(t?3)?2与题设相等,故t的取值范围t≥3。

2

9、B。设两抛物线交于x轴(x0,0)(x0≠0),则有:

22??x0?2ax0?b?0  ①2 ?,①+②得2x0?2(a?c)x0?0,∵x0?0, 22??x0?2cx0?b?0  ②

∴x0??(a?c)。①-②得2(a?c)x0?2b?0, 2

b2b2

∴x0? ∴即a2?b2?c2,所以为直角三??(a?c),b2?a2?c2,c?ac?a

角形。

10、C。解方程(n?n)x?(2n?1)x?1?0,得x1?

∴dn?|x1?x2|?2211,x2?, n?1n11 ?nn?1

1111112004∴d1?d2?...?d2004?(1?)?(?)?...?( ?)?1??2232004200520052005

二、填空题

1、2个。显然a?0,c?0,b?0,a?b?c?0,?b?1, 2a

所以ab?0,ac?0,a?b?c?0,2a?b?0,2a?b?0

1213?2a??b???a?1?222、(1,3)。若b?0,则有?,解得?,若b?0与题设矛盾。 b?3??2b??1a2?13

?22?

3、102。由m?(19n?98)n知,存在整数k,使k?19n?98,取n?6,7,?可知当n

取最小值6时,k取最小正整数16,故m?n?nk?n?6?17?102。

4、4。取m?

取m?12,得抛物线y??x?4x?5 ①; 212,得抛物线y??3x?8x?11 ②, 4

2,x2?3,相应地,得y1?0,y2?8,联立①②,得x?2x?3?0,求出x1?1

即两个定点的坐标分别为M(?1,从而两定点M1N之间的距离为,0)N(3,8)

MN?(3?1)2?(8?0)2?4。

5、-5。由题意A、B在原点的右侧,且|x1?x2|?

6、f((x1?x2)2?4x1x2?(k?1)2?4 3k?12(k?1)2?4?|1?()|,解得k??5。 22m?1 )?0。设x2?(m?1)x?(2m?1)?0,两根为x1,x2,则x1>2,x2>2,4m?2

∵x1?x2?m?1,x1?x2?2m?1, ∴x?x211m?111?1?(?)??2 4m?22x1x22x1x22

∴f(m?1)?0 4m?2

3x2?6x?527、4。设y?,去分母,整理得(y?6)x?(2y?12)x?2y?10?0,当12x?x?12

y?6?0时,由x为实数,得??(2y?12)2?4(y?6)(2y?10)?0,即

y2?10y?24?0,解得4?y?6(y?6),而x??1时,y?4,故分式的最小值为4。

x?1?x?11?(x?1?x?1) 8、5。∵f(x)?(x?1)?(x?1)21?f(1)?f(3)?...?f(999)?[(2?0)?(4?2)?...?(?998)]2 1??10?52

?cos??09、0????60?。由题意得? 2??16sin??24cos??0?

?cos??01即? 解得,又因为0????180? cos??222(1?cos?)?3cos??0?

所以0????60?

??3x?2y?z?5?x?s?2??三、1、∵?x?y?z?2 ∴?15?4s y???2x?y?z?s3??3?s?z??3?

??s?2?0

又x、y、z是非负数,∴? 解得2?s?3,故s的最大值为3,最小?15?4s?0??3

?3?s?0??3

值为2,最大值与最小值和为5。

1?c?        ①??a?b22、由题意得? 由①得a?b?2c,代入②得2??(a?b)(a?b)?c??a ②?a?b2?

a?2b?c?0,所以a?b?c,故三个内角度数均为60°。

3、①a?0,b?0,c?0,b?4ac?0

②因为|OA|?|OB|,且|OB|?|c|??c,所以ax?bx?c?0有一根x?c,从而22

ac2?bc?c?0,又因为c?0,所以ac?b?1?0。

4、∵?1?2?2p?q ∴2p?q??5

∵x1,x2为x?px?q?0两根,∴x1?x2??p

∴|AB|?|x1?x2|?22x1x2?q, (x1?x2)?4x1x2?2p4q?p2

p?4q,又M(?) 242

∴S?AMB14q?p214q?p212?|AB|?||?|x1?x2|?||?(p?4q)2,要使24248

3

S?AMB为最小,只需使p2?4q最小。∵

2p2?4q?p2?8p?20?(p?4)2?4 2 ∵当p??4时,p?4q取最小值4,此时q?3,故所求的二次函数为y?x?4x?3。

2k?8??3t?2t??45、设A(-3t,0),B(2t,0),则有?解得k?2或k?8,?2??3t?2t??6(k?1)(t?0)?4?

经检验k?2符合题意。

②∵tan?PAB?POPO,tan?PBA?,AO>BO AOBO

∴tan?PAB?tan?PBA

∴?PAB??PBA,即α<β。

数学竞赛专项训练(7)逻辑推理参考答案

一、选择题

1、答B。解:4个队单循环比赛共比赛6场,每场比赛后两队得分之和或为2分(即打平),或为3分(有胜负),所以6场后各队的得分之和不超过18分,若一个队得7分,剩下的3个队得分之和不超过11分,不可能有两个队得分之和大于或等于7分,所以这个队必定出线,如果一个队得6分,则有可能还有两个队均得6分,而净胜球比该队多,该队仍不能出线。应选B。

2、答B。解有人胜一局,便有人负一局,已知总负局数为2+3+3=8,而甲、乙胜局数为4+3=7,故丙胜局数为8-7=1,应选B。

3、答B。解:共有15种搭配。①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①和⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形ABCD是平行四边形。

①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形ABCD是平行四边形。应选B。

4、答B。解:设最后一排k个人,共n排,各排人数为k,k+1,k+2??k+(n-1)。由题意nk?n(n?1)即n[2k?(n?1)]?2且n≥3,00,因k、n都是正整数,?100,2所以n?2k?(n?1),且n与2k?(n?1)的奇偶性相同,将200分解质因数可知n=5或n=8,当n=5时,k=18,当n=8时,k=9,共有两种方案。应选B。

5、答D。解:由nnn???n,以及若x不是整数,则[x]<x知,2|n,3|n,6|n,236

?100??16个。应选D。 ??6?即n是6的倍数,因此小于100的这样的正整数有?

6、答C。解设参加跳舞的老师有x人,则第一个是方老师和(6+1)个学生跳过舞;第二是张老师和(6+2)个学生跳过舞;第三个是王老师和(6+3)个学生跳过舞??第x个是何老师和(6+x)个学生跳过舞,所以有x+(6+x)=20,∴x=7,20-7=13。故选C。

7、答C。解:如图对展室作黑白相间染色,得10个白室,15个黑室,按要求不返回参观过的展室,因此,参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室(不会出现从黑到黑,或从白到白),由于白室只有10个,为使参观的展室最多,只能从黑室开始,顺次经过所有的白室,最终到达黑室,所以,至多能参观到21个展室。选C。

8、选B。解:4种花色相当于4个抽屉,设最少要抽x张扑克,问题相当于把x张扑克放进4个抽屉,至少有4张牌在同一个抽屉,有x=334+1=13。故选B。

二、填空题

1、解:根据图中①、②、③的规律,可知图④中的三角形的个数为1+4+334+3234+3334=1+4+12+36+108=161(个)

2、解:根据题意,如果扑克牌的张数为2、22、23、??2n,那么依照上述操作方法,剩下的一张牌就是这些牌的最后一张,例如:手中只有64张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第64张牌,现在手中有108张牌,多出108-64=44(张),如果依照上述操作方法,先丢掉44张牌,那么此时手中恰有64张牌,而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层,这样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的就是原顺序的第88张牌,按照两副扑克牌的花色排列顺序88-54-2-26=6,所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6。

3、解:百位上的数共有9个,十位上的数共有10个,个位上的数共有2个,因此所有的三位数共931032=180。

4、解:设放在三个盒子里的球数分别为x、y、z,球无区别,盒子无区别,故可令6、7共五个值。 ?x?y?z?71,于是3x?7,x?2,故x只有取3、4、5、x?y?0,依题意有?3?x?y?z?0

①x?3时,y?z?4,则y只取3、2,相应z取1、2,故有2种放法;

②x=4时,y?z?3,则y只取3、2,相应z取0、1,故有2种放法;

③x=5时,y?z?2,则y只取2、1,相应z取1、0,故有2种放法;

④x=6时,y?z?1,则y只取1,相应z取0,故有1种放法;

⑤x=7时,y?z?0,则y只取0,相应z取0,故有1种放法;

综上所求,故有8种不同放法。

5、解:先把第999个(中间)“-”改为“+”,然后,对乙的每次改动,甲做与之中心对称的改动,视数字为点,对应在数轴上,这1997个点正好关于点(999)对称。

6、解:由题意说假话的至少有1人,但不多于1人,所以说假话的1人,说真话的99人。

三、1、解:1+2+3+??9=45,故正方形的边长最多为11,而组成的正方形的边长至少有两条线段的和,故边长最小为7。

7=1+6=2+5=3+4

8=1+7=2+6=3+5

9+1=8+2=7+3=6+4

9+2=8+3=7+4=6+5

9=1+8=2+7=3+6=4+5

故边长为7、8、10、11的正方形各一个,共4个。而边长为9的边可有5种可能能组成5种不同的正方形。所以有9种不同的方法组成正方形。

2、证明:利用抽屉原理,按植树的多少,从50至100株可以构造51年抽屉,则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。(用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里,那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里,而参加植树的人数为204人,每个抽屉最多有4人,故植树的总株数最多有:

4(50+51+52+??+100)=43(50?100)?51=15300<15301,得出矛盾。因此,2

至少有5人植树的株数相同。

3、解:王华获胜。

王华先取2个弹子,将2000(是4的倍数)个弹子留给张伟取,不记张伟取多少个弹子,设为x个,王华总跟着取(4-x)个,这样总保证将4的倍数个弹子留给张伟取,如此下去,最后一次是将4个弹子留给张伟取,张伟取后,王华一次取完余下的弹子。

4、解析在研究与某些元素间关系相关的存在问题时,常常利用染色造抽屉解题。17位科学家看作17个点,每两位科学家互相通信看作是两点的连线段,关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段,如用红色表示关于问题甲的通信,蓝色表示问题乙通信,黄色表示问题丙通信。这样等价于:有17个点,任三点不共线,每两点连成一条线段,把每条线段染成红色、蓝色和黄色,且每条线段只染一种颜色,证明一定存在

一个三角形三边同色的三角形。

证明:从17个点中的一点,比如点A处作引16条线段,共三种颜色,由抽屉原理至少有6条线段同色,设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色。

若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线,设这两点为B、C,则△ABC是一个三边同为红色的三角形。

若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色,则考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种,必有3条线段同色,设为BC、BD、BE均为黄色,再研究△CDE的三边的颜色,要么同为蓝色,则△CDE是一个三边同色的三角形,要么至少有一边为黄色,设这边为CD,则△CDE是一个三边同为黄色的三角形。

数学竞赛专项训练(8)参考答案

一、选择题

1、如图过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥PB于F,过D作

DG⊥CE于G。

显然DG=EF=P F 1E AB=5,CD≥DG,当P为AB中点时,有2

CD=DG=5,所以CD长度的最小值是5。

2、如图延长AB、DC相交于E,在Rt△ADE中,可求得AE=16,

DE=8,于是BE=AE-AB=9,在Rt△BEC中,可求得

BC=3,CE=6,于是CD=DE-CE=2 BC+CD

=5。

3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF

∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=60° E

1(AD?AB?BC?CD)?11 2H AEDF ∵EF∥BC,∴EF∥AD, ?EBFC

AEDFk6kk4k 设 ??k,AE?AB?,DF?CD?EBFCk?1k?1k?1k?1

6k4k13k?313k?3 AD+AE+FD=3+ ∴???11 解得k=4 k?1k?1k?1k?1

作AH∥CD,AH交BC于H,交EF于G,

则GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6 ∵EGAE44242439 ∴EF?EG?GF? ??,∴EG?BH??3?BHAB55555

4、假设α、β、γ三个角都是锐角,即α<90°,β<90°,γ<90°,也就是A+B

<90°,B+C<90°,C+A<90°。∵2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°与A+B+C=180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角,假设α、β、γ中有两个锐角,不妨设α、β是锐角,那么有A+B<90°,C+A<90°,∴A+(A+B+C)<180°,即A+180°<180°,A<0°这也不可能,所以α、β、γ中至多只有一个锐角,如A=20°,B=30°,C=130°,α=50°,选A。

5、折叠后,DE=BE,设DE=x,则AE=9-x,在Rt△ABC中,AB2+AE2=BE2,即

32?(9?x)2?x2,解得x=5,连结BD交EF于O,则EO=FO,BO=DO ∵BD?92?32?3 ∴DO=

223 252?(3)2? ∴EF=。选22 在Rt△DOE中,EO=DE?DO?

B。

6、设△ABC中,AB=AC=a,BC=b,如图D是AB上一点,有AD=b,因a>b,故

∠A是△ABC的最小角,设∠A=Q,则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q,从而它与△ABC全等,所以DC=b,∠ACD=Q,因有公共底角∠B,所以有等腰△ADC∽等腰△CBD,从而得BCBDba?ba,即?,令x?,即得方程?ABBCabb

a5?1?。选B。 b2B C x2?x?1?0,解得x?

7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°,故外角中钝角的个数不能超过3

个,又因为内角与外角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。

8、A。设点A的坐标为(x,y),则xy?1,故△ABO的面积为11xy?,又因为△22

ABO与△CBO同底等高,因此△ABC的面积=23△ABO的面积=1。

二、填空题

1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为

M、N,MN=d,另一组对边是AD和BC,其长度分别为a、b,连结BD,设P是BD的中点,连结MP、PN,

M aba?b则MP=,NP=,显然恒有d?,当AD∥BC,222B 由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线,此时有

N C

d?a?ba?ba?ba?b,所以d与的大小关系是d?(或?d)。 2222

1(180??x) 22、12°。设∠BAC的度数为x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x ∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB=

∴1(180??x)?4x?4x?180?,于是可解出x=12°。 2

3、以3,5,7,9,11构成的三数组不难列举出共有10组,它们是(3,5,7)、(3,5,

9)、(3,5,11)、(3,7,9)、(3,7,11)、(3,9,11)、(5,7,9)、(5,7,11)、(5,9,11)、(7,9,11)。由3+5<9,3+5<11,3+7<11可以判定(3,5,9)、(3,5,11)、(3,7,11)这三组不能构成三角形的边长,因此共有7个数组构成三角形三边长。

4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BCE 的平行线分别交AB、CD于G、H。 H 设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d, 222222

则AP?a?c,CP?b?d,

222222BP?b?c, DP=d?a

2222 F 222222

2于是AP?CP?BP?DP,故DP?AP?CP?BP?3?5?4?18, DP=32

5、①设冬天太阳最低时,甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,设CE⊥AB于点E,那么在△AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20米。

所以AE=EC?tan?ACE?20?tan30??20?。 ?11.6(米)3

CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(米) ②设点A的影子落到地面上某一点C,则在△ABC中,∠ACB=30°,AB=16米,所以BC?AB?cot?ACB?16?3?27.7(米)。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。

6、提示:由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,设∠PBC=α,∠ABC=60° 则∠ABP=60°-α,∴∠BAP=∠PBC=α,

∴△ABP∽△BPC,APBP,BP2=AP2PC ?BPPCBP?AP?PC?48?4

三、解答题

1、证明:如图延长AD至E,使AD=DE,连结BE。

∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB

∴△ACD≌△EBD ∴AC=BE 1在△ABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC ∴AD<(AB+AC) 2

在△ABC中,不妨设a≤b≤c ∵a+b>c?a+b+c>2c 即p>2c?c<

另一方面c≥a且c≥b?2c≥a+b ∴3c?a?b?c?p?c?

因此2、答案提示: p, 2p。 3pp?c? 32

3、证明:①∵∠ACB=90°,DE∥BC,DF∥AC,∴DE⊥AC,DE⊥BC,

从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°。

∵CD是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形CEDF是正方形。

②在Rt△AED和Rt△DFB中, ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B

∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴AEDE,即DE2DF=AE2BF ∵CD=2DE=2DF, ?DFBF

2∴CD?2DE?2DF?2DE?DF?2AE?BF

4、解:这一问题等价于在1,2,3,??,2004中选k-1个数,使其中任意三个数都

不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的k的最大值是多少?符合上述条件的数组,当k=4时,最小的三个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以,为使k达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得:

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ① 共16个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2??an显然总有ai大于等于①中的第i

个数,所以n≤16≤k-1,从而知k的最小值为17。

数学竞赛专项训练(9)参考答案

一、选择题:

1、C。S?ABC?S?ABD,S?AOD?S?BOC,S?ACD?S?BCD,S?BCP?S?BCD,S?BCP?S?ACD

2、D。连结AC,有S?AGC:S?ABC?1:3,则

1112

?S矩形ABCD?S矩形ABCD=S矩形ABCD。 322331

3、B。如图联结BE,S?ADE=1??, 44

CE 设?x,则S?ABE?1?x AC

1?x11 S?AD? ?,x?E

344

CE1 ∴? B C

EA3

S四边形AGCD?S?AGC?S?ACD?

4、A。解:S1?AC,S2?AD?AG,因为Rt?ADC∽Rt?ACB,

所以

2

ADAC2

,即AC?AD?AB,又因为AB=AG, ?

ACAB

2

所以S1?AC?AD?AG?S2,所以应选A。 5、B。解:如图延长AD,BC相交于E,在Rt△ABE中,

可求得AE=14,于是DE=AE,AD=6,又BE=3,在Rt△CDE中,可求得CD=2,CE=43,于是BC=BE-CE=3,BC+CD=5。

A

2

C

B

6、A。解:由右图与左图的面积相等,得b(b?a?b)?(a?b),已知a?1,所以有

b(2b?1)?(b?1),即b

面积为(b?1)?(

2

22

1?5

?b?1?0,解得b?

2

,从而正方形的

3?527?3)?。 22

7、A。解:由△ADE∽△ABM,得DE=

AD?AB

?AM

ab1a2?(b)2

2

?

2ab4a?b

2

2

8、B。

∵S?ABOAOS?ACO84?y35?x??,即 ?S?BDODOS?CDO4030

S?ABO84?y70BOS?BCO??,即 ?S?BDEOES?CEOx35 又∵

∴??4x?3y?112?x?70,解之得? 2x?y?84y?56??

∴S△ABC=84+40+30+35+70+56=315。

二、填空题

1、S阴影=ah。解:延长AF交DC的延长线于M,则△ABF≌△MCF,

∴AF=FM,S△ABF=S△CMF。∴S阴影=S△DFM,∵AF=FM ∴S△ADF=S△MDF ∴S阴影=S梯形ABCD ∵S梯形ABCD=ah,∴S阴影=ah。

2、144。解:作MN⊥BC于N,∵AM=MC,MN∥AD,∴DN=NC。∴MN?1212121AD?9,2

在Rt△BMN中,BM=15,MN=9。∴BN=12,而BD=DC=2DN,∴3DN=12,DN=4,∴BC=16,S△ABC=

3、S△ADE=11AD2BC=318316=144。 222S。解:∵CE∶EB=1∶2,设CE=k,则EB=2k,∵DE∥AC, 9

S?BDE42?()2,S△BDE=S s39而BE∶BC=2k∶3k=2∶3,∴

∵DE∥AC ∴SAD12ADCE11?,则S△ADE= S△BDE=S ??,∴?ADE?S?BDEBD2BDBE229

4、CFCE2400。解:过点E作EF∥AD,且交BC于点F,则??,所以 FDEA51089

FD?PQBPBD55????CD?。因为PQ∥CA,所以EABEBF5?2744?5

7?28 33

于是PQ?140。因为PQ∥CA,PR∥CB,所以∠QPR=∠ACB, 33

因为△PQR∽△CAB故S?PQR

S?CAB?(PQ220400)?()2?。 CA331089

5、1∶2∶6。解:设AD=2,则BC=5,FD=1,EC=3

∵GF∶GE=FD∶EC=1∶3,GF∶FE=1∶2,S△GFD∶S△FED=GF∶FE=1∶2 显然有S△EFD∶S△CED=FD∶EC=1∶3,∴S△GFD∶S△FED∶S△CED=1∶2∶6。 6、32。解:过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平行线分

别交AB、CD于G、H。设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,则AP?a?c,CP=b?d,BP?b?c,DP?d?a,

于是AP?CP?BP?DP,故DP2?AP2?CP2?BP2?32?52?42?18,

DP=32。

三、解答题 2222222222222222

1112S矩形ABCD,得b?BE=ab。∴BE=a, 则3233

111111EC=a。同理FC=b,∴S?CEF=?a?b?ab。 3323318

12 ∵S梯形AECD?(EC?AD)?CD?ab, 23

2115 ∴S?AEF?S梯形AECD-S?CEF-S?ADF=ab?a?ab?ab 318318

5abS?AEF518 ∴??。 1S?CEF1ab181、设BC=a,CD=b,由S?ABE?

2、答案提示:连结BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比;再约分。

3、解:①因AD∥BC,AB∥DC,所以?Pn?2FD∽Pn?2AB, ?P2BE∽P2DA 从而有APn?2BPn?2n?2AP2DP2n?2???? Pn?2FPn?2D2P2EP2B2

即APn?2AP2? 所以EF∥BD Pn?2FP2F

DF211,所以S?AFD??S,同理可证S?ABE?S ABn?2n?2n?2DF2FCDC?DFDFn?4 显然,所以, ???1??DCn?2DCDCDCn?2

1n?423 从而知S?ECF?()S,已知S?AEF?S,所以有 2n?28 ②由①可知

2(n?4)23311n?42?? S?S?2?S?()S,即1?n?22(n?2)288n?22n?2

解方程得n=6。

4、证明:①连结OC、OC1,分别交PQ、NP于点D、E,根据题意得∠COC1=45°。 ∵点O到AC和BC的距离都等于1,∴OC是∠ACB的平分线。 ∵∠ACB=90° ∴∠OCE=∠OCQ=45°

同理∠OC1D=∠OC1N=45° ∴∠OEC=∠ODC1=90° ∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°

∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形。

∴∠BNM=∠C1NP=45° ∠A1QK=∠CQP=45° ∵∠B=45° ∠A1=45°

∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形。

∴∠B1ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A1KQ=90° ∴∠B1=45° ∠A=45°

∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形。

②在Rt△ODC1和Rt△OEC中,

∵OD=OE=1,∠COC1=45°

∴OC=OC1=2 ∴CD=C1E=-1

∴PQ=NP=2(2-1)=22-2,CQ=CP=C1P=C1N=2(2-1)=2-2 ∴S?CPQ?1?(2?2)2?3?22 2

延长CO交AB于H

∵CO平分∠ACB,且AC=BC

∴CH⊥AB, ∴CH=CO+OH=2+1

∴AC=BC=A1C1=B1C1=2(2+1)=2+2

∴S?ABC?1?(2?2)2?3?22 2

∵A1Q=BN=(2+)-(22-2)-(2-2)=2

∴KQ=MN=22=2 ∴S?BMN?1?(2)2?1 2

∵AK=(2+2)-(2-2)-2=2 1?(2)2?1 2

?S多边形KLMNPQ=S?ABC-S?CPQ-S?BMN-S?AKL∴S?AKL?

      =(3?22)-(3?22)?1?1

       ?42?2

数学竞赛专项训练(10)参考答案

一、选择题

1、解:S?BGD?111S?ABD??S?ABC?1(cm2)。选C。 332

2、解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则∠ABC=60°,因为EB是∠B的

外角的平分线,所以∠ABE=60°,因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点,所以E点到CB的距离等于E到AB的距离,也等于E点到CA的距离,从而AE是∠A的外角的平分线。

所以?BAE?150??75?,∠AEB=180°-60°-75°=45°。应选B。 2

3、解:依题意在等腰三角形B′CB中,有∠B′CB=α,∠B′=90°-20°=70°。 所以α=180°-2370°=40°,即∠DCA=α=40°, 从而∠BDC=∠DCA+

∠A=40°+20°=60°。应选D。

4、解:设AD为中线,则DG=

S?GBC?S?CGG??1AG=3,延长GD到G′,DG=DG′=3, 21?8?6?24   S?ABC?3S?GBC?72。应选C。 2

5、解:由折叠过程知,DE=AD=6,∠DAE=∠CEF=45°,所以△CEF是等腰直角三

角形,且EC=8-6=2,所以S△CEF=2。故选A。

6、解:取△ABC的外心及BC中点M,连OB、OC、OM,由于∠A=45°,故∠BOC

=90°,OM=1a,由于AH=2OM,AH=a。应选C。 2

7、解:因为IA1=IB1=IC1=2r(r为△ABC的内切圆半径),所以I点同时是△A1B1C1

的外接圆的圆心,设IA1与BC的交点为D,则IB=IA1=2ID,所以∠IBD=30°。同理,∠IBA=30°,于是∠ABC=60°。故选C。

8、图中有6个直角,每一个直角对应两个直角三角形,共有12个直角三角形:△ADB、

△ADC、△BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、 △BEC、△HFB。故选D。

二、填空题

?BIC??BID??DIC?(

1、解:

   ?90??40??110?2ABACA?)?(?)?90??22222

2、解:连AC,即AD=a,则在等腰Rt△ABC中

AC?AB?BC?8a?(3a)?a?CD?AD

有∠CAD=90° ∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°。

3、解:设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S,则: 22222222

S?S?ABC?S?AD1C?S?AEC?S矩形ABCD?S?AEC

S?AEC15?AB?EC?EC22

2222 由Rt△ABE≌Rt△CD1E 知EC=AE 设EC=x,则AB?BE?x,即5?(12?x)?x 22

16951698458452035   S?AEC???  S?5?12??24224484848

154、解:答:15。 59

11 设OA边上的高为h,则h≤OB,所以S?OAB?OA?h?OA?OB 22 解得:x?

当OA⊥OB时,等号成立,此时△OAB的面积最大。

设经过t秒时,OA与OB第一次垂直,又因为秒针1秒钟旋转6度,分针1秒钟旋

转0.1度,于是(6-0.1)t=90,解得t=1515。 59

5、解:设等腰三角形底边为a,腰为b,作底角∠B的平分线交AC于D,则 ?B?

1

(180??36?)?70? ∴△BCD、△DAB均为等腰三角形。 2

BCCDab?a

?  即?

ABBCba

a?1

?(取正) b2

BD=AD=BC=a,而CD=b-a 由△BCD∽△ABC ∴

则有()?()?1?0  解得

a

b

2

ab

6、解:如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF

BEBGCECK

??

AEAPAFAPBECFBG?CK1

两式相加 又梯形BCKG中,PM=??

AEAFAP2

于G、K,则有

(BG+CK),而由P为重心得AP=2PM 故

M

BECF2PM???1 AEAF2PM

三、解答题

1、证明:∵正方形ABCD ∴OA⊥DE

∵DF⊥AE ∴F是△DAE的垂心 ∴EF⊥AD ∴EF∥AB ∵OA=OB ∴OE=OF

2、证明:①如图,据题设可知DM平行且等于BN,DN平行且等于AM, ∴∠AMD=∠BND

∵M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点

∴EM=AM=DN FN=BN=DM

又已知DE=DF ∴△DEM≌△DFN

②由上述全等三角形可知∠EMD=∠FND ∴∠AME=∠BNF 而△AME、△BNF均为等腰三角形 ∴∠PAE=∠PBF。

3、证明:连结MC ∵AB=BC,AD⊥BC ∴∠1=∠2=∠3 ∵∠4=∠5=∠6 又∵∠7=∠8 ∴M是△AEC

∴EM是∠AEN的平分线 ∴

AEAM

?

ENMN

B

又∵∠EBN=2∠NBD=2∠1 ∠ENB=∠NBD+∠4=2∠1

D

∴EB=EN ∴

AEAM ∴EN∥BN ?EBMN

4、证明:①如图: 因为M是BC的中点,P是BC的中点,所以MP⊥BC,∠BPM

=90°,连结AB,则有∠PBM=

=90°-∠NBD=∠QNB。

所以Rt△BPM∽Rt△NQB。于是有111∠CAB=(180°-∠DAB)=90°-∠DAB222BPNQ ?MPBQ

②因为KP∥BD,且KP=1BD=BQ,所以,四边形PBQK是平行四边形。于是,2

KQNQ有BP=KQ BQ=KP 由式①得。又∠KPM=∠KPB+90°=∠KQB?MPKP

+90°=∠NQK,所以△KPM∽△NQK。

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